人教版高中數(shù)學選擇性必修一導學案全套

人教版高中數(shù)學選擇性必修一導學案全套1.1空間向量及其運算【學習目標】1.經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程，了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；2.掌握空間向量的運算；加減、數(shù)乘、數(shù)量積；3.能運用向量運算判斷向量的共線與垂直.【重點和難點】重點：理解空間向量的概念難點：掌握空間向量的運算及其應用【知識梳理】一、溫故知新1.平面向量的概念名稱定義備注向量既有又有的量。向量的大小叫做向量的長度或模平面向量是自由向量零向量長度等于0的向量，其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量與非零向量共線的單位向量為平行向量(或共線向量)方向的向量0與任一向量平行（或共線）相等向量長度且方向的向量兩向量只有相等或不等，不能比大小相反向量長度且方向的向量0的相反向量為2.向量的線性運算（1）加法：是指求兩個向量和的運算；法則（幾何意義）：三角形法則、平行四邊形法則。（2）減法：是指求與的相反向量的和的運算叫做與的差；法則（幾何意義）：三角形法則。（3）數(shù)乘：是指求實數(shù)與向量的積的運算；法則（幾何意義）：①；②當時，與的方向；③當時，與的方向；④四時，=.3.共線向量定理向量與共線的充要條件是，當且僅當存在唯一實數(shù)λ，使得。4.平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，一對實數(shù)使，其中不共線的向量叫表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。結(jié)論：（1）若向量，不共線，則的等價條件是；（2）三終點A,B,C共線存在實數(shù)使得=，且5.兩個向量的夾角（1）定義：一直兩個非零向量，作，則∠叫做與的夾角。（2）范圍：夾角的取值范圍是。①當與同向時，=；②反向時，=；③當與垂直時，=，并記作⊥。6.兩向量的夾角分別是銳角與鈍角的充要條件（1）與的夾角是銳角·0且與不共線；（2）與的夾角是鈍角·0且與不共線。7.平面向量的數(shù)量積（1）定義：·=，規(guī)定·=；（2）坐標表示：·=，其中；（3）運算律①交換律：·=；②結(jié)合律·=；③數(shù)乘：·=.（4）在方向上的投影是；（5）·的幾何意義：數(shù)量積·等于的模||與在的方向上的投影的乘積。8.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則（1）==；（2）⊥；（3）·=；（4）|·|≤||·||.【學習過程】一、情境導學章前圖展示的是一個做滑翔運動員的場景，可以想象在滑翔過程中，飛行員會受到來自不同方向大小各異的力，例如繩索的拉力，風力，重力等，顯然這些力不在同一個平內(nèi)，聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用向量研究滑翔運動員呢，下面我們類比平面向量，研究空間向量，先從空間上的概念和表示開始。二、探究新知知識點一空間向量的概念思考1.類比平面向量的概念，給出空間向量的概念.(1)在空間，把具有_____和_____的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空間向量用有向線段表示，有向線段的_____表示向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作eq\o(AB,\s\up14(→))，其模記為__________.(2)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量規(guī)定長度為0的向量叫_______，記為0單位向量______的向量叫單位向量相反向量與向量a長度_____而方向_____的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向_____且模_____的向量稱為相等向量，_____且_____的有向線段表示同一向量或相等向量知識點二空間向量的加減運算及運算律思考2.下面給出了兩個空間向量a、b，作出b＋a，b－a.(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運算.eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋beq\o(CA,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))＝a－beq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝a＋b(2)空間向量加法交換律a＋b＝b＋a空間向量加法結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)知識點三空間向量的數(shù)乘運算思考3.實數(shù)λ和空間向量a的乘積λa的意義是什么？向量的數(shù)乘運算滿足哪些運算律？(1)實數(shù)與向量的積與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝____.②當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向；當λ＝0時，λa＝0.(2)空間向量數(shù)乘運算滿足以下運算律①λ(μa)＝______；②λ(a＋b)＝______；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).知識點四共線向量與共面向量思考4.回顧平面向量中關(guān)于向量共線知識，給出空間中共線向量的定義.定義平行于同一個平面的向量三個向量共面的充要條件向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在______的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使__________點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up14(→))＝___________對空間任一點O，有eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋__________做一做1.如圖，已知長方體ABCD-A′B′C′D′，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向量.(1)eq\o(AA,\s\up14(→))′－eq\o(CB,\s\up14(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(B′C,\s\up14(→))′.例1.已知平行四邊形ABCD從平面AC外一點O引向量．＝k，＝k，＝k，＝k．求證：四點E，F(xiàn)，G，H共面變式訓練1．對于空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，有如下關(guān)系：，則（）A．四點O，A，B，C必共面B．四點P，A，B，C必共面C．四點O，P，B，C必共面D．五點O，P，A，B，C必共面知識點五空間向量數(shù)量積的概念思考5.如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，類比平面向量有關(guān)運算，如何求向量eq\o(OA,\s\up14(→))與eq\o(BC,\s\up14(→))的數(shù)量積？并總結(jié)求兩個向量數(shù)量積的方法.(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.(2)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與向量數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝______交換律a·b＝_____分配律a·(b＋c)＝_________(3)空間向量的夾角①定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則______叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉.②范圍：〈a，b〉∈_______.特別地：當〈a，b〉＝___時，a⊥b.兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)①若a，b是非零向量，則a⊥b?_______②若a與b同向，則a·b＝______；若反向，則a·b＝________.特別地，a·a＝____或|a|＝③若θ為a，b的夾角，則cosθ＝_______④|a·b|≤|a|·|b|例2．已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，（1）求AC′的長；（如圖所示）（2）求與的夾角的余弦值．變式練習2.(1)如圖，平行六面體中中，各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，則對角線的長為.（2）如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，則異面直線與所成角的余弦值為.例3．已知：m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線，直線l與α的交點為B，且l⊥m，l⊥n．求證：l⊥α【當堂檢測】1.下列命題中，假命題是()A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等2.在下列命題中：①若a、b共線，則a、b所在的直線平行；②若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；③若a、b、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，則空間任意一個向量p總可以唯一表示為p＝xa＋yb＋zc.其中正確命題的個數(shù)為()A.0B.1C.2D.33.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是()A.a＝b B.a＋b為實數(shù)0C.a與b方向相同 D.|a|＝34.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＋eq\o(CC,\s\up14(→))1；②(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1D,\s\up14(→))1)＋eq\o(D1C,\s\up14(→))1；③(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1)＋B1C1；④(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1B,\s\up14(→))1)＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1.其中運算的結(jié)果為eq\o(AC,\s\up14(→))1的有___個.5.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，若A，B，D三點共線，則k＝____.6.已知a、b是異面直線，且a⊥b，e1、e2分別為取自直線a、b上的單位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實數(shù)k的值為___.7.BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線BA1與AC所成的角.【課堂小結(jié)】1．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎(chǔ)．2．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題．3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題．其中合理選取基底是優(yōu)化運算的關(guān)鍵．參考答案：知識點一空間向量的概念思考1.答案在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.(1)方向；大小；長度；模；長度；|a|或|eq\o(AB,\s\up14(→))|(2)零向量；模為1；相等；相反；相同；相等；同向；等長知識點二空間向量的加減運算及運算律思考2.答案如圖，空間中的兩個向量a，b相加時，我們可以先把向量a，b平移到同一個平面α內(nèi)，以任意點O為起點作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝b－a.知識點三空間向量的數(shù)乘運算思考3.答案λ＞0時，λa和a方向相同；λ＜0時，λa和a方向相反；λa的長度是a的長度的|λ|倍.空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a.(1)相反；|λ||a|；(2)(λμ)a；λa＋λb；λ1a＋λ2a知識點四共線向量與共面向量思考4.答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.平行或重合；a＝λb；方向向量；eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋ta；eq\o(AB,\s\up14(→))惟一；p＝xa＋yb；xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))；xeq\o(AB,\s\up14(→))＋yeq\o(AC,\s\up14(→))做一做1.解（1）eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AA′,\s\up14(→))－eq\o(DA,\s\up14(→))＝eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AD′,\s\up14(→)).（2）eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(B′C′,\s\up14(→))＝(eq\o(AA′,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up14(→))＝eq\o(AB′,\s\up14(→))＋eq\o(B′C′,\s\up14(→))＝eq\o(AC′,\s\up14(→)).向量eq\o(AD′,\s\up14(→))、eq\o(AC′,\s\up14(→))如圖所示.例1.【分析】（1）可畫出圖形，根據(jù)便可得到，從而得出EF∥AB，同理HG∥DC，且有EF＝HG，這便可判斷四邊形EFGH為平行四邊形，從而得出四點E，F(xiàn)，G，H共面；解：（1）證明：如圖，∵；∴；EF∥AB，且EF＝|k|AB；同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF∥HG，且EF＝HG；∴四邊形EFGH為平行四邊形；∴四點E，F(xiàn)，G，H共面；變式練習1.【答案】B【解析】由已知得，而，四點、、、共面．故選：．知識點五空間向量數(shù)量積的概念思考5.解∵eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))，∴eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＝|eq\o(OA,\s\up14(→))||eq\o(AC,\s\up14(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉－|eq\o(OA,\s\up14(→))||eq\o(AB,\s\up14(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(AB,\s\up14(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).求兩個向量的數(shù)量積需先確定這兩個向量的模和夾角，當夾角和長度不確定時，可用已知夾角和長度的向量來表示該向量，再代入計算.(2)數(shù)量積的運算律a·b＋a·c；λ(a·b)；b·a(3)空間向量的夾角∠AOB；[0，π]；eq\f(π,2)；eq\r(a·a)；eq\f(a·b,|a||b|)；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2例2．【分析】（1）可得＝＝，由數(shù)量積的運算可得，開方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夾角公式可得．解：（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的長等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）?（）＝＝＝又＝＝＝＝5故與的夾角的余弦值＝＝變式練習2（1）【答案】【解析】在平行六面體中中，因為各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，所以，所以，所以，，所以.（2）【答案】【解析】三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，，設(shè)棱長為1，則，，.，，所以而，，所以.例3．解：設(shè)直線m的方向向量為，直線n的方向向量為，直線l的方向向量為，∵m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線∴與是平面α內(nèi)的兩個不共線向量，設(shè)平面α內(nèi)的任一向量為，由平面向量基本定理，存在唯一實數(shù)λ，μ，使＝λ+μ又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0∴?＝＝λ+μ＝0∴∴直線l垂直于平面α內(nèi)的任意直線，由線面垂直的定義得：l⊥α達標檢測1.答案：D解析容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.2.答案A解析根據(jù)空間向量的基本概念知四個命題都不對.3.答案D解析向量a，b互為相反向量，則a，b模相等、方向相反.故D正確.4.答案4解析根據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷：①(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＋eq\o(CC,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CC,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1；②(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1D,\s\up14(→))1)＋eq\o(D1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AD,\s\up14(→))1＋eq\o(D1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1；③(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1)＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AB,\s\up14(→))1＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1；④(eq\o(AA,\s\up14(→))1＋eq\o(A1B,\s\up14(→))1)＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AB,\s\up14(→))1＋eq\o(B1C,\s\up14(→))1＝eq\o(AC,\s\up14(→))1.所以4個式子的運算結(jié)果都是eq\o(AC,\s\up14(→))1.5.答案－8解析eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1＋ke2，又A、B、D三點共線，由共線向量定理得eq\o(AB,\s\up14(→))＝λeq\o(BD,\s\up14(→))，∴eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k).∴k＝－8.6.答案6解析由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.7.解如圖所示.∵eq\o(BA,\s\up14(→))1＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))，∴eq\o(BA,\s\up14(→))1·eq\o(AC,\s\up14(→))＝(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1)·(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))＝eq\o(BA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(BC,\s\up14(→)).因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0，eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(AB,\s\up14(→))＝0，eq\o(BB,\s\up14(→))1·eq\o(BC,\s\up14(→))＝0且eq\o(BA,\s\up14(→))·eq\o(AB,\s\up14(→))＝－a2.∴eq\o(BA,\s\up14(→))1·eq\o(AC,\s\up14(→))＝－a2.又eq\o(BA,\s\up14(→))1·eq\o(AC,\s\up14(→))＝|eq\o(BA,\s\up14(→))1|·|eq\o(AC,\s\up14(→))|cos〈eq\o(BA,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))〉，又∵〈eq\o(BA1,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(BA,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝120°，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角.∴cos〈eq\o(BA,\s\up14(→))1，eq\o(AC,\s\up14(→))〉＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).1.2空間向量基本定理【學習目標】1.掌握空間向量基本定理.2.了解空間向量正交分解的含義.3.會用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.【重點和難點】重點：掌握空間向量基本定理難點：用空間向量基本定理解決有關(guān)問題.【知識梳理】一、溫故知新1．平面向量基本定理及其證明，其證明過程為：①平移：將平移成同一始點的向量．②平行投影：過平移后所得向量的終點分別作平移后所在直線的平行線與這兩條直線分別相交，得在方向上的分向量．③依據(jù)共線向量定理，分別用表示在方向上的分向量．④求分向量的和，代入，定理得證．平面向量基本定理表明，平面內(nèi)任一向量可以用該平面內(nèi)兩個不共線向量來線性表示．【學習過程】一、情境導學我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點,沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.這三個空間向量是不共面的,那么用這三個向量表示空間中任意的向量呢？二、探究新知知道平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示(平面向量基本定理)，類似的任意一個空間的向量，能否用任意三個不共面的向量來表示呢？因此，如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，那么對于任意一個空間向量p存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使得p=xi+yj+zk

。我們稱xi,y探究如圖1.2-1，設(shè)i,j,k是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示他們的有向線段有公共起點o，對于任意一個空間向量p=OP,設(shè)OQ為OP在i,j所確定的平面上的投影向量，則OP=OQ+QP,又向量QP，k共線，因此存在唯一實數(shù)z，使得QP+zk，從而OP=OQ+zk

，而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y），使得OQ=xi+yj.從而，OP=空間向量基本定理1.定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.2.基底:我們把定理中的a,b,c面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.3.單位正交基底:如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用i,j由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,均可以分解為三個向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解.定理辨析1.空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達式也有可能不同.2.一個基底是一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.3.由于零向量與任意一個非零向量共線,與任意兩個不共線的非零向量共面,所以若三個向量不共面,就說明它們都不是零向量.做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)空間向量的基底是唯一的.()(2)若a,b,c是空間向量的一個基底,則a,b,c均為非零向量.()(3)已知A,B,M,N是空間四點,若BA,BM,BN不能構(gòu)成空間的一個基底,則A,B,M,N共面.()(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.()2.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個3.已知{e1,e2,e3}是空間的一個基底,且OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC=e1+e2-e3,試判斷{OA,OB解:設(shè)OA=xOB+yOC,則e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,∴y-3即不存在實數(shù)x,y,使得OA=xOB+yOC,所以O(shè)A,OB所以{OA,OB典例解析例1.如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點，P、Q是MN的三等分點．（1）用向量，，表示和．（2）若四面體OABC的所有棱長都等于1，求?的值．跟蹤訓練1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up14(→))＝c，P是CA′的中點，M是CD′的中點，N是C′D′的中點，點Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)eq\o(AP,\s\up14(→))；(2)eq\o(AM,\s\up14(→))；(3)eq\o(AN,\s\up14(→))；(4)eq\o(AQ,\s\up14(→)).反思感悟用基底表示空間向量的解題策略1.空間中,任一向量都可以用一個基底表示,且只要基底確定,則表示形式是唯一的.2.用基底表示空間向量時,一般要結(jié)合圖形,運用向量加法、減法的平行四邊形法則、三角形法則,以及數(shù)乘向量的運算法則,逐步向基向量過渡,直至全部用基向量表示.3.在空間幾何體中選擇基底時,通常選取公共起點最集中的向量或關(guān)系最明確的向量作為基底,例如,在正方體、長方體、平行六面體、四面體中,一般選用從同一頂點出發(fā)的三條棱所對應的向量作為基底.例2.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點,點G在棱CD上,且CG=(1)證明:EF⊥B1C;(2)求EF與C1G所成角的余弦值.思路分析選擇一個空間基底,將EF,B1C,C1G用基向量表示延伸探究：設(shè)這個正方體中線段A1B的中點為M,證明:MF∥B1C.歸納總結(jié)：應用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.首先根據(jù)幾何體的特點,選擇一個基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補角).【當堂檢測】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是()A.AB,ACC.D1A2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,若點F是側(cè)面CC1D1D的中心,且AF=AD+mAB-nAA1,則m,A.12,-12 B.-12,-12C.3.下列說法正確的是()A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應相等4.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E為PD中點,若PA=a,PB=b,PC=c,則BE=.

5.若{a,b,c}是空間的一個基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個基底.6．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．（1）設(shè)，，，用向量，，表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【課堂小結(jié)】1．利用向量的線性運算和空間向量基本定理表示向量是向量應用的基礎(chǔ)．2．利用共線向量定理、共面向量定理可以證明一些平行、共面問題；利用數(shù)量積運算可以解決一些距離、夾角問題．3．利用向量解立體幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通過向量的運算或證明去解決問題．其中合理選取基底是優(yōu)化運算的關(guān)鍵．【參考答案】做一做1.答案:(1)×(2)√(3)√(4)√2.答案:C解析:如圖所示,令a=AB,b=AA1,c=AD,則x=AB1,y=AD1,z=AC,a+由于A,B1,C,D1四點不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故選C.3.解:設(shè)OA=xOB+yOC,則e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3),即e1+2e2-e3=(y-3x)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,∴y-3即不存在實數(shù)x,y,使得OA=xOB+yOC,所以O(shè)A,OB所以{OA,OB典例解析例1.解：（1）＝，＝，∴＝++＝++＝+（）+（）＝﹣++，∴＝＝+＝﹣++＝++．＝＝+＝﹣++＝++．（2）＝（++）?（++）＝2+?+++2++++2＝++++++++＝跟蹤訓練1.解連接AC，AD′.(1)eq\o(AP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AA′,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AA′,\s\up14(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c).(2)eq\o(AM,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))′)＝eq\f(1,2)(a＋2b＋c)＝eq\f(1,2)a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up14(→))′＋eq\o(AD,\s\up14(→))′)＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AA,\s\up14(→))′)＋(eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(AA,\s\up14(→))′)]＝eq\f(1,2)a＋b＋c.(4)eq\o(AQ,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CQ,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(4,5)eq\o(CA,\s\up14(→))′＝eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA,\s\up14(→))′－eq\o(AC,\s\up14(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA,\s\up14(→))′＝eq\f(1,5)(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))＋eq\f(4,5)eq\o(AA,\s\up14(→))′＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c.例2.(1)證明:設(shè)DA=i,DC=j,DD1=則{i,j,k}構(gòu)成空間的一個正交基底.所以EF=ED+DF=-12k+12(DA+AB)=12i+1所以EF·B1C=12i+12j-12k·(-i-k)=-12(2)解:EF=12i+12j-12k,C1|EF|2=12i+12j-12k2=14|i|2|EF|=3,|C1G|2=-k-13j2=|k|2+19|j|2=∴cos<EF,C=12延伸探究：解:設(shè)DA=i,DC=j,DD1=則B1C=B1MF=AF-AM=12j-12i-12j+所以MF∥B1C.達標檢測1.答案:C解析:只有選項C中的三個向量是不共面的,可以作為一個基底.2.答案:A解析:因為AF=AD+DF=AD+12(3.答案:C解析:A項中應是不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底;B項,空間基底有無數(shù)個;D項中因為基底不唯一,所以D錯.故選C.4.答案:12a-32b+解析:BE=12(BP+BD)=12(-b+BA+BC)=-12b+12(PA-PB+PC-PB)=-125.解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個基底,∴a,b,c不共面.∴1=μ,即不存在實數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作為空間的一個基底.6．解：（1），同理可得，．（2）因為，所以，因為，所以．異面直線與所成角的余弦值為．1.3空間向量及其運算的坐標表示【學習目標】1.了解空間直角坐標系理解空間向量的坐標表示2.掌握空間向量運算的坐標表示3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應用4.掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題【重點和難點】重點：理解空間向量的坐標表示及其運算難點：運用空間向量的坐標運算解決簡單的立體幾何問題【知識梳理】一、平面向量坐標表示及其運算已知=(,)，=(,)，寫出下列向量的坐標表示+=(+，+)；-=(-，-)；=(，)；=//=0；⊥=0設(shè)，則或如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么；cos=（）【學習過程】一、情境導學我國著名數(shù)學家吳文俊先生在《數(shù)學教育現(xiàn)代化問題》中指出:“數(shù)學研究數(shù)量關(guān)系與空間形式,簡單講就是形與數(shù),歐幾里得幾何體系的特點是排除了數(shù)量關(guān)系,對于研究空間形式,你要真正的‘騰飛’,不通過數(shù)量關(guān)系,我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”,也就是坐標系的引入,使得幾何問題“代數(shù)化”,為了使得空間幾何“代數(shù)化”,我們引入了坐標及其運算.二、探究新知一、空間直角坐標系與坐標表示1.空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底i,j,k,以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz,O叫做原點,i,j,k都叫做坐標向量,通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面,分別稱為Oxy平面,Oyz1.畫空間直角坐標系Oxyz時,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三個坐標平面把空間分成八個部分.2.在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.本書建立的都是右手直角坐標系.2.點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中,i,j,k為坐標向量,對空間任意一點A,對應一個向量OA,且點A的位置由向量OA唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底i,j,k下與向量OA對應的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點A在空間直角坐標系中的坐標,記作A(x,y,z),其中x叫做點A的橫坐標,y叫做點A的縱坐標,z3.向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中,給定向量a,作OA=a由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標,可簡記作a=(x,y,z小試牛刀1.若a=3i+2j-k,且{i,j,k}為空間的一個單位正交基底,則a的坐標為.

(3,2,-1)答案:向量OP的坐標恰好是終點P的坐標,這就實現(xiàn)了空間基底到空間坐標系的轉(zhuǎn)換.思考：在空間直角坐標系中,向量OP的坐標與終點P的坐標有何關(guān)系?二、空間向量運算的坐標表示1.空間向量的坐標運算法則設(shè)向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么向量運算向量表示坐標表示加法a+b

減法a-b

數(shù)乘λa

數(shù)量積a·b

(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(λa1,λa2,λa3);a1b1+a2b2+a3b32.空間向量的坐標與其端點坐標的關(guān)系:設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.3.空間向量平行與垂直條件的坐標表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)當b≠0時,a∥b?a=λb?(λ∈R);

(2)a⊥b??.

a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3;a·b=0;a1b1+a2b2+a3b3=0點睛：當b的坐標中b1,b2,b3都不等于0時,a與b平行的條件還可以表示為a∥b?a4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標表示若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則(1)|a|=a·a=(2)cos<a,b>=a·b|(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則P1,P2兩點間的距離為|P1P2a12+a22小試牛刀1.已知空間向量m=(1,-3,5),n=(-2,2,-4),則有m+n=?,3m-n=?,(2m)·(-3n)=.

2.已知空間向量a=(2,λ,-1),b=(λ,8,λ-6),若a∥b,則λ=,若a⊥b,則λ=.

3.已知a=(-2,2,3),b=(32,6,0),則|a|=,a與b夾角的余弦值等于.

例1在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=π2,AO=4,BO=2,AA1=4,D為A1B1的中點,建立適當?shù)目臻g直角坐標系,求DO用坐標表示空間向量的步驟如下:跟蹤訓練1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1C1,B1C1的中點,若以{AB,AD,AA1}為基底,則向量AE的坐標為,向量AF的坐標為例2已知在空間直角坐標系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).(1)求AB+CA,(2)若點M滿足AM=(3)若p=CA,q=CB,求(p+q)·(p-q).空間向量的坐標運算注意以下幾點:(1)一個向量的坐標等于這個向量的終點的坐標減去起點的坐標.(2)空間向量的坐標運算法則類似于平面向量的坐標運算,牢記運算公式是應用的關(guān)鍵.(3)運用公式可以簡化運算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2.跟蹤訓練2在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).(1)求頂點B,C的坐標;(2)求CA·(3)若點P在AC上,且AP=12PC例3已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設(shè)a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應用.解題時要注意:①適當引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)a=λb),建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標形式,以達到簡化運算的目的.跟蹤訓練3.已知a=(λ+1,1,2λ),b=(6,2m-1,2).(1)若a∥b,分別求λ與m的值;(2)若|a|=5,且與c=(2,-2λ,-λ)垂直,求a.例4如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點.(1)求BM,BN的長.(2)求△BMN的面積.反思感悟向量夾角與模的計算方法利用坐標運算解空間向量夾角與長度的計算問題,關(guān)鍵是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,寫出有關(guān)點的坐標,然后利用夾角與模的計算公式進行求解.跟蹤訓練4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為A1D1,BB1的中點,則cos∠EAF=,EF=.

一題多變——空間向量的平行與垂直典例在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱D1D的中點,點P,Q分別為線段B1D1,BD上的點,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ,其他條件不變,結(jié)果如何?延伸探究2本例中若點G是A1D的中點,點H在平面xOy上,且GH∥BD1,試判斷點H的位置.【當堂檢測】1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐標為(2,1,-3).若分別以DA,DC,DDA.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)2.下列向量中與向量a=(0,1,0)平行的向量是()A.b=(1,0,0) B.c=(0,-1,0)C.d=(-1,-1,1) D.e=(0,0,-1)3.已知向量a=(1,0,1),b=(2,0,-2),若(ka+b)·(a+kb)=2,則k的值等于()A.1 B.35 C.254.已知點A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),則A,B兩點的距離的最小值為()A.31010 B.55 C.5.已知向量a=(2,-1,-2),b=(1,1,-4).(1)計算2a-3b和|2a-3b|.(2)求<a,b>.6.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點.(1)求證：EF⊥CF；(2)求eq\o(EF,\s\up14(→))與eq\o(CG,\s\up14(→))所成角的余弦值；(3)求CE的長.【課堂小結(jié)】課堂小結(jié)：本節(jié)課你學到了什么？平面平面向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示數(shù)形結(jié)合類比類比簡單簡單的立體幾何問題【參考答案】小試牛刀1.(3,2,-1)答案:向量OP的坐標恰好是終點P的坐標,這就實現(xiàn)了空間基底到空間坐標系的轉(zhuǎn)換.小試牛刀1.(-1,-1,1);(5,-11,19);168解析:m+n=(1,-3,5)+(-2,2,-4)=(-1,-1,1),3m-n=3(1,-3,5)-(-2,2,-4)=(5,-11,19),(2m)·(-3n)=(2,-6,10)·(6,-6,12)=168.2.4;-2解析:若a∥b,則有2λ=λ8=-1λ-6,解得λ=4.若a⊥b,則a·b=3.答案:36解析:|a|=a·a=(-2)2+22+(3例1思路分析先在空間幾何體中找到兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標系,再根據(jù)空間向量基本定理,將DO,解:由已知AO⊥OB,O1O⊥OA,O1O⊥OB,從而建立以O(shè)A,OB,OO1方向上的單位向量i,j,k為正交基底的空間直角坐標系Oxyz,如圖,則OA=4i,OB=2jDO=-OD=-(OO1+O1D)=-OO1故DO的坐標為(-2,-1,-4).A1B=OB-OA1=OB-(OA+故A1B的坐標為(-4,2,-即DO=(-2,-1,-4),A1B=(-4,2,-跟蹤訓練1.答案:1解析:因為AE=AD+DD因為AF=所以向量AF的坐標為1,因為AC1=AB例2思路分析先由點的坐標求出各個向量的坐標,再按照空間向量運算的坐標運算法則進行計算求解:(1)因為A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),所以AB=(-3,5,-4),CA=(-1,0,9).所以AB+CA=(-4,5,5)，又CB=(-4,5,5),BA=(3,所以CB-2BA=(-10,15,-3)，又AB=(-3,5,-4),AC=(1,0,-9),所以AB·AC=-3+0+36=(2)由(1)知,AM=12AB+34AC=12(-若設(shè)M(x,y,z),則AM=(x-1,y+2,z-4),于是x-1=-34,(3)由(1)知,p=CA=(-1,0,9),q=CB=(-4,5,5).(方法1)(p+q)·(p-q)=|p|2-|q|2=82-66=16.(方法2)p+q=(-5,5,14),p-q=(3,-5,4),所以(p+q)(p-q)=-15-25+56=16.跟蹤訓練2解:(1)設(shè)B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以AB=(x-2,y+5,z-3),BC=(x1-x,y1-y,z1-z).因為AB=(4,1,2),所以x-2=4,y+5=1,z-因為BC=(3,-2,5),所以x1-6=3,y1+4=-(2)因為CA=(-7,1,-7),BC=(3,-2,5),所以CA·BC=-21-2-35=-(3)設(shè)P(x2,y2,z2),則AP=(x2-2,y2+5,z2-3),PC=(9-x2,-6-y2,10-z2),于是有(x2-2,y2+5,z2-3)=12(9-x2,-6-y2,10-z2所以x2-2=12(9例3思路分析(1)根據(jù)c∥BC,設(shè)c=λBC,則向量c的坐標可用λ表示,再利用|c|=3求λ值;(2)把ka+b與ka-2b用坐標表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.解:(1)∵BC=(-2,-1,2)且c∥BC,∴設(shè)c=λBC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).∴|c|=(-2λ)2+(-λ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-52跟蹤訓練3.解:(1)由a∥b,得(λ+1,1,2λ)=k(6,2m-1,2),∴λ+1=6k,1=k(2m-(2)∵|a|=5,且a⊥c,∴(λ+1)2+12+(2λ)2例4思路分析建立空間直角坐標系,寫出B,M,N等點的坐標,從而得BM,BN的坐標.然后利用模的公式求得BM,BN的長度.對于(2),可利用夾角公式求得cos∠MBN,再求出sin∠MBN解:以C為原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖).則B(0,1,0),M(1,0,1),N0,(1)∵BM=(1,-1,1),BN=0,-12,|BN|=02+-122+12=(2)S△BMN=12·|BM|·|BN|·sin∠∵cos∠MBN=cos<BM,BN>=∴sin∠MBN=1-故S△BMN=12×3×52×跟蹤訓練4.答案解析:以A為原點,AB,AD,AA1分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系(圖略),設(shè)正方體棱長為1,則E0,12,1,F∴cos<AE,AF>=AE·AF|AE|·|AF|=12一題多變——空間向量的平行與垂直典例解:如圖所示,以點D為原點,DA,DC,DD1的方向分別為x軸,E0,0,12,B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由題意,可設(shè)點P的坐標為(a,a,1),因為3B1P=PD1,所以3(a-1,a-1,0)所以3a-3=-a,解得a=34,所以點P的坐標為34,3由題意可設(shè)點Q的坐標為(b,b,0),因為PQ⊥AE,所以PQ·AE=0,所以(b-34,b-34,-1)·(-1,0,即-(b-34)-12=0,解得b=14,所以點Q因為BD=λDQ,所以(-1,-1,0)=λ(14,14,0),所以λ4延伸探究1解:以點D為原點,DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,設(shè)正方體棱長為1,點Q的坐標為(c,c,0),因為B1Q所以(c-1,c-1,-1)·c,c,-12=0,即c(c-1)+c(c-1)+12=0,4c2-4c+1=0,解得c=12,所以點Q的坐標為12,1所以點Q是線段BD的中點,所以BD=-2DQ,故λ=-2.延伸探究2解:以點D為原點,DA,DC,DD1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,設(shè)正方體的棱長為1,因為點G是A1D的中點,所以點G的坐標為因為點H在平面xOy上,設(shè)點H的坐標為(m,n,0),因為GH=m-12,n,-12,BD1=(-1,-1,1),且GH∥BD1,所以m-1所以點H的坐標為1,12,0,所以點H為線段AB的中點.達標檢測1.答案:D解析:a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA-3DD1=8j-i-92.答案:B解析:比較選項中各向量,觀察哪個向量符合λa=(0,λ,0)的形式,經(jīng)過觀察,只有c=-a.3.答案:D解析:由已知得|a|=2,|b|=22,a·b=0,所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2,即2k+8k=2,解得k=154.答案:C解析:因為點A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2,由二次函數(shù)性質(zhì)易知,當t=15時,取得最小值為95.∴AB的最小值為5.解:(1)2a-3b=2(2,-1,-2)-3(1,1,-4)=(4,-2,-4)-(3,3,-12)=(1,-5,8).|2a-3b|=12+(-5(2)cos<a,b>=a·b|a||b|=93×32=22,又6.解建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，C(0,1,0)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2))).所以eq\o(EF,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，0))，eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(1,2)))，eq\o(CE,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1，\f(1,2))).(1)證明因為eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×0＝0，所以eq\o(EF,\s\up14(→))⊥eq\o(CF,\s\up14(→))，即EF⊥CF.(2)因為eq\o(EF,\s\up14(→))·eq\o(CG,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)×0＋(－eq\f(1,2))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，|eq\o(EF,\s\up14(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(CG,\s\up14(→))|＝eq\r(12＋02＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(EF,\s\up14(→))，eq\o(CG,\s\up14(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up14(→))·\o(CG,\s\up14(→)),|\o(EF,\s\up14(→))||\o(CG,\s\up14(→))|)＝eq\f(\f(1,4),\f(\r(3),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(15),15).(3)|eq\o(CE,\s\up14(→))|＝eq\r(02＋－12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(5),2).1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（1）【學習目標】1.能用向量語言描述直線和平面,理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.3.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.4.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.【重點和難點】重點：用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系難點：用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系【知識梳理】一、自主導學（一）空間中點、直線和平面的向量表示1.點的位置向量在空間中,我們?nèi)∫欢cO作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點P的位置向量.如圖.2.空間直線的向量表示式如圖①,a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,設(shè)P是直線l上的任意一點,則點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使得AP=ta,即AP=tAB.如圖②,取定空間中的任意一點O,可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t,使OP=OA+ta,或OP=OA+tAB①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.3.空間平面的向量表示式如圖,取定空間任意一點O,空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.4.平面的法向量如圖,直線l⊥α,取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{P|a·AP=0}.點睛：空間中,一個向量成為直線l的方向向量,必須具備以下兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.（二）、空間中直線、平面平行的向量表示位置關(guān)系向量表示線線平行設(shè)μ1,μ2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2.線面平行設(shè)μ是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?α,則l∥α?μ⊥n?μ·n=0.面面平行設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2.點睛：1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量定理,只需證明直線的方向向量μ1∥μ2.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,即只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時,要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點,證明平面與平面平行時也要注意兩平面沒有公共點.二、小試牛刀1.下列說法中正確的是()A.直線的方向向量是唯一的B.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個D.平面的法向量是唯一的2.若直線l過點A(-1,3,4),B(1,2,1),則直線l的一個方向向量可以是()A.-1,12,-323.若兩個向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),則平面ABC的一個法向量為()A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=,y=.

5.若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是.

【學習過程】一、情境導學牌樓與牌坊類似,是中國傳統(tǒng)建筑之一,最早見于周朝。在園林、寺觀、宮苑、陵墓和街道常有建造.舊時牌樓主要有木、石、木石、磚木、琉璃幾種,多設(shè)于要道口。牌樓中有一種有柱門形構(gòu)筑物,一般較高大。如圖,牌樓的柱子與地面是垂直的,如果牌樓上部的下邊線與柱子垂直,我們就能知道下邊線與地面平行。這是為什么呢?二、典例解析例1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點,求平面EDB的一個法向量.延伸探究：本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組n(4)解方程組,取其中的一個解,即得法向量.跟蹤訓練1.如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,試建立適當?shù)淖鴺讼?1)求平面ABCD的一個法向量;(2)求平面SAB的一個法向量;(3)求平面SCD的一個法向量.例2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點.求證:PQ∥RS.歸納總結(jié)：利用空間向量證明線與線平行的方法證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.跟蹤訓練2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段A1D上,點Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.例3.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點.求證:MN∥平面A1BD.利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.跟蹤訓練3.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=2,AF=1,M是線段EF的中點.求證:AM∥平面BDE.例4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Q是CC1上的點,問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO?利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明;(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.跟蹤訓練4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點.求證:平面AMN∥平面EFBD.金題典例：如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,求證:平面AB'D'∥平面BDC'.【達標檢測】1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則()A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定2.已知線段AB的兩端點坐標為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB()A.與坐標平面xOy平行 B.與坐標平面yOz平行C.與坐標平面xOz平行 D.與坐標平面yOz相交3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個平面法向量的是()A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,m,1),平面α的法向量為1,12,5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是BB1,DD1的中點,求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理1.答案:B解析:由平面法向量的定義可知,B項正確.2答案:D解析:AB=(2,-1,-3)=-3-233.答案:A解析:設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),則n令x=-1,則y=2,z=-1.即平面ABC的一個法向量為n=(-1,2,-1).4.答案:-12；15解析:因為兩條直線平行,所以a∥b.于是2-6=4x=5.答案:平行解析:因為u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.6.答案:(1)×(2)√(3)×(4)√學習過程例1.思路分析首先建立空間直角坐標系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進行求解.解:如圖所示建立空間直角坐標系.依題意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E0,12,1DB=(1,1,0).設(shè)平面EDB的法向量為n=(x,y,z),則n⊥DE,n⊥DB,于是n取x=1,則y=-1,z=1,故平面EDB的一個法向量為n=(1,-1,1).延伸探究：解:如同例題建系方法,易知平面PAD的一個法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個法向量為n2=(1,0,0),因為n1·n2=0,所以n1⊥n2.跟蹤訓練1.解:以點A為原點,AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間