遼寧省協(xié)作校2024屆高三年級上冊1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案

2023—2024學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三試題

數(shù)學(xué)

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.答選擇題時(shí)，選出每個(gè)題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，

用橡皮擦干凈后，再虻涂其他答案標(biāo)號。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試

卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知U=R,4={x|f—4x+3W0},8={x||x-3|>l},則ZUQ8)=

A.{x|lWxW4}B.{x|2Vx近3}C.{x|l^x<2}D.{x|2WxW3}

2.己知直線(：石x-3y+l=0,若直線6與4垂直，則6的傾斜角是

A.150°B.120°C.60°D.30°

3.已知a,b是兩個(gè)單位向量，則ua±bn是a\2a-b\=\a+2b\n的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.某人將用“1,1,2,3,4,5”進(jìn)行排列設(shè)置6位數(shù)字密碼,其中兩個(gè)“1”相鄰的概率是

A.1B.1C.1D..L

62312

5.雙曲線9=1的焦距為

A.272B.2c.5/2D.4

6.己知sin6+sin（J+：）=l,則cos(e-為=

A.-B.近

c巫D2

2323

高三數(shù)學(xué)第1頁共4頁

7.若過點(diǎn)尸(，,0)可以作曲線y=(l-x)e'的兩條切線，貝〃的取值范圍是

A.(-3,1)B.(l,4?o)C.(~°°,-3)D.(7,-3)U(L+°°)

8.以半徑為出的球?yàn)閮?nèi)切球的圓錐中，體積最小值時(shí)，圓錐底面半徑r滿足

A.r=^^7?B.〃=2RC,r=^-^-RD.r=42R

33

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知z為復(fù)數(shù)，設(shè)z,近在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)分別為4,B,C,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

A.?網(wǎng)=|麗B.OA^

C.園=|園D.OB//AC

io.已知正方體/Be。-44qq,點(diǎn)尸滿足加=入前+〃函下

列說法正確的是

A.存在無窮多個(gè)點(diǎn)尸，使得過A，5,尸的平面與正方體的截面是菱形

B.存在唯一一點(diǎn)P,使得力P〃平面4￡。

c.存在無窮多個(gè)點(diǎn)P,使得4尸，4。

D.存在唯一一點(diǎn)尸，使得op，平面4G。

U.已知數(shù)列G：o，i，o，i，o,現(xiàn)在對該數(shù)列進(jìn)行一種變換，規(guī)則/：每個(gè)o都變?yōu)槊總€(gè)

1都變?yōu)椤?,1,0”,得到一個(gè)新數(shù)列，記數(shù)列￡+1=/(。"),左=1,2,3「?，且￡,的所有項(xiàng)的和為5“,

則以下判斷正確的是

二5尸一1

A.，的項(xiàng)數(shù)為5?3"TB.￡=22C.C4中1的個(gè)數(shù)為68DS"

12.下列大小關(guān)系正確的是

A.1.92<2'-9B.229<2.92D.log74<log127

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13?(x+1-2)，的展開式中X?的系數(shù)為一-------

X

高三數(shù)學(xué)第2頁共4頁

14.已知函數(shù)/(x)=/lsin0?+聯(lián)卜>0,0>°)的部分圖像如圖所示，其中

/(x)的圖像在y軸右側(cè)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次玉，々，…,X”.且

2兀

X6-X4=『則/=?

15.函數(shù)/(x)=4字的最大值為?

16.已知拋物線C：產(chǎn)二公的準(zhǔn)線為/，過點(diǎn)(-1,0)的直線交C于48兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M,

分別過點(diǎn)兒8,M作/的垂線，垂足依次為。，E,Q，則當(dāng)需取最小值時(shí)，|/卻=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程或演算步驟

17.(10分)A48C的內(nèi)角>5,C的對邊分別為。，瓦c設(shè)(sinB+sinC>2=s1n24+3曲jBsinC.

(1)求才：

(2)若五a+b=2c,b=五,求4J8C的面積?

18.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和為S.，且2a“=2〃+S"對一切正整數(shù)〃都成立,

記6.=勺+2.

(1)求數(shù)列｛6J的通項(xiàng)公式：.

a*,n=3k(

(2)已知3,左為正整數(shù).記數(shù)列｛cj的前〃項(xiàng)和為I,求40.

log也,nH3k

19.（12分）如圖，在五棱推P—ABCDE中,PA工平面ABCDE<B//CD,AC//ED,AE//BC,ZABC=45°,

AB=2Q,BC=2AE=4.

(1)求證:平面PC。J_平面尸4C：

<2)已知直線尸8與平面PCD所成的角為30°,求點(diǎn)4到平面

的距離.

高三數(shù)學(xué)第3頁共4頁

20.(12分)已知橢圓會+方=Q>6>0)的離心率為孚，左、右焦點(diǎn)分別為不小過耳的

直線交橢圓于8,0兩點(diǎn)，過用的直線交橢圓于4c兩點(diǎn)，且/C_L8。,

垂足為尸，|OP|=1

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；/《莖」以”

(2)求四邊形/sc。的面積的最小值..

21.(12分)某企業(yè)打算處理一批產(chǎn)品，這些產(chǎn)品每箱10件，以箱為單位銷售，已知這批產(chǎn)

品中每箱都有廢品.每箱的廢品率只有或者L兩種可能，且兩種'可能的產(chǎn)品市場占有率分別為

105

2」.假設(shè)該產(chǎn)品正品每件市場價(jià)格為100元，廢品不值錢，現(xiàn)處理價(jià)格為每箱840元，遇到廢

33

品不予更換，以一箱產(chǎn)品中正品的價(jià)格期望值作為決策依據(jù).(運(yùn)算結(jié)果保留分?jǐn)?shù))

(1)在不開箱檢驗(yàn)的情況下，判斷是否可以購買；

(2)現(xiàn)允許開箱，不放回地隨機(jī)從一箱中抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，已發(fā)現(xiàn)在抽取檢驗(yàn)的2件產(chǎn)

品中，其中恰有一件是廢品

①求此箱是廢品率為l的概率；

②判斷此箱是否可以購買，并說明理由.

22.(12分)對于定義在。上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)為/'(X).若存在Ae0,使得fW=f(H),

且x=A是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，則稱函數(shù)/(x)為“極致A函數(shù)”.

(1)設(shè)函數(shù)/(x)=x+atanx,其中一aeR.

①若/(x)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②證明：函數(shù)/(x)不是“極致0函數(shù)”.

(2)對任意mwR,證明：函數(shù)8(%)=*5山工+川(：05%一m是“極致0函數(shù)”.

高三數(shù)學(xué)第4頁共4頁

2023—2024學(xué)年度上學(xué)期期末考試高三試題

數(shù)學(xué)參考答案

一、LA2.B3.C4.C5.D6.B7.D8.D

二、9AB10.ACD11.ABC12ABD

12作出y=和y=/的圖象，如圖所示，由圖象可得，當(dāng)xc(O,2)時(shí)，2*>/,

22L192

當(dāng)xs(2,4)時(shí),X>2S1.9<2%2<2.9,故A,B正確.

令〃X)=——,則〃幻甘+生:/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以

2'—12—1

)ln2oe

-=^>-=r—,故C錯(cuò)誤.

2ln2-l2V2-1

pog74+log712Ytlog,4812]

嗨4電12-1<12—-_J—<0所

>°g74-logl27=log74--~~—

log712log712log712log712

以log?4<log127,故D正確.

故選：ABD.

14.現(xiàn)

三、13.28,516.4也

36-T

16.依題意不妨設(shè)直線48的方程為y=%(x+l)(%>0),/(西,乂),86,乃),

聯(lián)立〈Ui卡“，消得公工2+(2--4)x+公=0,

則A=(2-一4『一4->0,得

又因|。同=|必fI=小=川(占+%)2-4出="J丁

2

/_1

則\DE\=4兒/=28"+r，

答案第1頁，共7頁

當(dāng)產(chǎn)「時(shí)，品取得最小值，止匕時(shí)“+%=一丁=6,痞=1,

所以IAB|=J1+E-J(X1+々)2—4%無2=^1+1?用_4=.故答案為：45/3.

四、17.(1)

(sinB+sinC)2=sin2B+2sinBsinC+sin2C=sin2A+3sinBsinC

即sin2B+sin2C-sin2A=sin8sinC

由正弦定理可得從+。2—4=尻--------------------------2分

則cosA

2bc2

因?yàn)锳E(0,%),所以A---------------------------------------------------------4分

(2)

木艮據(jù)也3+。=2(;由正弦定理得逝5訪/4+sinB=2sinC

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=—

則yj2x—^-+—^-cosC+—smC=2sinC

222

整理可得3sinC—y[6=GcosC,即3sinC—V3cosC=2gsinI0——j=46

由正弦定理得」^=上即'^=塞-得a=的

----------------------------------------9分

sinAsin5sin￡sin￡

34

所以面積5小小多員后胃二十

--------------------------------------10分

18.【解析】(1)由2a“=2〃+S“，得2%_]=2("-1)+S,T(〃22),兩式相減得

答案第2頁，共7頁

2%-2%=2+a“，gpan=2a^+2,----------------------2分

所以%+2=2(a〃T+2),即bn=2bLi5三2)，

當(dāng)n=1時(shí)，2a1=2+q,即=2,從而4=4,

所以｛。｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以年=4-2"-1=2向.----------------4分

(2)由(1)知2"=2"+1—2,于是40=q+c。+。3+…+C30

=(log24+log24+4)+(log,b4+log24+。2)+…+(log2b25+log2b26+%)+

(log2^28+log2^29+tz10)

=(2+3+2?-2)+(5+6+23-2)+…+(29+30+2U-2)-------------6分

=(2+5+8+---+29)+(3+6+9+---+30)+(22+23+---+2H-20)----------8分

(2+29)x10+(3+30)x10+4(1-2%_2Q

2+2+1-2—----------10分

=155+165+4092—20=4392----------12分

或者

2311

7；0=(2+5+8+---+29)+(3+6+9+---+30)+(2+2+---+2-20)

(2+3+4+5+6+8+---+30)-(4+7+10+---+28)+(22+23+---+2n-20)

320+4092-20=4392

19.(I)證明:因?yàn)镹ABC=45o,AB=2V^,8c=4

2

所以在\ABC中由余弦定理得AC?=(2亞)一+42-2x2夜x4xcos45。=8

解得八C=2盤，又由ZB2+AC2=8。2得

因?yàn)樗訡D1AC---------2分

因?yàn)镻A1平面ABCDE,CDu平面ABODE

所以尸A1CD又因?yàn)镻AnAC=A所以CD_L平面尸AC

又因?yàn)镃Ou平面PCD,所以平面PC。，平面PAC.■4分

(II)由(I)得AB,AC,AP兩兩互相垂直，分別以ABMCMP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示

答案第3頁，共7頁

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)期=f

則4（0,0,0,）B（20,O,O）,C（0,20,0）,P（0,0j）

因?yàn)?C的,CD1AC,所以四邊形ZCD8是直角梯形

因?yàn)?2：=2.ZABC=45°,AE//BC

所以44￡=135°,/?！?45。，8=柞Tm45°=及

所以D（-V^,2&,0）--------------------------------------------------------------------------4分

則CP=（0-2>/2,/）,CD=（-72,0,0）

設(shè)7=卜,y,z）是平面PCD的一個(gè)法向量

_m-CP=0?\-2>/2ty+te=0

則有Mtu即a.

m-CD=0［—V2x=0

令二=1,得7〃=0,—r,l-------------------------------------------------------------8分

I4）

設(shè)。是直線與平面所成的角，PS=（2>/2,0,-r）

貝有sin6=sin30°=|cos（PS,〃7）|=〔'=—

11出+向|2

解得f=2&-----------------------------------------------------------1。分

所以尸（0,0,2立）,￡=（0.1,1）.方=（0,0,2亞）

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為萬

.APm］的.

所以點(diǎn)A到平面PCD的距離為2.----------------------------------------------------12分

20.解：(1)因?yàn)锳PK片是直角三角形，且10Pl=1,所以橢圓的半焦距c=1,——2分

由￡=走，得2=&,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+止=1.----------------------------4分

a332

(2)(i)當(dāng)助的斜率k存在且k#0時(shí)，BD的方程為y=?(x+l),代入橢圓方程］+(

答案第4頁，共7頁

并化簡得(3k2+2*+6k2x+3尸_6=0.

2n八，、c、n.i6k23k2—6

設(shè)3(演，必)，D(X,y2),則X]+X2=-3卜2+■/

2

22

|叫=，1+左小1-0|=yl(l+k)[(x2+x2)-4xlx2']=，'：；：："!-----6分

因?yàn)锳C與BC相交于點(diǎn)P,且AC的斜率為-1,

k

所以，|吐4可t+1)=4妝2+1),-----------------7分

1112k23

3x=+2=+J

k2

四邊形ABCD的面積

5=；回國=產(chǎn)八112_2…y__96

21"1(3*+2)(2/+3)[(3*+2)+(2/+3)]25

2

當(dāng)公=1時(shí)，上式取等號.----------------10分

(ii)當(dāng)BD的斜率k=0或斜率不存在時(shí)，四邊形ABCD的面積S=4.

綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為生96.----------------12分

25

21.解：(1)設(shè)每箱實(shí)際價(jià)格為X,則X可能取值為800元，900元.

21

所以尸(X=900)=§,P(X=800)=-,------------------------2分

122600，所以值得購買------------------------4分

￡(JQ=800x-+900x-=-^—>840

(2)設(shè)每箱實(shí)際價(jià)格為y,則丫可能取值為800元，900元

設(shè)人="廢品率!”，B="廢品率!”C="檢驗(yàn)2件產(chǎn)品，恰好有一件廢品”

105

71

P(J)=1.P(S)=1

P(AC)=P(A)P(C|A)=等=1，P(BC)=P(B)尸(C|B)=卜等=需,

答案第5頁，共7頁

P(C)=P(AC+BC)=—+—=—6分

''15135135

①

16

“RBC)=135=8

(I*P(C)-M-i7

135

8分

2

②因?yàn)閼?川0=々冬=聶=言，則丫的分布列為

r(Cz)。今1/

135

Y800900

P89

1717

E(F)=800x—+900x—=地空>840

171713

所以此箱值得購買------------------------------------12分

22.(1)①由題意，得尸(幻=經(jīng)爭.------------------------1分

JCOS2X

⑴若八無)在(-秀)上單調(diào)遞減，財(cái)產(chǎn)3W0恒成立，

即aW—cos2%恒成立，所以aW—1；------------------------------------2分

(ii)若/(%)在(一紀(jì))上單調(diào)遞增，貝!jf'(%)20恒成立，即-cos?%恒成立，所以a20.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為u[0,+8).-------------------------------------3分

②假設(shè)/(%)是“極致0函數(shù)”，則汽=0是/(幻的極值點(diǎn)，

所以/'(0)=1+a=0,解得a=-1,------------------------------------4分

由①可知，當(dāng)a