云南省楚雄彝族自治州大姚第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

云南省楚雄彝族自治州大姚第一中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，，且，則與的夾角是（）A． B． C． D．2．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于（）A． B． C． D．3．在等差數(shù)列中，若，則的值為()A．15 B．21 C．24 D．184．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知,,為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程是（）A． B．C． D．6．若，且，則的值是（）A． B． C． D．7．已知在中，，則的形狀是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．39．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則的值為（）A．4 B． C． D．10．在中，角的對(duì)邊分別是，若，則（）A．5 B． C．4 D．3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_____________。12．已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是.13．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學(xué)歷狀況，情況如下餅圖：則估計(jì)該地區(qū)歲以下具有研究生學(xué)歷的教師百分比為_(kāi)______．14．在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使向量，則__________．15．已知直線l與圓C：交于A，B兩點(diǎn)，，則滿足條件的一條直線l的方程為_(kāi)_____.16．若數(shù)列滿足,,則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高，所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.18．已知函數(shù)．（1）求（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．19．已知數(shù)列滿足關(guān)系式，.（1）用表示，，；（2）根據(jù)上面的結(jié)果猜想用和表示的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證之.20．已知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．?dāng)?shù)列中，，（為常數(shù)）.（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在，使得為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)相互垂直的向量數(shù)量積為零，求出與的夾角.【詳解】由題有，即，故，因?yàn)?，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量夾角的求解，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，可推出，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，可推出，將該數(shù)列的前項(xiàng)和表示為，結(jié)合前面的規(guī)律可計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，由題意可得，，兩式相減得；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，由題意可得，，兩式相加得.因此，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.3、D【解析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，將等式全部化為的形式，再計(jì)算?！驹斀狻恳?yàn)椋?，則，所以．故選D【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。4、C【解析】

根據(jù)二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)可得，根據(jù)平移變換原則可得；當(dāng)時(shí)，；利用正弦函數(shù)的圖象可知若的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)可得，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：由圖象平移可知：當(dāng)時(shí)，，，，，又的圖象與直線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解角的范圍的問(wèn)題，涉及到利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)、三角函數(shù)圖象平移變換原則的應(yīng)用等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠利用正弦函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定角所處的范圍.5、A【解析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷出是直徑，由此求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求得三角形外接圓的方程.【詳解】由于直角對(duì)的弦是直徑，故是圓的直徑，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，化簡(jiǎn)得，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形外接圓的方程的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

對(duì)兩邊平方，可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)，可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

利用正弦定理可將已知中的等號(hào)兩邊的“邊”轉(zhuǎn)化為它所對(duì)角的正弦，再利用余弦定理化簡(jiǎn)即得該三角形的形狀．【詳解】根據(jù)正弦定理，原式可變形為：所以整理得．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、A【解析】

利用余弦定理推論得出a，b，c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用．9、B【解析】

由正弦定理可得，，代入即可求解．【詳解】∵，，∴由正弦定理可得，，則.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

已知兩邊及夾角，可利用余弦定理求出．【詳解】由余弦定理可得：，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根據(jù)條件選用合適的定理解決．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用兩圓一般方程求兩圓公共弦方程，求其中一圓到公共弦的距離，利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式可得所求.【詳解】由兩圓方程相減得兩圓公共弦方程為，即，圓化為，圓心到直線的距離為1，所以兩圓公共弦長(zhǎng)為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基本題.12、【解析】

由題意得，依次求得，，，，，∵，且＞0，∴，依次求得======，∴+=+=．考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式．13、【解析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)，進(jìn)而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學(xué)歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學(xué)歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用餅狀圖計(jì)算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

在平行六面體中把向量用用表示，再利用待定系數(shù)法，求得.再求解。【詳解】如圖所示：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的基本定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、（答案不唯一）【解析】

確定圓心到直線的距離，即可求直線的方程.【詳解】由題意得圓心坐標(biāo)，半徑，，∴圓心到直線的距離為，∴滿足條件的一條直線的方程為.故答案為：（答案不唯一）.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解析】

利用遞推公式再遞推一步,得到一個(gè)新的等式,兩個(gè)等式相減,再利用累乘法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用所求的通項(xiàng)公式可以求出的值.【詳解】得,,所以有,因此.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了累乘法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)邊上的高所在直線方程求出的斜率，由點(diǎn)斜式可得的方程，與所在直線方程聯(lián)立即可得結(jié)果；（2）設(shè)則，代入中，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式可得結(jié)果.【詳解】（1）由邊上的高所在直線方程為得，所以直線AB所在的直線方程為，即聯(lián)立解得所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,3）（2）因?yàn)樵谥本€上，所以設(shè)則，代入中，得所以則直線的方程為，即【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.18、（1）,的增區(qū)間是．（2）．【解析】試題分析：（1）利用兩角和正弦公式和降冪公式化簡(jiǎn)，得到的形式，利用公式計(jì)算周期．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求的單調(diào)性．（3）求三角函數(shù)的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可．（4）求解較復(fù)雜三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化成形式，再的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個(gè)整體代入相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間，注意先把化為正數(shù),這是容易出錯(cuò)的地方．試題解析：（1）因?yàn)椋?＝－1，故最小正周期為得故的增區(qū)間是．（2）因?yàn)椋裕谑?，?dāng)，即時(shí)，取得最大值2；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值－1．考點(diǎn)：（1）求三角函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間；（2）求三角函數(shù)在閉區(qū)間的最值．19、（1），，（2）猜想：，證明見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)遞推關(guān)系依次代入求解，（2）根據(jù)規(guī)律猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明【詳解】解：（1），∴，，；（2）猜想：.證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即，則時(shí)，，即時(shí)結(jié)論成立.綜上，對(duì)時(shí)結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題考查歸納猜想與數(shù)學(xué)歸納法證明，考查基本分析論證能力，屬基礎(chǔ)題20、（1）；（2）【解析】

（1）按等比數(shù)列的概念直接求解即可；（2）先求出的表達(dá)式，再利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得：（2）由（1）可得：【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題及利用裂項(xiàng)相消法求和的問(wèn)題，屬常規(guī)考題.21、（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)，使得{an}為等比數(shù)列【解析】

（Ⅰ）由已知求得a1，a4，再由-a1