廣東省茂名市電白區(qū)2021-2022學年高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.相傳黃帝時代，在制定樂律時，用“三分損益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音調(diào).如圖的程序是與“三分損

益”結(jié)合的計算過程，若輸入的x的值為1,輸出的x的值為（）

/輸出X/

，*、

2

2.已知雙曲線C:/—%=1伍〉0）的一條漸近線方程為＞=20，片，心分別是雙曲線。的左、右焦點，點P

在雙曲線C上，且閥|=3,則|*=（）

A.9B.5C.2或9D.1或5

3.ABC是邊長為2G的等邊三角形，E、尸分別為AB、AC的中點，沿跖把..AE產(chǎn)折起，使點A翻折到點P

的位置，連接P5、PC,當四棱錐尸-6CEE的外接球的表面積最小時，四棱錐P-5CEE的體積為()

A58R373?V6n376

4444

4.已知集合4={劉,一1]<3/￡2},3={尤￡2|2'￡4},則集合3=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2)

5.函數(shù)/(x)=sin[2x+H<xW總的值域為()

A.----,1B.0,—C.[0,1]D.----,0

2__2__2

6.已知函數(shù)/'(￡)=25m(皿+。)一1(?>o,。<。<萬)的一個零點是?，函數(shù)y=/(x)圖象的一條對稱軸是

直線x=-g,則當。取得最小值時，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.3k7r----,3kji-----（左wZ）B.3k7T--,3k7T--（左eZ）

L36__36

2萬71

C.2k兀—--,2k;i--（左wZ）D.2k7l--,2k7l--（左wZ）

3636

7.已知集合乂=仃Iy=[,x>0},N={xIy=lg（2x—二D},則MCIN為（）

A.（1,4-oo）B.（1,2）C.[2,+oo）D.[1,+oo）

8.函數(shù)y=tan[（x—q]的部分圖象如圖所示，貝!）（04+03）?A3=（）

x-4y+4<0

9.在平面直角坐標系中，若不等式組<21+丁-1040所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(%,%),使不等式毛+m%+1<0

5%-2y+220

成立，則實數(shù)加的取值范圍為()

(一8,一

A.(-oo,-1-]B.g]C.[4,+oo)D.（-oo,-4]

10.復數(shù)z滿足2（1+。=2@為虛數(shù)單位），貝!Jz的虛部為（）

A.iB.-iC.-1D.1

11.德國數(shù)學家萊布尼茲（1646年-1716年）于1674年得到了第一個關(guān)于7r的級數(shù)展開式，該公式于明朝初年傳入我國.

在我國科技水平業(yè)已落后的情況下，我國數(shù)學家、天文學家明安圖（1692年-1765年）為提高我國的數(shù)學研究水平，從乾隆

初年（1736年）開始,歷時近30年，證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新

級數(shù)公式，著有《割圓密率捷法》一書，為我國用級數(shù)計算兀開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于兀的

級數(shù)展開式”計算兀的近似值（其中P表示n的近似值）,若輸入“=10,則輸出的結(jié)果是（）

/輸入n/

S=O,1=1

n“1111、1111、

A.P=4(l——+------+…+—)B.P=44Z(l——+-------+----------)

3571735719

1111、1111、

C.P=4(l一一+----+…+—)D.P=4(l——+------+---------)

3572135721

12.已知。=(1,3),〃=(2,2),。二(〃,一1),若(Q—C)_L/?,貝!等于()

A.3B.4C.5D.6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設P為有公共焦點耳，耳的橢圓G與雙曲線02的一個交點，且尸片，尸心，橢圓G的離心率為竹，雙曲線。2的

離心率為外,若4=36,貝!14=.

14.某校共有師生1600人，其中教師有1000人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個容量為80的樣本，則

抽取學生的人數(shù)為.

15.圖（1）是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖（2））,其

中。=A4=4A3==44=1,則44?44的值是.

16.一個空間幾何體的三視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是

側(cè).視圖

俯視圖。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(工)=兀/一2%

(1)求函數(shù)Ax)在(1"⑴)處的切線方程

(2)設函數(shù)g(x)=/(x)-21nx,對于任意xe(O,”)，g(x)>a恒成立，求。的取值范圍.

18.(12分)對于很多人來說，提前消費的認識首先是源于信用卡，在那個工資不高的年代，信用卡絕對是神器，稍

微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買，甚至于分期買，然后慢慢還！現(xiàn)在銀行貸款也是很風靡的，從房貸到車貸

到一般的現(xiàn)金貸.信用卡“忽如一夜春風來”，遍布了各大小城市的大街小巷.為了解信用卡在A市的使用情況，某調(diào)

查機構(gòu)借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進行抽樣分析，得到如下2x2列聯(lián)表(單

位：人)

經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計

40歲及以下153550

40歲以上203050

合計3565100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為A市使用信用卡情況與年齡有關(guān)？

(2)①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中，按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人，然后,

再從這10人中隨機選出4人贈送積分，求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率；

②將頻率視為概率，從A市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品，記其中經(jīng)常使用信用卡的人

數(shù)為X,求隨機變量X的分布列、數(shù)學期望和方差.

央小八4n(ad-bc)2

參考公式：K=-------------------------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

pg.kJ0.150.100.050.0250.010

k。2.0722.7063.8415.0246.635

19.（12分）如圖，在四棱錐尸—A5CD中，PD=2AD,PD±DA,PD±DC,底面ABC。為正方形，M.N

分別為AD、的中點.

（1）求證：PA//平面MNC；

（2）求直線與平面MNC所成角的正弦值.

20.（12分）已知數(shù)列｛4｝滿足：對任意%vwN*,都有?！?、,=a“+g+2.

（1）若%+%+。6+。9=2,求的值；

（2）若｛4｝是等比數(shù)列，求伍“｝的通項公式；

（3）設kwN*，k>3,求證:若4+i，以+2,久+3,…成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.

21.（12分）某大型公司為了切實保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行

一次NCP普查，為此需要抽驗1000人的血樣進行化驗，由于人數(shù)較多，檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案①：將每個人的血分別化驗，這時需要驗1000次.方案②：按左個人一組進行隨機分組，把從每組上個人抽來的

血混合在一起進行檢驗，如果每個人的血均為陰性，則驗出的結(jié)果呈陰性，這女個人的血只需檢驗一次（這時認為每

個人的血化驗:次）；否則，若呈陽性，則需對這人個人的血樣再分別進行一次化驗，這樣，該組上個人的血總共需要

化驗k+1次.假設此次普查中每個人的血樣化驗呈陽性的概率為P,且這些人之間的試驗反應相互獨立.

(1)設方案②中，某組上個人的每個人的血化驗次數(shù)為X,求X的分布列；

(2)設。=01，試比較方案②中，分別取2,3,4時，各需化驗的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比

方案①，化驗次數(shù)最多可以平均減少多少次？(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

22.(10分)一酒企為擴大生產(chǎn)規(guī)模，決定新建一個底面為長方形MNPQ的室內(nèi)發(fā)酵館，發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體

發(fā)酵池，其底面為長方形如圖所示)，其中ADAA5.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模，設定修建的發(fā)酵池容積為450米,

深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元，發(fā)酵池造價總費用不超過65400元

MN

(1)求發(fā)酵池AQ邊長的范圍；

(2)在建發(fā)酵館時，發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和力米的走道(b為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設計,

可使得發(fā)酵館占地面積最小.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)循環(huán)語句，輸入x=l,執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結(jié)果.

【詳解】

輸入X=l,由題意執(zhí)行循環(huán)結(jié)構(gòu)程序框圖，可得：

2

第1次循環(huán)：x=j,z=2<4,不滿足判斷條件；

Q

第2次循環(huán)：x=-,z=3<4,不滿足判斷條件；

第4次循環(huán)：x=—,z=4>4,滿足判斷條件；輸出結(jié)果》=一.

2727

故選：B

【點睛】

本題考查了循環(huán)語句的程序框圖，求輸出的結(jié)果，解答此類題目時結(jié)合循環(huán)的條件進行計算，需要注意跳出循環(huán)的判

定語句，本題較為基礎.

2.B

【解析】

根據(jù)漸近線方程求得b,再利用雙曲線定義即可求得尸心.

【詳解】

由于2=2后，所以匕=2&，

a

又歸國-|PR||=2且附-a=2,

故選：B.

【點睛】

本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎題.

3.D

【解析】

首先由題意得，當梯形5CEE的外接圓圓心為四棱錐尸-5CFE的外接球球心時，外接球的半徑最小，通過圖形發(fā)現(xiàn),

的中點即為梯形5CEE的外接圓圓心，也即四棱錐P—5CEE的外接球球心，則可得到PO=OC=K，進而可

根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.

【詳解】

如圖，四邊形5CEE為等腰梯形，則其必有外接圓，設。為梯形5CEE的外接圓圓心，

當。也為四棱錐尸-5CFE的外接球球心時，外接球的半徑最小，也就使得外接球的表面積最小，過A作的垂線

交于點交EF于點N,連接點。必在AM上，

E、斤分別為A3、AC的中點，則必有AN=ZW=JW,

ZAPM=90，即為直角三角形.

對于等腰梯形5CFE,如圖：

今

AA

BC

因為ABC是等邊三角形，E、F、"分別為AB、AC.的中點,

必有MB=MC=MF=ME,

所以點"為等腰梯形6CEE的外接圓圓心，即點。與點"重合，如圖

P

.P。=0C=3BC=也,PA=A/AO2—PO2二右?—3=戈,

所以四棱錐P—6CEE底面BCFE的高為POPA=0瓜=近,

AM3

VP_BCF￡=15BCF￡A=|X|SABCA=|X|X|X273X3XV2=^.

故選：D.

【點睛】

本題考查四棱錐的外接球及體積問題，關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點，考查了學生空間想象能力

和分析能力，是一道難度較大的題目.

4.D

【解析】

弄清集合3的含義，它的元素x來自于集合4且不也是集合A的元素

【詳解】

因|x—1區(qū)3,所以—2WxW4,故4={—2,—1,0,1,2,3,4},又xeZ,2,wA，則％=0,1,2,

故集合3={0,1,2}.

故選：D.

【點睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對值不等式，是一道基礎題.

5.A

【解析】

由xe計算出2x+工的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)y=/（x）的值域.

【詳解】

八5萬］_?「乃77rl1.（??

L12j3L36J2I3）

因此，函數(shù)/（%）=5皿12%+|^］0＜》411|的值域為.

故選：A.

【點睛】

本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解，解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍，考查計算能力，屬于基礎題.

6.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/（龍）的一個零點是x=（,得出/圉=0,再根據(jù)x=—￡是對稱軸，得出一（―夕='+丘，keZ,

求出w的最小值與對應的9,寫出了（X）即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

依題意得，f—=2sin——+^9^—1=0,即sin——+（p=—,

\3J13）\3J2

解得----卜（p=2k、7i—或---&（p=2k2兀?----（其中,&￡Z）,①

3636

（兀①）

又sin----+0=±1,

16）

即-----F（P-k^TCH（其中左3WZ）.②

62

由①一②得；——（2左］—左3）萬一彳或W—（2左2—%）"+1,

2?2

即@=2（2匕_&）_］或切=2（2左2—6）+§（其中K，女2，RGZ）,因此。的最小值為一.

3

因為sin-------F9J—sin-------Fcpj=±1,所以一2+夕=工+左》（丘Z）.

92

(/

27171271

又。<0〈萬，所以夕=彳+工,所以/（x）=2sin—x+—+—|-l=2cos—x+—|-1,

2932939

2TCSTC71

令2左刀■一萬<—JTH——<2k7i（左wZ）,則3左萬----<x<3kjt----（左EZ）.

3936

37r7i

因此，當。取得最小值時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是3k7i--,3k7i-y(丘Z).

36

故選：B

【點睛】

此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點，在對稱軸處取得最值，對稱點處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

7.B

【解析】

二=〔二曰=2二，二>0=｛二|二>I],

z='{zjz.=ig（2zi-tn）=|om-zr>o]

=｛二|二；7二<0：=｛二|。<二<二，

.,.Onc=（jj）.

故選B.

8.A

【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出4、3兩點的坐標，再求出向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出結(jié)果.

【詳解】

[JTn、TTJT

由圖象得，令y=tan|—x-—卜0,即一x--=kn,k?Z

[42)42

k=0時解得x=2,

☆y=tan(￡x—g]=i,即—三=工，解得x=3,

H2J424

A(2,0),3(3,l),

AOA=（2,0）,OB=（3,1）,AB=（1,1）,

(OA+0孫AB=(5,1).(1,1)=5+1=6.

故選：A.

【點睛】

本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖

象求出坐標，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得結(jié)果，屬于簡單題.

9.B

【解析】

依據(jù)線性約束條件畫出可行域，目標函數(shù)/+1<。恒過。(-1，°)，再分別討論機的正負進一步確定目標函數(shù)

與可行域的基本關(guān)系，即可求解

【詳解】

作出不等式對應的平面區(qū)域，如圖所示：

x4wrf|-c(m<0)

6-

5k

3

2-

其中4(2,6),直線x+叼+1=0過定點。(—1,0),

當加=0時，不等式x+l<0表示直線x+l=0及其左邊的區(qū)域，不滿足題意；

當機>0時，直線%+陽+1=0的斜率一,<0,

m

不等式x+my+l<0表示直線x+陽+1=0下方的區(qū)域，不滿足題意；

當m<0時，直線%+陽+1=0的斜率一工〉0,

m

不等式％+加y+l<。表示直線x+my+l=0上方的區(qū)域，

要使不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(%,%)，

使不等式毛+m%+1<0成立，只需直線X+陽+1=0的斜率—頻D=2,解得機<一」.

m2

綜上可得實數(shù)〃？的取值范圍為(-8,-g],

故選：B.

【點睛】

本題考查由目標函數(shù)有解求解參數(shù)取值范圍問題，分類討論與數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題

10.c

【解析】

2

z=—,分子分母同乘以分母的共朝復數(shù)即可.

1+1

【詳解】

2_2(1-i)

由已知,=1—i,故z的虛部為一1.

1+i—(l+i)(l-i)

故選：C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.

11.B

【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入”=10,逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.

【詳解】

由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入”=10,可得：

第1次循環(huán)：s=l,i=2.

第2次循環(huán)：S=l--,i=3；

3

第3次循環(huán)：S=lV+4=4；

35

第10次循環(huán)：S=1----1--------1-----,i=11,

35719

此時滿足判定條件，輸出結(jié)果P=4S=4(l-g+g—；+…

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解

答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.

12.C

【解析】

先求出a-c=(l-〃,4),再由(a-利用向量數(shù)量積等于0,從而求得〃.

【詳解】

由題可知a—c=(l—〃,4)，

因為(a—c)，Z;,所以有(1—八)x2+2x4=0,得〃=5,

故選：C.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式，向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.顯

3

【解析】

設20

AFXAF2=

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得SJFFa="tan0=b；

12

.G=-9：.ax=—,—c=c——1

q令I,)

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，5產(chǎn)用=&=也

tan。

cc

ei=一，?=a2=~

a2e2

(1、

Z72=c2=c21—-

、e2>

□n11cc行

即—yH—y=2,3q=e《=---

e；e；253

故答案為正

3

14.1

【解析】

直接根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

分層抽樣的抽取比例為黑=士，，抽取學生的人數(shù)為600X-L=1.

16002020

故答案為：L

【點睛】

本題考查了分層抽樣的計算，屬于簡單題.

15.屈

7

【解析】

先求出向量44和44夾角的余弦值，再由公式即得.

【詳解】

如圖，過點4作44的平行線交。4于點人那么向量44和4A夾角為N%4，n。47A=9。，

??

.?.NA34=9。，=/%4，。4=44=1，且△。44是直角三角形，.。42=夜，同理得

4。V676_V42

04=瓜,0%=幣,sin26440=-AjA^=lxlx

40正'幣—7

故答案為：逗

7

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積，解題關(guān)鍵是找到向量和4A的夾角.

3

16.-

2

【解析】

先還原幾何體，再根據(jù)柱體體積公式求解

【詳解】

空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為1,6的直角三角形，高為石的棱柱，所以體積為;xl義百義行=：

【點睛】

本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y^(2e-2)x-e；(2)a<2-21n2

【解析】

(1)求出尸(X),/”),/⑴，即可求出切線的點斜式方程，整理即可；

(2)。的取值范圍滿足a<g(x)min，xe(O,-H?),求出g'(x),當xe(0,+8)時求出g'(x)>0,g'(x)<0的解,

得到單調(diào)區(qū)間，極小值最小值即可.

【詳解】

(1)由于/'(X)=(1+x)ex-2,f'(I)=2e-2,

此時切點坐標為(Le-2)

所以切線方程為y=(2e-2)x-e.

(2)由已知g(%)=犬6”—2%一21n%，

故g⑺=(x+l)er-2(1+-)=(%+1)(/--).

XX

由于%￡(0,+8),故X+l>0,

22

設乞元)=/—-由于/l(X)=產(chǎn)——在(0,+8)單調(diào)遞增

XX

同時xf0時，h(x)—^0,Xf+oo時，—>+oo,

故存在X°〉O使得以%)=0

且當xe(0,%0)時h(x)<0,當xe(x0,+oo)時h(x)>0,

所以當工€(0,%)時g'(x)<0,當時g'(x)>。，

所以當x=Xo時，g(x)取得極小值，也是最小值，

故g(x)min=g(%)=M-2(x0+lnx0)

2

Ax

由于h(x0)-e°---=0=>xoe°=：2=>Inx0+x0-ln2,

%

所以gQMnNZ—ZlnZ,

a<2—21n2.

【點睛】

本題考查導數(shù)的幾何意義、不等式恒成立問題，應用導數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于

中檔題.

2

18.(1)不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為4市使用信用卡情況與年齡有關(guān)；(2)①§；②分布列見解析,

E(X)=gD(X)=||

【解析】

⑴計算K?再對照表格分析即可.

⑵①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有3人，偶爾或不用信用卡的有7人，再根據(jù)超幾何分布的方法計算3

人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.

②利用二項分布的特點求解變量X的分布列、數(shù)學期望和方差即可.

【詳解】

(1)由列聯(lián)表可知,K-=100x(20x35-15x30)2。，因為1.099<2.706,

35x65x50x50

所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為A市使用信用卡情況與年齡有關(guān).

(2)①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有10xf=3(人)，偶爾或不用信用卡的有

10x—=7（人）.

50

C3clr4?

則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率+才=4.

jnjnD

202

②由2x2列聯(lián)表，可知40歲以上的網(wǎng)民中，抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為壇=1,

2

將頻率視為概率，即從4市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為

由題意得X?3

3

貝！IP(X=0)=Cfxm=2i

⑸125

P(X=l)=C>x[|Jx|=^,

P(X=3)=/||]=盛

故隨機變量X的分布列為:

X0123

2754368

P

125125125125

故隨機變量X的數(shù)學期望為E(x)=3X2=2方差為D(X)=3x-x-=—.

555525

【點睛】

本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點，包括分類討論以及二項分布的數(shù)學期望與方差公式

等.屬于中檔題.

19.(1)見解析；(2)

6

【解析】

(1)利用中位線的性質(zhì)得出B4//AW,然后利用線面平行的判定定理可證明出K4//平面肱VC；

(2)以點。為坐標原點，DA、DC、OP所在直線分別為x、V、z軸建立空間直角坐標系，設4)=2,利用空

間向量法可求得直線PB與平面MNC所成角的正弦值.

【詳解】

(1)因為M、N分別為AO、的中點，所以PAHMN.

又因為上42平面MNC,MNu平面MNC,所以B4//平面MNC；

(2)以點。為坐標原點，DA.DC、OP所在直線分別為％、V、z軸建立空間直角坐標系。-孫z,設A￡)=2,

p\

則5（2,2,0）,C（0,2,0）,P（0,0,4）,M（1,0,0）,N（0,0,2）,

PB=（2,2,T）,NC=（O,2,-2）,W=（-1,0,2）.

設平面MNC的法向量為n=（%,y,z）,

n-MN=0\—x+2z=0..

則，即ccc，令z=l,則x=2,y=l,所以“=（2,1,1

[“.NC=0[2y-2z=0v'

I?\n-PB\i

設直線PB與平面MNC所成角為戊，所以sina=cos<n,PB>=J-rn~L=-

11

|M|.|PB|6

因此，直線P5與平面MNC所成角的正弦值為L.

【點睛】

本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成的角，考查推理能力與計算能力，屬于

中等題.

20.(1)3；(2)an=-2；(3)見解析.

【解析】

(1)依據(jù)下標的關(guān)系，有％8=。2+%+2,。18=%+%,+2,兩式相加，即可求出生8；(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項

公式知，求出首項和公比即可。利用關(guān)系式程、,=。“+4+2,列出方程，可以解出首項和公比；(3)利用等差數(shù)列的

定義，即可證出。

【詳解】

(1)因為對任意見V￡N*，都有牝丫=4+%+2,所以砥=。2+。9+2,%8=。3+。6+2,兩式相加，

248=〃2+。3+。6+%+4=2+4=6,解得％8=3;

(2)設等比數(shù)列｛4｝的首項為％,公比為彘因為對任意",veN*,都有%,=%+%+2,

所以有。2=。1+。2+2,解得q=-2,又0=+。6+2=。2+。3+2,

即有q+。6=。2+。3，化簡得，1+.=42+/,即(/—0(/—])=0,

q=l或q=—1,因為%=。2+。2+2,化簡得/_2q+l=0,所以q=1

故4,=一2。

(3)因為對任意％veN*,都有a“y=W+4+2,所以有

,%+1=卬+%+1+2

。2“+1>=%+ak+l+2

?=4+%1+2，歿+1，%2,%3,…成等差數(shù)列,設公差為d.

a=aa

k(k+v)k+k+i+2

〃2—%—〃2(4+1)—%+1=(k+Y)d,。3〃2=〃3(%+1)一4(%+1)_伏+l)d，

a「。j=4(?+i)-=(左+Dd,由等差數(shù)列的定義知,

%,4,…，避也成等差數(shù)列。

【點睛】

本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義以及賦值法的應用，意在考查學生的邏輯推理，數(shù)學建模，綜合運用數(shù)列知識的

能力。

21.(1)分布列見解析;(2)406.

【解析】

(1)計算上個人的血混合后呈陰性反應的概率為不,呈陽性反應的概率為1-/,得到分布列.

(2)計算E(X)=g-射+1,代入數(shù)據(jù)計算比較大小得到答案.

【詳解】

(1)設每個人的血呈陰性反應的概率為4,則4=1-p.

所以k個人的血混合后呈陰性反