2024年全國乙卷高考文數(shù)模擬試題及答案

1.已知集合A={-2,0,1,3},5={0,2,3},則Ac5=()

A.{-2,1}B.{-2,1,2}C.{0,3}D.{-2,0,1,2,3)

l+2i

2.---=(

4+3i

B.Sl

A.--+-i

7755

D.j

7755

2

3.在,ABC中，角A3,C的對邊分別是a,4c,若。=4,b=3,sinA=—,則3=()

3

71715兀71712兀

A.-B.一或一C.-D.一或一

666333

4.已知a=0.9Li,〃=log!;，c=logi2,貝！)()

5J3

A.a>/?>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

5.根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速如圖所示，則下列說

法錯(cuò)誤的是（）

A.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為18.4%

B.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為6.55%

C.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的極差為14.9%

D.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為8.125%

,.(5兀

6.己知sinIa+—=3sin(tz-7T)，則tan2i=(

3344

A.-B.一一C.-D.——

4433

7.已知拋物線C:y2=6%,過點(diǎn)4（4,2）的直線/與拋物線。交于M,N兩點(diǎn)，若MA=AN，則直線/的斜

率是)

2343

A.-B.-C.一D.-

3432

-X2+2ax,x,1,

8.已知函數(shù)/（%）=<〔（3-辦+2,x〉l是定義在R上的增函數(shù)’則“的取值范圍是（）

A.[l,3)B.[l,2]C.[2,3)D.(o,3)

9.已知函數(shù)〃x）=2（x—l）e*—依在R上單調(diào)遞增，則a的最大值是（）

1

A.OB.-C.eD.3

e

10.已知某比賽在這4支隊(duì)伍之間進(jìn)行，且。隊(duì)伍有一名主力隊(duì)員缺席，導(dǎo)致。隊(duì)伍無緣前2

名，假設(shè)剩下的3支隊(duì)伍的水平相當(dāng)，則A,3這2支隊(duì)伍都進(jìn)入前3名的概率是（）

1123

A.-B.—C.—D.一

3234

11.己知A,B是直線>=#與函數(shù)/（x）=sin/x+E］（0〉O）圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，若=則

。=（）

A.4B.4或8C.2D.2或10

12.在正四棱臺ABCD—A4GR中，==456,"=廂，點(diǎn)P在底面A5CD內(nèi)，且

4尸=4,則P的軌跡長度是（）

A5\/3兀n573Tt

A.——B.——C.6兀D.1271

63

第n卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知單位向量"滿足卜+2司=J7,則向量的夾角是,

2x-y+2..O,

14.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件＜x+y+l..O,則2=—尤+y的最大值為.

3,2,

15.在正四面體A5CD中，E］是棱的中點(diǎn)，則異面直線與C尸所成角的余弦值是.

22

16.過雙曲線C:=-1=1（?！?/〉0）的右焦點(diǎn)工作。的一條漸近線的垂線，垂足為A，且。的左頂點(diǎn)

ab

「Illab

為B,'AB'=J/+.,則c的離心率為.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（12分）

在等差數(shù)列｛4｝中,出+%=12,%,=11.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若a=2冊，求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S“.

18.（12分）

鎮(zhèn)安大板栗又稱中國甘栗、東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗

園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按［30,40）,［40,50）,［50,60）,［60,70）,［70,80］

分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）請估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［30,40）和［70,80］內(nèi)的板栗中抽取5顆，再從這5顆板栗中隨機(jī)抽取

2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在［30,40）內(nèi)的概率.

19.（12分）

如圖，在三棱柱A3C-4與G中，平面ABCQABC是等邊三角形，且。為棱A3的中點(diǎn).

(1)證明：A5J_平面CCQ.

(2)若24、=3A3=6,求點(diǎn)用到平面ABC1的距離.

20.(12分)

已知點(diǎn)片(—1,0),乙(1,0)，動(dòng)點(diǎn)/滿足"聞+|加閭=4,動(dòng)點(diǎn)”的軌跡記為E.

(1)求E的方程；

(2)過點(diǎn)工的直線/與E交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求二Q45面積的最大值.

21.22分)

已知函數(shù)/(x)=sinx+x2.

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(。))處的切線方程；

(2)證明：/(x)>.

(二)選考題：共10分.請考生從第22,23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

個(gè)題目計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

x=1+J3cosa,

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，

y=gsina

無軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程是"cose+J可。sing-8=0.

(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線4：。=三，在第一象限內(nèi)，直線4與曲線。交于點(diǎn)A,與直線/交于點(diǎn)8,求|入目的值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)/(%)=卜—2卜

(1)求不等式/(%)..2x—5的解集；

⑵若/（%）..3—|x+M恒成立，求a的取值范圍.

1.C由題意可得>^5={0,3}.

l+2i_（l+2i）（4—3i）4—3i+8i_6i?_21.

2B4+3i-（4+3i）（4—3i）一—16-9i2~-5+?1'

zy'A1TT57r/7T

3.A由正弦定理可得」一=——，則sinfi==一=—,則8=^或'.因?yàn)閟inA=—,所以A>^,

sinAsinBa26636

則8」.

6

4.D因?yàn)?<0.9i/<0.9°uLlogAMlogzBALlogiZu-log32<0,所以A〉a>c.

5J3

5.C我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速從小到大依次為2.5%,3.1%,

4.6%,5.5%,7.6%,10.6%,12.7%,18.4%.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速最高為

18.4%,A正確.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的中位數(shù)為

5.5%+7.6%=6.55%,B正確.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的極差為15.9%,C

2

錯(cuò)誤.我國今年3月份至10月份社會(huì)消費(fèi)品零售總額同比增速的平均值為

-x（2.5%+3.1%+4.6%+5.5%+7.6%+10.5%+12.7%+18.4%）=8.125%,D正確.

6.B因?yàn)?足]￡+5]=35111（4—兀），所以C

os?=-3sincr，所以tana=--,貝!|

3

c2tana3

tan2a=--------=——.

1-tancif4

6:3

7.D設(shè)"（石,乂）川（工2，%），則%+%=4故直線/的斜率一占一%寸￡%+%—2?

Q..1,

8.B因?yàn)?（X）是定義在R上的增函數(shù)，所以<3-tz>0,解得掇b2.

—1+2凡，3—。+2,

9.A由題意可得了'(%)=2xe，—2x—a.因?yàn)?(九)在R上單調(diào)遞增，所以/'(x)=2xe*—2x—a.0恒成

立，即④2xe*-2x恒成立.設(shè)g(x)=2xe，—2x,貝ijg'(x)=(2x+2)e，—2.當(dāng)x<o時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)

x>0時(shí)，g'(%)>0,則g(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+a)上單調(diào)遞增，故g(XU=g(O)=°，即

a,,0.

10.C這4支隊(duì)伍按排名先后的情況有,

BCAD,BCDA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,共12種，其中A3這2支隊(duì)伍排在前3位的情況有

QD

ABCD,ABDC,ACBD,BACD,BADC,BCAD,CABD,CBAD,共8種，故所求概率P=H.

123

15OTTJT|()萬JT

11.D設(shè)“力的最小正周期為T，貝=或|4B|==T,即1=?或產(chǎn)=?,解得°=2或

666a)66a)6

o)=10.

12.B如圖1,連接AC,作A"垂足為“，易證平面ABC。.因?yàn)?/p>

AB=2AlBl=4A/3，M=710,所以A”=的，則=，4看—AH?=2.因?yàn)辄c(diǎn)P在底面ABCD

內(nèi)，且4尸=4,所以P〃=26似H為圓心，2G為半徑畫圓，如圖2,則MN是P的軌跡?分別作

HE±AM,HF±AN,垂足分別為E,工由題意可得"E=HF=百,.="N=20，貝U

NMHE=NNHF=&,仄而NMHN=次,故尸的軌跡長度是2x2Q=￡況.

3663

%-----7x9I-------------7，

Ai/\h.

匕,“H

AEM

圖2

因?yàn)椴?24=、獷，所以a2+4a./)+4b2=7.因?yàn)閨a|=|Z?|=l,所以a/=],則

cos/a,Z?\=-...=—,故向量a,b的夾角是4.

\/\a\\b\23

14.4畫出可行域(圖略)，當(dāng)直線2=—%+丁經(jīng)過點(diǎn)4(2,6)時(shí)，z取得最大值，且最大值為4.

15.-如圖，取線段3尸的中點(diǎn)G，連接。G,EG,。尸.易證EG〃。尸，則/OEG是異面直線DE與

6

C尸所成的角或其補(bǔ)角.設(shè)48=4,則DE=B=￡>/=2j§,G/=1,從而

EG=-CF=y/3,DG=VGF2+DF2=厲.在,DEG中，由余弦定理可得

2

DE?+EG?-DG?1

cosNDEG=

2DEEG6

16.2設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。的焦距為2c.過點(diǎn)A作AH垂直于x軸，垂足為H(圖略).易得

12

\AF2\=b,\AH\=^~,則由|Q4『=MH網(wǎng)，得所=>所以

\BH\=a+—=^AB\2-\AH\2得c+a=6b，所以(c+a>=3〃=3/?一片)，故

a

17.解：⑴設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,

a2+a5=2q+5d=12,

由題意可得<解得=1,d=2.

“6=4+5d=11,

故=q+l)d=2〃-1.

b

(2)由⑴可得包=221,則包+i=22"i,從而黃=4.

因?yàn)槌?2,所以｛2｝是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列.

—2x(1—4")22n+1-2

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得S=△—山=—'---------------

i—q1-43

18.(1)解：因?yàn)?0.008+0.018)x10=0.26<0.5,0.26+0.032x10=0.58>0.5,

所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在［50,60)內(nèi).

設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則(帆—50)x0.032+0.26=0.5,

解得m=57.5,即該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.

(2)由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在［30,40)內(nèi)的板栗中抽取5、而=2顆，分別記為

a,b；從質(zhì)量在［70,80］內(nèi)的板栗中抽取5x—也叫一=3顆，分別記為c,d,e.

L」0.008+0.012

從這5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆的情況有ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de,共10種,

其中符合條件的情況有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7種,

7

故所求概率P=—.

10

19.(1)證明：由三棱柱的性質(zhì)可知Ct；//

因?yàn)?,平面ABC,所以CCi，平面ABC.

因?yàn)锳5u平面ABC，所以

因?yàn)?。為A5的中點(diǎn)，且‘ABC是等邊三角形，所以CDLA3.

因?yàn)镃D,CGu平面CC】。，且CGcCD=C,所以AB_L平面.

(2)解：因?yàn)?A=3AB=6,所以=3,AB=2,

則.的面積S=gx2x3=3.

作垂足為E，易證平面3月￡.

11—

因?yàn)锳BC是等邊三角形，所以AE=百，則匕.四G=]S-AE=3x3x6=6.

因?yàn)镃G，平面ABC,所以C￡，AC,C￡則AC1=5。1=而，故」A§G的面積

H=gx2xJ13—1=2技

設(shè)點(diǎn)B]到平面ABC,的距離為d,則三棱錐ABC,的體積％=g=半d.

因?yàn)椋ァ窤BC]=匕-BBC,所以2fd=6，所以1=萬.

20.解：（1）因?yàn)閨訝|+|叫|=4＞閨閭=2,所以E是以耳，鳥為焦點(diǎn)，且長軸長為4的橢圓.

22

設(shè)E的方程為二+]=l（a〉b〉0）,則2。=4,可得a=2.

ab

又。=1,所以〃=/—，=3,

22

所以E的方程為上+t=L

43

（2）由題意可知直線/的斜率不為0,設(shè)直線/：x=5V+l,A（菁，x）,B（馬,％）?

x=my+l,

聯(lián)立y2整理得（37/+4）/+6啊-9=0,

[43

則A=（6m）2-4（3m2+4）x（-9）=144（m2+1）>0,

6m9

%+%=-，%%二一

3m2+43m2+4

2

由弦長公式可得[AB]=JM2+1|弘—J；2|=1m+1.

12（m2+l）

3m2+4

/112

點(diǎn)。到直線/的距離d=）^=,則.Q4B的面積S=3AB|-d_6\m+1

yjm+123m2+4

6t6t_6

設(shè)1府+1..1，則一3(/—1)+4-3/+1-31十1.

t

133

因?yàn)橹?1,所以31+-..4,所以S,,—,當(dāng)且僅當(dāng)加=0時(shí)，S=~.

t22

21.(1)解：f(x)=co&x+2x,f(O)=1,/(o)=0.

故曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為>=%.

(2)證明：由(1)得/'(%)=COST+2%.

令函數(shù)〃(X)=/'(九)，MUu'(x)=-sinx+2>0,所以〃(九)=/'(x)是增函數(shù).

因?yàn)?'⑼==cos^-l<0,

所以存在/,使得/'(%0)=8叫+2%0=0,即x：