押廣東省卷第19-21題（函數(shù)的實際應(yīng)用問題、特殊的平行四邊形、統(tǒng)計的綜合）（解析版）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)臨考題號押題

押廣東省卷第19-21題押題方向一：函數(shù)的實際應(yīng)用問題3年廣州省真題考點命題趨勢2022年廣州省卷第20題一次函數(shù)的實際應(yīng)用問題從近年廣州省中考來看，一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，通常會與分式方程和不等式，不等式組結(jié)合一起來考，也是常考題型，也是考查重點，難度一般。預(yù)計2024年廣州省卷還將繼續(xù)考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握。2022年廣州省卷第22題二次函數(shù)的實際應(yīng)用問題1．（2022·廣東·中考真題）物理實驗證實：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度y（）與所掛物體質(zhì)量x（）滿足函數(shù)關(guān)系．下表是測量物體質(zhì)量時，該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系．x025y151925(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)彈簧長度為20時，求所掛物體的質(zhì)量．【答案】(1)(2)所掛物體的質(zhì)量為2.5kg【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19進(jìn)行求解函數(shù)解析式；（2）由（1）可把y=20代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：把y=20代入（1）中函數(shù)解析式得：，解得：，即所掛物體的質(zhì)量為2.5kg．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出一次函數(shù)解析式．2．（2021·廣東·中考真題）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒．（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．【答案】（1）豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元；（2），最大利潤為1750元【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元，根據(jù)某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列方程計算即可；（2）根據(jù)題意當(dāng)時，每天可售100盒，豬肉粽每盒售x元時，每天可售盒，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算最大值即可．【詳解】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元．則解得：，經(jīng)檢驗是方程的解．∴豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元．答：豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元．（2）由題意得，當(dāng)時，每天可售100盒．當(dāng)豬肉粽每盒售x元時，每天可售盒．每盒的利潤為()∴，配方得：當(dāng)時，y取最大值為1750元．∴，最大利潤為1750元．答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，且最大利潤為1750元．【點睛】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用以及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出相應(yīng)的函數(shù)解析式是解決本題的關(guān)鍵．1、不等式含參問題的解題步驟：第一步：將參數(shù)當(dāng)成“常數(shù)”解出不等式組；第二步：1）“根據(jù)不等式組的解集確定參數(shù)的取值范圍”、“逆用不等式組的解集確定參數(shù)的取值范圍”類型利用不等式組解集口訣確定出參數(shù)的取值范圍；2）“根據(jù)不等式組的整數(shù)解情況確定確定參數(shù)的取值范圍”需要借助數(shù)軸與不等式組解集口訣確定出參數(shù)的取值范圍。注：參數(shù)取值范圍是否取等于號需要將參數(shù)帶進(jìn)不等式中驗證，不能憑感覺。而且需要注意的是帶進(jìn)去的是參數(shù)的值，并不是的值。2、分式方程含參問題的解題步驟：第一步：參數(shù)當(dāng)成“常數(shù)”解出分式方程；第二步：根據(jù)“分式方程有增根”、“分式方程有解與無解”、“分式方程的解為正或負(fù)數(shù)”、“分式方程有整數(shù)解”等類型，利用各條件自確定出參數(shù)的取值范圍；注：分式方程含參問題特別注意要排除增根的情況。3、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的表達(dá)式，根據(jù)自變量的范圍求出最值。1．從地面豎直向上拋一個物體，物體向上的速度是運(yùn)動時間的函數(shù)．經(jīng)測量，速度與時間的關(guān)系如表：時間11.52速度201510(1)寫出速度與時間的關(guān)系式；(2)求經(jīng)過多長時間，物體將達(dá)到最高點？【答案】(1)(2)經(jīng)過，物體將達(dá)到最高點【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，時間每增加，速度均減小，速度是的一次函數(shù)，再用待定系數(shù)法求解即可；（2）當(dāng)時，求出相應(yīng)的即可．【詳解】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，時間每增加，速度均減小，速度是的一次函數(shù)設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式是（為常數(shù)，且）將和代入，得，解得與的函數(shù)關(guān)系式是；（2）當(dāng)物體將達(dá)到最高點時，，得，解得，經(jīng)過，物體將達(dá)到最高點．2．杜阮涼瓜肉厚脆口，甘而不苦，是全國農(nóng)產(chǎn)品地理標(biāo)志．某公司經(jīng)營該農(nóng)產(chǎn)品，零售一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是元，批發(fā)一箱該農(nóng)產(chǎn)品的利潤是元．(1)已知該公司某月賣出箱這種農(nóng)產(chǎn)品共獲利潤元，問：該公司當(dāng)月零售、批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品的箱數(shù)分別是多少?(2)經(jīng)營性質(zhì)規(guī)定，該公司零售的數(shù)量不能多于總數(shù)量的．現(xiàn)該公司要經(jīng)營箱這種農(nóng)產(chǎn)品，問：應(yīng)該如何規(guī)劃零售和批發(fā)的數(shù)量，才能使總利潤最大？最大總利潤是多少?？【答案】(1)該公司零售這種農(nóng)產(chǎn)品箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品箱；(2)該公司零售箱，批發(fā)箱才能使總利潤最大，最大總利潤是元．【分析】（）設(shè)該公司零售這種農(nóng)產(chǎn)品箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品箱，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系，列出二元一次方程組即可求解；（）設(shè)該公司零售數(shù)量為箱，求出的取值范圍，設(shè)該公司的總利潤為元，列出與的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出二元一次方程組和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)該公司零售這種農(nóng)產(chǎn)品箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品箱，由題意可得，，解得，答：該公司零售這種農(nóng)產(chǎn)品箱，批發(fā)這種農(nóng)產(chǎn)品箱；（2）解：設(shè)該公司零售數(shù)量為箱，由題意可得，，即，設(shè)該公司的總利潤為元，則，∵，則w隨著a的增大而增大，∴當(dāng)時，該公司的總利潤最大，即零售箱，批發(fā)箱總利潤最大，此時，元，答：該公司零售箱，批發(fā)箱才能使總利潤最大，最大總利潤是元．3．李叔叔批發(fā)甲乙兩種蔬菜到菜市場去賣，已知甲乙兩種蔬菜的批發(fā)價和零售價如下表所示，品名甲蔬菜乙蔬菜批發(fā)價/（元/kg）零售價/（元/kg）(1)若他批發(fā)甲乙兩種蔬菜共花180元．求批發(fā)甲乙兩種蔬菜各多少千克？（列方程或方程組求解）(2)若他批發(fā)甲乙兩種蔬菜共花m元，設(shè)批發(fā)甲種蔬菜．①求m與n的函數(shù)關(guān)系式；②若他批發(fā)甲種蔬菜不超過乙種蔬菜的3倍，求他全部賣完蔬菜后能獲得的利潤的最大值，【答案】(1)甲蔬菜，乙蔬菜(2)①；②他全部賣完蔬菜后能獲得的利潤的最大值為176元【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用：（1）設(shè)批發(fā)甲蔬菜，乙蔬菜，根據(jù)批發(fā)甲蔬菜和乙蔬菜兩種蔬菜共，用去了元錢，列方程求解；（2）①根據(jù)總價等于單價×數(shù)量，由甲、乙兩種蔬菜總價和為m，即可得出m與n的函數(shù)關(guān)系；②設(shè)利潤為W元，先列不等式求出，再求出，據(jù)此根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)批發(fā)甲蔬菜，乙蔬菜，由題意得：，解得：，乙蔬菜，答：批發(fā)甲蔬菜，乙蔬菜；（2）解：①設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，則批發(fā)乙蔬菜，由題意得：，∴m與n的函數(shù)關(guān)系為：；②設(shè)利潤為W元，由題意得，，解得，∴W隨n的增大而增大，∴當(dāng)時，m有最大值，最大值為∴他全部賣完蔬菜后能獲得的利潤的最大值為176元．4．在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品．A原料的單價是原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購原料少．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒．(1)求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費(fèi)+其他成本）；(2)設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是元（是整數(shù)），每天的利潤是元，求每盒產(chǎn)品的售價為多少元時，每天的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)每盒產(chǎn)品的成本為30元(2)當(dāng)每盒產(chǎn)品的售價為70元時，每天最大利潤為16000元【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，正確理解題意、列出分式方程和函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)原料單價為元，則原料單價為元，然后再根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）直接根據(jù)“總利潤單件利潤銷售數(shù)量”列出解析式即可，解析式形式為二次函數(shù)，先確定拋物線的開口方向，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【詳解】（1）解：設(shè)原料單價為元，則原料單價為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗是方程的解，，每盒產(chǎn)品的成本是：（元，答：每盒產(chǎn)品的成本為30元（2）根據(jù)題意，得，關(guān)于的函數(shù)解析式為：；∴，，拋物線開口向下，當(dāng)每盒產(chǎn)品的售價為70元時，每天最大利潤為16000元．5．某商家銷售某種商品，每件進(jìn)價為40元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品一周的銷售量（大于0的整數(shù)）件與銷售單價（不低于50的整數(shù)）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分調(diào)查數(shù)據(jù)如表：銷售單價（元/件）5055607075…一周的銷售量（件）500450400300250…(1)直接寫出銷售量關(guān)于銷售單價的函數(shù)表達(dá)式：．(2)若一周的銷售利潤為2750元，則銷售單價是多少元/件？(3)現(xiàn)商家決定將商品一周的銷售利潤作為捐款寄往貧困地區(qū)，則捐款能達(dá)到的最大值是元．【答案】(1)(2)銷售單價是95元/件(3)9000【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，列出方程和函數(shù)關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意得出，解方程即可得出答案；（3）設(shè)商品一周的銷售利潤為元，得出關(guān)于的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)，將，代入得：，解得，∴銷售量關(guān)于銷售單價的函數(shù)表達(dá)式為，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得：，解得或（舍去），∴銷售單價是95元/件；（3）解：設(shè)商品一周的銷售利潤為元，，，∴時，取最大值，最大值為9000元，故答案為：9000．6．跳臺滑雪是冬季奧運(yùn)會的比賽項目之一，如圖，運(yùn)動員通過助滑道后在點A處起跳經(jīng)空中飛行后落在著陸坡上的點P處，他在空中飛行的路線可以看作拋物線的一部分，這里表示起跳點A到地面的距離，表示著陸坡的高度，表示著陸坡底端B到點O的水平距離，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動員的豎直高度y（單位：）與水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系：，已知，，落點P的水平距離是，豎直高度是．(1)點A的坐標(biāo)是___________，點P的坐標(biāo)是___________；(2)求滿足的函數(shù)關(guān)系；(3)運(yùn)動員再次起跳，運(yùn)動員的豎直高度y（單位：）與水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系，問：運(yùn)動員這次起跳著陸點的水平距離___________第一次著陸點的水平距離（填“大于”、“小于”或“等于”）．【答案】(1)，(2)(3)小于【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用：（1），落點的水平距離是，豎直高度是，即可得到點、的坐標(biāo)；（2）用待定系數(shù)法求解即可；（3）由，先求出直線的表達(dá)式，再解方程求出直線和拋物線交點的橫坐標(biāo)與40比較即可．【詳解】（1）解：，落點P的水平距離是，豎直高度是，，；故答案為：，；（2）解：把，代入得，，解得，，；（3）解：，設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入，得，解得，，，聯(lián)立得，解得（舍去負(fù)值），∵，∴運(yùn)動員這次起跳著陸點的水平距離小于第一次著陸點的水平距離，故答案為：小于押題方向二：特殊平行四邊形3年廣東省卷真題考點命題趨勢2023年廣東省卷第19題平行四邊形的綜合從近年廣東省中考來看，（特殊）平行四邊形的綜合是?？碱}型，也是考查重點，難度一般。預(yù)計2024年廣東省卷還將繼續(xù)考查特殊平行四邊形的綜合，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握。2021年廣東省卷第23題特殊平行四邊形的綜合1．（2023·廣東·中考真題）如圖，在中，．

(1)實踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點作邊上的高；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)應(yīng)用與計算：在（1）的條件下，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可，可用圓規(guī)以點D為圓心，在上找到兩個點到點D的距離相等，再分別以這兩個點為圓心，相等且大于這兩點距離的一半為半徑畫弧，再找到一個到這兩個點的距離相等的點，連接最后得到的點與點D所得線段所在的直線就是高所在的直線，據(jù)此畫圖即可；（2）先利用度角的余弦值求出，再由計算即可．【詳解】（1）解：依題意作圖如下，則即為所求作的高：

（2）∵，，是邊上的高，∴，即，∴．又∵，∴，即的長為．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，度角的余弦值，掌握過直線外一點作垂線的方法和度角的余弦值是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東·中考真題）如圖，邊長為1的正方形中，點E為的中點．連接，將沿折疊得到交于點G，求的長．【答案】【分析】根據(jù)題意，延長交于H連，通過證明、得到，再由得到，進(jìn)而即可求得的長．【詳解】解：延長交于H連，∵由沿折疊得到，∴，，∵E為中點，正方形邊長為1，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)幾何知識是解決本題的關(guān)鍵．1.平行四邊形的性質(zhì)：（1）兩組對邊平行且相等；（2）對角相等、鄰角互補(bǔ)；（3）對角線互相平分；（4）平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形。2.矩形的性質(zhì)：（1）矩形兩組對邊平行且相等；（2）矩形的四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。（5）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。3.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角；4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。4.正方形的性質(zhì)：（1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；（2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；（3）正方形對邊平行且相等；（4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；（5）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。1．已知：如圖，在矩形中，是邊上的點，連接．(1)尺規(guī)作圖，以為邊，為頂點作，交線段于點．（要求：基本作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）．(2)求證：四邊形為平行四邊形【答案】(1)作圖見解析；(2)證明見解析．【分析】（）根據(jù)作一個角等于已知角的作法作圖即可；（）由矩形得到，，，，再證明得到，進(jìn)而得到，即可求證；本題考查了作一個角等于已知角，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：∵四邊形為矩形，∴，，，，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴四邊形為平行四邊形．2．如圖，菱形對角線交于點，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查四邊形綜合，涉及平行四邊形判定、菱形性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、菱形的面積公式等知識，熟練掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由平行四邊形的判定得到四邊形是平行四邊形，再由菱形性質(zhì)，結(jié)合矩形的判定即可得到答案；（2）由已知條件，結(jié)合矩形性質(zhì)及菱形性質(zhì)得到相應(yīng)線段長，利用菱形面積公式代值求解即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，又∵四邊形是菱形，∴，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴菱形的面積=．3．如圖，在矩形中，對角線．(1)實踐與操作：作對角線的垂直平分線，與分別交于點（用尺規(guī)作圖法，保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與計算：在（）的條件下，連結(jié)，若，求的周長．【答案】(1)作圖見解析；(2)．【分析】（）根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；（）利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而可推導(dǎo)出的周長，即可求解；本題考查了線段垂直平分線的作法及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的作法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，直線即為所求；（2）解：連接，∵四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∵為線段的垂直平分線，∴，∴的周長，即的周長為．4．綜合探究素材：一張矩形紙片．操作：在邊上取一點，把沿折疊，使點的對應(yīng)點落在矩形紙片的內(nèi)部．(1)如圖1，將矩形紙片對折，使與重合，得折痕，當(dāng)落在上，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)落在對角線上時，求的長；(3)連接，矩形紙片在折疊的過程中，線段的長度是否有最小值？若有，請描述線段長度最小時點的位置，并求出此時的長．【答案】(1)(2)(3)點落在對角線上時，線段長度最小，此時的長為3【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到是等邊三角形.則，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，即可得到答案；（2）由折疊的性質(zhì)得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的長；（3）由三角形三邊關(guān)系可得，，只有當(dāng)三點共線時，線段長度最小，即當(dāng)點落在對角線上時，線段長度最小，根據(jù)勾股定理得到，由折疊得：，，，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，由折疊得：，垂直平分.∵在上，∴，∴，∴是等邊三角形.∴，∵，∴.（2）依題意得，，∴，∴，∴，∴.（3）點落在對角線上時，線段長度最小時的長為3.理由如下：由三角形三邊關(guān)系可得，，只有當(dāng)三點共線時，線段長度最小，即當(dāng)點落在對角線上時，線段長度最小，如圖，中，，由折疊得：，，，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得，，則解得∴線段長度最小時的長為3.【點睛】此題考查了解直角三角形、矩形的折疊問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（1）如圖1，在矩形中，為邊上一點，連接，①若，過作交于點，求證：；②若時，則______．（2）如圖2，在菱形中，，過作交的延長線于點，過作交于點，若時，求的值．【答案】（1）①見解析；②20；（2）【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明，結(jié)合已知條件，即可證明；由①可得，根據(jù)，即可求解；根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；【詳解】證明：①四邊形是矩形，則∴∴又，∴又，∴；②由①可得∴又∴；（2）∵在菱形中，，∴，∴∵∴∴∴∴∵，∴又∴∴∴；【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在矩形中，(1)如圖一，以為折痕將折疊，點D落在點F的位置，與交于點E，求證：是等腰三角形；(2)如圖二，點G為上一點，以為折痕將折疊，點D落在點F的位置，與的交點E，連接交于點H，連接，，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得到，根據(jù)矩形性質(zhì)結(jié)合平行線性質(zhì)得到，利用等角對等邊即可得證；（2）利用折疊性質(zhì)以及平行線性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)即可得證．【詳解】（1）證明：以為折痕將折疊，，在矩形中，，，，，是等腰三角形；（2）證明：以為折痕將折疊，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，等腰三角形的判定，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．7．綜合與實踐：問題情境在綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形紙片的剪拼”為主題展開教學(xué)活動，如圖1，將一張正方形紙片沿對角線剪開，得到和，點是對角線的中點，操作探究；(1)圖1中的沿方向平移，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為與交于點與交于點，得到圖2，則四邊形的形狀是什么形狀？(2)“探究小組”的同學(xué)將圖1中的以點為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，點的對應(yīng)點為與交于點，連接交于點，得到圖3，他們認(rèn)為四邊形是菱形，“探究小組”的發(fā)現(xiàn)是否正確？請你說明理由．【答案】(1)平行四邊形(2)正確，理由見詳解【分析】（1）利用平移的性質(zhì)直接得出結(jié)論；（2）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)得出四邊形是平行四邊形，再判斷出即可得出結(jié)論；【詳解】（1）解：是平移得到，，，四邊形是平行四邊形，故答案為平行四邊形；（2）解：正確，理由如下四邊形為正方形，，將以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)后，點落在上，點落在的延長線上．，，．，，．四邊形是平行四邊形．，，，又，，，四邊形菱形．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出四邊形是平行四邊形．8．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出如下問題：已知正方形，E為對角線上一點．【感知】（1）如圖1，連接，．求證：；【探究】（2）如圖2，F(xiàn)是延長線上一點，，交于點G．①求證：；②若G為的中點，且，求的長．【應(yīng)用】（3）如圖3，F(xiàn)是延長線上一點，，交于點G，．求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解；②；（3）證明見解析【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）①先判斷出，進(jìn)而判斷出即可得出結(jié)論；②過點F作于H，先求出，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出，最后用勾股定理即可求出答案；（3）在中，由勾股定理得，由（1）知，，由（2）知，，可證明，則．【詳解】解：（1）∵是正方形的對角線，∴，∵∴，∴（2）①∵四邊形是正方形，∴∴由（1）知，∴∴，∵∴，∴∵∴②如圖，過點F作于H，∵四邊形為正方形，點G為的中點，∴由（2）①知，∴∴在與中，∵∴，∴，∴在中，由勾股定理得；（3）∵，∴，在中，，，由（1）知，，由（2）知，，，．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解（2）的關(guān)鍵．押題方向三：統(tǒng)計綜合3年廣州省卷真題考點命題趨勢2023年廣州省卷第21題統(tǒng)計從近年廣州省中考來看，統(tǒng)計是近幾年廣州省中考的必考題，對數(shù)據(jù)的分析，求中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差是常規(guī)考法；預(yù)計2024年廣州深圳卷還將繼續(xù)重視對省的考查。2022年廣州省卷第21題統(tǒng)計2021年廣州省卷第19題統(tǒng)計1．（2023·廣東·中考真題）小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時間，小紅做了試驗，第一周(5個工作日)選擇A線路，第二周(5個工作日)選擇B線路，每天在固定時間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時間，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：(單位：min)數(shù)據(jù)統(tǒng)計表試驗序號12345678910A線路所用時間15321516341821143520B線路所用時間25292325272631283024數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)線路所用時間22a1563.2B線路所用時間b26.5c6.36(1)填空：__________；___________；___________；(2)應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．【答案】(1)19，26.8，25(2)見解析【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)定義將A線路所用時間按從小到大的順序排列，求中間兩個數(shù)的平均數(shù)即為A線路所用時間的中位數(shù)a，利用平均數(shù)的定義求出B線路所用時間的平均數(shù)b，找出B線路所用時間中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)即為B線路所用時間的眾數(shù)c，從而得解；（2）根據(jù)四個統(tǒng)計量分析，然后根據(jù)分析結(jié)果提出建議即可．【詳解】（1）解：將A線路所用時間按從小到大順序排列得：14，15，15，16，18，20，21，32，34，35，中間兩個數(shù)是18，20，∴A線路所用時間的中位數(shù)為：，由題意可知B線路所用時間得平均數(shù)為：，∵B線路所用時間中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是25，有兩次，其他數(shù)據(jù)都是一次，∴B線路所用時間的眾數(shù)為：故答案為：19，26.8，25；（2）根據(jù)統(tǒng)計量上來分析可知，A線路所用時間平均數(shù)小于B線路所用時間平均數(shù)線路，A線路所用時間中位數(shù)也小于B線路所用時間中位數(shù)，但A線路所用時間的方差比較大，說明A線路比較短，但容易出現(xiàn)擁堵情況，B線路比較長，但交通暢通，總體上來講A路線優(yōu)于B路線．因此，我的建議是：根據(jù)上學(xué)到校剩余時間而定，如果上學(xué)到校剩余時間比較短，比如剩余時間是21分鐘，則選擇A路線，因為A路線的時間不大于21分鐘的次數(shù)有7次，而B路線的時間都大于21分鐘；如果剩余時間不短也不長，比如剩余時間是31分鐘，則選擇B路線，因為B路線的時間都不大于31分鐘，而A路線的時間大于31分鐘有3次，選擇B路線可以確保不遲到；如果剩余時間足夠長，比如剩余時間是36分鐘，則選擇A路線，在保證不遲到的情況，選擇平均時間更少，中位數(shù)更小的路線．【點睛】本題考查求平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)，以及根據(jù)統(tǒng)計量做決策等知識，掌握統(tǒng)計量的求法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·中考真題）為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，在農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)銷售中實行目標(biāo)管理，根據(jù)目標(biāo)完成的情況對銷售員給予適當(dāng)?shù)莫剟?，某村委會統(tǒng)計了15名銷售員在某月的銷售額（單位：萬元），數(shù)據(jù)如下：10，4，7，5，4，10，5，4，4，18，8，3，5，10，8(1)補(bǔ)全月銷售額數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計圖．(2)月銷售額在哪個值的人數(shù)最多（眾數(shù)）？中間的月銷售額（中位數(shù)）是多少？平均月銷售額（平均數(shù)）是多少？(3)根據(jù)（2）中的結(jié)果，確定一個較高的銷售目標(biāo)給予獎勵，你認(rèn)為月銷售額定為多少合適？【答案】(1)作圖見解析；(2)月銷售額在4萬元的人數(shù)最多；中間的月銷售額為5萬元；平均數(shù)為7萬元；(3)月銷售額定為7萬元合適，【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)確定銷售額為4萬元的人數(shù)為4人；銷售額為8萬元的人數(shù)為2人，然后補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；（2）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的計算方法求解即可；（3）根據(jù)題意，將月銷售額定為7萬元合適．【詳解】（1）解：根據(jù)數(shù)據(jù)可得：銷售額為4萬元的人數(shù)為4人；銷售額為8萬元的人數(shù)為2人；補(bǔ)全統(tǒng)計圖如圖所示：（2）由條形統(tǒng)計圖可得：月銷售額在4萬元的人數(shù)最多；將數(shù)據(jù)按照從小到大排序后，中間的月銷售額為第8名銷售員的銷售額為5萬元；平均數(shù)為：萬元；（3）月銷售額定為7萬元合適，給予獎勵，可以激發(fā)銷售員的積極性，振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)．【點睛】題目主要考查條形統(tǒng)計圖及相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的計算方法，包括眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，以及利用平均數(shù)做決策等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點是解題關(guān)鍵．3．（2021·廣東·中考真題）某中學(xué)九年級舉辦中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識競賽．用簡單隨機(jī)抽樣的方法，從該年級全體600名學(xué)生中抽取20名，其競賽成績?nèi)鐖D：（1）求這20名學(xué)生成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)；（2）若規(guī)定成績大于或等于90分為優(yōu)秀等級，試估計該年級獲優(yōu)秀等級的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）眾數(shù)：90，中位數(shù)：90，平均數(shù)：90.5；（2）450人【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，計算眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；（2）利用樣本估計總體思想求解可得．【詳解】解：（1）由列表中90分對應(yīng)的人數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)應(yīng)該是90，由于人數(shù)總和是20人為偶數(shù)，將數(shù)據(jù)從小到大排列后，第10個和第11個數(shù)據(jù)都是90分，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)應(yīng)該是90，眾數(shù)：90，中位數(shù)：90，平均數(shù)．答：這20名學(xué)生成績的眾數(shù)90，中位數(shù)90，和平均數(shù)90.5；（2）20名中有人為優(yōu)秀，∴優(yōu)秀等級占比：∴該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)為：（人）答：該年級優(yōu)秀等級學(xué)生人數(shù)為450人．【點睛】本題考查中位數(shù)、用樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．1）如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。2）平均數(shù)能充分利用各數(shù)據(jù)提供的信息，在實際生活中常用樣本的平均數(shù)估計總體的平均數(shù)；中位數(shù)不受個別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，一般用中位數(shù)來描述數(shù)據(jù)的集中趨勢；眾數(shù)考察的是各數(shù)據(jù)所出現(xiàn)的頻數(shù)，其大小只與部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某些數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題。1．某校加強(qiáng)了1分鐘定時跳繩的訓(xùn)練后，抽樣調(diào)查部分學(xué)生的“1分鐘跳繩”成績，并繪制了不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形圖（如圖）．根據(jù)圖中提供的信息解決下列問題：A：B：C：D：E：(1)抽樣的人數(shù)是__________人，扇形中__________；(2)抽樣中D組人數(shù)是__________人，本次抽取的部分學(xué)生“1分鐘跳繩”成績組成的一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在__________組（填），并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；(3)如果“1分鐘跳繩”成績大于等于160次為滿分，那么該校2100名學(xué)生中“1分鐘跳繩”成績?yōu)闈M分的大約有多少人？【答案】(1)60；84(2)16；C；補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖見解析(3)175【分析】（1）根據(jù)A組的占比及頻數(shù)即可求得抽樣的總?cè)藬?shù)；由B組的占比可求得扇形統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)的扇形的圓心角；（2）根據(jù)（1）求得的抽樣總?cè)藬?shù)即可求得D組的人數(shù)，可確定中位數(shù)落在哪組，補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（3）用樣本估計總體的思想方法可求得該校2100名學(xué)生中“1分鐘跳繩”成績?yōu)闈M分的大約人數(shù)．【詳解】（1）解：抽樣總?cè)藬?shù)為：（人）；B組對應(yīng)的扇形的圓心角為：，∴；故答案為：60；84；（2）解：抽樣中D組人數(shù)為：（人），把數(shù)據(jù)按大小排列后，中間第30、31個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是中位數(shù)，則中位數(shù)落在C組；故答案為：16，C；補(bǔ)全圖形如下：（3）解：（人），答：該校2100名學(xué)生中“1分鐘跳繩”成績?yōu)闈M分的大約有人．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖，用樣本頻數(shù)估計總體頻數(shù)，求扇形圓心角，判斷中位數(shù)等知識，善于從統(tǒng)計圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．2．月日是世界環(huán)境日．今年“世界環(huán)境日”中國的主題為“同呼吸，共奮斗”，旨在釋放和傳遞：建設(shè)美麗中國，人人共享、人人有責(zé)的信息．小文積極學(xué)習(xí)與宣傳，并從四個方面：空氣污染，：淡水資源危機(jī)，：土地荒漠化，：全球變暖，對全校同學(xué)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，了解他們在這四個方面中最關(guān)注的問題（每人限選一項）．圖1和圖2是他收集數(shù)據(jù)后，繪制的不完整的統(tǒng)計圖表，請你根據(jù)圖表中提供的信息解答以下問題：關(guān)注問題頻數(shù)頻率合計圖1(1)根據(jù)圖表信息，可得．(2)請你將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；(3)如果小文所在的學(xué)校有名學(xué)生，那么請你根據(jù)小文提供的信息估計該校關(guān)注“全球變暖”的學(xué)生大約有多少人？【答案】(1)(2)作圖見解析(3)人【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖，頻數(shù)（率）分布表，以及用樣本估計總體，（1）根據(jù)“空氣污染”的頻數(shù)除以對應(yīng)的頻率即可求出的值；（2）由的值，減去其它頻數(shù)即可求出的值，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖即可；（3）求出表格中的值，乘以即可得到結(jié)果；弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：由題意，“空氣污染”的頻數(shù)為，頻率為，∴調(diào)查的人數(shù)：，故答案為：；（2）根據(jù)題意得，，補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖，如圖所示：（3）由表格得：，∴（人），∴該校關(guān)注“全球變暖”的學(xué)生大約有人．3．初三年級“黃金分割項目活動”展示，為了解全體初三年級同學(xué)的活動成績，抽取了部分參加活動的同學(xué)的成績進(jìn)行統(tǒng)計后，分為“優(yōu)秀”，“良好”，“一般”，“較差”四個等級，并根據(jù)成績繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息，回答下列問題：(1)本次抽取的學(xué)生共有人，并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整．(2)扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”所對應(yīng)扇形的圖心角為度．(3)我校初三年級共有520名學(xué)生，估計比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．【答案】(1)120，補(bǔ)全統(tǒng)計圖見解析(2)(3)104【分析】此題主要考查了扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，樣本估計總體，從統(tǒng)計圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)“一般”的人數(shù)和所占的百分比求出總?cè)藬?shù)，然后乘以“良好”所占的百分比即可求出“良好”的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（2）根據(jù)比賽成績“優(yōu)秀”的占比乘以360即可求解；（3）用520乘以樣本比賽成績“優(yōu)秀”的人數(shù)所占的百分比求解即可．【詳解】（1）本次抽取的學(xué)生共有（人）“良好”的人數(shù)為（人）補(bǔ)全統(tǒng)計圖如下：（2）扇形統(tǒng)計圖中“優(yōu)秀”所對應(yīng)扇形的圖心角為；（3）（人）∴估計比賽成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為104人．4．某中學(xué)持續(xù)開展了“A：青年大學(xué)習(xí)；B：青年學(xué)黨史；C：中國夢宣傳教育；D：社會主義核心價值觀培育踐行”等一系列活動，學(xué)生可以任選一項參加．為了解學(xué)生參與情況，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，根據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．圖1

圖2請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：(1)在這次調(diào)查中，一共抽取了________名學(xué)生；(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；(3)若該校共有學(xué)生名，請估計參加B項活動的學(xué)生數(shù)．【答案】(1)；(2)圖見詳解；(3)人；【分析】本題考查求樣本容量，補(bǔ)全直方圖，利用樣本估算總體情況：（1）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖及條形統(tǒng)計圖共同量直接求解即可得到答案；（2）利用樣本乘以C的占比直接求出數(shù)量，補(bǔ)全即可得到答案；（3）利用總數(shù)乘以占比即可得到答案；【詳解】（1）解：由圖形可得，共抽取了：（人），故答案為：；（2）解：C的人數(shù)為：（人），∴條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）解：由題意可得，參加B項活動的學(xué)生約為：（人），答：活動的學(xué)生約為人．5．2020年我國進(jìn)行了第七次全國人口普查，佛山市近五次人口普直常住人口分布情況如圖所示，根據(jù)第七次全國人口普查結(jié)果，佛山市常住人口年齡構(gòu)成情況如圖所示，

(1)佛山市2020年常住人口歲段的占比是_______；(2)根據(jù)普查結(jié)果顯示，2020年60歲以上的人口約萬人，求2020年佛山市城鎮(zhèn)人口有多少萬人，并補(bǔ)全條形圖；(3)城鎮(zhèn)化率是一個國家或地區(qū)城鎮(zhèn)人口占其總?cè)丝诘陌俜致?，是衡量城?zhèn)化水平的一個指標(biāo)．根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，1990年佛山市的城鎮(zhèn)化率是_____(結(jié)果精確到1%)；(4)根據(jù)佛山市近五次人口普查統(tǒng)計圖(常住人口)，用一句話描述我市城鎮(zhèn)化的趨勢．【答案】(1)(2)萬，補(bǔ)全圖形見解析(3)(4)見解析【分析】本題考查了用樣本估計總體，條形統(tǒng)計圖，扇形統(tǒng)計圖，正確地讀懂統(tǒng)計圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計算即可；（2）根據(jù)題意求得佛山市常住人口總數(shù)由統(tǒng)計圖得到鄉(xiāng)