福建省福州市六校2022-2023學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

福建省福州市六校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期

期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

]已知集合A={—1，°，1，2,3},8={x|x?—3x<0},則AB=（）

A.{-1}B.{1,2}

C.{1,2,3}D.{-1,0,1,2}

K答案XB

KMB={x\x1-3x<0}={x\0<x<3],由A={T,0,l,2,3}得AB={1,2}

故選：B

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù)的是（）

A.y=—|x|B.y=x2-2x

1

C.y=sinxD.y=x——

x

K答案XD

（解析U對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x>0時(shí)，y=-|x|=-%,則y=一|x|在（0,+司上單調(diào)遞減；

對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)y=k-2x在區(qū)間（0,+。）上不單調(diào)；

對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)y=sinx在（0,+“）上不單調(diào)；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)丁=%、y=—工在（0,+。）上均為增函數(shù)，

X

所以，函數(shù)丁=%一!在（0,+8）上為增函數(shù).故選：D.

X

3.設(shè)"=1g2,b=cos2,c=2°,，貝IJ（）

A.b<c<aB.c<b<a

Cb<a<cD.a<b<c

K答案1c

（解析》根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=lgx在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增可知0=lglvlg2<Igl0=l,

即Q￡（0,l）；

TT

由三角函數(shù)y=cosx單調(diào)性可知b=cos2<cos—=0；

2

利用指數(shù)函數(shù),=2工單調(diào)遞增可得C=2°-2〉2°=1;所以6<a<c.故選：C

4.已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，設(shè)AB=a，AD=b，AC=c，貝||k一6+。|=（）

A.1B.2C.3D.4

（答案》B

K解析?因?yàn)锳BC。是邊長(zhǎng)為1的正方形，AB=a,AD=b,AC=c,

所以a—b+c=AB—AD+AC=AB—AD+^AB+AD）=2AB

uun????

又A3=l,所以b+c|=|2叫=2,故選：B

5.函數(shù)/'（x）=sin2x-tanx是（）

A.奇函數(shù)，且最小值為0B.奇函數(shù)，且最大值為2

C.偶函數(shù)，且最小值為0D.偶函數(shù)，且最大值為2

［答案XC

（解析X由題可知，/（x）=sin2x-tanx的定義域?yàn)椴?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

且/（X）=sin2x-tanx=2sinxcosx?紗"=2sin2x,

cosx

/（-x）=2sin2（-x）=2sin2x=f（x）,即函數(shù)八元）為偶函數(shù)；

所以/(%)=2sin2%=l-cos2x,%wT+E,%￡Z,又COS2%E(-L1],

即/(x)=1-cos2xG[0,2),可得函數(shù)人尤）最小值為0,無(wú)最大值.故選：C

x-c.x>0,

6.設(shè)ccR,函數(shù)/(%)=<2c八若AX）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

2x-2c,x<0.

A.(0,1)B.{0}U[l,+8)

C.(0,1)D.{0}嗚,+8)

［答案』D

x,x>0

K解析H畫(huà)出函數(shù)g（九）=2八的圖象如下圖所示:

2x,x<0

x-c,x>0,x,x>Q,

函數(shù)/（尤）=<可由g(x)=<2八分段平移得到,

2—2c,x<0.2x,x<0.

易知當(dāng)C=0時(shí)，函數(shù)/（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意；

當(dāng)c<0時(shí)，代表圖象往上平移，顯然沒(méi)有零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)c>0時(shí)，圖象往下平移，當(dāng)0<2c<l時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn);

當(dāng)2c21時(shí)，/（幻恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，即c2,；

2

綜上可得c的取值范圍是{0}ug,+"）.

故選：D

7.已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸.則“C的離心率為2”是"C的一條漸近

線為y=的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

［答案XD

212

K解析?若雙曲線。的離心率為2,則e?=鼻=1+4=4,

aa

所以4_=3,若雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，則漸近線方程為y==

aa

若雙曲線。的焦點(diǎn)在y軸上，則漸近線方程為y=±-x^±—x；

b3

所以“C的離心率為2”不是“C的一條漸近線為y=gx”的充分條件；

反之，雙曲線。的一條漸近線為丁=島，

若雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，則漸近線方程為'=±2工=±&，所以2=百,

aa

離心率e=Ji+(=2;

Va

若雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，則漸近線方程為y=±fx=±A，所以2=立,

ba3

所以“C的離心率為2”不是“C的一條漸近線為y=后”的必要

條件;

綜上：“C的離心率為2”是“。的一條漸近線為y=的既不充分也不必要條件,

故選：D.

兀

8.已知△ABC中，角A,5滿足sinA-cos3+A+3<—,則下列結(jié)論一定正確的是（）

2

AsinA<cosCB.sinA>cosB

C.sinB<cosAD.sinC<sinB

K答案1c

71

K解析U.sinA-cosB+A+B<—,

2

TTfTTA7T

/.sinA+A<COSBH-----B=sin-----BH------B,

2^2)2

設(shè)函數(shù)/(x)=sinx+x,上面不等式即為3

X/(x)=l+cosx>0,\/(x)是R上的增函數(shù)，

JT

A<——B,而A,3是三角形內(nèi)角,

2

八.7L_7t.__7t_,7C

0<A<-B<一,即A+a5rI<—,/.C>一,

2222

.\sinA>0,cosC<0,故A錯(cuò)誤；

/.sinA<sin^-1-B^=cosB,故B錯(cuò)誤；

r.cosA〉cos[]—BjusinB,故C正確；

由C>8,c>b,

由正弦定理可得sinC>sin6,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

B.一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都相同

C.一組數(shù)6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的90%分位數(shù)為5

D.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)的方差為4.7,則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲

（答案』AB

k解析』對(duì)于A中，根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計(jì)算公式.=a十二十+/

n

若將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2后，平均數(shù)也變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，所以A正確;

對(duì)于B中，數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的平均數(shù)為x=-----------------------=3,

6

3+3

由眾數(shù)和中位數(shù)的概念，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3,中位數(shù)為——=3,

2

所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都相同，所以B正確；

對(duì)于C中，將數(shù)據(jù)從小到大排序，可得1,2,2,2,3,3,3,4,5,6,

因?yàn)?0x90%=9,所以90%分位數(shù)為"9=5.5,所以C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D中，若甲組數(shù)據(jù)的方差為5,乙組數(shù)據(jù)的方差為4.7,

根據(jù)方差的概念，可得這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，所以D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.已知a>0,b>0,且a+b+2"—4=0,貝U()

A.a+Z?的最大值為2B.a+b的最小值為2

C.ab的最大值是1D.ab的最小值是1

K答案XBC

K解析X因?yàn)閍+》+2a。一4=0,所以a+b=4—2ab24—，當(dāng)且僅當(dāng)。=b

時(shí)等號(hào)成立，所以(a+b)2+2(tz+Z?)-8>0,解得a+bV或a+2.因?yàn)椤?gt;0,〃>0,

所以a+Z?22,故A錯(cuò)誤，3正確；

因?yàn)閍+/?+2a/?—4=0,所以2az>=4—(。+》)<4—2而，當(dāng)且僅當(dāng)。=》時(shí)等號(hào)成立，

所以2a6+2J茄—4V0,因?yàn)楸?gt;0,所以解得而W1，所以故C正確，。錯(cuò)

誤.

故選：BC.

11.在四棱錐P—ABCD中，底面ABC。是正方形，平面ABC。，點(diǎn)E是棱PC的

中點(diǎn)，PD=AB，貝I()

A.AC1PB

B.直線AE與平面所成角的正弦值是正

6

7T

C.異面直線A。與PB所成的角是一

4

D.四棱錐P-ABCD的體積與其外接球的體積的比值是拽

27萬(wàn)

(答案UAB

(解析1如圖，連接3D.

因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以J.AC,

因?yàn)?？平面ABC。，所以LAC,

所以AC,平面PfiO,則AC_LPB,故A正確.

由題意易證AD，CD,PZ)兩兩垂直，故建立如圖所示的空間坐標(biāo)系。-孫z.

設(shè)AB=2,則4(2,0,0),5(2,2,0),0(0,0,0),￡(0,1,1),尸(0,0,2),

從而AD=(—2,0,0),AB=(0,2,0),AE=(-2,1,1),PB=(2,2,-2).

n-AB=2y=0

設(shè)平面RW的法向量"=(九,y,z)則

n?PB=2%+2y-2z=0

令x=l,得”=(1,0,1).設(shè)直線AE與平面B鉆所成的角為e,

-2+1=昱

則sin。=cos(AE,n,故B正確.

岳義拒~~6

I-2x2IV3

設(shè)異面直線AD與PB所成的角為戊，則cosa=cos(AD,PB

\2xjn\3

7T

從而。w一,故c錯(cuò)誤.

4

Q

四棱錐尸—A5CD的體積h=-,

3

PBi-

由題意可知四棱錐P-A5CD外接球的半徑R=——=6

2

則其體積K=-TZ-7?3=-TZ-X(73)3=4^,

'33

從而四棱錐P-ABCD的體積與其外接球的體積的比值是匕=空，故D錯(cuò)誤.

匕9萬(wàn)

故選：AB.

S28

12.己知S”為等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，q=1,(■=不，記々=(—1)"a：，c”=[1g%],

1D

其中國(guó)是高斯函數(shù)，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[lg0.9]=0,[lg99]=l,則下列說(shuō)法

正確的是（）

111n

A.a=nB--1---1--1--=---

n,耳邑n+1

C.a+b2T---FA]。。—5050D.q++。3---1~q()o0=1893

K答案』ACD

(q+%)x7

S17〃A28

k解析》由s.為等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，所以U=7—V^=-=—,即

['S5(〃i+%)x55a315

2

4

a33'

,、a,a+3d4

又4=1,設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,所以在=4+2“=”所以d=l，

所以a“=〃，故A正確;

,(1+n\n12

由選項(xiàng)A可知S“=^^——所以丁=兀一]

2S，,。+5

1

所以—I---1---1---=2

Si邑Snn+1

=24-In

故B錯(cuò)誤;

I?+lJn+1

由選項(xiàng)A可知2=（—1）”所以％,=4/,%1=_（2"—1）2,

所以%+%1=4/—（2〃—1）2=4〃—1,即數(shù)列｛2"+偽“一]｝是首項(xiàng)為3,公差為4的等

差數(shù)列,

?

所以a+b2+---+bl00=3+&)+(4+d)+一+僅99+4oo)

=(3+4x50—1)x50=5050，故C正確；

2

由選項(xiàng)A可知%=[lg??]=[lg?]>

當(dāng)〃?1,9]且〃eN*時(shí),G=0；

當(dāng)〃e[10,99]且“eN*時(shí)，J=l；

當(dāng)〃e[100,999]且〃cN*時(shí)，%=2；

當(dāng)”=1000時(shí),C?=3；

所以G+02+C3"I---1-Cjooo=9x0+90x1+900x2+3=1893,故D正確.

故選:ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

0?

13.復(fù)數(shù)z=」，則目=.

1+z

（答粒0

（解析Xz=^7=J'，，）,、=’（1_i）=]+7,因此，|z|=712+l2=72.

1+z+11

故（答案』為：V2.

14.已知拋物線,2=2勿5>0）的頂點(diǎn)為。，且過(guò)點(diǎn)A5.若乙。鉆是邊長(zhǎng)為4百的等

邊三角形，則夕=.

K答案H1

K解析H設(shè)4&,%）,3（孫%），則|。4|=|0目，

2

即X：+yj_*羨+乂？nX：+2pX1=x2+2px2,

所以（%—%）（毛+々+2p）=0,由于/>0,々>0,二>0,又2P>0,所以

xl+x2+2pj^0,因此不一々=0,故A,3關(guān)于x軸對(duì)稱，

由3=4g,?AQx30得A（6,2g,將A（6,2碼代入拋物線中得12=12p,所以

。=1,故（答案』為：1

15,設(shè)A（cos（z,sina）,3（2cosP，2sin/7）,其中當(dāng)e=兀,時(shí)，|A8|=；當(dāng)

|AB|=J5時(shí)，￡一分的一個(gè)取值為一.

K答案》①括②答案》不唯一）

（解析I根據(jù)題意可得當(dāng)&=兀,/?=]時(shí)，可得4（—1,0）,6（0,2）,

所以|=,/(-l-O)2+(O-2)2=y/5;

SIAS!時(shí)，即(0050-2(：05尸)2+卜m0-25垣/)2=3,

整理可得5—4(cos<zcos夕一sin(zsin")=3,即cos

可得。―分=±§TT+2依，所以￡一，的一個(gè)取值為T(mén);T.

故K答案U為：

16.若不等式—2K%2—2公+〃4_1有唯一解，則〃的值為.

k答案』上好

2

K解析X由題意可知，不等式—2<爐—2ax+a<—1有唯一解，

令〃x)=%2—2依+/要使T有唯一解，

只需使/(%)與y=T有一個(gè)交點(diǎn)，即方程了2-2ax+々=一1有唯一解，

即方程/_2℃+4+1=0有唯一實(shí)數(shù)根，

.?.A=4a2-4(a+l)=0,即4a4a—4=0,解得：^=1^.

故(答案》為：又回.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.如圖，在JRC中，NA=g,AC=O,CD平分/ACB交A3于點(diǎn)。，CD=6

(1)求/ADC的值；

(2)求△BCD的面積.

ACCD

解：(1)在zwc中，由正弦定理得二--------=-——

sinZADCsinZA

砥.271

所以sinZADC=A，,sin.4=——_i_=變,

CD#12

jr

因?yàn)?</ADC<—,

3

71

所以

27rTTIT

（2）由（1）得/ACD=/BCD=TI---------=—,

3412

JT

由題設(shè)，NB=ZACB=7,即ABC為等腰三角形,

6

所以BC=2xACxcos工=用，

6

.「兀兀、百81V2V6-V2

S1D-----------=——X-------------------X=-------------------,

（34）22224

所以△BCD的面積SVBCD=BC-CD-sinZBCD=^xy/6xy/3sin-^=^^^.

18.如圖，在多面體ABCDEE中，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形A即是直

角梯形，其中NABE=90。，AF//BE,且?！?AF=35￡=3.

（1）證明：平面A3EF，平面ABCD；

（2）求平面CDE和平面DEF夾角的余弦值.

連接50.因?yàn)锳BC。是邊長(zhǎng)為2正方形，所以3。=20，

因?yàn)镈E=3BE=3,所以BE=1>DE=3,

所以BE?+BD?=DE?，則5石_L5D.

因?yàn)镹ABE=90。，所以

因?yàn)锳B,8￡＞u平面ABC。，所以BE,平面ABC。,

因?yàn)?Eu平面筋防，所以平面AMFJ_平面ABCD.

（2）由（1）知AB，AF-兩兩垂直，故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線A5，AF-AD

分別為x軸，＞軸，z軸的正半軸

建立如圖所示的空問(wèn)直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.

UUUL

則。（0,0,2）,F（0,3,0）,￡（2,1,0）,C（2,0,2）,故。￡=（2,1,-2）,DC=（2,0,0）,

m-DE-2%+%-24=0

FD=（0,-3,2）.設(shè)平面DEF的法向量為m=（xi,yl,zi）,則＜

m-FD=-3%+2zj=0

令4=3,則加=（2,2,3）

n-DE-2X+yN2-2z2=0

設(shè)平面的法向量為〃=（X2，%，Z2），則,2

n?DC=2X2=0

令Z2=1,則幾=（0,2,1）.

/\m-n4+37A/§5

記平面CQE和平面?！攴綂A角為夕，貝hos6=宣空.

85

19.在遞增的等比數(shù)列｛%｝中，a2a5=32,a3+a4=12.

（1）求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

（2）若a=（—I）%.*],求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和5“.

a3a4=%%―32

解：（1）由題意可得＜%+。4=12,

%＜/

解得%=4,a4=8,則q=1,q=2.

故a“=aq"T=2"T.

(2)由⑴可得4+i=2",則/=(—

23

故篦=4+打+a++bn=-2+2-?+.+(—1)〃2"

_-2x[l-(-2)n](—2嚴(yán)+2

=1-(-2)=3'

20.已知函數(shù)/(x)=e*—cosx.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=^/'(x)-/O),證明：g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

⑶判斷與的大小關(guān)系，并加以證明.

解：(1)/'(x)=e*+sinx,所以/(0)=。，/'(0)=1.

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(o,/(O))處的切線方程為y=X.

(2)由題設(shè),=x(ex+sinx)—(ex—cosx)=(x—l)ex+xsin%+cosx.

所以g'(x)=x(ex+cosx).

當(dāng)尤>0時(shí)，因?yàn)閑"+cosx>e°+cosx=l+cosx》0,所以g'(九)>。.

所以g(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

⑶3小40

證明如下：

設(shè)h(x)=73,xG(0,+QO).

X

貝頻)=必？3=w

XX

由(2)知g(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0.

所以，(x)>0,即以x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

所以咽>*)，即3佃

2

21.已知橢圓C：二+y1(〃>6〉0)的離心率為3,且橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距

ab2

離最長(zhǎng)為3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

AB

(2)過(guò)點(diǎn)歹的直線,與橢圓C交于A3兩點(diǎn)，45的中垂線4與x軸交于點(diǎn)G,試問(wèn)后

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

〃+c=3

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意可得：〈，解得：4=2,b=^/3，c=1,

a~2

a1=Z?2+c2

22

???橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+2L=1.

43

（2）當(dāng)直線/斜率不為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為％=陽(yáng)+1,A（玉,yj,B（x2,y2）,AB

的中點(diǎn)為

x=my+1

聯(lián)立ify2整理得:（3m2+4）V+6zny-9=0,

—+—=1

143

由題意可知5"則乂+%=一藐二，%%=一藐節(jié)

12（蘇+i

：.\AB\

3m°+4

-3m4

H為AB的中點(diǎn)，；?%=x=my+1=