2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市第一機(jī)械制造有限公司第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市第一機(jī)械制造有限公司第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是平面內(nèi)的一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是（）A．與 B．與C．與 D．與2．正六邊形的邊長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對(duì)的描述正確的是（）A． B． C． D．3．在中，已知三個(gè)內(nèi)角為，，滿足，則（）．A． B．C． D．4．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150，120，180，150個(gè)銷售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本．記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法6．某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名學(xué)生參加演講比賽，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有1名男生和至少有1名女生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．恰有1名男生和恰有2名男生7．下列各角中，與126°角終邊相同的角是（）A． B． C． D．8．若直線與直線互相平行，則的值等于（）A．0或或3 B．0或3 C．0或 D．或39．樣本中共有個(gè)個(gè)體，其值分別為、、、、.若該樣本的平均值為，則樣本的方差為（）A． B． C． D．10．下列事件是隨機(jī)事件的是（1）連續(xù)兩次擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面向上．（2）異性電荷相互吸引（3）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在℃時(shí)結(jié)冰（4）任意擲一枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則=.12．在中，角、、所對(duì)的邊為、、，若，，，則角________．13．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則；15．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______．16．若、是方程的兩根，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在數(shù)列中，，，且；（1）設(shè)，證明是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)；18．已知的角、、所對(duì)的邊分別是、、，設(shè)向量，，.（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長(zhǎng)，角，求的面積.19．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，D為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求與所成角的余弦值．20．已知函數(shù)。（1）若，求不等式的解集；（2）若，且，求的最小值。21．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

利用向量可以作為基底的條件是，兩個(gè)向量不共線，由此分別判定選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是否共線即可．【詳解】由是平面內(nèi)的一組基底，所以和不共線，對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A：，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底；對(duì)應(yīng)選項(xiàng)B：，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底；對(duì)應(yīng)選項(xiàng)D：，所以這2個(gè)向量共線，不能作為基底；對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C：與不共線，能作為基底.故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查基底的定義，判斷2個(gè)向量是否共線的方法，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解析】

利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結(jié)論．【詳解】由題意，以頂點(diǎn)A為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，以頂點(diǎn)D為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因?yàn)榉謩e為的最小值、最大值，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，分析出向量數(shù)量積的正負(fù)是關(guān)鍵，著重考查了分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．3、C【解析】

利用正弦定理、余弦定理即可得出.【詳解】由正弦定理，以及，得，不妨取，則，又，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

由題，連接，設(shè)其交平面于點(diǎn)易知平面，即（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，再利用等體積法求得AO的長(zhǎng)度，即可求得的長(zhǎng)度，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，如圖，連接，設(shè)其交平面于點(diǎn)，則易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱錐中，由等體積法知，，即，解得，所以.連接，則（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角.在中，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面角的求法，作出線面角是解題的關(guān)鍵，求高的長(zhǎng)度會(huì)用到等體積法，屬于中檔題.5、B【解析】

此題為抽樣方法的選取問(wèn)題．當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣．【詳解】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查中，總體中的個(gè)體差異較大，應(yīng)采用分層抽樣法；第②項(xiàng)調(diào)查總體中個(gè)體較少，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣知識(shí)，屬基本題型、基本概念的考查．6、D【解析】試題分析：A中兩事件不是互斥事件；B中不是互斥事件；C中兩事件既是互斥事件又是對(duì)立事件；D中兩事件是互斥但不對(duì)立事件考點(diǎn)：互斥事件與對(duì)立事件7、B【解析】

寫出與126°的角終邊相同的角的集合，取k=1得答案．【詳解】解：與126°的角終邊相同的角的集合為{α|α=126°+k?360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴與126°的角終邊相同的角是486°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同角的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．8、D【解析】

根據(jù)直線的平行關(guān)系，列方程解參數(shù)即可.【詳解】由題：直線與直線互相平行，所以，，解得：或.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或時(shí)，兩條直線均平行.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)直線平行關(guān)系求解參數(shù)的取值，需要熟記公式，注意考慮直線重合的情況.9、D【解析】

根據(jù)樣本的平均數(shù)計(jì)算出的值，再利用方差公式計(jì)算出樣本的方差.【詳解】由題意可知，，解得，因此，該樣本的方差為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查方差與平均數(shù)的計(jì)算，靈活利用平均數(shù)與方差公式進(jìn)行求解是解本題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】試題分析：根據(jù)隨機(jī)事件的定義：在相同條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象（2）是必然發(fā)生的，（3）是不可能發(fā)生的，所以不是隨機(jī)事件，故選擇D考點(diǎn)：隨機(jī)事件的定義二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】.12、.【解析】

利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由余弦定理得，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用和反三角函數(shù)，解題時(shí)要充分結(jié)合元素類型選擇正弦定理和余弦定理解三角形，考查計(jì)算能力，屬于中等題.13、5【解析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.14、1【解析】

若數(shù)列{an}為等差數(shù)列則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差數(shù)列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差數(shù)列．因?yàn)樵诘炔顢?shù)列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=1．故答案為1．15、【解析】由題意，則.16、【解析】

由題意利用韋達(dá)定理求得、的值，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．【詳解】解：、是方程的兩根，，，，或，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查韋達(dá)定理，兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）略（2）（3）證明略【解析】本題源自等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)．（1）證明：由題設(shè)（），得，即，．又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．（2）由（1），，……，（）．將以上各式相加，得（）．所以當(dāng)時(shí)，上式對(duì)顯然成立．（3）由（2），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．由可得，由得，①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．18、（1）見解析（2）【解析】

⑴因?yàn)?，所以，?其中是的外接圓半徑，所以，所以為等腰三角形.⑵因?yàn)椋?由余弦定理可知，，即解方程得：（舍去）所以.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接OD.證明OD為的中位線，得，即可證明；（2）由（1）可知，為與所成的角或其補(bǔ)角，在中，利用余弦定理求解即可【詳解】(1)證明：如圖，連接，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接OD.∵四邊形是平行四邊形．∴點(diǎn)O為的中點(diǎn)．∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD為的中位線，平面，平面，平面.（2）由（1）可知，為與所成的角或其補(bǔ)角在中，D為AC的中點(diǎn)，則同理可得，在中，與BD所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，異面直線所成的角，考查空間想象能力與計(jì)算能力是基礎(chǔ)題20、（1）答案不唯一，具體見解析（2）【解析】

（1）由，對(duì)分類討論，判斷與的大小，確定不等式的解集.（2）利用把用表示,代入表示為的函數(shù)，利用基本不等式可求.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，由，得，即，?dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；（2）因?yàn)椋梢阎傻?，∴，∵，∴，∴，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為?！军c(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式