高等數(shù)學下冊第2版蔣國強習題答案

PAGEPAGE22習題解答習題7—11.設向量，，用表示。解：2.把的邊四等分，分點依次是，再把各分點與點連接。如果，，試用表示向量、、。解：因為，所以，，，于是，同理，.3.用向量方法證明：三角形兩邊中點的連線平行與第三邊，且長度為第三邊的一半。證明：設，，則，，于是，，所以三角形兩邊中點的連線平行與第三邊，且長度為第三邊的一半。4.指出下列各點在直角坐標系中的哪個卦限；；；。解：Ⅱ；Ⅴ；Ⅷ；Ⅳ.5.指出下列各點在直角坐標系中的位置；；；。解：xOy面；yOz面；y軸；x軸.6.求點關于（1）各坐標面；（2）各坐標軸；（3）坐標原點的對稱點的坐標。解：（1）各坐標面:xOy面，；yOz面，；zOx面，.（2）各坐標軸：x軸，；y軸，；z軸，.（3）坐標原點：.7.已知立方體的一個頂點在原點，三條棱在正的半坐標軸上，若棱長為，求它的其它各頂點的坐標。解：如圖立方體在xOy面內的四個點的坐標分別為，，，；與xOy面平行的平面內的四個點的坐標分別為，，，；8.已知兩點、，試用坐標表達式表示向量及。解：，9.求點到各坐標軸的距離。解：點到x軸的距離為；點到y(tǒng)軸的距離為；點到z軸的距離為.10.在面上，求與三點、、等距離的點。解：設該點為，根據(jù)題意，，解上述方程組，有，故所求點為：．11.試證明以三點、、為頂點的三角形為等腰直角三角形。證明：利用兩點間的距離公式計算，可得由于，，故是等腰直角三角形．12.求平行于向量的單位向量。解：因為，所以，于是，即或.13.設、，計算向量的模、方向余弦及方向角。解：向量，，所以；．14.設向量的方向余弦分別滿足（1）；（2）；（3），那么這些向量與坐標軸或坐標面有什么關系？解：（1）因為,所以，于是向量垂直于y軸，也就是向量平行于zOx面。（2）因為,所以.于是向量平行于z軸正向，垂直于xOy面。（3）因,所以.于是向量既垂直于y軸，又垂直于z軸，亦即垂直于yOz面，從而向量平行于x軸。15.設向量與軸的夾角為，且其模是6，求在軸上的投影。解：16.一向量的起點在點，它在軸，軸和軸上的投影依次為-2，4和6，求該向量的終點的坐標。解：設終點的坐標為，根據(jù)題意有，解得，故點為：.設，和，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量。解：因為所以在軸上的投影為，在軸上的分向量為.習題7—2設，，求（1）和；（2）和；（3）、夾角的余弦。解：（1），.（2），.（3），.2.設單位向量、、滿足，求。解：因為、、為單位向量，所以，由有，所以.3.設向量，，求（1）在上的投影；（2）在上的投影。解：（1）（2）.4.把質量為100kg重的物體從沿直線移動到，求重力所作的功（長度單位為m，重力方向為軸負方向）。解：物體移動的位移為，重力，于是重力所作的功.5.設向量，，若與軸垂直，求和的關系。解：因為,軸單位向量為.若與軸垂直，則有，因此.6.已知、和，求與、同時垂直的單位向量。解：，,,于是與、同時垂直的單位向量.7.已知向量，，求的面積。解：根據(jù)向量積的定義，可知三角形的面積．又，于是.8.利用向量證明不等式其中、、、、、為任意實數(shù)，并說明在何種條件下等號成立。證明：設向量、.由于，因此即.習題7—31.一動點到點的距離是到點距離的兩倍，求動點的軌跡方程。解：設動點的坐標為，由題意有，，即，化簡得.2.建立以點為球心，且過點的球面方程。解：球心到球面上點的距離為所以所求球面方程.3.方程表示什么曲面？解：通過配方，原方程可化為，與球面方程比較可知，此方程表示球心在點、半徑為的球面．4.將坐標面上的橢圓繞軸旋轉一周，求所形成的旋轉曲面的方程。解在方程中保持不變而將改寫為，故所求旋轉曲面的方程為.5.將坐標面上的拋物線繞軸旋轉一周，求所形成的旋轉曲面的方程。解：在方程中保持不變而將改寫為，故所求旋轉曲面的方程為6.將坐標面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉一周，求所形成的旋轉曲面的方程。解：繞軸旋轉所形成的旋轉曲面方程為,繞軸旋轉所形成的旋轉曲面方程為.7.說明下列旋轉曲面是如何形成的？（1）；（2）；（3）；（4）。解：（1）坐標面上的橢圓繞軸旋轉一周；或者坐標面上的橢圓繞軸旋轉一周.（2）坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周；或者坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周.（3）坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周；或者坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周.（4）坐標面上的直線繞軸旋轉一周；或者坐標面上的直線繞軸旋轉一周.8.畫出下列方程所表示的曲面（1）；（2）（3）；（4）；解：略.9.畫出下列方程所表示的二次曲面圖形（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：略.習題7—41.畫出下列曲線在第一卦限內的圖形：（1）；（2）；（3）.解：略.2.指出下列方程所表示的曲線：（1）；（2）；（3）.解：（1）方程組中第一個方程表示球心在原點，半徑為的球面，方程組中第二個方程表示平行于面的平面．方程組就表示上述平面與球面的交線。顯然交線是一個圓。（2）方程組中第一個方程表示橢圓拋物面，其頂點在原點，開口向上半空間。方程組中第二個方程表示平行于面的平面．方程組就表示上述平面與橢圓拋物面的交線。顯然交線是一個拋物線，開口向上。（3）方程組中第一個方程表示雙葉雙曲面，其中心在原點。方程組中第二個方程表示平行于面的平面．方程組就表示上述平面與雙葉雙曲面的交線。顯然交線是一個雙曲線，其實軸平行于軸，虛軸平行于軸。3.分別求母線平行于軸及軸且通過曲線的柱面方程。解消去方程組中的變量，得，這就是母線平行于軸且通過曲線的柱面方程。同樣消去方程組中的變量，得，這就是母線平行于軸且通過曲線的柱面方程。4.求旋轉拋物面與平面的交線在面上的投影曲線的方程。解：旋轉拋物面和平面的交線為：.由上述方程組消去變量，得到。因此交線在面上的投影曲線為.5.求球面與平面的交線在面上的投影曲線的方程。解：球面和平面的交線為：.由上述方程組消去變量，得到。因此交線在面上的投影曲線為.6.已知曲線（），求它在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程。解：面上的投影柱面方程為，即。因此曲線在上的投影曲線為.同理可求得曲線在面上的投影曲線為.曲線在面上投影柱面方程包含于平面內，因此在面上投影曲線方程是（）習題7—51.求過點且與平面平行于的平面方程。解：所求平面的法向量與平面一致為。根據(jù)平面的點法式方程，得，即.2.求過點且與連接坐標原點及點的線段垂直的平面方程。解：因為，于是可取，根據(jù)平面的點法式方程，得，即.3.求過、、三個點的平面方程。解：不妨假設分別為、、，因此所求平面的法向量可取=×，而，，所以根據(jù)平面的點法式方程，所求平面的方程為，即.4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出圖形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解：（1）表示面；（2）平行于面的平面；（3）平行于軸的平面；（4）通過軸的平面；（5）平行于軸的平面；（6）通過軸的平面；（7）通過原點的平面。圖形（略）.5.求平面與三個坐標面夾角的余弦。解平面的法向量，而、、面的法向量分別為、、。因此與三個坐標面夾角的余弦分別為、、6.一平面平行于向量和且經(jīng)過點，求這平面方程。解：所求平面的法向量可取=×，所以根據(jù)平面的點法式方程，所求平面的方程為，即.7.求三個平面，，的交點。解：三個平面的交點也就是下面方程組的解.解得，故交點為.8.求下列特殊位置的平面方程：（1）平行于面且經(jīng)過點；（2）通過軸和點；（3）平行于軸且經(jīng)過兩點和；解：（1）平行于面的平面可設為，由于平面通過點，故，即，把上式代人所設方程，得.（2）因為所求平面通過軸，必然平行于軸，故；又因為平面通過原點，所以。于是可設平面方程為，由于平面通過點，故，即，把上式代人所設方程，得.（3）因為所求平面平行于軸，于是可設平面方程為，由于平面經(jīng)過兩點和，故，即，把上式代人所設方程，得.9.（1）求點到平面的距離。（2）求兩平面與之間的距離。解：（1）利用點到平面的距離公式，得.（2）在平面上取一點，利用點到平面的距離公式，得.習題7—61.求過點且平行于直線的直線方程。解：所求直線的方向向量可取為，故由對稱式方程得到所求直線為2.求過點和的直線方程。解：因為向量平行于所求直線，所以可取直線的方向向量為，故由對稱式方程得到所求直線為.3.求直線的對稱式方程和參數(shù)方程。解：先求出直線上的一點。不妨取，代入直線方程得解得、，即是所給直線上的一點。下面再求直線的方向向量。由于兩平面的交線與這兩平面的法向量、都垂直，所以可取直線的方向向量為。因此，所給直線的對稱式方程為。令，得所給直線的參數(shù)方程為4.求過點且與兩平面和平行的直線方程。解：因為所求直線與兩平面平行，所以所求直線與兩平面的法向量、都垂直，故直線的方向向量為因此，所給直線的對稱式方程為.5.求直線：與：的夾角。解：直線的方向向量為，直線的方向向量為由兩直線的夾角公式，得，.6.證明直線與直線平行。證明：直線的方向向量為；直線的方向向量為直線、的方向向量對應成比例，故兩直線平行。7.求直線與平面的夾角。解：直線的方向向量為平面的法向量為。由直線與平面的夾角公式，得，故.8.求過點且與直線垂直的平面方程。解：直線的方向向量為可以看成平面的法向量，而因此所求平面的方程為，即.9.求過點且通過直線的平面方程。解：顯然點為直線上的點，也為平面內的點，因此向量與向量均垂直于所求平面的法向量，而，因此所求平面的方程為，即.10.確定下列每一組直線與平面的關系：（1）和（2）和；（3）和；解：（1）直線方向向量為，平面法向量，且，又直線上的點不在平面內，所以直線與平面平行。（2）直線方向向量為，平面法向量，且所以直線與平面垂直。（3）直線方向向量為，平面法向量，且，又直線上的點在平面內，所以直線在平面內。11.求過點且與兩直線 和平行的平面方程。解：第一條直線的方向向量為，第二條直線的方向向量為.而平面法向量既垂直與又垂直與，故因此所求平面的方程為，即.12.求點到直線的距離。解：設點與直線的垂直相交點為，則，解得.又直線的方向向量為，向量垂直于，即，解得。于是，故點到直線的距離為.13.設是直線 外一點，是直線上任意一點，且直線的方向向量為，證明：點到直線的距離是。證明：設點與直線垂直相交點為，則就為所求距離。注意到由向量、所構成的三角形，其面積有，故.總習題71.選擇題（1）設向量滿足，則（C）。A.0B.C.D.（2）設直線：及平面：，則直線（C）。A.平行于B.在上C.垂直于D.與斜交。（3）設有直線：與：，則與的夾角為（B）。A.B.C.D.（4）直線在面上的投影直線是（D）。A.B.c.D.（5）設向量與三個坐標平面的夾角分別為，則（A）。A.2B.1C.0D.32.填空題（1）設向量，，，且，則常數(shù)-3。(2)已知向量，，，則滿足條件時，的最小值為1。(3)母線平行于軸且通過曲線的柱面方程.(4)直線在面上的投影直線是。3.設向量⊥，⊥，求兩向量和的夾角。解：由題意有，整理上述表達式，得，.進一步，注意到，可得，于是，兩向量和的夾角.4.設向量，，，求以及為邊的平行四邊形的面積。解：根據(jù)向量積的定義，可知平行四邊形的面積，而.所以平行四邊形的面積為30.5.已知動點到平面的距離與點到點的距離相等，求動點的軌跡方程。解：由兩點間的距離公式，得整理上述表達式，得.6.指出下列旋轉曲面是什么曲線繞哪個軸旋轉而成的，并畫出曲面的圖形：（1）；（2）；（3）；解：（1）坐標面上的橢圓繞軸旋轉一周；或者坐標面上的橢圓繞軸旋轉一周.（2）坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周；或者坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周.（3）坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周；或者坐標面上的雙曲線繞軸旋轉一周.曲面的圖形（略）.7.平面與球面的交線是圓，寫出該圓的方程，并求出該圓的半徑。解交線方程為.球心到平面的距離為，因此交線圓的半徑為.8.求曲線在三個坐標面上的投影曲線的方程。解：由方程組消去變量，得到。因此交線在面上的投影曲線為；方程組消去變量，得到，因此交線在面上的投影曲線為；方程組消去變量，得到，因此交線在面上的投影曲線為；9.求錐面與柱面所圍立體在三個坐標面上的投影。解：錐面與柱面的交線在面上投影為，即。故立體在面上的投影為.類似得，因此立體在面上的投影為；立體在面上的投影為.10.在直線上求一點，使它到點的距離最短。解：設點與直線的垂直相交點為，則，解得.又直線的方向向量為，向量垂直于，即，解得。于是、，故直線上所求點為。11.設一平面垂直于平面，并通過從點到直線的垂線，求此平面方程。解：直線的方向向量為，作過點且以為法向量的平面，即，聯(lián)立方程組得垂足，又因為所求垂直于平面，故可設平面方程.平面過點和垂足，故，得，代人平面方程有.12.求過點，且平行于平面，又與直線相交的直線方程。解：直線的參數(shù)式方程為，，，設兩直線的交點為，則交點與點的連線垂直于平面的法向量，于是，解上述方程，得。從而所求直線方向向量為，根據(jù)直線方程的對稱式可知，所求直線方程為.習題解答習題8.1已知，試求，和．解，2．設，求．解設，則，，所以從而．3．求下列各函數(shù)的定義域：（1）；解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為（2）；解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為（3）（）；解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為（4）．解要使表達式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域為4．求下列函數(shù)極限：（1）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（2）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（3）；解原式＝＝＝＝（4）．解原式＝．5．證明下列極限不存在：（1）；（2）．證（1）因為當沿直線趨于時，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在．（2）因為當沿直線趨于時，，當沿直線趨于時，，由于，所以極限不存在．習題8.21．求下列函數(shù)的偏導數(shù)：（1）；解；。（2）；解，，；（3）；解，；（4）；解，；（5）；解，；（6）；解，，；（7）．解，，。2．計算下列各題：（1）設，求和；解＝＝，將點（1，2）代入上面結果，得，（2）設，求；解取對數(shù)得,上式兩邊對y求導得，所以，將點（1，1）代入上面結果，得。（3）設，求；解∵，∴＝（4）設，求及．解，，∴．3．設，證明：．證明：，，。4．設，其中可導，證明：．解即。5．曲線在點（，1，）處的切線對軸的傾角是多少？解設該切線與軸的傾角為，∴由偏導數(shù)的幾何意義得，從而．6．求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)，，．（1）；解，，，，（2）；解，，，，．（3）；解，，，，。（4）．解，，，。7．設，求，，．解，，，從而，，．8．設，試證：．證明：，，，由對稱性得，，∴。原式得證。習題8.31．求下列函數(shù)的全微分：（1）；解因為，，所以。（2）；解因為，，所以（3）；解因為，，所以。（4）；解因為，，所以。（5）；解因為，，，所以=．（6）．解因為，，，所以=．2．計算下列函數(shù)在給定點處的全微分：（1），；（2），．解（1），，=（2），，=+3．求函數(shù)當?shù)娜⒎趾腿隽浚猓?，全增量?4．計算下列近似值：（1）；（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）取，令，，，，于是，，．原式＝．*5．設有邊長為m與m的矩形，當邊增加5cm而邊減少10cm，求此矩形對角線增量的近似值．解設矩形對角線長為z，則有．把，，代入，得．即此矩形對角線增量的近似值約為-5cm．習題8.41．設，而，求全導數(shù)．解．2．設，而，求全導數(shù)．解．3．設，而，求全導數(shù)．解．4．設，而，求和．解；．5．設，而，求和．解；．6．設，求和．解令則，；．7．求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導數(shù)：（1）；解（1），．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．設，其中可導，求．解令，，則可看成由，復合而成，所以，，從而10．設，其中為可導函數(shù)，證明：．解令，則，，所以．11．求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)）：（1）；（2）．解（1）由得，所以，，注意：在上述恒等變形中，因為具有二階連續(xù)偏導數(shù)，所以有。（2）由得，所以，，。注意：在上述恒等變形中，因為具有二階連續(xù)偏導數(shù)，所以有。12．設，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求．解由得，所以注意：在上述恒等變形中，因為具有二階連續(xù)偏導數(shù)，所以有。習題8.5設，求．解令，則，所以，2．設，求．解令，即，，所以，3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)和：（1）；（2）．解（1）令，則，，，所以，.（2）令，即，，，所以，.4．設，求．解令，則，，，所以，，所以。5．設，求全微分．解令，則，，，所以，，因此。6．設，證明：．解令，則，，，所以。7．設具有連續(xù)偏導數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．解令，則，，，所以8．設函數(shù)由方程確定，求、．解令，則，，，所以，,注意到z是x、y的函數(shù)，將再對x求偏導，得.注意到z是x、y的函數(shù)，將再對y求偏導，得9．設函數(shù)由方程確定，求解令，則，，，所以，,將x=0,y=0代入得z=2，點（0，0，2）處，注意到z是x、y的函數(shù)，將再對y求偏導，得將x=0,y=0，z=2及代入得。習題8.61．求下列空間曲線在指定點處的切線方程和法平面方程（1）曲線，點；（2）曲線，對應于的點．解（1）因為點對應參數(shù)，而，，，故點處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．（2）參數(shù)對應曲線上的切點為，而，，，故點處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；法平面方程為，即．2．求曲線上的點，使該點的切線平行于平面．解設所求的切點為P，該點對應的參數(shù)為，則，，，故點P處切線的方向向量為，平面的法向量為，由切線平行于平面得T；即，故所求的切點為。3．求下列曲面在指定點處的切平面方程和法線方程（1），點；（2），點．解（1）令，則，故曲面在點處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．（2）令，得，故曲面在點處的切平面的法向量為，切平面方程為，即；法線方程為．4．在曲面上求一點，使該點的切平面平行于平面．解令，設切點為，則切點處切平面的法向量，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點為．5．求曲面上平行于平面的切平面方程．解令，設切點為，則切點處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，因此所求切平面為，即，亦即，所求切平面為。6．在曲面上求一點，使該點處的法線垂直于平面．解令，設所求點為，則該點處切平面的法向量為，由題意得，解上述方程組得，，，因此所求點為．7．證明：曲面上任一點處的切平面在三個坐標軸上的截距之積為常數(shù)．證由題意知令，則點處切平面的法向量為，所求切平面為，即，此平面在三條坐標軸上的截距分別為截距之積習題8-71．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點為，．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點有極大值．2．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點為，（）．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點有極大值．在點處，，，，因為，所以不是極值．3．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點為．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點有極小值．4．求函數(shù)（）的極值．解解方程組得駐點為，（）．函數(shù)的二階偏導數(shù)為，，．在點處，，，，因為，，所以函數(shù)在該點有極大值在點處，，，，因為，所以不是極值．5．求函數(shù)在約束條件下的極大值．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴極大值．6．在平面上求一點，使它到及三直線的距離平方之和為最?。庠O所求點為,距離平方之和為，則，即，令得，由實際意義知，所求點為。7．要造一個容積為常數(shù)的長方體無蓋水池，問如何安排水池的尺寸時，才能使它的表面積最小．解設箱子的長、寬分別為，容量為，則箱子的高為．箱子的表面積為這是x、y的二元函數(shù)．令解上述方程組，得根據(jù)題意可知，表面積A的最小值一定存在，現(xiàn)在只有唯一駐點，因此當長、寬均為，高為時，表面積A最?。?．求內接于半徑為的半圓且有最大面積的矩形．解設矩形的長為、高為，則．問題歸結為求面積在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一的駐點取得，因此當矩形兩邊分別為時，可得最大面積的矩形．總習題81.選擇題（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴選D.（2）函數(shù)在點（0，0）處（）．A．連續(xù)但不存在偏導數(shù)B．存在偏導數(shù)但不連續(xù)C．既不連續(xù)又不存在偏導數(shù)D．既連續(xù)又存在偏導數(shù)解因為當沿直線趨于時，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在，從而在（0，0）處不連續(xù)。又=，=，∴選B.（3）函數(shù)滿足，且，則（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴選B.（4），是函數(shù)在點處取得極值的（）．A．必要條件，但非充分條件B．充分條件，但非必要條件C．充分必要條件D．既非充分條件，又非必要條件解由多元函數(shù)極值的必要條件知，，只是函數(shù)在點處取得極值的必要條件，但非充分條件，∴選A。.2.填空題（1）設函數(shù)，則．解因為，，所以。（2）設函數(shù)，則．解，∴。（3）空間曲線上點處的切線方程為．解曲線即為，而，，，故點處曲線切線的方向向量為，所求切線方程為；（4）若函數(shù)在點處取得極值，則常數(shù)．解由題意得3.設求．解當（x,y）=(0,0)時，=，當（x,y）≠(0,0)時，,4.設，其中可微，求．解，．5.設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求．解，∴(∵)．6.設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且，，求常數(shù)，使．解，,∴(∵),∴,,將,,的結果代入到得,即,,從而或．7.某廠要造一個無蓋的長方體水箱，已知它的底部造價為每平方米18元，側面造價均為每平方米6元，設計的總造價為216元，問如何選擇它的尺寸，才能使水箱容積最大？解設長方體的長、寬、高分別為米，體積為米3，則。問題歸結為求在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一駐點取得，即當長、寬、高分別取2m、2m、3m時，長方體的體積最大．8.求內接于半徑為的球且體積最大的圓柱體的高．解設圓柱體的半徑和高分別為，體積為，則。問題歸結為求在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一駐點取得，即當圓柱體的高為時，體積最大．9.設具有連續(xù)偏導數(shù)，且，證明：．解令，則，，，所以＝＝＝＝。即。10.設具有連續(xù)偏導數(shù),證明：曲面上任意點處的切平面與直線平行．證明令，則，，，∴該曲面上任意點處的切平面的法向量為n=，已知直線的方向向量為T=,∵n·T=,∴n⊥T，因此曲面的切平面與直線平行．習題解答習題9.11.．設一平面薄板占有面上的閉區(qū)域D，其上點處的面密度為，其中在D上連續(xù)，試用二重積分表達該薄板的質量M．解由二重積分的定義可知，質量．2.根據(jù)二重積分的性質，比較下列積分的大?。海?），其中；解區(qū)域的面積=，區(qū)域的面積=，所以：；（2），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域；解對區(qū)域D上的任意點，都有：，，所以：；（3），其中D是由直線圍成的閉區(qū)域．解對區(qū)域D上的任意點，都有：，，所以：．3.利用二重積分的性質，估計下列積分的值：（1）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質6，得；（2）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質6，得；（3）其中D是兩坐標軸與直線圍成的閉區(qū)域．解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質6，得．習題9.21.計算下列二重積分：（1）其中；解；（2），其中D是由兩坐標軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解；（3），其中D是頂點分別為的三角形閉區(qū)域；解；(4)，其中．解．2.畫出積分區(qū)域，并計算下列二重積分：（1）其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3），其中；解圖略；（4），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域．解圖略．3.化二重積分為二次積分（分別給出兩種不同的積分次序），其中積分區(qū)域D分別為：（1）由兩坐標軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略或；（2）由及所圍成的閉區(qū)域；解圖略或（3）由及所圍成的閉區(qū)域．解圖略或4.略．5.交換下列二次積分的次序：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．6.交換積分次序，證明：．證：交換積分次序，得．7.證明：．證：交換積分次序，立得．8.設平面薄片所占的閉區(qū)域D由直線和x軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質量．解由習題9.1第1題知，所求薄片的質量．9.計算由四個平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積．解記，則．10.求由平面及拋物面所圍成的立體的體積．解記，則．11.畫出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．12.化下列二次積分為極坐標形式的二次積分：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）．解圖略．13.把下列積分化為極坐標形式，并計算積分值：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略．（4）．解圖略．14.利用極坐標計算下列二重積分：（1），其中D由圓周所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中；解圖略；（3），其中D由圓周及直線所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中解圖略．15.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝懈黝}：（1），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中；解圖略；（3）其中D是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中D是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域．解圖略．16.求曲面與平面圍成立體的體積．解記，則．17.求圓柱面被平面及拋物面截得的立體的體積．解記，則．習題9.31.求拋物面含在圓柱面內部的那部分面積．解記，由得：．2.求半球面被平面截得的上半部分的面積．解記，由得：．3.求球面含在圓柱面內部的那部分面積．解記，由得：．4.求下列均勻薄板的質心，其中薄板所占的閉區(qū)域D如下：（1）D由圍成；解閉區(qū)域關于x軸對稱，所以質心必位于x軸上，于是．閉區(qū)域D的面積：；而，故薄板的質心為．（2）D由圍成；閉區(qū)域D的面積：；而，故薄板的質心為．（3）D是介于兩個圓之間的閉區(qū)域．解閉區(qū)域關于y軸對稱，所以質心必位于y軸上，于是．閉區(qū)域D的面積（兩個圓面積之差）：；而，故薄板的質心為．5.設平面薄板所占的閉區(qū)域D是由所圍成，在處的密度，求此薄板的質心．解，，，故薄板的質心為．6.設均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占的閉區(qū)域D如下，求指定的轉動慣量：（1）D由圍成，求和；解，．（2），求、和；解；（3）邊長為a和b的矩形薄片對兩條邊的轉動慣量．解建立圖示坐標系，，．習題9.41.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是：（1）；解圖略；（2）由錐面及平面所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3）由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域．解圖略．2.設有一物體，占有空間閉區(qū)域，在點處的密度，求該物體的質量．解物體的質量．3.利用直角坐標計算下列三重積分：（1），其中為平面所圍成的閉區(qū)域；解．（2），其中是由平面與三個坐標面所圍成的四面體；解；（3）其中為球面及三個坐標平面所圍成的在第一卦限內的閉區(qū)域．解．4.利用柱面坐標計算下列三重積分：（1）其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；解；（2）其中是由圓錐面與平面所圍成的閉區(qū)域．解.5.利用三重積分求由下列曲面所圍成的立體的體積：（1）及；解；（2）及；解；（3）及．解．6.利用三重積分計算曲面與平面所圍立體的質心（設密度）．解顯然，質心在z軸上，故．由于，所以，從而質心為．7.均勻圓錐體（密度）由、圍成，求其對圓錐中心軸的轉動慣量．解．習題9.51.計算下列對弧長的曲線積分：（1），其中L為圓周；解=；（2），其中L為直線段；解；（3），其中L為由直線及拋物線所圍成的區(qū)域的整個邊界；解；（4），其中L為及y軸所圍成的區(qū)域的整個邊界；解；（5），其中L是以為頂點的三角形的周界．解2.設圓周L：上任一點處的線密度等于該點縱坐標的平方，求圓周L的質量．解線密度，圓周L的質量為．習題9.61.計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中L為拋物線上從點到的一段??；解；（2），其中L為拋物線及所圍成的區(qū)域的整個邊界（按逆時針方向繞行）；解；；（3），其中L為自點至點，再到點的折線段；解；（4），其中L為圓周（按逆時針方向繞行）；解；(5),其中L為擺線上從到的一段?。猓?.計算，其中L是：（1）曲線上從點到點的一段?。唬?）從點到點的直線段；（3）曲線上從點到點的一段?。猓?）；（2）；（3）．3.一力場由沿橫軸正方向的恒力F所構成．試求當一質量為m的質點沿圓周按逆時針方向移過位于第一象限的那一段弧時場力所作的功．解，．習題9.71.利用格林公式計算下列曲線積分：（1），其中L是沿圓周，逆時針方向；解；（2），其中L是以點為頂點的三角形區(qū)域的正向邊界；解；（3），其中L是由不等式所確定的閉區(qū)域的正向邊界；解；（4），其中L是由點到點再到點的折線段；解補曲線，則;而，所以．（5），其中L是在曲線上由點到點的一段?。庋a曲線，則，而，所以．2.利用曲線積分，求下列曲線所圍成的平面圖形的面積：（1）圓；解面積；（2）橢圓．解將改寫為參數(shù)式得：面積．3.證明下列曲線積分在整個面內與路徑無關，并計算積分值：（1）；證記，則P，Q在整個xOy面上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關．現(xiàn)選取有向折線計算．；（2）．證記，則P，Q在整個xOy面上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關．現(xiàn)選取有向折線計算．．4.計算曲線積分，其中L是在曲線上由點到點的一段?。庾C記，則P，Q在整個xOy面上有一階連續(xù)偏導數(shù)，且，故曲線積分與路徑無關．現(xiàn)選取直線段計算．．總習題91.選擇題（1）若閉區(qū)域D由圓周圍成，則（）．A.B.C.D.解；即選項C正確．（2）設平面閉區(qū)域，，則有（）．A.B.C.D.解由于積分區(qū)域關于x軸、y軸都對稱，而是關于x、y的偶函數(shù)，故；即選項D正確．（3）設函數(shù)連續(xù)，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于積分區(qū)域是由圍成的，故；即選項C正確．*（4）設函數(shù)有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分與路徑無關的條件為（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解記，則曲線積分與路徑無關的條件為，即，得．即選項B正確．2.填空題（1）設，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解表示以為底，以半球面為頂?shù)那斨w體積，故．（2）設，函數(shù)在D上連續(xù)，則根據(jù)二重積分的中值定理可得：．解，其中，所以．（3）將化為極坐標下的二次積分，得．解記，則*（4）設L為橢圓，L的長度記為，則對弧長的曲線積分．解．3.交換下列二次積分的次序：（1）；解．（2）．解．4.計算．解．5.計算下列二重積分：（1），其中；解．（2），其中D是由圓周所圍成閉區(qū)域；解．（3），其中D是由直線所圍成閉區(qū)域．解．6.求平面被三坐標面所割出的有限部分的面積．解由得，．7．求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)1）對于直線及的轉動慣量．解對于直線的轉動慣量為；對于直線的轉動慣量為．*8.計算下列三重積分：（1），其中是由與所圍成的區(qū)域；解．（2），其中是由曲線繞z軸旋轉一周而成旋轉面與平面所圍成的閉區(qū)域．解繞z軸旋轉一周而成旋轉面的方程為，．*9.化三次積分為柱面坐標形式，并求I的值．解．*10.計算下列曲線積分：（1），其中L是取正向的圓周；解；（2），其中L為從點沿曲線到點．解添加一段從點O（0，0）到A（2，0）的有向線段，則L與一起構成一條封閉曲線，其圍成的閉區(qū)域記為D，由格林公式得，而，所以．*11.一空間均勻物體（密度為常數(shù)）占有的閉區(qū)域是由曲面和平面，所圍成，（1）求物體的體積；（2）求物體的質心；（3）求物體關于z軸的轉動慣量．解（1）；（2）顯然，質心在z軸上，故，因為，故，所以質心為．（3）．習題解答習題10.1寫出下列級數(shù)的一般項：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）（2）（3）（4）2．已知級數(shù)的前項部分和為，求，并求級數(shù)的和．解由，得，故得，，又，所以級數(shù)的和．3．用定義判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）．解（1）因為，所以，從而，即級數(shù)發(fā)散．（2）因為，所以，從而，即級數(shù)收斂且和為．（3）因為，所以，從而，即級數(shù)發(fā)散．4．判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）此級數(shù)為等比（幾何）級數(shù)，公比，且，故此級數(shù)收斂．（2）因為不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故此級數(shù)發(fā)散．（3）將此級數(shù)看成兩個等比（幾何）級數(shù)之和，他們的分別為公比，，且，；故這兩個級數(shù)均收斂，從而原級數(shù)收斂．（4）將此級數(shù)看成兩個級數(shù)之和：+，而級數(shù)發(fā)散，級數(shù)為等比（幾何）級數(shù)，公比是收斂的，故原級數(shù)發(fā)散．（5）將此級數(shù)看成兩個等比（幾何）級數(shù)之和：+，他們的分別為公比，，且，；故這兩個級數(shù)均收斂，從而原級數(shù)收斂．5．如果級數(shù)收斂，判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）由級數(shù)的性質:在級數(shù)前面去掉（或加上、或改變）有限項，級數(shù)的斂散性不變．可知級數(shù)收斂．（2）因為，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故級數(shù)發(fā)散．（3））由級數(shù)的性質:設k為非零常數(shù)，則級數(shù)與級數(shù)有相同的斂散性，可知級數(shù)收斂．（4）因為，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故級數(shù)發(fā)散．習題10.21．用比較審斂法或其極限形式判別下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因為，而級數(shù)收斂，由比較審斂法可知，級數(shù)收斂．（2）因為，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級數(shù)發(fā)散．（3）因為，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級數(shù)發(fā)散（4）因為，而級數(shù)收斂，由比較審斂法極限形式可知，級數(shù)收斂．（5）因為，而級數(shù)收斂，由比較審斂法可知，級數(shù)收斂．2．用比值審斂法判別下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因為由比值審斂法可知，級數(shù)收斂．（2）因為由比值審斂法可知，級數(shù)發(fā)散（3）因為由比值審斂法可知，級數(shù)收斂．（4）因為由比值審斂法可知，級數(shù)收斂．（5）因為由比值審斂法可知，級數(shù)發(fā)散．3．判別下列級數(shù)的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）因為由比值審斂法可知，級數(shù)收斂（2）因為，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級數(shù)發(fā)散．（3）因為由比值審斂法可知，級數(shù)收斂．（4）因為，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，級數(shù)發(fā)散．（5）因為不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故此級數(shù)發(fā)散．（6）因為，而當時，級數(shù)收斂，當時，級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)，當時收斂，時發(fā)散．4．判定下列級數(shù)是否收斂？如果是收斂的，是條件收斂還是絕對收斂（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）對絕對值級數(shù)，有而p--級數(shù)收斂，所以絕對值級數(shù)收斂，從而原級數(shù)絕對收斂．（2）絕對值級數(shù)為等比（幾何）級數(shù)，公比是收斂的，所以絕對值級數(shù)收斂，從而原級數(shù)絕對收斂．（3）對絕對值級數(shù)，有，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，絕對值級數(shù)發(fā)散．又是交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法，得級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂且為條件收斂．（4）因為所以絕對值級數(shù)收斂，從而原級數(shù)絕對收斂．（5）因為不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故級數(shù)發(fā)散．（6）因為，對絕對值級數(shù)，有，而級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法極限形式可知，絕對值級數(shù)發(fā)散．又是交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法，得級數(shù)收斂，所以級數(shù)條件收斂習題10.31．求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．對于端點，級數(shù)成為，由級數(shù)收斂的必要條件知該級數(shù)發(fā)散；對于端點，級數(shù)成為，該級數(shù)也發(fā)散；因此，收斂域為．（2）令，則所給級數(shù)成為．因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．（3）令，則所給級數(shù)成為．因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．即．（4）因為冪級數(shù)中缺少奇數(shù)次冪項，所以不能直接求收斂半徑．可對絕對值級數(shù)使用比值審斂法求收斂半徑．因為，故當即時，冪級數(shù)絕對收斂；當即時，冪級數(shù)發(fā)散；所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．（5）因為冪級數(shù)中缺少偶數(shù)次冪項，所以不能直接求收斂半徑．可對絕對值級數(shù)使用比值審斂法求收斂半徑．因為，故當即時，冪級數(shù)絕對收斂；當即時，冪級數(shù)發(fā)散；所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．2．求下列冪級數(shù)的收斂域：（1）；（2）．解（1）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．對于端點，級數(shù)成為，由萊布尼茲判別法，得級數(shù)收斂；對于端點，級數(shù)成為，由級數(shù)得收斂性得級數(shù)收斂；因此，收斂域為．（2）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．對于端點，級數(shù)成為，由交錯級數(shù)得收斂性得級數(shù)發(fā)散；對于端點，級數(shù)成為，由萊布尼茲判別法，得級數(shù)收斂；因此，收斂域為．3．利用公式，求下列冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)：（1）；（2）．解（1）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．設和函數(shù)為，即，，則=，對上式從到積分，得．由于，故．（2）設和函數(shù)為，即，上式兩端從到積分，得，上式兩端對求導數(shù)，得．習題10.41．將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并寫出展開式成立的區(qū)間：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）因為，在上式中將換成，得=．（2）因為，所以．（3）因為，所以=．（4）因為，=，所以=．（5）因為，在上式中將換成，得，上式兩邊從到積分，得因為，在上式中將換成，得，所以=，故=．（6）因為，而，，，，因此，在內，有-．2．將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)：（1）；（2）．解（1）因為，，在上式中將換成，再兩邊從到積分，=,．（2）因為，，在上式中將分別換成及，得=，．3．將函數(shù)展開為冪級數(shù)．解因為，又，=，在上式中將換成后，得．習題10.51．計算的值，要求誤差不超過．解在函數(shù)的冪級數(shù)展開式=中，令，得，這是交錯級數(shù)，從而，故只需令，解得，即取前兩項計算的近似值，就可保證計算精度小于．所以．2．計算的值，要求誤差不超過．解因為，所以．3．計算的值，要求誤差不超過．解在函數(shù)的冪級數(shù)展開式=中，以替代，得，上式兩端同時積分，得=．總習題101．選擇題（1）若級數(shù)收斂于，則級數(shù)（）．A．收斂于B．收斂于C．收斂于D．發(fā)散（2）設為常數(shù)，則級數(shù)（）．A．絕對收斂B．條件收斂C．發(fā)散D．斂散性與的取值有關（3）設級數(shù)與都發(fā)散，則下列級數(shù)中一定發(fā)散的是（）．A．B．C．D．（4）冪級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)為（）．A．B．C．D．解（1）設的部分和為，的部分和為，則=又故選A．（2）因為，故級數(shù)絕對收斂，而級數(shù)是發(fā)散的，所以級數(shù)發(fā)散，故選C．（3）舉反例如下：設，，級數(shù)與都發(fā)散，但級數(shù)，為收斂的，故不選A．設，，級數(shù)與都發(fā)散，但級數(shù)，為收斂的，故不選B．設，，級數(shù)與都發(fā)散，但級數(shù)，為收斂的，故不選B．因此，本題選D．（4）因為，所以=故選B．2.填空題（1）級數(shù)的和．（2）級數(shù)收斂的充分必要條件是常數(shù)滿足．（3）設有冪級數(shù)，且，則該冪級數(shù)的收斂區(qū)間是．（4）把展開為的冪級數(shù)，其收斂半徑R=．解（1）因為，從而，即級數(shù)的和．（2）級數(shù)為交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法可知，級數(shù)收斂的充分必要條件是常數(shù)滿足：．（3）令，則所給級數(shù)成為．因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．即，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間是．（4）展開為的冪級數(shù)，應有，即故展開為的冪級數(shù)，其收斂半徑R=．3．判別下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）因為不滿足級數(shù)收斂的必要條件，故此級數(shù)發(fā)散．（2）此級數(shù)為兩個級數(shù)之和：+，而級數(shù)發(fā)散，級數(shù)為等比（幾何）級數(shù)，公比是收斂的，故原級數(shù)發(fā)散．（3）因為，而級數(shù)收斂，由比較審斂法極限形式可知，級數(shù)收斂．（4）當時，原級數(shù)為，由比較審斂法可知其發(fā)散，由比值審斂法得，故當時，原級數(shù)收斂，當時，原級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)當時收斂，時發(fā)散．（5）因為而由比值審斂法可知，級數(shù)收斂，根據(jù)比較審斂法可知級數(shù)收斂．4．判別下列級數(shù)的斂散性，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？（1）；（2）；（3）；（4）；解（1）對絕對值級數(shù)，，從而，即級數(shù)收斂且和為，所以原級數(shù)絕對收斂．（2）對絕對值級數(shù)，有而級數(shù)為等比（幾何）級數(shù)，公比是收斂的，從而原級數(shù)絕對收斂．（3）此級數(shù)是交錯級數(shù)，且由萊布尼茲判別法，知級數(shù)發(fā)散．（4）因為而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)即發(fā)散，又是交錯級數(shù)，且，，所以級數(shù)收斂且為條件收斂．5．求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并在收斂區(qū)間內求其和函數(shù)：（1）；（2）．（3）；（4）．解（1）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．設和函數(shù)為，即，則=，對上式從到積分，得．由于，故．（2）因為冪級數(shù)中缺少奇數(shù)次冪項，所以不能直接求收斂半徑．可對絕對值級數(shù)使用比值審斂法求收斂半徑．因為，故當即時，冪級數(shù)絕對收斂；當即時，冪級數(shù)發(fā)散；所以收斂半徑，收斂區(qū)間為．設和函數(shù)為，即，上式兩端從到積分，得，上式兩端對求導數(shù)，得．（3）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．設和函數(shù)為，即，即，．（4）因為，所以收斂半徑．收斂區(qū)間為．設和函數(shù)為，即，則，上式相加，得，所以，．6．將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間：（1）；（2）；（3）．解（1）因為，所以=，．（2）因為，=，所以=，．（3）因為，而，上式求導得=，．7．將函數(shù)展開成的冪級數(shù).解因為，在上式中將換成，得，又，，在上式中將換成，再兩邊從到積分，得=,，綜上所述，可得.習題解答習題11-11．指出下列方程是否為微分方程？若是請指出它的階：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）是微分方程，且為一階微分方程；（2）是微分方程，且為二階微分方程；（3）不是微分方程；（4）是微分方程，且為一階微分方程；（5）是微分方程，且為二階微分方程．2．驗證是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數(shù)是微分方程的解．又因為方程是一階的，而函數(shù)含有一個任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)，所以函數(shù)是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．3．驗證由方程所確定的隱函數(shù)是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解．解由可得，將及代入方程中，得，所以函數(shù)是微分方程的解．又因為方程是一階的，而函數(shù)含有一個任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)等于方程的階數(shù)，所以函數(shù)是微分方程的通解．將代入中，得所求特解．4．設曲線在點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，寫出該曲線所滿足的微分方程．解設所求曲線的方程為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，由題意得．習題11-21．求下列可分離變量的微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解（1）分離變量有,兩端積分,可得通解為．（2）分離變量有兩端積分，可得通解為．（3）分離變量有兩端積分，可得通解為．（4）分離變量有，兩端積分，可得通解為．（5）分離變量有，兩端積分，可得通解為．*2．求下列齊次方程的通解：（1）；（2）；（3）．解（1）令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.（3）令，則，，代入原方程，得，分離變量得，兩邊積分，得所求方程的通解為.*3．用適當?shù)淖兞看鷵Q求下列微分方程的通解：（1）；（2）．解（1）令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.（2）令，代入原方程，得分離變量得兩邊積分，得所求方程的通解為.4．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）,；（2）．解（1）分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．（2）分離變量有，兩端積分，可得通解為，由得，故所求特解為．5．求下列一階線性微分方程的通解：（1）；（2）+；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（2）此方程為一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（3）原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（4）原方程變形為，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.（5）將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.（6）將看作自變量，看作的函數(shù)，則有，這是關于未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，且，.由通解公式得原方程的通解為即.6．求下列微分方程滿足初始條件的特解：（1）；（2）；（3），；（4）．解（1）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（2）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（3）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.（4）這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式得所求通解即.代入初始條件，求得，故所求特解是.7．求一曲線，使它通過原點，且在任意點處的切線斜率等于．解設曲線的方程為，由題意可得，這是一階線性微分方程，其中，，代入通解公式得所求通解即.又曲線通過原點，即得，故曲線的方程為．*習題11-3求下列微分方程的通解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．解（1）對原方程積分一次，得，再積分，得原微分方程的通解為．（2）對原方程積分一次，得，再積分，又得，第三次積分，得原微分方程的通解為．（3）設，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得．（4）設，則，代入原方程得，在時，約去并分離變量，得，兩端積分，得，即，再分離變量，得方程的通解為．（5）設，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，即，兩邊積分，得方程的通解為．（6）設，則，代入原方程，得．這是可分離變量的微分方程，分離變量得．兩邊積分，得，化簡解出，兩邊積分，得方程的通解為．2．求方程滿足初始條件的特解．解設，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.3．求方程滿足初始條件的特解．解設，原方程化為這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩邊積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為.4．求方程滿足初始條件的特解．解設，代入原方程得，即，這是一階線性非齊次微分方程，其中，，由通解公式，得所求通解，即，代入初始條件，求得，故，積分得方程的通解為，再由條件可得，故所求特解為.5．求方程滿足初始條件的特解．解設，則，代入原方程得，這是可分離變量的微分方程，分離變量得兩端積分，得將初始條件代入上式，得，故分離變量并兩端積分，得再由條件可得，故所求特解為．6．求的經(jīng)過點且在此點與直線相切的積分曲線．解方程滿足的初始條件為對方程積分一次，得，將初始條件代入上式，得，故再積分，得方程的通解為．再由條件可得，故所求特解為．所以的經(jīng)過點且在此點與直線相切的積分曲線方程為．習題11-41．求下列二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解：（1）；（2）；(3)；(4).．解（1）所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實根：，．故所求通解為.（2）所給方程的特征方程是.特征根是一對共軛復根：．因此所求通解是（3）所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實根：，．故所求通解為.（4）所給方程的特征方程是，特征根為兩個相等的實根：．故方程的通解為.求下列微分方程滿足初始條件的特解：(1)；(2)；（3）；（4）．解（1）所給方程的特征方程是，特征根為兩個不相等的實根：，．故所求通解為代入初始條件，得，對求導，得．代入，得，解得，；故所求特解為.（2）所給方程的特征方程是，特征根是一對共軛復根：．因此所求通解是代入初始條件，得，對求導，得．代入，得；故所求特解為.（3）所給方程的特征方程是，特征根為兩個相等的實根：．故方程的通解為.代入初始條件，得，對求導，得．代入，得；故所求特解為.（4）所給方程的特征方程是，特征根是一對共軛復根：．因此所求通解是代入初始條件，得，對求導，得代入，得；故所求特解為.3．確定下列各方程的特解的形式：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因為不是特征方程的根，故所給方程的特解形式為.（2）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.所給方程是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程，屬于=型，其中．因為是特征方程的重根，故所給方程的特解形式為.（3）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為．方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中,，．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為.（4）所給方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為.方程是二階常系數(shù)線性非齊次方程，屬于型，其中．．由于是特征方程的根，故所給方程的特解形式為．4．求下列二階常系數(shù)線性齊