浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題4.3因式分解-十字相乘法與分組分解法(知識(shí)解讀)(原卷版+解析)

專題4.3因式分解-十字相乘法與分組分解法（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解十字相乘法和分組分解法分解因式．2.了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解．3.掌握因式分解分應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1：十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即cc1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．考點(diǎn)2：分組分解法考點(diǎn)3：因式分解的應(yīng)用【典例分析】【考點(diǎn)1:十字相乘法】【典例1】（2023秋?江陵縣期末）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1+2．所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2+5x﹣24＝；（2）若x2+px+6可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是；（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．【變式1-1】（2023春?肅州區(qū)校級(jí)期中）分解因式：（1）x2﹣10x+16；（2）x2﹣2x﹣3．【變式1-2】（2023秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，我們很容易計(jì)算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通過(guò)這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項(xiàng)﹣3＝（﹣1）×3，一次項(xiàng)系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．【考點(diǎn)2:分組分解法】【典例2】（2023春?新田縣期中）先閱讀材料：分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．解：a2b﹣3a2+2b﹣6＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）＝（b﹣3）（a2+2）以上解題過(guò)程中用到了“分組分解法”，即把多項(xiàng)式先分組，再分解．請(qǐng)你運(yùn)用這種方法對(duì)下面多項(xiàng)式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．【變式2-1】（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【變式2-2】（2023春?覃塘區(qū)期中）因式分解：m2+n2﹣2mn﹣1．【變式2-3】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）因式分解a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【考點(diǎn)3:因式分解應(yīng)用】【典例3】（2023秋?靈寶市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，則a2b+ab2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1【變式3-1】（2023秋?泗水縣期末）若x+y＝3，xy＝5，則x2y+xy2的值為．【變式3-2】（2023秋?朔城區(qū)期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，則代數(shù)式x2y﹣xy2的值為．【變式3-3】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，則多項(xiàng)式a2b+ab2﹣a﹣b的值為（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18【典例4】（2023秋?平城區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪，制作成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，其中四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是n，中間長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3m，寬是m，且m＞n．（1）觀察圖形，通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形紙板的面積可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式3m2+8mn+4n2可以因式分解，請(qǐng)直接寫出因式分解的結(jié)果：3m2+8mn+4n2＝；（2）若折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面的面積和是16，圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和是40，試求m2+n2和（m﹣n）2的值．【變式4-1】（2023秋?張店區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的結(jié)論，則ab+ac+bc＝．（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（a+2b）（2a+b）長(zhǎng)方形，求x+y+z的值．【變式4-2】（2023春?福鼎市期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且m＞n，（以上長(zhǎng)度單位：cm）（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2m2+5mn+2n2可以因式分解，請(qǐng)寫出因式分解的結(jié)果：（2）若每塊小長(zhǎng)方形的面積為12cm2，四個(gè)正方形的面積和為80cm2，試求圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和．【變式4-3】（2023秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的結(jié)論，則ab+ac+bc＝．（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（a+2b）（2a+b）長(zhǎng)方形，求x+y+z的值．專題4.3因式分解-十字相乘法與分組分解法（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解十字相乘法和分組分解法分解因式．2.了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解．3.掌握因式分解分應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1：十字相乘法1.x2pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三項(xiàng)式ax2bxc(a0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)a可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即aa1a2，常數(shù)項(xiàng)c可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即cc1c2，把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三項(xiàng)式ax2bxc的一次項(xiàng)系數(shù)b，即a1c2a2c1b，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1xc1與a2xc2之積，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．考點(diǎn)2：分組分解法考點(diǎn)3：因式分解的應(yīng)用【典例分析】【考點(diǎn)1:十字相乘法】【典例1】（2023秋?江陵縣期末）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．例如：將式子x2+3x+2分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1+2．所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2+5x﹣24＝；（2）若x2+px+6可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是；（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝x2+（﹣3+8）x+（﹣3）×8＝（x﹣3）（x+8），故答案為：（x﹣3）（x+8）；（2）∵6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，∴p＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，p＝3+2＝5，p＝﹣1+（﹣6）＝﹣7，p＝1+6＝7，∴若x2+px+6可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是：±5，±7，故答案為：±5，±7；（3）x2﹣4x﹣21＝0，（x﹣7）（x+3）＝0，（x﹣7）＝0或（x+3）＝0，∴x1＝7，x2＝﹣3．【變式1-1】（2023春?肅州區(qū)校級(jí)期中）分解因式：（1）x2﹣10x+16；（2）x2﹣2x﹣3．【解答】解：（1）x2﹣10x+16＝（x﹣8）（x﹣2）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）．【變式1-2】（2023秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，我們很容易計(jì)算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通過(guò)這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項(xiàng)﹣3＝（﹣1）×3，一次項(xiàng)系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項(xiàng)系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項(xiàng)，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用這種方法，將下列多項(xiàng)式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．故答案為：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．【考點(diǎn)2:分組分解法】【典例2】（2023春?新田縣期中）先閱讀材料：分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．解：a2b﹣3a2+2b﹣6＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）＝（b﹣3）（a2+2）以上解題過(guò)程中用到了“分組分解法”，即把多項(xiàng)式先分組，再分解．請(qǐng)你運(yùn)用這種方法對(duì)下面多項(xiàng)式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．【解答】解：x2+3x﹣y2+3y＝x2﹣y2+（3x+3y）＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）＝（x+y）（x﹣y+3）．【變式2-1】（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．x2﹣（﹣4y+4y2+1）＝x2﹣（1﹣2y）2＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．【變式2-2】（2023春?覃塘區(qū)期中）因式分解：m2+n2﹣2mn﹣1．【解答】解：m2+n2﹣2mn﹣1＝（m﹣n）2﹣1＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．【變式2-3】（2023春?西湖區(qū)校級(jí)期中）因式分解a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．【解答】解：a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．【考點(diǎn)3:因式分解應(yīng)用】【典例3】（2023秋?靈寶市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，則a2b+ab2的值是（）A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1答案:A【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣3×2＝﹣6，故選：A．【變式3-1】（2023秋?泗水縣期末）若x+y＝3，xy＝5，則x2y+xy2的值為．答案:15【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．故答案為：15．【變式3-2】（2023秋?朔城區(qū)期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，則代數(shù)式x2y﹣xy2的值為．答案:﹣15【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．故答案為：﹣15．【變式3-3】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，則多項(xiàng)式a2b+ab2﹣a﹣b的值為（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18答案:D【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，∴a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b+ab2）﹣（a+b）＝ab（a+b）﹣（a+b）＝（ab﹣1）（a+b）＝（7﹣1）×（﹣3）＝﹣18，故選：D．【典例4】（2023秋?平城區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪，制作成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，其中四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是n，中間長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3m，寬是m，且m＞n．（1）觀察圖形，通過(guò)計(jì)算長(zhǎng)方形紙板的面積可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式3m2+8mn+4n2可以因式分解，請(qǐng)直接寫出因式分解的結(jié)果：3m2+8mn+4n2＝；（2）若折成的無(wú)蓋長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面的面積和是16，圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和是40，試求m2+n2和（m﹣n）2的值．【解答】解：（1）觀察圖形，發(fā)現(xiàn)代數(shù)式：3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；故答案為：（3m+2n）（m+2n）；（2）∵無(wú)蓋長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面的面積和是16，∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，∵圖中所有裁剪線（虛線部分）長(zhǎng)之和是40，∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，即m+n＝5，∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．【變式4-1】（2023秋?張店區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的結(jié)論，則ab+ac+bc＝．（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（a+2b）（2a+b）長(zhǎng)方形，求x+y+z的值．【解答】解：（1）根據(jù)大正方形的面積（a+b+c）2等于各小圖形面積的和，所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）因?yàn)椋╝+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，所以49＝23+2ab+2ac+2bc，所以ab+ac+bc＝13，故答案為：13．（3）根據(jù)題意，得x張邊長(zhǎng)為a的正方形的面積為xa2，y張邊長(zhǎng)為b的正方形的面積為yb2，z張邊長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形的面積為zab，因?yàn)椋╝+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，所以x＝2，y＝2，z＝5，【變式4-2】（2023春?福鼎市期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成九塊，其中有兩塊是邊長(zhǎng)都為m的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為n的小正方形，五塊是長(zhǎng)為m，寬為n的全等小長(zhǎng)方形，且m＞n，（以上長(zhǎng)度單位：cm）（1）觀察圖形