黃金卷03高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新題型地區(qū)專用）黃金卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．?dāng)?shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位數(shù)為（

）A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7【答案】B【解析】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位數(shù)為.故選：B2．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，由題意可得：，解得.故選：A.3．若數(shù)列為等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要不充分條件【答案】C【解析】若數(shù)列的公比為，由，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故充分性成立；由，故，若，則，故必要性不成立；故選：C4．已知α、β是空間中兩個(gè)不重合的平面，m、n是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】D【解析】A：若，，則或，錯(cuò)；B：若，，則與相交或，不一定有，錯(cuò)；C：若，，，則平行或相交，錯(cuò)；D：若，，則直線的方向向量分別為的法向量，又，即平面法向量垂直，所以，對(duì).故選：D5．將5本不同的書(shū)（2本文學(xué)書(shū)、2本科學(xué)書(shū)和1本體育書(shū)）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書(shū)，每本書(shū)只能分給一人，其中體育書(shū)只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（

）A．78 B．92 C．100 D．122【答案】C【解析】若將體育書(shū)分給甲，當(dāng)剩余4本書(shū)恰好分給乙、丙時(shí)，此時(shí)的分配方法有種，當(dāng)剩余4本書(shū)恰好分給甲、乙、丙三人時(shí)，此時(shí)的分配方法有種.綜上，將體育書(shū)分給甲，不同的分配方法數(shù)是.同理，將體育書(shū)分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.故不同的分配方法數(shù)是.故選：C6．正邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】正邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，由于點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，，由于，故：，則：，，當(dāng)時(shí)，，即．故選：A．7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故選：D8．已知雙曲線的左頂點(diǎn)為是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，設(shè)，則.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，整理得，則，解得.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)z滿足，則B．若復(fù)數(shù)、滿足，則C．若復(fù)數(shù)、滿足，則D．若，則的最大值為【答案】AD【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，于是，，A正確；對(duì)于B，令復(fù)數(shù)、，顯然，滿足，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，復(fù)數(shù)、，滿足，而，顯然，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，表示點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，因此，即的最大值為，D正確.故選：AD10．已知函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．要想得到的圖象，只需將的圖象向左平移個(gè)單位C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是【答案】AC【解析】由圖得，所以，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圖象上，所以，，因?yàn)?，所以，可得，故A正確；對(duì)于B，將的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．在處的切線斜率為7C． D．對(duì)【答案】ACD【解析】由題意定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足令，則，令，則，即，故為奇函數(shù)，A正確；由于，故，即，則為偶函數(shù)，由可得，由，令得，故，令，則，B錯(cuò)誤；又，則，令，則，由柯西方程知，，故，則，由于，故，即，則，C正確；對(duì),故，D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．設(shè)集合，，則，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，或，若滿足，則，又因?yàn)?，所以，解?13．已知正四棱臺(tái)中，，若該四棱臺(tái)的體積為，則這個(gè)四棱臺(tái)的表面積為．【答案】【解析】如圖所示：設(shè)分別為底面的中心，分別為的中點(diǎn)，且有，設(shè)正四棱臺(tái)的上底面面積、下底面面積、側(cè)面積分別為、、，由，即得，，所以，，又及，所以有，解得.由勾股定理可得斜高，所以，從而.14．若，則的最大值為．【答案】【解析】由題意得：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，即，則有，則，,有在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，即、時(shí)，有最大值，即的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1），求函數(shù)的最小值；（2）若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以，令，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，則有，因此當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，顯然，于是有當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；（2）由，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上恒成立，由，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，要想在上恒成立，只需，因此的取值范圍為.16．（15分）某地政府為推動(dòng)旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展、加快旅游產(chǎn)業(yè)化建設(shè)，提出要優(yōu)化傳統(tǒng)業(yè)態(tài)，創(chuàng)新產(chǎn)品和服務(wù)方式，培育新業(yè)態(tài)新產(chǎn)品、新模式，促進(jìn)康養(yǎng)旅游快速發(fā)展.某景區(qū)為了進(jìn)一步優(yōu)化旅游服務(wù)環(huán)境，強(qiáng)化服務(wù)意識(shí)，全面提升景區(qū)服務(wù)質(zhì)量，準(zhǔn)備從m個(gè)跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)和6個(gè)私家游團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取幾個(gè)團(tuán)隊(duì)展開(kāi)滿意度調(diào)查.若一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)，全是私家游團(tuán)隊(duì)的概率為.（1）若一次抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)，在抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)是同類型團(tuán)隊(duì)的條件下，求這3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)的概率；（2）若一次抽取4個(gè)團(tuán)隊(duì)，設(shè)這4個(gè)團(tuán)隊(duì)中私家游團(tuán)隊(duì)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）由題意知共有個(gè)團(tuán)隊(duì)，一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)的情況有種，其中全是私家游團(tuán)隊(duì)的情況有種，故一次抽取2個(gè)團(tuán)隊(duì)，全是私家游團(tuán)隊(duì)的概率是，整理得，解得或（舍去），若一次抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是私家游團(tuán)隊(duì)，則共有種情況，若一次抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)，則共有種情況，所以在抽取的3個(gè)團(tuán)隊(duì)是同類型團(tuán)隊(duì)的條件下，這3個(gè)團(tuán)隊(duì)全是跟團(tuán)游團(tuán)隊(duì)的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3，4，，，，，，故的分布列為01234P數(shù)學(xué)期望.17．（15分）如圖，在四棱錐中，，，，．（1）證明：平面；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）為，，所以，所以.又，且，平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，，則，且，可知，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作軸垂直于，又由（1）知平面，分別以，所在直線為，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，.因?yàn)?，則，可得，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．（17分）已知點(diǎn)N在曲線C：上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)C，D是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，證明：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)N在曲線上，所以，因?yàn)?，所以，代入可得，即，即的方程為；?）因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，所以，當(dāng)C、D為橢圓頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)C、D不是橢圓頂點(diǎn)時(shí)，可得直線OC的斜率存在且不等于零，可設(shè)直線OC的方程為，則直線OD的方程為，由，得，所以同理可得，，，所以綜上，為定值.19．（17分）如果無(wú)窮數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：①、，，使得；②，、，使得，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.（1）下列無(wú)窮等差數(shù)列中，是“數(shù)列”的為_(kāi)__________；（直接寫(xiě)出結(jié)論）、、、、、、、、、、、、（2）證明：若數(shù)列是“數(shù)列”，則且公差；（3）若數(shù)列是“數(shù)列”且其公差為常數(shù)，求的所有通項(xiàng)公式.【答案】（1）、；（2）證明見(jiàn)解析；（3）或【解析】（1）由“數(shù)列”的定義可知，數(shù)列、為“數(shù)列”.（2）證明：若，則由①可知，所以或，且公差，以下設(shè).由①，、，，，兩式作差得，因?yàn)?，所?由①，、，，，兩式作差得，因?yàn)?，所以，因此?若，則等差數(shù)列是遞減數(shù)列，由①為中的項(xiàng)，因此，，解得，由且公差，所以或，，，由①，為中的項(xiàng)，且，這與等差數(shù)列遞減矛盾，因此，不成立.綜上，且公差.（3）因?yàn)?/p>