《6.3.1 平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標(biāo)運(yùn)算》考點(diǎn)講解復(fù)習(xí)與同步訓(xùn)練

《6.3.1平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標(biāo)運(yùn)算》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】【常見(jiàn)考法】考法一平面向量的基本定理【例1-1】下列各組向量中，可以作為基底的是（）A． B．C． D．【例1-2】如圖在梯形中，，，設(shè)，，則（）A． B．C． D．【例1-3】在三角形中，為的中點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【例1-4】在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，交于.若，則（）A．1 B． C． D．【一隅三反】1．下列各組向量中，能成為平面內(nèi)的一組基向量的是（）．A． B．C． D．2．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為線段BC，AD，BE的中點(diǎn)，則=（）A． B．C． D．4．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若，則()A． B．3 C． D．25．如圖，已知，若點(diǎn)滿(mǎn)足，，則（）A． B． C． D．6．中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是A． B． C． D．考法二加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】（1）已知點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．（2）已知，，則（）A．2 B． C．4 D．（3）已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）（4）已知向量，，，且，則，的值分別為（）A．， B．， C．， D．，【一隅三反】1．已知點(diǎn)(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)2．已知點(diǎn)，，則與反方向的單位向量為（）A． B． C． D．3．已知向量，，則等于（）A． B． C． D．4．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-4 B．4 C．-1 D．1考法三共線定理的坐標(biāo)表示【例3-1】（多選）已知點(diǎn)，，與向量平行的向量的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．(7，9)【例3-2】已知非零向量，，，若，，且，則（）A．4 B．-4 C． D．【例3-3】若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值是（）A．6 B． C． D．2【一隅三反】1．下列各組向量中不平行的是（）A．， B．，C．， D．，2．與平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A．8 B． C．2 D．5．已知向量，．若向量與平行，則＝________.考法四向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用【例4-1】已知向量，，若//，則的值為（）A． B． C． D．【例4-2】設(shè)向量，，．（1）若與垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求證：∥．【一隅三反】1．已知平面向量，，若，則（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量，，，，若，則的值（）A．4 B．3 C． D．03．設(shè)0≤θ<2π，已知兩個(gè)向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量長(zhǎng)度的最大值是()A． B． C．3 D．2考法五奔馳定理解三角形面積【例5】（1）若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則與的面積比為（）.A． B． C． D．（2）已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若的面積與的面積之比為3，則（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知為內(nèi)一點(diǎn)，且有，則和的面積之比為（）A． B． C． D．2．內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)O是內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，的面積為，的面積為，則（）A． B．C． D．4．點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A． B． C． D．5．是所在平面上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則為（）A．B．C．D．《6.3.1平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標(biāo)運(yùn)算》考點(diǎn)講解答案解析考法一平面向量的基本定理【例1-1】下列各組向量中，可以作為基底的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)A：因?yàn)榱阆蛄亢腿我庀蛄科叫?，故A中向量不可作基底；對(duì)B：因?yàn)椋蔅中兩個(gè)向量不共線；對(duì)C：因?yàn)?，故C中兩個(gè)向量共線，故C中向量不可作基底；對(duì)D：因?yàn)?，故D中兩個(gè)向量共線，故D中向量不可作基底.故選：B.【例1-2】如圖在梯形中，，，設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，又，，所?故選：D.【例1-3】在三角形中，為的中點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，又，所以，，故選：C.【例1-4】在邊長(zhǎng)為2的正方形中，為的中點(diǎn)，交于.若，則（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】建立以為原點(diǎn)，為軸的直角坐標(biāo)系，則，，.又根據(jù)題意，得，，則.所以，，則，，.故選:B.【一隅三反】1．下列各組向量中，能成為平面內(nèi)的一組基向量的是（）．A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于，因?yàn)椋耘c共線，不能成為平面內(nèi)的一組基向量，故不正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以與不共線，能成為平面內(nèi)的一組基向量，故正確；對(duì)于，因?yàn)椋耘c共線，不能成為平面內(nèi)的一組基向量，故不正確：對(duì)于，因?yàn)?，所以與共線，不能成為平面內(nèi)的一組基向量，故不正確；故選：B.2．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.3．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為線段BC，AD，BE的中點(diǎn)，則=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，故選D．4．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，若，則()A． B．3 C． D．2【答案】A【解析】若，，化為，與比較，可得：，，解得．則．故選．5．如圖，已知，若點(diǎn)滿(mǎn)足，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，即，又，所以，因此.故選：C.6．中，，，，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是A． B． C． D．【答案】B【解析】中，，，，，，，；以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，設(shè)點(diǎn)為，，，，，，，，，，，①直線的方程為，②，聯(lián)立①②，得，此時(shí)最大，．故選：B．考法二加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】（1）已知點(diǎn)，，則（）A． B． C． D．（2）已知，，則（）A．2 B． C．4 D．（3）已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）（4）已知向量，，，且，則，的值分別為（）A．， B．， C．， D．，【答案】（1）C（2）C（3）C（4）D【解析】（1）點(diǎn)，，則.故選：C.（2）由題得=（0,4）所以．故選C（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)?，即，所以，解得，所?故選：C.（4）因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)?，，所以，，解得，，故選：D.【一隅三反】1．已知點(diǎn)(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)【答案】A【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故選：A2．已知點(diǎn)，，則與反方向的單位向量為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，,，則，所以與反方向的單位向量為.故選：B.3．已知向量，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?，，所?故選：D4．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】C【解析】由題意，向量，，所以，可得，解得.故選：C.考法三共線定理的坐標(biāo)表示【例3-1】（多選）已知點(diǎn)，，與向量平行的向量的坐標(biāo)可以是（）A． B． C． D．(7，9)【答案】ABC【解析】由點(diǎn)，，則選項(xiàng)A.,所以A選項(xiàng)正確.選項(xiàng)B.,所以B選項(xiàng)正確.選項(xiàng)C.,所以C選項(xiàng)正確.選項(xiàng)D.,所以選項(xiàng)D不正確故選：ABC【例3-2】已知非零向量，，，若，，且，則（）A．4 B．-4 C． D．【答案】D【解析】由題意知，，所以；又，，所以，解得．故選：D【例3-3】若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值是（）A．6 B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)槿c(diǎn)，，共線，所以,若，，三點(diǎn)共線，則和共線可得：，解得；故選：B【一隅三反】1．下列各組向量中不平行的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】對(duì)于A，有，所以與是平行向量；對(duì)于B，有，所以與是平行向量；對(duì)于C，是零向量，與是平行向量；對(duì)于D，不滿(mǎn)足，所以與不是平行向量.故選：D．2．與平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若向量與向量平行，則，，則設(shè)向量，則與符號(hào)相同，與符號(hào)相反，所以可知A，B，D不成立，選項(xiàng)C：若，則，，，故C正確.故選：C.3．已知，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，解得或，所以“”是“”充分不必要條件.故選：A.4．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（）A．8 B． C．2 D．【答案】D【解析】由，，可得，，因?yàn)?，所以，解?故選：D.5．已知向量，．若向量與平行，則＝________.【答案】【解析】向量，，所以，若向量與平行，可得，解得.故答案為:考法四向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用【例4-1】已知向量，，若//，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/，故可得，故可得，又.故選：【例4-2】設(shè)向量，，．（1）若與垂直，求的值；（2）求的最大值；（3）若，求證：∥．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由與垂直，則，即，則．（2），，最大值為32，所以的最大值為．（3）由得，即，所以．【一隅三反】1．已知平面向量，，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴．故選：A．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量，，，，若，則的值（）A．4 B．3 C． D．0【答案】C【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，向量，，，，因?yàn)?，可得，即，所?故選：C．3．設(shè)0≤θ<2π，已知兩個(gè)向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，則向量長(zhǎng)度的最大值是()A． B． C．3 D．2【答案】C【解析】∵＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴||＝.當(dāng)時(shí)，有最大值.故選C.考法五奔馳定理解三角形面積【例5】（1）若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則與的面積比為（）.A． B． C． D．（2）已知為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若的面積與的面積之比為3，則（）A． B． C． D．【答案】（1）C（2）A【解析】（1）如圖，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故△ABM與△ABC同底且高的比為3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以選C.（2）分別取、的中點(diǎn)、，連接、，如圖，所以是的中位線，因?yàn)?，所以，所以，所以、、三點(diǎn)共線，所以，所以即，所以即.故選：A.【一隅三反】1．已知為內(nèi)一點(diǎn)，且有，則和的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)是的中點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所?，，所以故選：2．內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，在內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，由奔馳定理可得，所以，故選A．3．已知點(diǎn)O是內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿(mǎn)足，的面積為，的面積為，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】∵，∴．設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，則,∵為的中位線，且，∴，即．選A．4．點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，若，則與的面積之比是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，又，所以,即,即，則點(diǎn)在線段上，且,又，,又，即，所以點(diǎn)在線段上，且,，故選：C.5．是所在平面上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)樗?選B.《6.3.1平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標(biāo)運(yùn)算》同步練習(xí)【題組一平面向量的基本定理】1．下列各組向量中，可以作為基底的是（）．A．， B．，C．， D．，2．在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．，B．，C．，D．，3．（多選）如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使=λ+μ的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=04．如圖，在四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，若，則（）A． B．1C． D．5．如圖，在中，，，若，則的值為（）A． B． C． D．6．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則的值為A． B． C． D．17.已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)，則等于（）A． B．C． D．8．如圖在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．9．我國(guó)古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱(chēng)為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．10．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿(mǎn)足，．若，則實(shí)數(shù)＋的值為（）A． B． C． D．11．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且，，則①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正確的等式的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．412．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為（）A． B． C． D．13．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，若，則______.14．如圖，在中，已知是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，且，則___________.15．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.16．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，則的最大值是______．【題組二加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知，，則向量為（）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)，，則向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．已知中，，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）.A． B． C． D．4．已知，，，若，則等于（）A．(1，4) B． C． D．5．已知=（2，1），=（-3，4），則-=（）A．（5，-3） B．（-1，5）C．（-3，5） D．（-5，3）6．已知點(diǎn)，，向量，則向量（）A． B．C． D．7．設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．8．已知，，則（）A． B． C． D．9．已知點(diǎn)，，向量，則向量（）．A． B． C． D．10．若，則等于（）A． B． C． D．11．（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，.當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【題組三共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或2．設(shè)向量=(1，4)，=(2，x)，.若，則實(shí)數(shù)x的值是（）A．-4 B．2 C．4 D．83．已知，，且，那么（）A．10 B．5 C． D．-104．已知向量，，且，則m的值為（）A．1 B． C．4 D．5．已知向量，，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是（）A． B． C． D．6已知向量，，若與共線，則（）A． B．3 C． D．7．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．8．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或9．已知，，則與平行的單位向量為()A． B．或C．或 D．10．如圖，在中，.若，則的值為_(kāi)_____，P是上的一點(diǎn)，若，則m的值為_(kāi)_____.11．已知點(diǎn).若，（1）當(dāng)點(diǎn)在第一、三象限角平分線上時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)為一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，求的值.12．設(shè)非零向量，不共線.（1）若，，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，.求證：，，三點(diǎn)共線.【題組四向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用】1若且//,則銳角=__________.2．已知為單位圓，A、B在圓上，向量，的夾角為60°，點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，則的取值范圍___________.3．已知平面向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．4．已知向量，.（1）已知，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求的值【題組五奔馳定理解三角形面積】1．在中，D為BC的中點(diǎn)，P為AD上的一點(diǎn)且滿(mǎn)足，則與面積之比為（）A． B． C． D．2．已知所在的平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，，不重合），且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．3．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),滿(mǎn)足,則與的面積之比為A． B． C． D．4已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在正所確定的平面上，且滿(mǎn)足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．6．如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足.則的面積與的面積之比為（）.A． B．C． D．7．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積比為（）A．B．C．D．8已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則與的面積的比為（）A．B．C．D．9．已知點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)與的面積分別為，則（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與的面積之比為（）A． B． C．3 D．11．已知O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的面積與的面積的比值為（）A． B． C． D．12已知為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若的面積與的面積比值為，則的值為（）A． B． C． D．13．如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．14如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比等于（）．，A． B．C． D．15．設(shè)點(diǎn)在的內(nèi)部,且有,則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．16．設(shè)點(diǎn)在的內(nèi)部,且有,則的面積與的面積之比為（）A． B． C． D．16．設(shè)點(diǎn)是面積為4的內(nèi)部一點(diǎn)，且有，則的面積為（）A．2 B．1 C． D．《6.3.1平面向量的基本定理及加減數(shù)乘坐標(biāo)運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析【題組一平面向量的基本定理】1．下列各組向量中，可以作為基底的是（）．A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因?yàn)榕c不共線，其余選項(xiàng)中、均共線，所以B選項(xiàng)中的兩向量可以作為基底．故選：B2．在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以、共線，不能作為基底；選項(xiàng)B：因?yàn)椋?、共線，不能作為基底；選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以、共線，不能作為基底；選項(xiàng)D：因?yàn)椋?、不共線，可以作為基底，故選：D.3．（多選）如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（）A．λ+μ(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使=λ+μ的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無(wú)窮多個(gè)C．若向量λ1+μ1與λ2+μ2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2)D．若實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ=μ=0【答案】BC【解析】由平面向量基本定理可知，A，D是正確的.對(duì)于B，由平面向量基本定理可知，若一個(gè)平面的基底確定，那么該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的.對(duì)于C，當(dāng)兩個(gè)向量均為零向量時(shí)，即λ1=λ2=μ1=μ2=0時(shí)，這樣的λ有無(wú)數(shù)個(gè)，或當(dāng)λ1+μ1為非零向量，而λ2+μ2為零向量(λ2=μ2=0)，此時(shí)λ不存在.故選:BC.4．如圖，在四邊形中，，為邊的中點(diǎn)，若，則（）A． B．1C． D．【答案】C【解析】連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，根?jù)平面向量基本定理可得，于是．故選：C．5．如圖，在中，，，若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可得，所以，，則，故選：．6．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，，若，則的值為A． B． C． D．1【答案】D【解析】選取為基底，則，又，將以上兩式比較系數(shù)可得．故選D．7.已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意所以2，①同理得2即2.②①×2＋②得4+2，即3，所以.故選：B.8．如圖在梯形ABCD中，ADBC，，且E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】連接OE，OF.因?yàn)椋?故選:C.9．我國(guó)古代人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱(chēng)為“趙爽弦圖”.“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.如圖，大正方形是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，，為的中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意，可得，在中，可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，且，所以，所以，，因此.故選：A.10．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿(mǎn)足，．若，則實(shí)數(shù)＋的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，設(shè)，則在平行四邊形ABCD中，因?yàn)?，，所以點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，且，所以，又因?yàn)?，且，所以，所以，解得，所以。故選：B.11．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且，，則①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正確的等式的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】①如圖可知＝＋＝＋＝－－＝－－，故①正確．②＝＋＝＋＝＋，故②正確．③＝＋＝＋＝＋(－－)＝－＋，故③正確．④＋＋＝－＋＋＝－(＋)＋＋＝－(＋)＋＋－＋＝0，故④正確．故選D.12．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)點(diǎn)為，，，，，，，，，①直線的方程為，②，聯(lián)立①②，解得，此時(shí)最大，，故選：．13．如圖，在中，為的中點(diǎn)，，若，則______.【答案】【解析】，所以.故答案為：.14．如圖，在中，已知是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，且，則___________.【答案】【解析】，所以，，則，為線段的中點(diǎn)，則，因此，.故答案為：.15．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，則，；因?yàn)?，故；?故答案為：.16．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)，則的最大值是______．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其邊長(zhǎng)為2，，則，所以，由，得，解得其中，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為．故答案為：．【題組二加減數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知，，則向量為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得.故選：C.2．已知點(diǎn)，，則向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)，，則向量,故選：B.3．已知中，，，對(duì)角線、交于點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）.A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，，根據(jù)平行四邊形法則可得，則，故選：B.4．已知，，，若，則等于（）A．(1，4) B． C． D．【答案】C【解析】，，，若，可得：.故選：C.5．已知=（2，1），=（-3，4），則-=（）A．（5，-3） B．（-1，5）C．（-3，5） D．（-5，3）【答案】A【解析】，故選:A.6．已知點(diǎn)，，向量，則向量（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，∴．故選：A．7．設(shè)，，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】．故選：B.8．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，故選：B.9．已知點(diǎn)，，向量，則向量（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)椋?，可得，解得，可?所以.故選：B.10．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意.故選：A11．（多選）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，.當(dāng)是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】設(shè)，則，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)時(shí)，，則，解得，所以，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)時(shí)，，則，解得，所以，故選：AD【題組三共線定理的坐標(biāo)運(yùn)算】1．已知，，則與向量共線的單位向量為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以向量，所以與向量共線的單位向量為或.故選：B2．設(shè)向量=(1，4)，=(2，x)，.若，則實(shí)數(shù)x的值是（）A．-4 B．2 C．4 D．8【答案】D【解析】因?yàn)?=所以=(3，4+x)，因?yàn)椋?+x=12，得x=8.故選：D．3．已知，，且，那么（）A．10 B．5 C． D．-10【答案】D【解析】由于兩個(gè)向量平行，所以，解得.故答案為：D4．已知向量，，且，則m的值為（）A．1 B． C．4 D．【答案】D【解析】由題知，，因?yàn)椋?，從?故選：D5．已知向量，，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，.因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以共線，所以，解得.故選：A6．已知向量，，若與共線，則（）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】，，若與共線，則，即．故選：C7．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】故選B8．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】因?yàn)?，，則，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.9．已知，，則與平行的單位向量為()A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】∵，，，，則與平行的單位向量為，化簡(jiǎn)得，或．故選：B．10．如圖，在中，.若，則的值為_(kāi)_____，P是上的一點(diǎn)，若，則m的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】如圖：在中，.所以：，故.由于點(diǎn)B?P?N三點(diǎn)共線.所以，則：，整理得：，故：.所以，解得.故.故答案為：①；②.11．已知點(diǎn).若，（1）當(dāng)點(diǎn)在第一、三象限角平分線上時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)為一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵點(diǎn)在第一、三象限的角平分線上，∴可設(shè).，.∵，，，解得；（2），，則，所以當(dāng)點(diǎn)為一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，這個(gè)四邊形必為平行四邊形，，.12．設(shè)非零向量，不共線.（1）若，，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，.求證：，，三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵，，且，故，即實(shí)數(shù)的值為：；（2）證明：∵，，.∴，，即且有公共點(diǎn)，故，，三點(diǎn)共線．【題組四向量與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用】1．若且//,則銳角=__________.【答案】【解析】∵//,∴，又為銳角，，∴，．故答案為：．2．已知為單位圓，A、B在圓上，向量，的夾角為60°，點(diǎn)C在劣弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，則的取值范圍___________.【答案】【解析】由題意，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：由題意得：，則，，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)?，得，所以，即，所以的取值范圍?故答案為：.3．已知平面向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ），，即，；（Ⅱ），，則，，.4已知向量，.（1）已知，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，求的值【答案】（1），（2）【解析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）因?yàn)?，，且，所以，所以，所以，所以，【題組五奔馳定理解三角形面積】1．在中，D為BC的中點(diǎn)，P為AD上的一點(diǎn)且滿(mǎn)足，則與面積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則有，又，所以，則點(diǎn)在線段上，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以得點(diǎn)為的重心，故與面積之比為.故選：B2．已知所在的平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，，不重合），且，則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，由，所以，設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為（如圖所示），所以，可得，所以點(diǎn)為的中位線的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，，所以，即與的面積之比為.故選：A.3．若點(diǎn)是所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn),滿(mǎn)足,則與的面積之比為A． B． C． D．【答案】A【解析】取D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),由可得(,則,所以,所以與的面積之比為.故選A4．已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與的面積的比值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示,,所以,即,所以,設(shè)和的中點(diǎn)分別為,則由可得,即,即點(diǎn)是的中位線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),所以,故選:C5．已知點(diǎn)在正所確定的平面上，且滿(mǎn)足，則的面積與的面積之比為（）A． B． C