廣西桂平市2024年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

廣西桂平市2024年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遣到4、B、C三個(gè)貧

困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到A縣的分法有（）

A.6種B.12種C.24種D.36種

V2V24

2.已知雙曲線與-%=1的一條漸近線方程為y=則雙曲線的離心率為（）

4553

A.—B.—C.—D.一

3342

3.如圖，正方體A3CD-A4GR的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)E在線段4G上，F(xiàn)、〃分別是A。、CD的中點(diǎn)，則下列

A.FMIAG，B.存在點(diǎn)E,使得平面8瓦V/平面CG

C.平面D.三棱錐3—CE尸的體積為定值

4.已知數(shù)列二-.滿足二；二二，且二-一一J二-+二二三二；則數(shù)列二-的通項(xiàng)公式為（）

A.B.二A-」C.二二一jD.

5.在三棱錐D—ABC中，AB=BC=CD=DA=1,且43,3。,。，。1,知,"分別是棱8。，CD的中點(diǎn),

下面四個(gè)結(jié)論:

①Acm)；

②MN//平面MD；

③三棱錐A-CMN的體積的最大值為正；

12

④AO與一定不垂直.

其中所有正確命題的序號(hào)是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

6.已知隨機(jī)變量X的分布列是

X123

￡1

Pa

23

貝！J￡(2X+a)=()

57723

A.-B.-C.-D.—

3326

TTTT

7.將函數(shù)/（%）=sin（2x-可）（xeR）的圖象分別向右平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度與向左平移"（〃>0）個(gè)單位長(zhǎng)度，若所得到

的兩個(gè)圖象重合，則〃的最小值為（）

n2萬(wàn)71

A.-B.—C.—D.n

332

8.設(shè)4=log3().5,6=logo_20.3,c=20-3,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

函數(shù)/（%）=4sin[ox+。[0〉0）的最小正周期是3萬(wàn),

9.則其圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的一條對(duì)

O

稱軸是（）

71n5兀19%

A.x———B.x——C.x二——D.x----

43612

10.已知向量a=(1,4),b=(—2,m),若|a+1|=|a-b\,則〃?=()

11

A.——B.-C.-8D.8

22

11.已知拋物線y2=2px（p〉0）上一點(diǎn)（51）到焦點(diǎn)的距離為6,P、。分別為拋物線與圓（x-6了+V=i上的動(dòng)點(diǎn),

則歸。|的最小值為（）

A.V21-1B.2-y-c.2V5D.

12.已知x>0,y>0,x+2y=3,則匚包的最小值為(

)

孫

A.3-20B.2A/2+1C.V2-1D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.二項(xiàng)式［工―2xj的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和為,含/項(xiàng)的系數(shù)為

14.在ZkABC中，ZBAC=60，AO為N5AC的角平分線，且AO=(AC+(A8,若A3=2,則BC=.

15.已知集合4={年叫1-2%<5},B=［-2-1,1,2},則AB=.

16.若隨機(jī)變量自的分布列如表所示，貝!|石(。)=,0(2^-1)=.

J-101

j_

paa1

4

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=|x—1|—2卜+3］.

(1)求不等式/(%)<1的解集；

(2)若存在實(shí)數(shù)X,使得不等式加2—3m-/(“<0成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+°)f4〉0,?！?,-^<°<9］的最小正周期是萬(wàn)，且當(dāng)x=工時(shí)，/(%)

V2276

取得最大值2.

(1)求/(九)的解析式；

(2)作出“X)在［0,句上的圖象(要列表).

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=ox-(a+l)lnx—L+2(aeR).

(1)討論函數(shù)/(X)單調(diào)性；

(2)當(dāng)〃二一2時(shí)，求證：/(x)<ex-2x——.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ej—ln(x+a)(a〉0).

（1）證明：函數(shù)/‘（X）在（0,+8）上存在唯一的零點(diǎn);

（2）若函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,+8）上的最小值為1,求2的值.

r

-v*-4mq/~y

21.（12分）在直角坐標(biāo)系九0y中，曲線G的參數(shù)方程為（。為參數(shù)），以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以工軸正

y=sina

7T

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線。2的極坐標(biāo)方程為夕sin（3+：）=2.

6

（1）求曲線a的普通方程與曲線c2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)A,3為曲線q上位于第一,二象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且ZAOB=1■，射線04,08交曲線。2分別于。，。，求AAOB

面積的最小值，并求此時(shí)四邊形ABC。的面積.

22.（10分）如圖（1）五邊形ABCDE中，ED=EA,AB//CD,CD=2AB,

/EDC=150,將AEAD沿AD折到AB4D的位置，得到四棱錐尸—A5CD,如圖（2）,點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，

且曲/J_平面PCD.

（1）求證：平面平面ABC。；

（2）若直線PCAB與所成角的正切值為工，求直線8M與平面尸￡歸所成角的正弦值.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

分成甲單獨(dú)到A縣和甲與另一人一同到A縣兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲被派遣到A縣的分法數(shù).

【詳解】

如果甲單獨(dú)到A縣，則方法數(shù)有C；x&=6種.

如果甲與另一人一同到A縣，則方法數(shù)有C；x$=6種.

故總的方法數(shù)有6+6=12種.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查簡(jiǎn)答排列組合的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

由題意得出勺的值，進(jìn)而利用離心率公式e=Jl+-可求得該雙曲線的離心率.

【詳解】

雙曲線與-}=1的漸近線方程為丁=±2》，由題意可得=—,

因此，該雙曲線的離心率為e=￡

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式e=Jl+-計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐3-CE尸以三角

形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因?yàn)椤盡分別是中點(diǎn)，所以9〃AC〃AG，故A正確；

在B中，由于直線5尸與平面有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)E，使得平面3EF//平面CG2。，故B錯(cuò)誤；

在C中，由平面幾何得BMLCb,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出3"，CC,結(jié)合線面垂直的判定定理得出氏0，平

面CC/，故C正確;

在D中，三棱錐5-CEF以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐5-CEF的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

4、D

【解析】

）

試題分析：因?yàn)榭?m=40口+3,所以::1+/+2=4（：1:+/）,即鬟弗所以數(shù)列。Q+7是以口［+，=4為首項(xiàng),

公比為4的等比數(shù)列，所以二二+1==r=5:,即:］0=產(chǎn)一/,所以數(shù)列（Do］的通項(xiàng)公式是二二=二二一二，

故選D.

考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式.

5、D

【解析】

①通過(guò)證明AC，平面08。，證得ACLB。；②通過(guò)證明腦V/AB。，證得W//平面ABD；③求得三棱錐

A-QVW體積的最大值，由此判斷③的正確性；④利用反證法證得AD與一定不垂直.

【詳解】

設(shè)AC的中點(diǎn)為。，連接。氏8,則ACLOB,ACYOD,又OBOD=O,所以AC,平面08。，所以

AC±BD,故①正確；因?yàn)镸NIIBD,所以MN//平面曲，故②正確；當(dāng)平面ZMC與平面ABC垂直時(shí)，VA_CMN

最大，最大值為匕CMN=%ACM='xLx受=也，故③錯(cuò)誤；若AD與垂直，又因?yàn)樗訠CJ_

平面ABD,所以5CL5D,XBD1AC,所以5￡>_L平面ABC,所以因?yàn)?5=。。，所以顯然比）

與08不可能垂直，故④正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間線線垂直、線面平行、幾何體體積有關(guān)命題真假性的判斷，考查空間想象能力和邏輯推理能力,

屬于中檔題.

6、C

【解析】

利用分布列求出求出期望￡（X）,再利用期望的性質(zhì)可求得結(jié)果.

【詳解】

由分布列的性質(zhì)可得,+，+。=1,得。=,，所以，E（X）=lxl+2x-+3x-=-,

236'，2363

因此，E（2X+a）=E^2X+|^|=2E（X）+1=2x|+-|=1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，是基本知識(shí)的考查.

7、B

【解析】

首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖像重合，

那么加+〃=-7，利用/（x）的最小正周期為萬(wàn)，從而求得結(jié)果.

【詳解】

AM的最小正周期為萬(wàn)，

兀

那么一+”=左乃（左GZ）,

3

于是〃=k/c---,

3

于是當(dāng)左=1時(shí)，"最小值為2當(dāng)7r，

故選B.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.

8、A

【解析】

選取中間值。和1,利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3%，，=1。80.2%和指數(shù)函數(shù)了=2*的單調(diào)性即可求解.

【詳解】

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log3x在（0,+。）上單調(diào)遞增，

所以Iog3（）.5<log31=0,

因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=log02X在（0,+。）上單調(diào)遞減，

所以0=log021<log020.3<log020.2=1,

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=2,在R上單調(diào)遞增，

所以2°3>2°=1,

綜上可知,a<Z?<c.

故選:A

【點(diǎn)睛】

本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是

求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

9、D

【解析】

由三角函數(shù)的周期可得0=與-，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為>=4sin[§x+gJ,再求其

對(duì)稱軸方程即可.

【詳解】

解：函數(shù)/（x）=4sin"+"（o〉0）的最小正周期是3萬(wàn)，貝幅數(shù)F（x）=4sin5+，經(jīng)過(guò)平移后得到函數(shù)

27171=4sin4+也

解析式為y=4sin-XH---+—，由一xH-----=k.71H—（keZ）,

6339392

37T19乃

得x左》+三（左eZ）,當(dāng)左=1時(shí)，x=詈.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

先求出向量O+b,a-b的坐標(biāo)，然后由|a+b|=|a-b|可求出參數(shù)加的值.

【詳解】

由向量a=（1,4）,b=（-2,m）,

貝!）4+》=（-1,4+機(jī)），a-b=（3,4—

222

|a+」|=#+（4+加）,|fl-M=^3+（4-m）

又Ia+61=|a-61,則^l2+（4+m）2=^32+（4-?/?）2,解得機(jī)=g.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11>D

【解析】

利用拋物線的定義，求得P的值，由利用兩點(diǎn)間距離公式求得根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得由|PQ|取

得最小值為歸叫而「1,求得結(jié)果.

【詳解】

由拋物線C:y=2Px3>0）焦點(diǎn)在X軸上，準(zhǔn)線方程X=—g，

則點(diǎn)（5,0到焦點(diǎn)的距離為d=5+K=6,則。=2,

2

所以拋物線方程：V=4x,

設(shè)尸(x,y),圓AT:(x-6)?+y2=1,圓心為(6,1),半徑為1,

貝（JI=V（^-6）2+y2=J（無(wú)-6）2+4%=J（x-4尸+20,

當(dāng)％=4時(shí)，|尸@取得最小值，最小值為而—1=26—1,

故選D.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)距離的最小值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為其到圓心的

距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.

12、B

【解析】

x2+3yx2(x2y)yx2^EH

=++=+1+Z1+2=，選B

xyxyyxVyx

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1240

【解析】

將％=1代入二項(xiàng)式可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可

得出爐項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】

將x=1代入二項(xiàng)式[--2^可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為（1-2）6=1.

二項(xiàng)式（工-2x）的展開(kāi)式通項(xiàng)為心=墨6"-2x）'=C"（-2『x2f

令2r—6=2,解得廠=4,因此，展開(kāi)式中含公項(xiàng)的系數(shù)為16C；=16x15=240.

故答案為：1;240.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

14、2百

【解析】

由Ar>=（AC+[AB,求出5。,。。長(zhǎng)度關(guān)系，利用角平分線以及面積關(guān)系，求出AC邊，再由余弦定理，即可求解.

【詳解】

AD=^AC+^AB,^(AD-AC)=撩(AB-AD),

CD=3DB,:.CD=3DB,

c-AC-sin

AD-ACAD”A“

.SADCCD2=CAC

AB*2

SADBBD-AB-AD-sinZBAD

2

AC=6,BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=40-2x6=28,

BC=25.

故答案為：2療.

【點(diǎn)睛】

本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.

15、{-1,1,2)

【解析】

由于A={xeR|l—2x<5}={xeR|x>—2},B={-2,-1,1,2},則AB={-1,1,2}.

111

16、一——

44

【解析】

首先求得。的值，然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值，最后求得。偌)的值，由方差的性質(zhì)計(jì)算。(2J-1)的值即可.

【詳解】

[31

由題意可知---FQ2=],解得〃=(舍去)或〃=—?

422

貝！JE(J)=_1X，+0XL+1><4=1

2444

則。⑷毆+[。+2x/1+144

由方差的計(jì)算性質(zhì)得D(2^-l)=4。(3=?.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分布列的性質(zhì)，均值的計(jì)算公式，方差的計(jì)算公式，方差的性質(zhì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17>(1)(-co,-6)i,(-2,+oo)；(2)(-1,4).

【解析】

(1)將函數(shù)y=/(x)的解析式表示為分段函數(shù)，然后分xW—3、-3<x<Kx21三段求解不等式/(%)<1,綜合

可得出不等式八%)<1的解集；

(2)求出函數(shù)y=/(x)的最大值/(%)1raJ由題意得出加2—3相</(x)111ax,解此不等式即可得出實(shí)數(shù)〃z的取值范

圍.

【詳解】

x+7,x<-3

/(x)=|x-l|-2|x+3|=<-3x-5,-3<x<1.

—x—7,x>1

(1)當(dāng)％W-3時(shí)，由/(x)=x+7<1,解得x<-6,此時(shí)x<-6；

當(dāng)一3<%<1時(shí)，由/(X)=-3%-5<1,解得］>-2,此時(shí)一2<%<1；

當(dāng)時(shí)，由/(%)=—*一7<1,解得x>—8,此時(shí)xNl.

綜上所述，不等式/(x)<l的解集(—,-6)(-2,-H?)；

(2)當(dāng)3時(shí)，函數(shù)〃x)=x+7單調(diào)遞增，則/(x)"(—3)=4；

當(dāng)—3<x<l時(shí),函數(shù)/(X)=—3x—5單調(diào)遞減，則/⑴</(%)</(—3),BP-8</(X)<4；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(%)=—》—7單調(diào)遞減，貝！|/(x)W/(—l)=—8.

綜上所述，函數(shù)y=/(X)的最大值為“XL=/(-3)=4,

2

由題知，m-3m<f(x)niax=4,解得一1<相<4.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是(-1,4).

【點(diǎn)睛】

本題考查含絕對(duì)值不等式的求解，同時(shí)也考查了絕對(duì)值不等式中的參數(shù)問(wèn)題，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中等題.

18>(1)/(x)=2sinj^2x+^；(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)y=/(x)的最小正周期可求出。的值，由該函數(shù)的最大值可得出4的值，再由/［彳1=2,結(jié)合。的

取值范圍可求得9的值，由此可得出函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)由1?0,旬計(jì)算出2x+工的取值范圍，據(jù)此列表、描點(diǎn)、連線可得出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,句上的圖象.

【詳解】

(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的最小正周期是乃，所以。=』=2.

又因?yàn)楫?dāng)x=9時(shí)，函數(shù)y=/(x)取得最大值2,所以A=2,

6

同時(shí)2乂￡+0=2左乃+/(左eZ),得0=2左乃+彳(左eZ),

因?yàn)橐弧辏枷Γ肌?所以e=g所以/(x)=2sij2x+g］；

226V^7

(2)因?yàn)閤e[0,?],所以2x+7e兀\3兀

~6'~6~

列表如下:

cn71713/r137r

71

2xH—~22?

66~6~

n5兀2〃UTT

X0n

6~nT~12

/W120-201

描點(diǎn)、連線得圖象:

—

十

一一、I-

O--!—rI

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I

」

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時(shí)也考查了利用五點(diǎn)作圖法作圖，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.

19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類討論/(%)單調(diào)性

(2)欲證/(x)</—2x—L只需證lnx+2<，，構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln.x—e，+2,證明g(九)1mx<0,這時(shí)需研究

X

g(x)的單調(diào)性，求其最大值即可

【詳解】

解：(1)/1(x)==-(a+l)lnx—-+2的定義域?yàn)?0,+巧,

—(x)="^^+4=ax2++1

22

XXXX

①當(dāng)aVO時(shí)，由/''(尤)<0得x>l,由/''(x)>。，得尤<1,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+⑹單調(diào)遞減；

②當(dāng)0<。<1時(shí)，由/'(x)<0得1<%<工，由/'(x)>0,得x<l,或x>L,

aa

所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1,：［單調(diào)遞減，在［單調(diào)遞增；

③當(dāng)0=1時(shí)，.0,所以/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)a>i時(shí)，由尸(了)<。，得由r(x)>。，得或%>i,

所以/(%)在上單調(diào)遞增，在\，11單調(diào)遞減，在(L+8)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a=—2時(shí)，欲證/(%)<"—2X—L,只需證lnx+2<e。

令g(x)=lnx—e*+2,,則

X

因存在光0?0,1),使得L=*成立，即有x°=—lnxo,使得g'(%)=0成立.

當(dāng)x變化時(shí)，g'(x),g(x)的變化如下:

X(Q%o)(%，+8)

g'(x)+0—

g(x)單調(diào)遞增g(%)單調(diào)遞減

所以g(x)1mx=g(Xo)=lnXo_e%+2=_Xo_L+2=_/+工+2.

尤0I*0)

因?yàn)樗?+^-〉2,所以g(x)a<-2+2=。.

X()一

即g(x)=lnx—e*+2Wg(x)1mx<0,

所以當(dāng)a=—2時(shí)，〃x)<"—2x—!成立.

X

【點(diǎn)睛】

考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.

20、(1)證明見(jiàn)解析；(2)-

2

【解析】

(1)求解出導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明/(X)在(0,+8)上存在唯一的零點(diǎn)即可；

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)X。，判斷出/(x)的單調(diào)性，從而/'(x^n可確定，利用以及y=L-lnx的單調(diào)性,

JC

可確定出七,a之間的關(guān)系，從而。的值可求.

【詳解】

(1)證明：Vf(x)=e^a-ln(x+a)(a>0),f'(x)=ex-a———.

x+a

???/-〃在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+電)上單調(diào)遞減，

x+a

...函數(shù)/'(X)在(0,+勾)上單調(diào)遞增.

a

1a-e

又/(0)=”"——=-——，令g(a)=a—e"(a>0),g'(a)=1—<0,

aaea

則g(a)在(0,+s)上單調(diào)遞減，g(a)<g(0)=-l,故/'(0)<0.

令=a+1,則f\ni)=f\a+1)=e------>0

2a+1

所以函數(shù)/(x)在(0,+s)上存在唯一的零點(diǎn).

(2)解：由(1)可知存在唯一的％e(0,+8),使得/(%)=靖「"一一--0,即靖L=—(*).

xQ+axQ+a

函數(shù)/'(%)=-——在(0,+8)上單調(diào)遞增.

x+a

???當(dāng)X￡(O,Xo)時(shí)，r(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)X￡(X0,y)時(shí)，r(x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

???/(X)血n=/(Xo)=*-"Tn(x0+a).

由⑴式得〃x)mL“x0)=出-ln(x°+o

1

-ln(x0+a)=l,顯然不+。=1是方程的解.

x0+a

又；y=L-lnx是單調(diào)遞減函數(shù)，方程」-一ln（x0+a）=1有且僅有唯一的解/+a=1,

xx0+a

11

把%=1—。代入（*）式，得3-2。=1,，。=耳，即所求實(shí)數(shù)"的值為

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)，難度

較難.（1）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；（2）函數(shù)的“隱零點(diǎn)”問(wèn)題,

可通過(guò)“設(shè)而不求”的思想進(jìn)行分析.

丫2廠329

21、（1）—+/=1；x+V3y-4=0（2）AOB面積的最小值為一；四邊形的面積為下

3-44

【解析】

（1）將曲線G消去參數(shù)即可得到G的普通方程，將x=〃cos。，y=〃sin。代入曲線C2的極坐標(biāo)方程即可；

JTn

（2）由⑴得曲線G的極坐標(biāo)方程，設(shè)53,。+萬(wàn)），。（夕3，'），c（p4,^+-）

1142114I3

利用方程可得F+F=再利用基本不等式得一^—+—=T,即可得5AA03=7822：,根據(jù)題意知

^ABCD=S^COD-SMOB,進(jìn)而可得四邊形ABC。的面積.

【詳解】

x=、/3cosa丫2

（1）由曲線G的參數(shù)方程為（々為參數(shù)）消去參數(shù)得上+y2=i

y=sina3

TTjrjr

曲線C2的極坐標(biāo)方程為夕sin（SH——）=2,即psin6>cos—+pcos6>sin—=2,

666

所以，曲線。2的直角坐標(biāo)方程x+4=0.

（2）依題意得G的極坐標(biāo)方程為",0+夕2sin?e=1

jrjr

設(shè)A（8，。），B（A,0+-）,。（夕3，e）,c（p?o+-）

222

m.1P，cos02.2Z1,Pisin022n,田1J_1_4

則^^21-------Fp：sin0=\,----------Fp'cos_0=1,ax-r+-r-T

3132PiPi3

2/114n

???——^—+—=r,當(dāng)且僅當(dāng)夕i=a（即。=7）時(shí)取“=”，

P