山西省同煤二中聯(lián)盟體2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

山西省同煤二中聯(lián)盟體2025屆數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．102．下列各角中，與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．3．圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離4．已知向量若與平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．25．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足，若，則周長(zhǎng)的最大值為（）A．9 B．10 C．11 D．126．不等式的解集為（）A． B． C． D．7．在數(shù)列中，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于（）A． B． C．或 D．8．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形10．已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足①數(shù)列{an}必為等比數(shù)列；②p=1時(shí)，S5=3132；③正確的個(gè)數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則的值為______12．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.13．設(shè)滿足不等式組，則的最小值為_____.14．已知為等差數(shù)列，，，，則______.15．已知1，，，，4成等比數(shù)列，則______.16．已知內(nèi)接于拋物線，其中O為原點(diǎn)，若此內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，則的外接圓方程為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競(jìng)賽培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次測(cè)試成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：（Ⅰ）分別估計(jì)甲、乙兩名同學(xué)在培訓(xùn)期間所有測(cè)試成績(jī)的平均分；（Ⅱ）從上圖中甲、乙兩名同學(xué)高于85分的成績(jī)中各選一個(gè)成績(jī)作為參考，求甲、乙兩人成績(jī)都在90分以上的概率；（Ⅲ）現(xiàn)要從甲、乙中選派一人參加正式比賽，根據(jù)所抽取的兩組數(shù)據(jù)分析，你認(rèn)為選派哪位同學(xué)參加較為合適？說(shuō)明理由.18．已知定點(diǎn)，點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB上的一點(diǎn)，且，求出點(diǎn)M所滿足的方程，并說(shuō)明方程所表示的曲線是什么.19．已知三棱柱中,三個(gè)側(cè)面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng).（1）求證；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說(shuō)明理由.20．四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面底面ABCD，已知，為正三角形．（1）證明．（2）若，，求二面角的大小的余弦值．21．如圖所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）證明：⊥平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)題中的程序語(yǔ)句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出?！驹斀狻坑深}意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語(yǔ)句的含義是解題關(guān)鍵。2、B【解析】

給出具體角度，可以得到終邊相同角的表達(dá)式.【詳解】角終邊相同的角可以表示為，當(dāng)時(shí)，，所以答案選擇B【點(diǎn)睛】判斷兩角是否是終邊相同角，即判斷是否相差整數(shù)倍.3、B【解析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．4、D【解析】

因?yàn)?，所以由于與平行，得，解得.5、D【解析】

利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式，求得的值，由角的范圍求出角的的大小，再由條件和余弦定理列出方程，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，根據(jù)正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，即，又由，所以，由余弦定理可得，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又由，所以，即，所以三角形的周長(zhǎng)的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.6、A【解析】

因式分解求解即可.【詳解】,解得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次不等式的求解,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：．可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】在數(shù)列中，，，且數(shù)列是等比數(shù)列，其公比，．，．由或8時(shí)，，或9時(shí)，，數(shù)列的最大項(xiàng)等于或．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、累乘法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

根據(jù)大邊對(duì)大角定理知邊長(zhǎng)為所對(duì)的角不是最大角，只需對(duì)其他兩條邊所對(duì)的利用余弦定理，即這兩角的余弦值為正，可求出的取值范圍．【詳解】由題意知，邊長(zhǎng)為所對(duì)的角不是最大角，則邊長(zhǎng)為或所對(duì)的角為最大角，只需這兩個(gè)角為銳角即可，則這兩個(gè)角的余弦值為正數(shù)，于此得到，由于，解得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，在考查三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，一般由最大角來(lái)決定，并利用余弦定理結(jié)合余弦值的符號(hào)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其關(guān)系如下：為銳角；為直角；為鈍角.9、B【解析】

利用三角形的內(nèi)角關(guān)系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【詳解】因?yàn)?，故，整理得到，所以，因，所以即，故為等腰三角形，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎(chǔ)題，注意角的范圍的討論.10、C【解析】

由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義可得數(shù)列{an}為首項(xiàng)為p【詳解】Sn+an=2pn?2時(shí)，Sn-1+a相減可得2an-an-1=0，即有數(shù)列由①可得p=1時(shí)，S5|a|a5|+|由①可得am·a可得p=1故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)，解出的值，再平方，即可求解.【詳解】由題意，可知，，平方可得則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)常用公式關(guān)系轉(zhuǎn)換，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

將兩邊平方，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】將兩邊平方并化簡(jiǎn)得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量模的運(yùn)算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.13、-6【解析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，當(dāng)向下平移時(shí)，減小，因此當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為最小值．14、【解析】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算即可.【詳解】已知為等差數(shù)列，且，，所以，解得或（舍）故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】

因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得，再利用，確定取值.【詳解】因?yàn)?，，，，4成等比數(shù)列，所以，所以或，又因?yàn)椋?故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由拋物線的對(duì)稱性知A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用三角形的垂心的性質(zhì)，結(jié)合斜率之積等于﹣1即可求得直線MN的方程，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，問(wèn)題得以解決．【詳解】∵拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，內(nèi)接三角形的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，三邊上的高過(guò)焦點(diǎn)，∴另兩個(gè)頂點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，即△ABO是等腰三角形，作AO的中垂線MN，交x軸與C點(diǎn)，而Ox是AB的中垂線，故C點(diǎn)即為△ABO的外接圓的圓心，OC是外接圓的半徑，設(shè)A（x1，2），B（x1，﹣2），連接BF，則BF⊥AO，∵kBF，kAO，∴kBF?kAO＝?1，整理，得x1（x1﹣5）＝1，則x1＝5，（x1＝1不合題意，舍去），∵AO的中點(diǎn)為（，），且MN∥BF，∴直線MN的方程為y（x），當(dāng)x1＝5代入得2x+4y﹣91，∵C是MN與x軸的交點(diǎn)，∴C（，1），而△ABO的外接圓的半徑OC，于是得到三角形外接圓方程為（x）2+y2＝（）2，△OAB的外接圓方程為：x2﹣9x+y2＝1，故答案為x2﹣9x+y2＝1．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算、，進(jìn)而可得平均分的估計(jì)值；（Ⅱ）求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值；（Ⅲ）答案不唯一.從平均數(shù)與方差考慮，派甲參賽比較合適；從成績(jī)優(yōu)秀情況分析，派乙參賽比較合適.【詳解】（Ⅰ）由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算，，由樣本估計(jì)總體得，甲、乙兩名同學(xué)在培訓(xùn)期間所有測(cè)試成績(jī)的平均分分別均約為分.（Ⅱ）從甲、乙兩名同學(xué)高于分的成績(jī)中各選一個(gè)成績(jī)，基本事件是，甲、乙兩名同學(xué)成績(jī)都在分以上的基本事件為，故所求的概率為.（Ⅲ）答案不唯一.派甲參賽比較合適，理由如下：由（Ⅰ）知，，，，因?yàn)椋?，所有甲的成?jī)較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適；派乙參賽比較合適，理由如下：從統(tǒng)計(jì)的角度看，甲獲得分以上（含分）的頻率為，乙獲得分以上（含分）的頻率為，因?yàn)?，所有派乙參賽比較合適.【點(diǎn)睛】本題考查了利用莖葉圖計(jì)算平均數(shù)與方差的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.18、；方程所表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的關(guān)系式及圓的方程可求.【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?；，，因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，所以；化簡(jiǎn)得；方程所表示的曲線是以為圓心，為半徑的圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線方程的求解，相關(guān)點(diǎn)法是常用的方法，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點(diǎn).【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個(gè)法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對(duì)值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設(shè)F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個(gè)法向量平行，由此可求出點(diǎn)F坐標(biāo)，進(jìn)而求出||，即得答案.【詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因?yàn)椋?+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設(shè)＝（x，y，z）為平面EA1D的一個(gè)法向量，則即，?。剑?，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設(shè)＝（x，y，z）為平面A1DB的一個(gè)法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個(gè)法向量＝（1，﹣1，2），根據(jù)點(diǎn)E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個(gè)法向量，設(shè)F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長(zhǎng)度為，此時(shí)點(diǎn)F（0，1，0）．存在F點(diǎn)為AC中點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查重點(diǎn)考查直線與平面垂直的性質(zhì)、二面角的平面角及其求法、空間點(diǎn)、線、面間距離計(jì)算，考查學(xué)生空間想象能力、推理論證能力．20、（1）證明見解析．（2）二面角的余弦值為．【解析】

（1）作于點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得底面ABCD，由三角形全等性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)線面垂直判定定理證明平面，即可證明.（2）根據(jù)所給角度和線段關(guān)系，可證明以均為等邊三角形，從而取中點(diǎn)，連接，即可由線段長(zhǎng)結(jié)合余弦定理求得二面角的大小.【詳解】（1）證明：作于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，則底面ABCD，因?yàn)闉檎切?，則,所以，即，又因?yàn)?，所以，?所以平面，所以.（2）由（1）可知，，，所以，又因?yàn)椋?，即為中點(diǎn).由等腰三角形三線合一可知，在中，由等腰三角形三線合一可得，所以均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：由題意可知，即為二面角的平面角，所以在中由余弦定理可得，即二面角