2024屆高三數(shù)學(xué)選填專項(xiàng)訓(xùn)練12試題含答案

2024屆高三數(shù)學(xué)選填專項(xiàng)訓(xùn)練(12)

一、單選題

1.設(shè)集合U={T，0，l，2},A={y\y=477i,X^U},則集合A的真子集個(gè)數(shù)為

A.2B.3C.7D.8

{(l—2a)x+3a,x<l,

2.已知/(%)='的值域?yàn)镽,那么〃的取值范圍是()

[Inx,x>l

A.(-oo,-1]B.(-1,C.[-1,4)D.(0,1)

3.在△ABC中，。為邊AC上的一點(diǎn)，且4D=gr>C,P為邊8。上的一點(diǎn)，且滿足

AP=mAB+nAC(m>0>n>0),則下列結(jié)論正確的()

1411

A.m+n=lB.的最大值為:C.一+—上的最小值為7D./+91的最小值為不

4mn/

4.正項(xiàng)數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S“，且$5=10,幾=50,若直線

/:3x+4y+a,T+a“+i—3=0（"eN*g/C：a-l）2+y2=Ua；（fl“>0^^,貝l|%=（

A.90B.70C.120D.100

5.己知,ABC的外接圓圓心為。，且AO=A8+AC，則B4在8c上的投影向量為（）

A.-BCB.--BCC.-BCD.--BC

2244

Inx,x>1

6.己知函數(shù)=L無，，若網(wǎng)x）=/[/（x）+l]+能有兩個(gè)零點(diǎn)占，%，則%+%的

1—,X<1

I2

取值范圍是（）

A.[4-21n2,+co）B.[1+&,+qC.[4-21n2J+五）D.卜℃,1+五）

7.已知長(zhǎng)方體ABCD—ABIGR，其中期=血，AB=AD=6,P為底面ABCD上

的動(dòng)點(diǎn)，莊，4。于￡且刈=尸片，設(shè)AJ與平面ABCD所成的角為6,則6的最大值

為()

ARLAB

8.在AABC中，角C=60°,且tan——btan—=3-J3,則sin—sin—=（）

2222

222

二、多選題

9.設(shè)M為雙曲線C：/一;=1上一動(dòng)點(diǎn)，片,乙為上、下焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則下列結(jié)論

正確的是()

A.若點(diǎn)N(0,8),則慳用最小值為7

B.若過點(diǎn)。的直線交C于A,8兩點(diǎn)(AB與M均不重合)，則七

C.若點(diǎn)。(8,1),M在雙曲線C的上支，則|咋最小值為2+相

D.過耳的直線/交C于G、H不同兩點(diǎn)，若|GH|=7,貝心有4條

10.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z”Z2對(duì)應(yīng)的向量分別是04,08,其中。是原點(diǎn)，i為虛數(shù)單位，則下

列判斷中正確的有()

A.若多=%，則囪=畫B.若網(wǎng)=煙，則Z”z2

C.若Zj=zJ,則0408=0D.若0408=0，則

11.如果知道事件X已發(fā)生，則該事件所給出的信息量稱為“自信息”.設(shè)隨機(jī)變量X的所

有可能取值為4，巧，…，xn,且p(%)>o(i=l,2,￡p(%)=l,定義X的“自信息”

1=1

為/(均)=-log2oa).一次擲兩個(gè)不同的骰子，若事件A為“僅出現(xiàn)一個(gè)2”，事件8為“至

少出現(xiàn)一個(gè)5”，事件C為“出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)之和是偶數(shù)”，則()

A.當(dāng)p(xj=l時(shí)，“自信息”/(%)=0B.當(dāng)0(%)>p(w)>0時(shí),l(xl)>I(x2)

C.事件C的“自信息”(C)=lD.事件A的“自信息”(A)大于事件8的“自信息”/(3)

12.摩天輪常被當(dāng)作一個(gè)城市的地標(biāo)性建筑，如武漢東湖的“東湖之眼”摩天輪，如圖所示,

某摩天輪最高點(diǎn)離地面高度55米，轉(zhuǎn)盤直徑為50米，設(shè)置若干個(gè)座艙，游客從離地面最近

的位置進(jìn)艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)/分鐘，當(dāng)/=10時(shí)，游客

隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為()

A.摩天輪離地面最近的距離為5米

B.若旋轉(zhuǎn)/分鐘后，游客距離地面的高度為九米，則

h=-25cos|—?|+30

UOJ

c.存在4,[0,15],使得游客在該時(shí)刻距離地面的高度均為20米

D.若在％,芍時(shí)刻游客距離地面的高度相等，貝M+與的最小值為20

__L2

COS71X,XG~2,2_

13.對(duì)于函數(shù)"x)="下面結(jié)論正確的是（)

f3

,xeI—,+co

A.任取-p+coj,都有-7'（々）歸2恒成立

B.對(duì)于一切xe都有/'（x）=2""x+2@（^eN*）

C.函數(shù)y=/（x）Tn[x-；）有3個(gè)零點(diǎn)

D.對(duì)任意%>0,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是：+<?]

三、填空題

14.小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有"層（200V30,

〃eN?）,設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1,且第兀層（24左左eN*）比第"1層的"環(huán)

境滿意度”多出3公-3左+1;又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1,且第左

層（24左4”，左eN*）比第k-1層的“高層恐懼度”高出1倍.在上述條件下，若第左層“環(huán)

境滿意度”與“高層恐懼度”分別為《，bk,記小王對(duì)第上層“購(gòu)買滿意度”為q,且，=詈,

bk

2222W（W+1，7+1）

則小王最想買第層住宅.（參考公式及數(shù)據(jù)：l+2+3+--+n=y

ln2?0.6931,ln3?1.0986,1.1006)

15.已知一組數(shù)據(jù)4，巧，L,兌的平均值為元=5,52=32,刪去一個(gè)數(shù)之后，平均值沒

有改變，方差比原來大4,則這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)"=

16.2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式以二十四節(jié)氣的方式開

始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾.我市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出

“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五張知識(shí)展板，分別放置在五個(gè)并排的文化櫥窗

里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中間位置，則不同的放

置方式的種數(shù)有.

2024屆高三數(shù)學(xué)選填題專項(xiàng)訓(xùn)練(10)答題卡

姓名分?jǐn)?shù)

一、選擇題

123456789101112

二、填空題

13.14.

15.16.

參考答案：

1.C

【分析】先求出集合4進(jìn)而求出其真子集的個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)榧稀?{—1,0,1,2},

集合A={y=-\/x2+1tX&U]={1'>/2，}>

真子集個(gè)數(shù)為23-1=7個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了真子集的概念及性質(zhì)，考查集合的表示方法：列舉法，是一道基礎(chǔ)題.

2.C

【分析】先求出y=ln尤，尤21的值域，然后確定y=(l-2a)尤+3a,x<l的值域所包含的集合，

利用一次函數(shù)性質(zhì)可得.

【詳解】當(dāng)眾1時(shí)，段)=抽，其值域?yàn)閇0,+oo),

那么當(dāng)x<l時(shí),兀0=(1-2a)x+3a的值域包括(-co,0),

：.l-2a>0,且41)=(1-2a)+3a>0,

解得：a<—,且壯-1.

故選：C.

3.D

【分析】由于P為邊8。上的一點(diǎn)，則可得AP=2A2+(1-X)AD,再由AD=；DC,可得

AP=2AB+1(1-A)AC,再結(jié)合4尸=加42+“AC，可求出的關(guān)系，然后根據(jù)基本不等

式逐個(gè)分析判斷即可

【詳解】因?yàn)槭瑸檫?。上的一點(diǎn)，所以AP=4A2+(1-㈤AD,

因?yàn)锳D=；QC,

所以AP=/lAB+g(l—㈤AC,

因?yàn)锳P=mAB+nAC，

4二m

所以‘I”八,得根+3〃=1,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,因?yàn)闄C(jī)>0、n>0,根+3〃=1,所以1=3m+〃22瘋嬴，所以用〃4*,當(dāng)且僅當(dāng)

111

3m=n,即加=7"=彳時(shí)，取等號(hào)，所以機(jī)〃的最大值為R，所以B錯(cuò)誤，

6212

對(duì)于C,因?yàn)闄C(jī)>0、n>0,m+3n=l,

所以百+工/百+」(徵+3〃)=7+必+?7+2、叵區(qū)=7+4君，當(dāng)且僅當(dāng)生/時(shí),

mn\mn)mn\mnmn

取等號(hào)，所以a+工的最小值為7+4石，所以C錯(cuò)誤，

mn

對(duì)于D,m+3n=l,所以用2+9/=(1—3〃)2+9〃2=18/—6〃+1=18[〃—，)+：,所以當(dāng)

〃=，時(shí)，■+91的最小值為所以D正確，

故選：D

4.C

【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心與半徑，由直線與圓相切可得2?！?。"7+。用，即可判斷數(shù)

列｛4｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和性質(zhì)即可求得心的值.

【詳解】圓C的圓心為(L0)，半徑7=|見，由直線/：3尤+4，+4,1+%+|-3=。(〃€?^*)與圓

相切得：

13+0+61,+611-3|2a,+a,2

圓心(1,。)到直線/的距離d=J-------/7表"二"，整理得川二：%,即

V32+42555

2?！?%.1+。用，

所以｛%｝為等差數(shù)列.

在等差數(shù)列｛%｝中，$5，品）-$5，幾-工。成等差數(shù)列，

所以2（品—S5）=S5+Si5—S10,貝|2><（5。-1。）=10+九一50,即幾=120.

故選：C.

5.A

【分析】連接OB、OC,推導(dǎo)出四邊形ABOC為菱形，設(shè)AOBC=D,則。為3C的中

點(diǎn)，且AO13C,再利用投影向量的定義可得結(jié)果.

【詳解】連接。8、OC,

因?yàn)锳O=AB+AC，則AB=AO-AC=CO，所以，AB〃OC且|AB|=|OC],

又因?yàn)閨。q=|。4,則四邊形ABOC為菱形，

設(shè)AOBC=D,則。為BC的中點(diǎn)，且AO13C,

因此，明在8c上的投影向量為=

故選：A.

6.A

【分析】由題意可知，當(dāng)X21時(shí)，/(%)+l=ln,Y+l>l,/[/(x)+l]=ln[/(x)+l];當(dāng)X<1

時(shí)，/(X)+1=1-1+1>|>1,/[/(x)+l]=ln[/(x)+l].^f[f(x)+l]+m=0,得

〃力="-1.根據(jù)“力的解析式，分別求出芭,三的表達(dá)式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求％+%的取值范

圍.

【詳解】當(dāng)X21時(shí)，/(x)+l=lnx+l>l,.?./[/(x)+l]=ln[/(x)+l];

當(dāng)x<l時(shí)，/(X)+1=1-1+1>|>1,/[/(x)+l]=ln[/(x)+l],

綜上，對(duì)V;t€R,/[/(x)+l]=ln[〃x)+l].

，尸(x)=/"(x)+l]+%有兩個(gè)零點(diǎn)和三，即方程ln[〃x)+l]+/n=O有兩個(gè)根和馬,

即方程/(尤)="皿-1有兩個(gè)根不,馬,不妨設(shè)不<々.

易知函數(shù)/(X)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在[1,+8)上單調(diào)遞增，

，當(dāng)x21時(shí)，Inx=e~m-1；當(dāng)x<l時(shí)，1--=e'"-1.

22

222

/.x?=玉=2—2t,%]+x[=d—2,+2,/>耳.

g(%)=e'-2t+2,t>萬,

.?.g'(r)=e,-2,令g(r)=0,.,1=ln2.

.,.g<f<ln2時(shí)，g'(r)<0；t>ln2時(shí)，g'(t)>0,

二函數(shù)g⑺在Q」n2]上單調(diào)遞減，在(In2,y)上單調(diào)遞增，

二當(dāng)t=In2時(shí)，g(/)111ta=g(In2)=*2-21n2+2=4—2In2.

二函數(shù)g⑺的值域?yàn)閇4-21n2,y),即玉+x2的取值范圍是[4-21n2,y).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，屬于難題.

7.D

【分析】確定/4出是Af與平面ABCD所成的角，不妨設(shè)叢=莊=%,求出PC,利用

AA

B4+尸C〉A(chǔ)C求得x的最小值，再由tan6=笠得。的最大值.

AP

【詳解】明，平面ABC。，R4u平面ABC。，所以又尸￡_L4。，PA=PE,

所以PAA,=!PEA,,AiE=AAl=yf2,&C=J2+3+3=2啦,所以EC=AC—AE=0,

所以尸點(diǎn)軌跡是對(duì)角線AC的中垂面與底面ABCD的交線，為一條線段.

由A4J平面ABCD知ZA.PA是4P與平面ABCD所成的角,

不妨設(shè)叢=PE=x,

則A尸=12+丁,PC=，2+d，PA+PC=x+y/2+x2>AC=y[6^x>^~,

tan0=<-\/3.9M：,即。的最大值為；，

尤33

故選：D.

8.B

觀察后，用特值法：A=3O°,B=9O°

9.BCD

【分析】結(jié)合雙曲線的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可確定本題答案.

【詳解】由雙曲線C：j2-y=l,得片(0,2),8(0,-2),設(shè)〃(x0,兒)，

則|MN|=Jx；+(%-8)2=%—2)+45W3百,當(dāng)且僅當(dāng)%=2時(shí)取等號(hào)，所以|肱V|最小

值為3指，故A錯(cuò)誤；

設(shè)A3兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(%,%),(f，f)，所以1KM!=及土貴?江"=號(hào)毛，又因?yàn)?/p>

%0+芯石x—石

x0—0

X：二3乂-3,X；=3寸一3'所以%KMB=手等=3必；(1一3)=I'

故B正確；

|M|+|MQ|=2+|M[+|MQ|N2+|Q耳1=2+病，故c正確；

丫22b2

由雙曲線C：=1,可得通徑長(zhǎng)為二=6<7,且實(shí)軸長(zhǎng)2a=2<7,所以這樣的直線

3a

/有4條，故D正確.

10.AC

【分析】選項(xiàng)A.由復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系可判斷；選項(xiàng)B.取特殊值。4=(3,0),03=(-3,0)

可判斷；選項(xiàng)C.由復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷；選項(xiàng)D.設(shè)

ZLZ?，，

z2=a+bi[a,b&R),由則馬=(a+沅"=-匕+切,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判

斷；

【詳解】選項(xiàng)A.由％=z一則Q4=O8,所以|。,=畫，故選項(xiàng)A正確.

選項(xiàng)B.當(dāng)。4=(3,0),03=(—3,0),滿足|。4|=口目.

但OAwQB,即4HZ2，故B不正確.

選項(xiàng)C.設(shè)z?=a+bi(a,6eR),由4=22/,則馬=(a+沅"=一匕+出

所以。4=(一"a),OB=(a,b),OAOB=-ab+ab=0，故C正確.

選項(xiàng)D.設(shè)。4=0,-a),OB=(a,b),則滿足O4QB=0

此時(shí)Z2=a+bi(a,beR),4=-(a+bi)i=b-ai,此時(shí)與二飛，，故選項(xiàng)D不正確.

故選：AC

11.ACD

【分析】根據(jù)題中條件，由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得A正確；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得B錯(cuò)；根

據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，求出P(C),得到/(C),即可判斷C正確；根據(jù)古典概型的概

率計(jì)算公式，分別求出事件A與事件8發(fā)生的概率，得出/(A)與/(B),即可判斷D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)p(%)=l時(shí)，/(xz)=-log2l=0,即A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logzx是增函數(shù)，所以y=-log2尤是減函數(shù)；因此，當(dāng)

MM）＞。伍）＞。時(shí)，Tog?p（可）＜Tog2P（馬），即/（占）＜/伍），故B錯(cuò)；

C選項(xiàng)，一次擲兩個(gè)骰子，所包含的基本事件的個(gè)數(shù)為6x6=36個(gè)；“出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)之和是

偶數(shù)”所包含的情況有：1+1，1+3,1+5,2+2,2+4,2+6,3+1,3+3,3+5,4+2,

4+4,4+6,5+1,5+3,5+5,6+2,6+4,6+6共18個(gè)基本事件；

則尸（C）=］己,所以/（c）=-log2P（c）=l,故C正確；

D選項(xiàng),事件A“僅出現(xiàn)一個(gè)2”,所包含的基本事件有：（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（1,2）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（6,2）共10個(gè)基本事件;

事件8“至少出現(xiàn)一個(gè)5”，所包含的基本事件有：（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,

（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（6,5）共11個(gè)基本事件；

所以尸（A）=整=2,尸（B）=2,則P（A）＜P（8）；因此/（A）＞/（3）,即D正確；

361836

故選：ACD.

12.ABD

【分析】摩天輪離地面最遠(yuǎn)距離減去轉(zhuǎn)盤直徑，從而可判斷A；由時(shí)間f與游客距離地面的

高度，求出〃關(guān)于才的表達(dá)式，即可判斷B；求出在徐［0,均上的單調(diào)性，結(jié)合當(dāng)r=15時(shí)，

/7=30＞20,即可判斷C；由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可求出％+灰的最小值即可判斷D；

【詳解】對(duì)于A,由題意知，摩天輪離地面最近的距離為55-50=5米，故A正確；

對(duì)于B,設(shè)"=Asin（3+°）+b,當(dāng)/=0時(shí)，游客從離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)7=10時(shí)，

游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠(yuǎn)處.所以T=20=&,0=2，6=空0=30,4=至二=25,

又當(dāng)t=0時(shí)，〃=5,所以。=一］,所以/z=-25cos（mj+30,故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?,^€［0/5］,又高度相等，函數(shù)/z=-25cos1禾j+30的對(duì)稱軸為r=10,則

小L關(guān)于。=1。對(duì)稱，則守=10,貝嗚+「2=20；

ITJT

4^0＜—＜71,解得解得10＜，＜20,

則人在，40,10］上單調(diào)遞增，在，句10,15］上單調(diào)遞減，當(dāng)，=10時(shí)，"max=55,

當(dāng)1=0時(shí)，h=5；當(dāng)￡=15時(shí)，h=-25cosfj+30=30＞20,所以丸二20在，40,15］只有

一個(gè)解，故c錯(cuò)誤;

對(duì)于D,〃=-25cos1m4+30周期7=20,由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，令彌=E,

則/=10左，左eN*,函數(shù)關(guān)于f=10A對(duì)稱，若在％,G時(shí)刻游客距離地面的高度相等，

則當(dāng)左=1時(shí)，號(hào)的最小值為10,%+芍的最小值為20.故D正確.

故選：ABD.

13.ABC

【分析】先在坐標(biāo)軸中畫出y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象可判斷A選項(xiàng)，結(jié)合解析式可判斷B選

1k

項(xiàng),再畫出y=ln(x-7)與y=—的圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷C,D選項(xiàng).

2x

【詳解】在坐標(biāo)軸上作出函數(shù)Ax)的圖象如下圖所示：

由圖象可知/(*)的最大值為1,最小值為T,故選項(xiàng)A正確；

1311

由題可知〃》)=3“尤-2),%€(5，+<?)=>/(%+2)=5〃尤),尤€(-5，+8),

所以f{x+2k)=(，力x)(%eN*)即/(X)=2*/(x+2k)，故選項(xiàng)B正確；

1131

作出y=ln(x-])的圖象，因?yàn)閘n(2_Q)=ln5<5，

由圖象可知y=/(x)與y=ln(x-g)有3個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；

結(jié)合圖象可知，若對(duì)任意x>0,不等式/(x)?X恒成立，

X

k

即x=2〃時(shí),不等式7(2"),,F恒成立，

2n

又/(2〃)=(；)"/(0)=g)",

所以j?(5,即八?在〃eN*時(shí)恒成立，

In22

設(shè)g(x)=||廁g，(x)=2一器”,

故xe［2,-KO）吐§'（無）＜0,函數(shù)g（無）在［2,+8）上單調(diào)遞減,

所以時(shí),g（x）max=8⑵二1，

又g⑴=1,所以［言］=1,即"1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:ABC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的周期性及數(shù)形結(jié)合法在處理函數(shù)問題中的應(yīng)用，有一定難

度.

14.10

【分析】由題意可得4=1,且應(yīng)-4T=3F-34+1,（%22）；4=1,4=瓦一+=14T，

ck"

從而可求出4和4,則，，方法一：作商比較，，Q+i的大小可得結(jié)論，方法二：構(gòu)

爐

f（Y）=_____

造函數(shù)14『，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可》

【詳解】依題意,4=1,且見-。1=3左2-3左+1,32）,

所以4=Q]+(%—"1)+(。3—“2)~*---W—%-1)

=1+(3X22—3x2+l)+(3x32—3x3+1)+…+(3%2—3左+1)

=(3xl2-3xl+l)+(3x22-3x2+l)+(3x32-3x3+l)+---+(3^2-3^+l)

=3(l2+22+32+---+F)-3(l+2+3+---+)l)+)t

6%+1)(2左+1)3%(%+1),,

=---------------------------------------\-k=k3,

22

14

由題意得0=1,年,

所以｛4｝是以1為首項(xiàng)，1?為公比的等比數(shù)列，所以4

e

故小王對(duì)第左層住宅的購(gòu)買滿意度，C=已

方法一:

k-\

4i+：[r

":伏+1)3⑶;>1.即(jg—1)4<1解得k<9.9404,

由

4「k3

3

所以q<。2<。3<…<09</，

同理有%>Cn>@>L，小王最想購(gòu)買第10層住宅.

方法二: