32.3．二次函數(shù)綜合題（涉及圓）

第頁一、選擇題二、填空題三、解答題1.（2018濱州，26，14分）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為P（x，y）的動圓經(jīng)過點A（1，2）且與x軸相切于點B．（1）當(dāng)x＝2時，求⊙P的半徑；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，請判斷此函數(shù)圖象的形狀，并在圖②中畫出此函數(shù)的圖象；（3）請類比圓的定義（圓可以看成是到定點距離等于定長的所有點的集合），給（2）中所得函數(shù)圖象進(jìn)行定義：此函數(shù)圖象可以看成是到________的距離等于到________的距離的所有點的集合．（4）當(dāng)⊙P的半徑為1時，若⊙P與以上（2）中所得函數(shù)圖象相交于點C、D，其中交點D（m，n）在點C的右側(cè)．請利用圖②，求cos∠APD的大小．第26題圖①第26題圖②思路分析：（1）過A作AM⊥x軸于M，過P作PH⊥AM于H，通過構(gòu)造Rt△AHP，結(jié)合勾股定理得出關(guān)于r的方程，通過解方程求出半徑；（2）類比（1）構(gòu)造Rt△AHP，利用勾股定理得出y與x的關(guān)系式，再判斷函數(shù)圖形的形狀；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合集合定義的特征，得出結(jié)論；（4）利用⊙P的半徑為1，得出P點坐標(biāo)，而P點恰好為二次函數(shù)的頂點，過點D作DH⊥AP于H，構(gòu)造Rt△PDH，然后將D點縱坐標(biāo)用m來表示，進(jìn)而表示出DH，HP，利用勾股定理得出關(guān)于m的方程，整體求出（m－1）2的值，再利用銳角三角函數(shù)的定義，用將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為（m－1）2的值即可．解答過程：如圖①，過A作AM⊥x軸于M，過P作PH⊥AM于H，連接PA、PB，則PB⊥x軸于點B，PA＝PB＝MH＝y(tǒng)．∵A（1，2），∴OM＝1，AM＝2．∵P橫坐標(biāo)為2，OB＝2．∴PH＝OB－OM＝2－1＝1，AH＝AM－PB＝2－y．在Rt△AHP中，∵AH2＋PH2＝AP2，∴(2－y)2＋12＝y(tǒng)2．∴y＝.答：當(dāng)x＝2時，求⊙P的半徑等于.第26題答案圖①第26題答案圖②（2）如圖②，過A作AM⊥x軸于M，過P作PH⊥AM于H．連接PA、PB，則PB⊥x軸于點B，PA=PB＝MH＝y(tǒng)．∵A（1，2），∴AM＝2，OM＝1．∵P（x，y），∴OB＝x，PB＝HM＝y(tǒng)．∴PH＝x－1，AH＝2－y．∵在Rt△AHP中，AH2＋HP2＝AP2，∴（2－y）2＋（x－1）2＝y(tǒng)2．∴4－4y＋y2＋x2－2x－1＝y(tǒng)2．∴4y＝x2－2x＋5.∴y＝x2－x＋.（3）根據(jù)集合的定義可知：點A（1，2），x軸（4）如圖③，半徑為1，即y＝1，代入y＝x2－x＋求得x＝1，即圓心P（1,1），又可知P（1,1）即為函數(shù)y＝x2－x＋的頂點，故作出如下圖。則D（m，），過D作DH⊥AP于H，則DH＝m－1，HP＝－1＝＝（m－1）2，PD＝1，則有（m－1）2＋[（m－1）2]2＝12，令（m－1）2＝t，則上式可替換為t＋（t）2＝12，解得t＝4－8，cos∠APD＝＝＝＝＝（4－8）＝－2.第26題答案圖③2.（2018·濟寧，22，11分）如圖，已知拋物線＝（≠0）經(jīng)過點A（3，0）、B（－1，0）、C（0，－3）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標(biāo)；（3）若點Q在軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B、C、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（（第27題圖）分析：（1）利用“交點式”求拋物線的解析式；（2）由題意可知AM⊥BC．設(shè)AM交軸于點N，證明△AON≌△COB，得ON＝OB，于是N（0，－1）．分別求出直線BC、AM的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而解這兩個函數(shù)表達(dá)式組成的方程組得點M的坐標(biāo)；（3）設(shè)Q（，0），按BC、BQ、CQ分別為對角線分類求解．解：（1）∵拋物線＝（≠0）經(jīng)過點A（3，0）、B（－1，0），∴＝．∵拋物線＝（≠0）經(jīng)過點C（0，－3），∴－3＝．解得＝1．∴拋物線的解析式為＝，即＝．（2）如答圖所示．過點A作AM⊥BC，垂足為點M，AM交軸于點N．∴∠BAM＋∠ABM＝90°．在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90°．∴∠BAM＝∠BCO．∵A（3，0），B（－1，0），C（0，－3），∴AO＝CO＝3，OB＝1．又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90°，∴△AON≌△COB．∴ON＝OB＝1．∴N（0，－1）．設(shè)直線AM的函數(shù)表達(dá)式為＝．把A（3，0），N（0，－1）分別代入，得解得＝，＝－1．∴直線AM的函數(shù)表達(dá)式為＝．同理可求直線BC的函數(shù)表達(dá)式為＝．解方程組得（（第27題答圖）（3）設(shè)Q（，0）．若BC為對角線，則P（，－3）．∵點P在拋物線上，∴－3＝．此方程無解，即這種情形不存在．若BP為對角線，則P（，－3），∵點P在拋物線上，∴－3＝．解得＝3或5，其中3不符合題意．∴P（2，－3）．若BQ為對角線，則P（，3）．同理可求＝或．∴P（，3）或（，3）．綜合知，點P的坐標(biāo)為（2，－3）或（，3）或（，3）．3．（2018江蘇宿遷，27，12分）（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC．（1）求點A、B、D的坐標(biāo)；（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；（3）點D、O、C、B能否在同一個圓上，若能，求出a的值，若不能，請說明理由．思路分析：（1）令y=0，得A（a，0），B（3，0）；（2）根據(jù)∠AOD=∠PBC=90°，所以分△AOD∽△BPC和△AOD∽△CPB兩種情況討論即可；（3）根據(jù)∠BOD=90°得B、O、D三點共圓，其圓心M為BD中點，若C也在圓上，則MC=MB，即MC2=MB2，列出方程求解即可．解：（1）∵∴A（a，0），B（3，0）；（2）∵A（a，0），B（3，0），∴對稱軸為，C（，），∴PB=，PC=，①當(dāng)△AOD∽△BPC時，則，即，解得a=±3（舍）②當(dāng)△AOD∽△CPB時，則，即，解得a1=3（舍），；∴（3）能，如圖，連接BD，取中點M；∵∠BOD=90°，∴B、O、D三點共圓，且圓心M（，），若C也在圓上，則MC=MB，即，整理得：，即（）（）=0，解得，（舍），（舍），（舍），∴當(dāng)時，D、O、C、B四點共圓．4．（2018威海，25，12分）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）與x軸交于點A（－4，0），B（2，0），與y軸交于點C（0，4），線段BC的中垂線與對稱軸l交于點D，與x軸交于點F，與BC交于點E．對稱軸l與x軸交于點H．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求點D的坐標(biāo)；(3)點P為x軸上一點，⊙P與直線BC相切于點Q，與直線DE相切于點R，求點P的坐標(biāo)；(4)點M為x軸上方拋物線上的點，在對稱軸上是否存在一點N，使得以點D，P，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，則直接寫出N點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（第25題圖）（第25題備用圖）思路分析：（1）拋物線與x軸有兩個交點，可利用交點式設(shè)解析式，然后代入點C的坐標(biāo)求解；也可用一般式求解，稍微繁瑣一些；（2）點D在對稱軸上，設(shè)D點的坐標(biāo)為（－1，m），過點C作CG⊥l，垂足為G，連接DC，DB，分別在兩個直角三角形中，利用勾股定理表示DC和DB，由DC＝DB構(gòu)建方程求解即可；也可利用Rt△DCG與Rt△DBH全等求解；（3）分圓心P1在直線BC左側(cè)和圓心P2在直線BC右側(cè)兩種情況分類討論；（4）當(dāng)點P在直線BC左側(cè)時存在3種情況，點P在直線BC右側(cè)時不存在，分別以DP為邊或?qū)蔷€進(jìn)行求解。解答過程：(1)∵拋物線過點A（－4，0），B（2，0），∴設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝a（x＋4）（x－2）．又∵拋物線過點C（4，0），將點坐標(biāo)代入，得4＝a（0＋4）（0－2），解得a＝－．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝－（x＋4）（x－2），即y＝－x2－x＋4．(2)∵對稱軸是直線x＝－1，∴點在對稱軸x＝－1上；設(shè)D點的坐標(biāo)為（－1，m），過點C作CG⊥l，垂足為G，連接DC，DB．∵DE為BC中垂線，∴DC＝DB．在Rt△DCG和Rt△DBH中，∴DC2＝12＋（4－m）2，DB2＝m2＋（2＋1）2，∴12＋（4－m）2＝m2＋（2＋1）2，解得m＝1．∴D點坐標(biāo)為（－1，1）．(3)∵點B坐標(biāo)為（2，0），點C坐標(biāo)為（0，4）．∴BC2＝＝2．∵EF為BC中垂線，∴BE＝BC＝．在Rt△BEF和Rt△BOC中，cos∠CBF＝＝，即，∴BF＝5，∴EF＝＝2，OF＝3．設(shè)⊙P的半徑為r，⊙P與直線BC和EF都相切，有兩種情況：當(dāng)圓心在直線BC左側(cè)時，連接，，則，∴，∴四邊形為正方形．∴．在Rt△FEB和Rt△FR1B1中，∴，∴，∴．∴，∴．∴，∴，∴的坐標(biāo)為（，0）．②當(dāng)圓心在直線BC右側(cè)時，連接，，則四邊形為正方形，∴．在和中，∴，即．∴，∴，∴．∴，∴，∴的坐標(biāo)為（7，0）．綜上所述，符合條件的點的坐標(biāo)是（，0）或（7，0）．(4)存在．N1（－1，），N2（－1，），N3（－1，－）．5．（2018·廣州市，24，14）已知拋物線y＝x2＋mx－2m－4（m＞4）.（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別是A、B（點A在點的右側(cè)），與y軸交于點C，A、B、C三點都在⊙P上.①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，說明理由；②若點C關(guān)于直線x＝的對稱點為點E，點D（0，1）,，連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求的值.思路分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，利用一元二次方程根的判別式來判斷拋物線與x軸交點個數(shù)；（2）分別求出（或用m表示）點A、B、C的坐標(biāo)，畫出示意圖，利用“同弧所對的圓周角相等”證明兩三角形有兩角對應(yīng)相等，然后利用相似求出定點坐標(biāo)．（3）先由對稱性求出點E的坐標(biāo)，再根據(jù)E（－m，－2m－4），B（－m－2，0），D（0，1）用m分別表示BE2，BD2，DE2．用勾股定理逆定理證明∠DBE＝90°，然后求出直角三角形三邊比例，求的值．解答過程：（1）令y＝0，則x2＋mx－2m－4＝0．∵△＝m2－m(－2m－4)＝m2＋8m＋16＝(m＋4)2，又m＞4，∴(m＋4)2＞0．∴此方程總有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）①設(shè)⊙P經(jīng)過軸上的另一個交點F．令y＝0，則x2＋mx－2m－4＝0．(x－2)(x＋m＋2)＝0．x1＝2，x2＝－m－2．又m＞4，點A在點的右側(cè)．∴A（2，0），B（－m－2，0）．∵當(dāng)x＝0時，y＝－2m－4，∴C（0，－2m－4）．則AO＝0，BO＝m＋2，CO＝2m＋4．∵∠BCO＝∠BAF，∠CBO＝∠AFO，∴△BCO≌△FAO．∴，．∴FO＝1，點F（1，0）．②∵點C（0，－2m－4）關(guān)于直線x＝的對稱點為點E，∴E（－m，－2m－4），又B（－m－2，0），D（0，1）．∴BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，DE2＝(2m＋5)2＋m2＝5m2＋20m＋25,BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴BD2＋BE2＝DE2．∴∠DBE＝90°．∴DE是⊙P直徑．∵BD2＝(m＋2)2＋12＝m2＋4m＋5，BE2＝22＋(2m＋4)2＝4m2＋16m＋20．∴．∴．設(shè)BD＝a，BE＝2a，則DE＝．∴＝＝．6．（2018·長沙市，26，10分）我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”.（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四邊形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，則該四邊形“十字形”.（填“是”或“不是”）（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD，當(dāng)6≤AC2+BD2≤7時，求OE的取值范圍；（3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c＜0）與x軸交于點A，C兩點（點A在點C的左側(cè)），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標(biāo)為（0，-ac）.記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4.求同時滿足下列三個條件的拋物線解析式：①②③“十字形”ABCD的周長為思路分析：（1）①根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的定義與性質(zhì)，即可判斷菱形，正方形符合題意；②AB=AD且CB≠CD，不能判斷AC⊥BD；（2）根據(jù)題意先判斷AC⊥BD，再過點O作OM⊥AC于點M，ON⊥BD于點N，即可得出OE與AC2+BD2的關(guān)系，從而得出OE的取值范圍.（3）先求出A、B、C、D四點坐標(biāo)，從而得出AO、BO、CO、DO、AC、BD的值，再根據(jù)面積公式①②求出a=1，繼而求出b=0，再根據(jù)③“十字形”ABCD的周長為求出c=-9，∴y=x2-9.解答過程：解：（1）①菱形，