八年級下冊 第三章第02講 圖形的旋轉(zhuǎn)(8類熱點題型講練)（解析版）

第02講圖形的旋轉(zhuǎn)(8類熱點題型講練)1．掌握旋轉(zhuǎn)的概念，了解旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)方向，對應(yīng)點的概念及其應(yīng)用；2．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，應(yīng)用概念及性質(zhì)解決一些實際問題；(重點，難點)3．能夠根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行簡單的旋轉(zhuǎn)作圖．知識點01旋轉(zhuǎn)的概念（1）旋轉(zhuǎn)的概念：把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一定角度的變換.點O叫作旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動的角度叫作旋轉(zhuǎn)角；圖形上點P旋轉(zhuǎn)后得到點P’，這兩個點叫作對應(yīng)點.（2）旋轉(zhuǎn)三要素：=1\*GB3①旋轉(zhuǎn)方向；=2\*GB3②旋轉(zhuǎn)中心；=3\*GB3③旋轉(zhuǎn)角度注：旋轉(zhuǎn)中心可在任意位置.即可在旋轉(zhuǎn)圖形上，也可不在旋轉(zhuǎn)圖形上.知識點02旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；兩組對應(yīng)點分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等.知識點03確定旋轉(zhuǎn)中心確定旋轉(zhuǎn)中心：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，所以旋轉(zhuǎn)中心位于對應(yīng)點連線的垂直平分線上，即旋轉(zhuǎn)中心是兩對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線的交點.知識點04旋轉(zhuǎn)作圖旋轉(zhuǎn)作圖：在畫旋轉(zhuǎn)圖形時，首先確定旋轉(zhuǎn)中心，其次確定圖形的關(guān)鍵點，再將這些關(guān)鍵點沿指定的方向旋轉(zhuǎn)指定的角度，然后連接對應(yīng)的部分，形成相應(yīng)的圖形.作圖的步驟：（1）連接圖形中的每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；（2）把連線按要求（順時針或逆時針）繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角）；（3）在角的一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點的對應(yīng)點；（4）連接所得到的各對應(yīng)點.題型01判斷生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象【例題】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級?？计谥校┫铝羞\動形式屬于旋轉(zhuǎn)的是（

）A．足球在地上的滾動 B．電梯的運行 C．熱氣球點火升空 D．鐘擺的擺動【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義，根據(jù)“在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)”即可解答．【詳解】解：A、足球在地上的滾動是旋轉(zhuǎn)加上平移，不符合題意；B、電梯的運行是平移，不符合題意；C、熱氣球點火升空是平移，不符合題意；D、鐘擺的擺動是旋轉(zhuǎn)，符合題意；故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·廣西玉林·九年級統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象屬于旋轉(zhuǎn)的是（

）A．電梯的上下移動 B．飛機起飛后沖向空中的過程C．幸運大轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的過程 D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車【答案】C【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義“把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點轉(zhuǎn)動一個角度”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、B、D選項都不符合旋轉(zhuǎn)的定義，而C選項符合旋轉(zhuǎn)的定義，故C選項屬于旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；故選C．2．（2023上·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）下列生活中的實例是旋轉(zhuǎn)的是（

）A．鐘表的指針的轉(zhuǎn)動 B．汽車在筆直的公路上行駛C．傳送帶上，瓶裝飲料的移動 D．足球飛入球網(wǎng)中【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的定義逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、鐘表的指針的轉(zhuǎn)動，屬于旋轉(zhuǎn)變換，故此選項符合題意；B、汽車在筆直的公路上行駛，屬于平移變換，故此選項不符合題意；C、傳送帶上，瓶裝飲料的移動，屬于平移變換，故此選項不符合題意；D、足球飛入球網(wǎng)中，屬于平移變換，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)和平移的概念，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到另一個圖形，即為旋轉(zhuǎn)變換；把一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，即為平移變換；熟練掌握此定義是解題的關(guān)鍵．題型02找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點【例題】（2023上·天津東麗·九年級校聯(lián)考期中）如圖，P為正方形內(nèi)一點，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，(1)旋轉(zhuǎn)中心是______．旋轉(zhuǎn)角為______度．(2)求的長度．【答案】(1)C；90(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角的概念求解即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）解：∵將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴旋轉(zhuǎn)中心是C，旋轉(zhuǎn)角是和，∵在正方形中，∴旋轉(zhuǎn)角為90度，故答案為：C，90；（2）解：由（1）知，旋轉(zhuǎn)角是，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形的概念和性質(zhì)，勾股定理，準(zhǔn)確識別旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是正方形，E是上的一點，是的旋轉(zhuǎn)圖形．

(1)由順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)中心是________，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是________；(2)連接，判斷并說明的形狀．【答案】(1)點；(2)是等腰直角三角形，理由見解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正方形的性質(zhì)，熟練利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心，利用旋轉(zhuǎn)位置得出旋轉(zhuǎn)角即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得到，得到，，根據(jù)正方形性質(zhì)求出，即可判定出是等腰直角三角形．【詳解】（1）解：由圖可知，順時針旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)中心是點，旋轉(zhuǎn)角是，故答案為：點；；（2）如圖：連接，

是等腰直角三角形，理由如下：旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形是正方形，，，，即，是等腰直角三角形．2．（2023上·湖南永州·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，且點C恰好成為的中點．

(1)旋轉(zhuǎn)中心為點，并求出旋轉(zhuǎn)角=度；(2)求出的度數(shù)和的長．【答案】(1)A；130(2)，【分析】（1）由“逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合”可得旋轉(zhuǎn)中心點，求出即可得旋轉(zhuǎn)角；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：，即，逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，∴旋轉(zhuǎn)中心為點A，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為130；故答案為：A；130（2）解：逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后與重合，，，，，∵點C恰好成為AD的中點，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識點．熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．題型03根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解【例題】（2023上·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，，，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，則．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.【詳解】在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，故答案為：【變式訓(xùn)練】1．（2023上·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】15【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，再由平行線的性質(zhì)得到，即可得到答案．【詳解】解：∵將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：15．2．（2024上·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A旋轉(zhuǎn)到的位置，點E在邊上，與交于點G．若，，則．【答案】/65度【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用三角形外角的性質(zhì)求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，再根據(jù)對頂角相等求解即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型04求繞原點旋轉(zhuǎn)90°點的坐標(biāo)【例題】（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）已知點，將點繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點，則點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．作出圖形，連接，過點A作軸于H，過點B作軸于，連接，然后根據(jù)點A的坐標(biāo)求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出，然后寫出點的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，連接，過點A作軸于H，過點B作軸于，連接，∵，，∵將點繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得點，，∴點．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·北京西城·九年級校考期中）如圖，將含有角的直角三角板放置在平面直角坐標(biāo)索中在x軸上，若，將三角板繞原點O旋轉(zhuǎn)得到，則點A的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)，含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．過點A作軸于點C，求出，的長度是解題關(guān)鍵．【詳解】解：過點A作軸于點C，則，，∴，即，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為，故答案為：．2．（2023下·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，B點在第一象限，A點在x軸正半軸上，，點B到x軸的距離是8，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，點B對應(yīng)點的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】過B作于，過作軸于，構(gòu)建，利用勾股定理得到，即可得出答案．【詳解】過B作于，過作軸于，

∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可知，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化?旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，掌握這幾個知識點的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線證明三角形全等是解題關(guān)鍵．題型05求繞某點（非原點）旋轉(zhuǎn)90°點的坐標(biāo)【例題】（2023上·全國·九年級期末）平面直角坐標(biāo)系中，，，A為x軸上一動點，連接，將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點A在x軸上運動，取最小值時，點B的坐標(biāo)為．【答案】【分析】分三種情況：當(dāng)點在軸正半軸時；當(dāng)點在原點時；當(dāng)點在軸負(fù)半軸時，利用三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點間的距離公式，分別進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)點在軸正半軸時，如圖，作軸于，設(shè)，則，，

，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，在和，，，，，，，，，，當(dāng)點在原點時，如圖所示，

，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，；當(dāng)點在軸負(fù)半軸時，如圖，作軸于，設(shè)，則，，

，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，在和，，，，，，點在第四象限，，，，，綜上所述：當(dāng)時，取到最小值，為，此時，故答案為：．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點間的距離等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，采用分類討論的思想解題．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將其繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，則點P的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對應(yīng)點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此可求解．【詳解】解：點P位置如圖所示，則點P的坐標(biāo)是，故答案為：．2．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點A的坐標(biāo)為，點是軸正半軸上的一點，將線段繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段若點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】過作軸于點，通過證得，得出，，可得點的坐標(biāo)，【詳解】解：過作軸于點，如圖：

，，，，，，，，，點A的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．題型06平面直角坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)作圖【例題】（2024上·吉林松原·九年級校聯(lián)考期中）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平而直角坐標(biāo)系，的頂點都在格點上，已知點，．(1)將向右平移個單位長度得到，請畫出；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，畫出所得的．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平移作圖，旋轉(zhuǎn)作圖；（1）根據(jù)題意將向右平移個單位長度得到；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出．【詳解】（1）如圖，即為所求．（2）如圖，即為所求．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川自貢·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點，，均在格點上，(1)畫出將向下平移4個單位長度得到的；(2)畫出繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標(biāo)；【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析，點的坐標(biāo)【分析】本題主要考查了作圖平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可畫出圖形；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可畫出圖形，從而得出點的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；∴點的坐標(biāo)．2．（2024上·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是單位1，是格點三角形．(1)畫出將向右平移2個單位得到的；(2)畫出將繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，并寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析，【分析】（1）分別找到點向右平移2個單位得到的對應(yīng)點，順次連接即可；（2）分別找到點繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的對應(yīng)點，順次連接即可得到所求的，再寫出點的坐標(biāo)即可；此題考查了平移和旋轉(zhuǎn)的作圖，熟練掌握作圖方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如解圖，即為所求；（2）如圖，即為所求，點的坐標(biāo)為．題型07坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題【例題】（2023上·山東淄博·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點，，對連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，則三角形（2019）的直角頂點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)規(guī)律型問題，解決本題的關(guān)鍵是找到循環(huán)節(jié)，確定循環(huán)的次數(shù)．先用勾股定理求出的長，從而得到的周長為12，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換可得的旋轉(zhuǎn)變換為每3次一個循環(huán)，由于，由此可判斷三角形（2019）與三角形（3）的狀態(tài)一樣，然后計算即可得到三角形（2019）的直角頂點坐標(biāo)．【詳解】∵，，，，的周長，觀察發(fā)現(xiàn)每連續(xù)3次旋轉(zhuǎn)后與原來狀態(tài)一樣，，∴三角形（2019）與三角形（3）的狀態(tài)一樣，∴三角形（2019）的直角頂點的橫坐標(biāo)為，∴三角形（2019）的直角頂點的坐標(biāo)為，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·遼寧鞍山·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點、分別落在點、處，點在軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在軸上，依次進(jìn)行下去…，若點、，則點的橫坐標(biāo)為．

【答案】【分析】可求，，，，可得當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，即可求解．【詳解】解：由題意得，，，，，，，，，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)時，，，故答案∶【點睛】本題考查了動點坐標(biāo)規(guī)律，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵你．2．（2023下·廣西·七年級廣西大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）如圖，已知點，將長方形ABOC沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)241次，點A依次落在點，，，…，的位置，則的坐標(biāo)是．【答案】【分析】先求出，，，，，找到規(guī)律求解．【詳解】解：由題意得：從A開始翻轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時，A回到矩形的起始位置，所以為一個循環(huán)，故坐標(biāo)變換規(guī)律為次一循環(huán)．，，，，，，，，，，，，，，，，，當(dāng)時，即，解得，橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)，故答案為：．【點睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題關(guān)鍵是找到圖形在旋轉(zhuǎn)的過程中，點坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而求解．題型08旋轉(zhuǎn)綜合題——幾何變換【例題】（2023上·北京朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點為邊上一點（不與點重合），連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．

(1)若，寫出旋轉(zhuǎn)角及其度數(shù)；(2)當(dāng)度數(shù)變化時，與之間存在某種不變的數(shù)量關(guān)系．請你寫出結(jié)論并證明．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角為；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得出，，即可求解；【詳解】（1）當(dāng)時，，∵旋轉(zhuǎn)得到，其中旋轉(zhuǎn)到.∴旋轉(zhuǎn)角為；（2）∵，，∵旋轉(zhuǎn)得到，，，即，，即，；【點睛】該題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河南濮陽·八年級統(tǒng)考期中）已知：如圖1，中，，D、E分別是、上的點，不難發(fā)現(xiàn)、的關(guān)系．(1)將繞A點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，寫出、的數(shù)量關(guān)系；(2)當(dāng)時，將繞A點旋轉(zhuǎn)到圖3位置．①猜想與有什么數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請就圖3的情形進(jìn)行證明；②當(dāng)點C、D、E在同一直線上時，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①，，證明見解析，②或【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）證明，即可作答；（2）①同理先證明，即有，，在和中，根據(jù)，，即有，則有，問題得解；②分兩種情況：第一種：當(dāng)點C、D、E在同一直線上，且點D在線段上時，第二種：當(dāng)點C、D、E在同一直線上，且點E在線段上時，畫出圖形，結(jié)合在等腰中，，以及，即可作答．【詳解】（1）∵，

即，在和中，，，，∴∴；（2）①，，證明：如圖，交于點F，交于點M，∵，∴，

即，在和中，，，，∴∴，，在和中，∵，，∴，∵，∴，∴，因此，；②如圖，當(dāng)點C、D、E在同一直線上，且點D在線段上時，如圖I所示，在等腰中，，∵，∴，∴；當(dāng)點C、D、E在同一直線上，且點E在線段上時，如圖II所示，在等腰中，，∵，∴，∴；故的度數(shù)為：或．2．（2023上·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期中）如圖，和都是等腰直角三角形，．(1)【猜想】如圖1，點在上，點在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)【探究】：把繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，連接，，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說明理由；(3)【拓展】：把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)A，，三點在同一直線上時，直接寫出的長．【答案】(1)，(2)（1）中的結(jié)論成立，理由見解析(3)或【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，得出，再用，即可得出結(jié)論；（2）先由旋轉(zhuǎn)得出，進(jìn)而判斷出，得出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；（3）分兩種情況，①當(dāng)點E在線段上時，過點C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論；②當(dāng)點E在線段的延長線上時，過點C作于N，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，，∴，，，，∵，，故答案為：；（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由：由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，，，，，；（3）解：①當(dāng)點E在線段上時，如圖3，過點C作于M，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；②當(dāng)點D在線段上時，如圖4，過點C作于N，∵是等腰直角三角形，且，∴，，，在中，，，，在中，，，在中，；綜上，的長為或．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024上·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）垃圾分類是對垃圾收集處置傳統(tǒng)方式的改革，是對垃圾進(jìn)行有效處置的一種科學(xué)管理方法.你認(rèn)識垃圾分類的圖標(biāo)嗎？請選出其中的旋轉(zhuǎn)對稱圖形（

）A．可回收物

B．有害垃圾

C．廚余垃圾

D．其他垃圾

【答案】A【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確記憶相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．如果某一個圖形圍繞某一點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，那么這個圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，由此即可判斷．【詳解】解：選項A能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，所以都是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；選項B、C、D不能找到這樣的一個點，使圖形繞這個點旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于）后能與原圖形重合，所以不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形．故選：A．2．（2024上·河北唐山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定旋轉(zhuǎn)角以及旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)角相等是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：，，∴，故選：C3．（2024上·江西上饒·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含有的直角三角板（假定，）繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，得到，即可得到答案．【詳解】解：依題意得，，，，．故選B．4．（2024上·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，那么的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，全等三角形的性質(zhì)與判定，由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段可以得出，，作軸于，軸于，就可以得出，就可以得出，，由的坐標(biāo)就可以求出結(jié)論．【詳解】解：線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，

，．作軸于，軸于，．，，．在和△中，，，∴，．∵，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，點的坐標(biāo)的運用，正確作出輔助線并證得是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，以下結(jié)論：①，②，③，④，正確的有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理和等邊對等角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，然后利用三角形內(nèi)角和定理和等邊對等角逐項求解判斷即可．【詳解】①繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，故①正確；②繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，．，．，．∴，故②正確；③在中，，，．．與不垂直，故③不正確；④在中，，，．，故④正確．①②④這三個結(jié)論正確．故選：D．二、填空題6．（2023上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，若點D在線段的延長線上，則的大小為．【答案】/39度【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)；掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，，利用等邊對等角，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：，，故答案為：．7．（2023上·安徽淮南·九年級統(tǒng)考期末）如圖將繞點旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行坐標(biāo)與圖形的變化，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點、關(guān)于點成中心對稱是解題的關(guān)鍵，還需注意中點公式的利用，也是容易出錯的地方．設(shè)點的坐標(biāo)是，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的對應(yīng)點關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對稱，再根據(jù)中點公式列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，點、關(guān)于點對稱，設(shè)點的坐標(biāo)是，則，，解得，，點的坐標(biāo)是．故答案為：．8．（2024上·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，此時點恰在邊上，若，，則的長為．【答案】3【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，即可求解．【詳解】解：∵將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，，，，，，故答案為：3．9．（2024上·天津?qū)幒印ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點，點，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得，點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，．如圖，當(dāng)點落在邊上時，旋轉(zhuǎn)角的大小為，點的坐標(biāo)為．【答案】/45度【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，由點，點得出，從而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，當(dāng)點落在邊上時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，求出即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：點，點，，是等腰直角三角形，，，當(dāng)點落在邊上時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，旋轉(zhuǎn)角的大小為，，點的坐標(biāo)為，故答案為：，．10．（2024上·遼寧盤錦·九年級校考期末）如圖，，，，，點D為的中點，點E在的延長線上，將繞點D順時針旋轉(zhuǎn)度得到，當(dāng)是直角三角形時，的長為．【答案】10或【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)勾股定理可求出，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，從而得到．再分情況討論：①當(dāng)時；②當(dāng)時，利用勾股定理分別求解，即可得到答案．利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，，由勾股定理得：，，，繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到，，點D為的中點，，①當(dāng)時，

，，；②當(dāng)時，

在中，，在中，，綜上可知，的長為10或．故答案為：10或．三、解答題11．（2023上·重慶忠縣·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，．(1)將繞坐標(biāo)原點O順時針旋轉(zhuǎn)為，寫出點、、的坐標(biāo)，并在圖中作出；(2)求的面積．【答案】(1)圖見解析，，，，(2)【分析】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，在網(wǎng)格圖中求三角形的面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點、、的坐標(biāo)，畫圖即可．（2）利用割補法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．點、、．（2）解：的面積為．12．（2024上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點E是正方形內(nèi)一點，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置（），連接．(1)判斷的形狀為；(2)若，，，求的度數(shù)．【答案】(1)等腰直角三角形(2)【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理逆定理．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論；（2）勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，即可得出結(jié)論．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，∴，∴為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形；（2）∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴．13．（2024上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，延長交于點F．(1)直接寫出的度數(shù)；(2)若，求證：．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，正確畫出輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，結(jié)合得出，即可得出結(jié)論；（2）連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，則，進(jìn)而得出，則，根據(jù)三線合一得出，即可求證．【詳解】（1）解：∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：連接，∵繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．14．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個鈍角（其中）繞點順時針旋轉(zhuǎn)得，使得點落在的延長線上的點處，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而得出，為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得，即可推出；（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∴．15．（2024上·甘肅武威·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，點在邊上，，將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接、與交于點．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）證明即可求證；（）由，得到，再根據(jù)得到，由三角形的外角性質(zhì)即可求出的度數(shù)；本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．16．（2024上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，，分別交于點F，G，連接．

(1)求證：；(2)若，，．①求的長；②連接，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)①；②5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)