天津市寧河區(qū)2024屆高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

天津市寧河區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合/={-3,-2,-1,0,1},{-1,0,1},C={x|-2<x<0},貝lJ（/nC）U8=（）

A.{-1}B.{-2,-1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,0,1}

2.設(shè)。,6eR,則“a>b>0"是的（）

ab

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.2023年7月28日，第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡稱大運(yùn)會(huì)）在四川成都開幕,

這是繼2001北京大運(yùn)會(huì)，2011深圳大運(yùn)會(huì)之后，中國第三次舉辦夏季大運(yùn)會(huì)；在成都

大運(yùn)會(huì)中，中國代表團(tuán)取得了驕人的成績.為向大學(xué)生普及大運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識(shí)，某高校

進(jìn)行“大運(yùn)會(huì)知識(shí)競賽”，并隨機(jī)從中抽取了200名學(xué)生的成績（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

成績均在[50,100]內(nèi)，將其分成5組：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],

并整理得到如下的頻率分布直方圖，則在被抽取的學(xué)生中，成績落在區(qū)間[80,90）內(nèi)的

人數(shù)為（）

A.20B.40C.60D.80

4.設(shè)a=2?s,b=0，c=log050.3,則。,6,c的大小關(guān)系為（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

5.函數(shù)在區(qū)間TE上的圖象大致是（）

cosxvZ2）

試卷第1頁，共4頁

6.如圖，在直角梯形/BCD中，AD1DC,AD〃BC,5。=4,40=2,CD=3,

以4。所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，則該幾何體的體積

94兀

B.24兀C.30KD.亍

7.已知數(shù)列｛對(duì)｝滿足：若久=3,則q=（）

22

A.48B.24C.16D.12

22

8.已知雙曲線5-%=1（°>0,6>0）的一條漸近線過點(diǎn)（2,亞），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)

在拋物線丁=4瓜的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（）

9.已知函數(shù)/（》）=5仙（8+。）［0>0,|同<外的圖象關(guān)于工=-9對(duì)稱，它的最小正周期為

兀，關(guān)于該函數(shù)有下面四個(gè)說法：

①“X）的圖象過點(diǎn)C

Sir117T

②/（X）在區(qū)間三上單調(diào)遞減；

試卷第2頁，共4頁

③當(dāng)xe[o,||時(shí),/(x)的取值范圍為-乎,.；

④把函數(shù)歹=5畝2工的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)？個(gè)單位長度，可得到/(X)的圖

6

象.以上四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)瞥=______.

1-1

11.在(X2-，6的展開式中，d的系數(shù)是.

12.過點(diǎn)(1,2)且傾斜角為:的直線和圓(x+2『+(y-3『=10相交于/,2兩點(diǎn)，貝U

M.

13.甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有大小質(zhì)地完全相同的10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、2

個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和3個(gè)黑球.若從甲箱中不放回地依次

隨機(jī)取出2個(gè)球，則兩次都取到紅球的概率為；若先從甲箱中隨機(jī)取出一球

放入乙箱；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，則從乙箱中取出的球是紅球的概率為.

14.在平行四邊形4BCZ)中，ZABC=60°,￡是CD的中點(diǎn)，AF=2FE>若設(shè)

BA=a,BC=b,則而可用Z，g表示為;若V/OE的面積為亭，則網(wǎng)的

最小值為.

15.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=t1，若函數(shù)g(x)=/(x)-a(x+l)恰有2

ln(x+l),x>0

個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

三、解答題

9

16.在。中，角。所對(duì)的邊分別為。也。，已知6=4,c=5,cosC=.

16

(1)求sing的值；

⑵求。的值；

⑶求sin(28-的值.

17.如圖，AB//CD且C￡>=2AB,ADLCD,EG//AD且AD=2EG,FG//CDS.FG=CD,

。6，平面/58,AD=CD=DG=2,M為棱尸G的中點(diǎn).

試卷第3頁，共4頁

(1)求證：8尸〃平面CEM；

(2)求直線BE與平面CEM所成角的正弦值；

(3)求平面與平面CEM夾角的余弦值.

18.記S.是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，抄“｝是等比數(shù)列，且滿足%=5,&=9,。=%+1,

“=邑?

⑴求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

〃為奇數(shù)

(2)對(duì)任意的正整數(shù)〃，設(shè)%=上〃為偶數(shù)，求數(shù)列匕｝的前2"項(xiàng)和&；

(3)求數(shù)列『1)”。也｝的前〃項(xiàng)和％eN*).

22/7

19.已知橢圓會(huì)+右=耳。％〉。)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為3,離心率為?，|/@=2.

(1)求橢圓的方程；

⑵設(shè)點(diǎn)”在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)N在圓/+/=〃上，直線四，BN

的斜率分別為K，k2,且后2=3勺，求證：

(i)BNLMN■,

(ii)直線九W過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

20.已知函數(shù)/'(苫)=111%+1％2,<7eR.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線了=/(x)在處的切線方程；

⑵求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)演廣2(0<方<芍)是函數(shù)g(x)=〃x)-ox的兩個(gè)極值點(diǎn),證明：

g(xi)-g(x2)<"|-lna.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】直接根據(jù)交集、并集的定義得答案.

【詳解】由已知NcC={-2,-1},

則（4cC）u3={-2,T,0,l}.

故選：D.

2.A

【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證充分性以及必要性即可得到結(jié)果.

【詳解】由a>b>0可得［<［,故充分性滿足；

ab

由不一定得到a>b>0,比如。=-1,6=-2,故必要性不滿足,

ab

所以“a>b>0"是的充分不必要條件.

ab

故選:A

3.C

【分析】先根據(jù)頻率和為1求出進(jìn)而可得人數(shù).

【詳解】由頻率分布直方圖可得

（0.005+a+0.04+0.015+0.01）xl0=l,解得a=0.03,

所以成績落在區(qū)間［80,90）內(nèi)的人數(shù)為200x0.03x10=60.

故選：C.

4.B

【分析】利用指數(shù)函數(shù)y=2,的單調(diào)性得到a<b<\,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)夕=log05x的單調(diào)性得

出c>l,即可求出結(jié)果.

2小,巾

【詳解】因?yàn)椤?2-°3,易知函數(shù)y=2、是增函數(shù),

又—0.5<—0.3<0,所以。<6<2°=1,

又易知y=logo.5X是減函數(shù),所以c=log（）.503>logo.50?5=l,得至！

故選：B.

5.D

答案第1頁，共13頁

【分析】根據(jù)條件，利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的取值，結(jié)合圖象即可求出結(jié)果.

兀兀—x

【詳解】因?yàn)椤╔)=」，xe,/(f)=cos(-x);丁一/,),

cosx

71兀

所以/(x)=—xe圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤,

cosx252

又〃0)=0,/(x)->+?),所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確,

故選：D.

6.C

【分析】所得幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐的組合體，分別求出圓柱與圓錐的體積，相

減可得幾何體的體積.

【詳解】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱挖去一個(gè)同底的圓錐的組合體，如圖所示：

其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于CD=3

圓柱的高等于BC=4,圓錐的高等于BC-/O=2,

底面圓的面積為兀x3?=9無，

圓錐的體積為；x9兀x2=6?t,圓柱的體積為9兀X4=36TT,

所以所得幾何體的體積為36兀-6兀=30兀.

【分析】先根據(jù)條件得到數(shù)列,ogi%］為公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公

式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】由logla"+i=l°gL+1得logl%+iT°g1即=1,

2222

答案第2頁，共13頁

所以數(shù)列,0g為公差為1的等差數(shù)列，

所以唾1。5=logLa1+4=logL3,

222

所以10gl=log13-4=log13-log1-^=log,48,

22~2々162

所以%=48.

故選：A.

8.D

【分析】根據(jù)題設(shè)條件，直接求出。,6,即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)殡p曲線=1（。>0/>0）的漸近線方程為y=±:X,所以&=子，得到

a-yplb，

又拋物線「=4氐的準(zhǔn)線方程為x=—G，所以°=百，又〃+/=。2=3,得至1」〃=1,。2=2,

所以雙曲線的方程為土-y=1,

2

故選：D.

9.B

【分析】先通過周期和對(duì)稱軸求出函數(shù)/（%）的解析式，對(duì)于①，直接代點(diǎn)判斷；對(duì)于②③，

求出2尤-1的范圍，然后利用正弦曲線的性質(zhì)判斷；對(duì)于④，根據(jù)題意平移后判斷.

【詳解】“X）的最小正周期為兀，所以臼=兀，得0=2,

G）

由?。╆P(guān)于工=若對(duì)稱，則｛m=sinG+T=±l,

所以一巴+9=—+kn,keZ,解得夕=空+祈，左￡Z,

623

又I同<?所以夕==,

所以/'（x）=sin（2x-g）,

對(duì)于①：而14>0,①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：由凈XV者得W，函數(shù)尸sinx在py上單調(diào)遞減，所以“X）在

區(qū)間iSjrf1'Ijr*上單調(diào)遞減，②正確；

答案第3頁，共13頁

對(duì)于③：由OWxW：得一函數(shù)V=sinx在一g,笄上的值域?yàn)楫?dāng),1

/DDDJJ乙

所以“X)的取值范圍為-丁,1,③錯(cuò)誤;

7T

對(duì)于④，把函數(shù)V=sin2x的圖象上所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)￡個(gè)單位長度得

6

y=sin2(x-sin12x-E,④正確;

故選：B.

10.l+3z73z+l

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出答案.

4+2i(4+2i)(l+i)4+6i+2i?2+6i-,

【詳解】1-i-(l-i)(l+i)~2~+1

故答案為：l+3i

11.60

【分析】利用(一:展開式的通項(xiàng)公式"(-2)d(04r46/eN),即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為

Tr+l=刃(玲J(__y=(一2)(320(0<r<6,r€N),

X

所以/的系數(shù)為(-2)2戢=4x15=60,

故答案為：60.

12.2A/2

【分析】求出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式和垂徑定理求出弦長.

JT

【詳解】因?yàn)閠an/，所以直線方程為尸2=1,即…+"

|-2+1-3|

圓心(-2,3)到直線y=x+l的距離為d==20,

y/1+l

故網(wǎng)=2,10-屋=2夜,

故答案為：2友

29

13.

922

【分析】根據(jù)條件，先求出基本事件的個(gè)數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，再由古典概率

答案第4頁，共13頁

公式即可求出第一空的結(jié)果；用4，4，4表示從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球、白球、黑

球，事件8：從乙箱中取出的球是紅球，從而有2=84+24+時(shí),再利用互斥事件的概

率公式及全概率公式即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閺募紫渲胁环呕氐匾来坞S機(jī)取出2個(gè)球，共有A；。=90種取法，

又兩次都取到紅球，共有A；=20種取法，由古典概率公式知，兩次都取到紅球的概率為

2

9

記事件4：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是紅球，記事件4：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是白球,

記事件4：表從甲箱中隨機(jī)取出一球是黑球，記事件5：從乙箱中取出的球是紅球,

113544

則尸⑷=-,P（A2）=-,P（A3）=-,P（B14）=-,P（S\A2）=-9P（BM3）=-，

乙JJL\J，，L11，

所以P(B)=P(BA]+BA2+BA2)=尸(54)+P(BA2)+P(BA2)

1514349

=P(BI4)P(4)+P(8|4)P(4)+P⑻4)p(a)=yY常/五.

29

故答案為：—；—.

2-274百

14.—a+—b—

333

【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算法則，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算公式以及模的運(yùn)

算公式，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，

=BA+AF=BA+^AE=BA+|(4D+D￡>^+，-#)=￡$，

設(shè)卜上加,同=〃，因?yàn)閂4OE的面積為且，可得J_〃,0sin60°=@,即加〃=4,

11112222

又由忖網(wǎng)=(^a+~^)2=~(a+B+2tz-b)=^-(m2+H2+cos60)

44iA

=—(m2+H2+mri)>—(2mn+mn)=—,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃時(shí)，等號(hào)成立，

所以網(wǎng)的最小值為孚.

故答案為：；生8.

333

答案第5頁，共13頁

【詳解】數(shù)形結(jié)合，由直線V=a(x+1)與曲線了=/(x)的位置關(guān)系可得當(dāng)

aG(-00,時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y=g(口恰有兩個(gè)零點(diǎn).

V=I紀(jì)2+x\y

Q\

0X

y^a(x+1)\

點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程

根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思

想找到解題的思路.

16.⑴也

4

(2)6

3V7-V3

⑶

16

【分析】(1)先求出sinC,然后利用正弦定理求解;

(2)利用余弦定理列方程求解;

(3)先求出cos28,sin25,然后利用兩角差的正弦公式計(jì)算sin128-,即可.

【詳解】(1)根據(jù)C為三角形的內(nèi)角可得sinC=Jl-85七=區(qū)

16

.5近

b4x-----

根據(jù)正弦定理得sin5=如￡

sinBsinC16

54

答案第6頁，共13頁

(2)根據(jù)余弦定理cosC="-+亡/="+1匕25=

2ab8。16

解得。=6,(負(fù)值舍去)；

(3)因?yàn)閎<c,所以5為銳角，

所以cosB=71-sin2B=—,

4

所以sin25=2sinBcosB=2xx—=3y,

448

27971

cos2B—cosB—sinB=---------——,

16168

grp,..con.7t37711V3377-V3

加以sm2B——=sin26cos——cos2^sin—=-----x-------x——=-------------

<3)33828216

17.(1)證明見解析

喈

⑶孚

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行；

（2）利用向量求線面角；

（3）利用向量求面面角.

【詳解】（1）由。G,平面48CD,ADVCD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則3（2,1,0）,尸（0,2,2）,C（0,2,0）,￡（1,0,2）,河（0,1,2）,

所以麗=（-2,1,2）,屋=（1,-2,2）,西;=（0,-1,2,

設(shè)面CEN的法向量為五=（x,y,z）,

CE-n=x-2y+2z=0/、

則一_，取z=l可得元=（2,2,1）,

CM-n=-y+2z=0

.1ULU

此時(shí)尸=-4+2+2=0,

所以］_L而，又8尸Z面CEM,

所以AF〃平面CW；

答案第7頁，共13頁

(2)設(shè)直線8E與平面CEM所成角為。，BE=(-1-1,2),

,明|—2—2+2|V6

所以sin。=

74+4+1x71+1+4-9

即直線BE與平面CEM所成角的正弦值為國；

9

(3)設(shè)面的法向量為比=(〃也。)，=(-1,-1,2),=(-2,0,2),

BE-m=-a-b+2c=0/、

貝！I__,取a=l可得而=(1,1,1),

BM-m=-2a+2c=0

設(shè)平面BEM與平面CEM夾角為0,

\n-m\_2+2+1_5下＞

所以COS0=

\n\-\m\73x39

即平面BEM與平面CEM夾角的余弦值—.

9

18.(1)%=2〃-1也=2"

4"+14

(2)?(2?-l)+--y

⑶“2(［廣2”1)/ci

【分析】(1)利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式列方程組求解;

(2)利用分組求和，將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和分別求出即可；

(3)利用錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為等比數(shù)列｛a｝的公比為,

答案第8頁，共13頁

%=%+2d=5〃]—l

S=34+3d=9d=2

則3解得4

a7=%+1,4=2

3

bxq=4%+6dq=2

所以?！?2〃一1也=2"；

為奇數(shù)

(2)由(1)得g=

2”,〃為偶數(shù)

以=(%+%+…+。21)+(。+"+…+。")

力(1+4〃-3)4-4.24",、4"44

—--------+-------=n(2n-1k----------

21-4'’33

(3)由(1)得㈠)%也=(-1)"?伽一1)2=(2〃一1〉(-2)”,

則=lx(-2)+3x(-2)2+--+(2”-l)x(-2)”,

所以-2Mn=1x(-2)2+3x(-2)3+…+(2〃-3)x(-2)"+(2〃-1)x(-2―

兩式相減得

3M“=lx(-2)+2[(-2)~+(-27+-??+(-2)"]-0止1)<卜2廣

4-(-2)川

——2+2x-(2?-l)x(-2)"+1

1-(-2)

=?一?(_2廣

所以以

19.(1)±-+/=1

(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析，定點(diǎn)為(0,-1)

【分析】(1)根據(jù)條件，直接求出/=3,〃=1,即可求出結(jié)果；

V=勺+1

(2)根據(jù)條件，設(shè)出直線8W：y=/x+l,直線BN:y=3%x+l,聯(lián)立/=1’得到

I

1+3奸'1+3后，

答案第9頁，共13頁

聯(lián)立2]，得--yy,-~~—7^),通過計(jì)算得麗1-雙亓=0,即可證明8N_LMV;

[x+y=11+9左；l+9k-

再計(jì)算出心=-4,從而得出直線血W的方程＞=-JxT,即可求出結(jié)果.

3k13k\

【詳解】(1)由題知，,"77=2,y.a2=b2+c2,解得片=3,〃=1,

a3

丫2

所以橢圓的方程為土+/=1.

3

(2)(i)由(1)知5(0,1),設(shè)直線=尤%+1,直線=3左x+1,

y=kxx+\

6左1_6k；_1_3k；

X22,

由＜,消y得至I」(1+36+6左］X=0,得至I」XM1+3好'%=-1+3好+1+3月’

——+V=1

I3

所以

v=3kyX+\,r.6k,

由221，消。得到(1+我)%+6KX=0,得到%=

x+y=11+%1+9奸1+%'

grpi(1

所以N刈一帝6kl肝，由.9k1，

,,無3/6左—18左;、36K—12k；

故BN=(------4-,----y),MN={

1+9左：1+9左；(1+9^2)(1+3^2)9(1+9^2)(1+3^2

36k；(一6%)-12k；(一18肝)一2161+216爐

所以麗?茄？=(1+942)(1+342)*1+99；+(1+9后；)(1+342)*1+9肝-(1+9^2)2(1+3^2)=0,

做BN1MN,

1-9好l-3/2

1+9儲(chǔ)-1+3奸1

(ii)由⑴知Mv

6kl6kl

-----------——I--------------

1+9好1+3左：

所以直線W的方程為了一霹,整理得至獨(dú)一上、-1,

所以直線血W過定點(diǎn)，定點(diǎn)為(0,-1).

答案第10頁，共13頁

20.(l)4x-2y-3=0

(2)答案見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)，然后求出了'(1),/(1),根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程；

(2)求導(dǎo)，然后分0和a<0討論求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)根據(jù)極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，令土=人0</<1,利用韋達(dá)定理將。用t表示，代入

%

g(xJ-g(X2)-(￡-lna),構(gòu)造函數(shù)求其最值即可.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=lnx+-^x2,

得/'(x)=：+x，則/'⑴