2025屆黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱市師范大學(xué)附屬中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在平行四邊形中，為一條對(duì)角線，，，則＝（）A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）2．球是棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，則這個(gè)球的體積為（）A． B． C． D．3．為了得到的圖象，只需將的圖象()A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移4．已知數(shù)列和數(shù)列都是無窮數(shù)列，若區(qū)間滿足下列條件：①；②；則稱數(shù)列和數(shù)列可構(gòu)成“區(qū)間套”，則下列可以構(gòu)成“區(qū)間套”的數(shù)列是（）A．， B．，C．， D．，5．實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．若，，表示三條不重合的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①若，，則②，，，則③若，，則④若，，則A．0 B．1 C．2 D．37．．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則…等于（）A．5 B．6 C．7 D．88．若直線上存在點(diǎn)滿足則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．9．《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作．其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一枚．問：得幾何？”意思是：“有一塊棱長(zhǎng)為3尺的正方體方木，要把它作成邊長(zhǎng)為5寸的正方體枕頭，可作多少個(gè)？”現(xiàn)有這樣的一個(gè)正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率為()A． B． C． D．10．在中，已知，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為_________.12．已知圓，直線l被圓所截得的弦的中點(diǎn)為.則直線l的方程是________（用一般式直線方程表示）.13．體積為8的一個(gè)正方體，其全面積與球的表面積相等，則球的體積等于________.14．函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的值等于____________.15．設(shè)數(shù)列滿足,,,，______.16．隨機(jī)抽取100名年齡在[10，20），[20，30），…，[50，60）年齡段的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12人，則在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知不等式的解集為.(Ⅰ)若，求集合；(Ⅱ)若集合是集合的子集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值和函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖像的對(duì)稱軸方程.19．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）試用，表示：（2）當(dāng)?取得最小值時(shí)，求t的值.20．若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)，對(duì)任意的，使得成立，則稱為階穩(wěn)增數(shù)列.（1）若由正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，且對(duì)任意，數(shù)列中恰有個(gè)，求的值；（2）設(shè)等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列且首項(xiàng)大于，試求該數(shù)列公比的取值范圍；（3）在（1）的條件下，令數(shù)列（其中，常數(shù)為正實(shí)數(shù)），設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若已知數(shù)列極限存在，試求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出該極限值.21．為迎接世博會(huì)，要設(shè)計(jì)如圖的一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左中右三個(gè)矩形欄目，這三欄的面積之和為60000，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎樣確定廣告矩形欄目高與寬的尺寸（單位：cm），能使整個(gè)矩形廣告面積最小.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：,故選C.考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算．2、A【解析】

棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的半徑，由此能求出其體積．【詳解】棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球的半徑＝＝1，體積．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的內(nèi)切球的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化成正弦函數(shù)的形式，再根據(jù)平移變換，即可得答案.【詳解】∵，∵，∴只需將的圖象向左平移可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的平移變換，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意平移是針對(duì)自變量而言的.4、C【解析】

直接利用已知條件，判斷選項(xiàng)是否滿足兩個(gè)條件即可．【詳解】由題意，對(duì)于A：，，∵，∴不成立，所以A不正確；對(duì)于B：由，，得不成立，所以B不正確；對(duì)于C：，∵，∴成立，并且也成立，所以C正確；對(duì)于D：由，，得，∴不成立，所以D不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)列的極限的求法，考查分析問題解決問題的能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.【詳解】畫出可行域如下圖所示，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由圖可知目標(biāo)函數(shù)分別在出取的最小值和最大值，最小值為，最大值為，故的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最大值和最小值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

①根據(jù)空間線線位置關(guān)系的定義判定；②根據(jù)面面平行的性質(zhì)判定；③根據(jù)空間線線垂直的定義判定；④根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判定．【詳解】解：①若，，與的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；②若，，，則或、異面，故錯(cuò)；③若，，則或、異面，故錯(cuò)；④若，，則，故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面位置關(guān)系，考查了空間想象能力，屬于中檔題．7、C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，所以.8、B【解析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)平移直線即可確定實(shí)數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點(diǎn)或C點(diǎn)的左邊時(shí)，直線上存在點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi)，所以，m≤－1，即實(shí)數(shù)的最大值為－1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應(yīng)用，屬于中等題.9、C【解析】

有一塊棱長(zhǎng)為3尺的正方體方木，要把它作成邊長(zhǎng)為5寸的正方體枕頭，可作216個(gè)，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個(gè)面的中間那16塊，共有6×16＝96個(gè)，由此能求出從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率．【詳解】有一塊棱長(zhǎng)為3尺的正方體方木，要把它作成邊長(zhǎng)為5寸的正方體枕頭，可作216個(gè)，由正方體的結(jié)構(gòu)及鋸木塊的方法，可知一面帶有紅漆的木塊是每個(gè)面的中間那16塊，共有6×16＝96個(gè)，∴從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰有一面涂上油漆的概率：p．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可.10、B【解析】

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】的面積.

故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)圖像可得，根據(jù)0所在位置，處于函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，即可得解.【詳解】由圖可得：，或由于0在函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間內(nèi)，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求參數(shù)的取值，常用代入法求解，判定初相的取值時(shí)，根據(jù)圖象結(jié)合單調(diào)性取值.12、【解析】

將圓的方程化為標(biāo)椎方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)垂徑定理得到直線與直線垂直，根據(jù)直線的斜率求出直線的斜率，確定出直線的方程即可．【詳解】由已知圓的方程可得，所以圓心，半徑為3，由垂徑定理知：直線直線，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的斜率，則直線的方程為，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于?？碱}.13、【解析】

由體積為的一個(gè)正方體，棱長(zhǎng)為，全面積為，則，，球的體積為，故答案為.考點(diǎn)：正方體與球的表面積及體積的算法.14、【解析】

根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，由此列等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.15、8073【解析】

對(duì)分奇偶討論求解即可【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故故答案為8073【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系，考查分析推理能力，對(duì)分奇偶討論發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，是難題16、3【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖，求得不小于40歲的人的頻率及人數(shù)，再利用分層抽樣的方法，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得樣本中不小于40歲的人的頻率是0.015×10+0.005×10=0.2，所以不小于40歲的人的頻數(shù)是100×0.2=20；從不小于40歲的人中按年齡段分層抽樣的方法隨機(jī)抽取12人，在[50，60）年齡段抽取的人數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，其中解答中熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及頻率分布直方圖中概率的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

（I）結(jié)合二次函數(shù)圖象直接得出一元二次不等式的解集；（II）結(jié)合已知集合的包含關(guān)系得出，從而可寫出集合，再由包含關(guān)系得出的最終取值范圍．【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由，得解得所以(Ⅱ)因?yàn)榭傻?，又因?yàn)榧鲜羌系淖蛹?，所以可得?當(dāng)時(shí)不符合題意，舍去)所以綜上所述.【點(diǎn)睛】本題考查集合的包含關(guān)系，考查一元二次不等式的求解，在解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，注意分類討論．18、（1），值域?yàn)椋唬?）單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)稱軸方程為.【解析】

（1）利用二倍角公式降冪，然后化為的形式，由周期公式求出，同時(shí)求得值域；（2）直接利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得增區(qū)間，再由求得對(duì)稱軸方程.【詳解】（1），由，得，，則函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）由，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令，解得，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為.【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)才是解題的關(guān)鍵，考查了基本知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)即可得出，從而解得；（2）由（1）得，根據(jù)得，從而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算得出，配方即可得出當(dāng)時(shí)，取最小值.【詳解】（1）∵；∴；∴；（2）∵△ABC是正三角形，且AB＝2；∴；∵；∴；∴∴時(shí)，取最小值.【點(diǎn)睛】本題考查向量減法、加法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算及計(jì)算公式，配方法解決二次函數(shù)問題的方法，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）設(shè)，由題意得出，求出正整數(shù)的值即可；（2）根據(jù)定義可知等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列，分和兩種情況討論，列出關(guān)于的不等式，解出即可；（3）求出，然后分、和三種情況討論，求出，結(jié)合數(shù)列的極限存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，由于數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，則，對(duì)任意，數(shù)列中恰有個(gè)，則數(shù)列中的項(xiàng)依次為：、、、、、、、、、、、、、、、、，設(shè)數(shù)列中值為的最大項(xiàng)數(shù)為，則，由題意可得，即，，解得，因此，；（2）由于等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，即對(duì)任意的，，且.所以，等比數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列也為階穩(wěn)增數(shù)列.①當(dāng)時(shí)，則等比數(shù)列中每項(xiàng)都為正數(shù)，由可得，整理得，解得；②當(dāng)時(shí)，（i）若為正奇數(shù)，可設(shè)，則，由，得，即，整理得，解得；（ii）若為正偶數(shù)時(shí)，可設(shè)，則，由，得，即，整理得，解得.所以，當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列為階穩(wěn)增數(shù)列.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3），由