高中數學概率論與數理統計知識點總結

《概率論與數理統計》復習參考資料

第一章隨機事件及其概率

§1.1隨機事件

一、給出事件描述，要求用運算關系符表示事件:

二、給出事件運算關系符，要求判斷其正確性：

§1.2概率

A所含樣本點數

古典概型公式：P(A)=

Q所含樣本點數

實用中經常采用“排列組合”的方法計算

補例1：將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多

少？解：設A：“每個盒子恰有1個球”。求：P(A)=?

Q所含樣本點數：n-n-...-n^nH

A所含樣本點數：〃?(〃——2)?…?1="！

補例2：將3封信隨機地放入4個信箱中，問信箱中信的封數的最大數分別為

1、2、3的概率各是多少？

解:設Ai："信箱中信的最大封數為i”。(i=1,2,3)求:P(Ai)=?

Q所含樣本點數：4.4-4=43=64

A1所含樣本點數：4.3-2=24

A2所含樣本點數：C3?4-3=36

A3所含樣本點數：Cf-4=4

注：由概率定義得出的幾個性質：

1、0<P(A]<1

2、P(Q)=1,P(6)=0

§1.3概率的加法法那么

定理：設A、B是互不相容事件(AB=6),那么：

P(AUB)=P(A)+P(B)

推論1：設Al、A2、…、An互不相容，那么

P(Al+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

推論2：設Al、A2.........An構成完備事件組，那么

P(A1+Az+…+An)—1

推論3：P(A〕=1—PU)

推論4：假設BnA,那么P(B—A)=P(B)—P(A)

推論51廣義加法公式)：

對任意兩個事件A與B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

補充——對偶律：

§1.4條件概率與乘法法那么

條件概率公式:

P(A/B)=B^(P(B)WO)

P(B/A)=(P(A)WO)

.*.P(AB〕=P(A/B〕P(B)=P(B/A〕P(A)

有時須與P(A+B)=P(A)+P(B〕-P(AB)中的P(AB)聯系解題。

全概率與逆概率公式:

全概率公式：

逆概率公式：

〔注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第

二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步

某事件的概率，就用逆概率公式。）

§1.5獨立試驗概型

事件的獨立性:貝努里公式（n重貝努里試驗概率計算公式）:課本P24

另兩個解題中常用的結論——

1、定理：有四對事件：A與B、A與6、A與B、A與5,如果其中

有一對相互獨立，那么其余三對也相互獨立。

2、公式：尸（A1一尸（A

第二章隨機變量及其分布

一、關于離散型隨機變量的分布問題

1、求分布列：⑴確定各種事件，記為J寫成一行；

⑵計算各種事件概率，記為pk寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。

注意:應符合性質——

1、pk>0（非負性）2、EPk=l（可加性和標準性）

k

補例1：將一顆骰子連擲2次，以4表示兩次所得結果之和，試寫出旗勺概率

分布。解：。所含樣本點數：6X6=36

所求分布列為:

23456789101112

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

Pk

用牛：sz加目《干少與、奴：—iu

所求分布列為：2、

4345

分布函數

Pk1/103/106/10

二、關于連續(xù)型慨

VxWR,如果隨機變量4的分布函數F(x)可寫成F(x)=J：O(x)dx,

那么4為連續(xù)型。。(*)稱概率密度函數。

解題中應該知道的幾個關系式：

第三章隨機變量數字特征

一、求離散型隨機變量J的數學期望EJ=?

數學期望〔均值〕

二、設J為隨機變量，f(x)是普通實函數，那么n=f(?也是隨機變量，求En

4XiX2??.Xk

PkpiP2??.Pk

n=f(Jyiy2??.yk

以上計算只要求這種離散型的。

補例1：設g的概率分布為：

2

—i012

J2

11133

Pk

5ToToToTo

求：⑴〃=片一1,〃=￥的概率分布；(2)石〃。

解：因為

￡

—1012

J2

11133

Pk

5ToToToTo

2

若一-2—101

n12

25

n=12

1014T

所以，所求分布列為：

2

-2—101

Q=4-12

11133

Pk

5ToioToTo

和：

25

口=12114

0T

1i133

Pk5io101010

當n=J—1時，En=E(彳-1)

111333

=—2Xi+(-l)X—+0X—+1X—+-X—

5101010210

=1/4

當nW2時，En=E&2=ix1+ox—+ix—+4XA+21xA

-5101010410

=27/8

三、求J或n的方差Dj=?Dn=?

實用公式耳=石"—爐J

其中，爐4=（石《）2=（?/1

k

Ef^x\pk

k

補例2：

J-202

Pk0.40.30.3

求：EJ和DJ解：Ef=-2X0.4+0X0.3+2X0.3=-0.2

E&2=(—2〕2義0.4+02X0.3+22義0.3=2.8

=石J2—石2J=2.8—（-0.2）2=2.76

第四章幾種重要的分布

常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）

參數

名稱概率分布或密度期望方差

范圍

二項Pg=k}=C：pkq『kO<P<1

npnpq

分布(k=0,1,2,...,n)q=l—p

0(x)一,一-e2a,

正態(tài)?cr口任意

UCT2

分布xe(-oo,+oo).cr,〃為常數.o>0

泊松

不要求X入人>0

分布

指數11

不要求人〉

I￥0

分布

解題中經常需要運用的EJ和DJ的性質（同志們解題必備速查表）

EJ的性質DJ的性質

E(c)=cD(c)=0

若■〃獨立，則

若4、〃獨立，則

—

E?）=EgEr!

石（若）=c?石4Q（喈）=C?3

第八章參數估計

§8.1估計量的優(yōu)劣標準（以下可作填空或選擇〕

⑴假設總體參數9的估計量為如果對任給的￡>0,有

limP{p-e|<￡}=i,那么稱4是。的一致估計；

n—>（x）

八

⑵如果滿足E?=e,那么稱夕是。的無偏估計；⑶如果。和區(qū)均是0的

無偏估計，假設。?）<。自）,那么稱4是比a有效的估計量。

§8.3區(qū)間估計：

幾個術語一一

1、設總體分布含有一位置參數，假設由樣本算得的一個統計量a（x，..，xn）及

a（Xp."X"）,對于給定的afo<a<l）滿足：

那么稱隨機區(qū)間囪）是。的100（1—a）%的置信區(qū)間，。和女稱為，

的100（1—a）%的置信下、上限，百分數100（1—a）%稱為置信度。

一、求總體期望（均值）EJ的置信區(qū)間

1、總體方差/的類型

①據心得①o（U0）=l—￡，反查表（課本P260表〕得臨界值U”；

]〃——

②短一?③求d=U0?展④置信區(qū)間U-d,X+d）

〃z=i7n

補簡例：設總體X~N（4,0.09）隨機取4個樣本其觀測值為12.6,13.4,12.8,

13.2,求總體均值Li的95%的置信區(qū)間。

解:?VI-a=0.95,a=0.05

..?①（Ua）=l一筍.975,反查表得：21.96

一141

②X=—Zx,=—(12.6+13.4+12.8+13.2)=13

4i=i4

o03

③:。=0.3,n=4.-.d=t/a--^=1.96x^=0.29

④所以，總體均值R的a=0.05的置信區(qū)間為:

U-d,x+d)=(13—0.29,13+0.29)即(12.71,13.29)

2、總體方差丁未知的類型（這種類型十分重要！務必掌握！?。?/p>

①據a和自由度n—1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得心（”-1）；

2

②確定最=二乙七和$2=--J；（X-X7.）

nz=iw-ltr

v——

③求d=fa（〃-l）,一尸④置信區(qū)間（％-d,%+d）

y/n

注：無特別聲明，一般可保存小數點后兩位，下同。

二、求總體方差b2的置信區(qū)間

①據a和自由度n—1（n為樣本數），查表得臨界值:

片（〃T）和

22

11n-

②確定又=:乙項和/=-7Z（X—毛）2

〃日w-lti

（H-l）52（71-1）52

③上限/a5-1）下限必（…

1---——

22

④置信區(qū)間（下限，上限〕

典型例題：

補例1：課本P166之16某種木材橫紋抗壓力的實驗值服從正態(tài)分布，對

10個試件作橫紋抗壓力試驗得數據如下（單位：kg/cm2）:

482493457471510

446435418394469

試對該木材橫紋抗壓力的方差進行區(qū)間估計（a=0.04）。

解：①:a=0.04,又n=10,自由度n—1=9

???查表得，—D=/O2（9）=19.7

2

，〉ST）=/.98（9）=2.53

2

_1ioi

②乂二元二七=—（482+493+...+469）=457.5

110一1

s1=_￡（X—再）2=—[（457.5—482）2+（457.5—493尸+...+（457.5—469）2]

99

=1240.28

（"1）.9d9x1240.28

③上限力「（〃一1）二點禮2.53力以06

2

ST）/9s29x1240.28

下限5—1）=XO.O2（9）=—197—=566.63

2

④所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566.63,4412.06）

第九章假設檢驗

必須熟練掌握一個正態(tài)總體假設檢驗的執(zhí)行標準

一般思路：

1、提出待檢假設Ho

2、選擇統計量

3、據檢驗水平0,確定臨界值

4、計算統計量的值

5、作出判斷

檢驗類型⑵:未知方差檢驗總體期望（均值）口

①根據題設條件，提出Ho：〃二4（4）；

②選擇統計量圖=乙芳7（〃-1）;

③據a和自由度n—l（n為樣本容量），查表（課本P262表）得/。（〃-1）；④

由樣本值算出文=?和$=?從而得到叫=工/；

s/yln

⑤作出判斷

典型例題：

對一批新的某種液體的存貯罐進行耐裂試驗，抽查5個，得到爆破壓力的數據

（公斤/寸2）為：545,545,530,550,5450根據經驗爆破壓認為是服從正

態(tài)分布的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2,問這種新

罐的爆破壓與過去有無顯著差異？（a=0.05）

解:Ho：〃=549

選擇統計量|刀=江若~心-1）

Va-o.05,n-l=4,...查表得：氣05（4）=2.776

又,:文二g(545+…+545)=543

S2-[(545-545尸+...+(543-545尸]=57.5

4

X-JLI543-549

=1.77<2.776

s/Jn4513/45

???接受假設，即認為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。

檢驗類型⑶:未知期望（均值）U,檢驗