2022年河南省（豫北重點高中）高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（4月份）（附答案詳解）

2022年河南?。ㄔケ敝攸c高中）高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理

科）（4月份）

一、單選題（本大題共12小題，共60.（）分）

1.已知集合4=>0},B={x\2x-2<1},則AnB=（）

A.{x\x<2}B.{x\x<1}C.{x|0<%<2}D.{x|l<%<2}

2.為了解員工對“薪資改革方案”的態(tài)度，人資部門欲從研發(fā)部門和銷售部門的

2200名員工中，用分層抽樣的方法抽取88名員工進行調(diào)查，已知研發(fā)部門有800名

員工，則應(yīng)從銷售部門抽取的員工人數(shù)是（）

A.24B.32C.56D.72

3.若Q=1.2°I,b=logo.sO.9,c=log041.2,則（）

A.c<b<aB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

4.已知cos（a+g）+cosa=圣貝！Jsin（a—；）=（）

A.四B.一匹C.且D

333-T

5.已知雙曲線C；捺一5=1（￡1>0/>0）的右焦點為尸60）,直線1：刀=<:與雙曲線

。交于a,B兩點,與雙曲線C的漸近線交于。，E兩點，若|DE|=2|AB|,則雙曲線

C的離心率是（）

A.2B.V2C.；D.這

33

6.若復(fù)數(shù)z滿足憶一1+b。=3,則|z|的最大值為（）

A.1B.2C.5D.6

7.踢犍子是中國民間傳統(tǒng)的運動項目之一，是一項簡便易行的健身活動.某單位組織

踢曜子比賽，有4名男員工和6名女員工參加.其中男員工每人1分鐘內(nèi)踢穰子的數(shù)

目為21,30,50,53；女員工每人1分鐘內(nèi)踢健子的數(shù)目為31,38,46,52,57,

65.則從這10名員工中隨機抽取2名，他們1分鐘內(nèi)踢毯子的數(shù)目大于50的概率是

（）

8.如圖，某圓錐的軸截面ABC是等邊三角形，。是線段4B

的中點，點E在底面圓的圓周上，且卷的長度等于少的

長度，則異面直線。E與BC所成角的余弦值是（）

AW

4

B.A

4

C.邈

4

D.且

4

9.蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年（1621年），為中國傳統(tǒng)的

樓閣式建筑.蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級重點保護

文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地.某學(xué)生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與

蜚英塔底部。在同一水平面上的4B兩點，測得AB=35夕米，N&4D=45。，

“BD=30°,AADB=150°,則蜚英塔的高度。。是（）

A.30米B.30夕米C.35米D.35夕米

10.已知函數(shù)/'(久)的定義域為(0,+8),其導(dǎo)函數(shù)是r(x),且2/(x)+x/'(x)>x.若

/2)=1,則不等式3/(x)-x-5>0的解集是()

A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,|)D.(|,+oo)

11.已知函數(shù)/。）=『：的2吟一0+》!，"。，若函數(shù)/（x）在［0,+8）內(nèi)恰有5個

lx2—（2a+l）x+a24-2,x>a

零點，貝b的取值范圍是（）

A.6，|）B.（：,2）C.6,2）U（|,3）D.（；,2）u（2,|）

12.已知正方體力BCD-A/iCiA的棱長是2,E,尸分別是棱BQ和CG的中點，點P在

正方形BCGBi（包括邊界）內(nèi)，當(dāng)4P〃平面&EF時，4P長度的最大值為a.以4為球

心，a為半徑的球面與底面為B1GD1的交線長為（）

第2頁，共23頁

C5/57T

A-B.7TD.\Z5TT

,2

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量日=(犯2)]=(3,—1)，若(23+方)，方，則瓶=-

14.(/—2)。—》6的展開式中/的系數(shù)是(用數(shù)字作答)

15.已知函數(shù)/Q)=若關(guān)于》的方程一依=0有兩個不同的實數(shù)

根，則k的取值范圍為.

16.已知拋物線C：y2=2PMp>0),以點(1,1)為中點的弦與拋物線C交于M,N兩點,

若|MN|=V15.則p=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知正項數(shù)列｛即｝的前n項和為％,且%一(層+n-2)Sn-2(兀2+幾)=0.

(1)求生的值和數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)設(shè)％=7^-,求數(shù)列｛匾｝的前n項和7；.

anan+2

18.新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，其中“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外

語，所有考生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史兩科中選擇一科；“2”

為再選科目，考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科.某校為了解該校

考生的選科情況，從首選科目為物理的考生中隨機抽取12名(包含考生甲和考生乙)

進行調(diào)查.假設(shè)考生選擇每個科目的可能性相等，且他們的選擇互不影響.

(1)求考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率.

(2)己知抽取的這12名考生中，女生有3名.從這12名考生中隨機抽取3名，記X為

抽取到的女生人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

19.如圖，在四棱錐P—4BCD中，四邊形4BCD是菱形，LBAD=60°,E是PB的中點,

且BE=DE.

(1)證明：BD_L平面力CE；

(2)若PD=4B,PDLAC,求二面角4-0E-C的余弦值.

20.已知橢圓C：捺+\=1(￡1＞匕＞0)的離心率是爭&,尸2分別是橢圓C的左、右焦

點.以線段|F/2|為直徑的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為布.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點P(遍,26)，直線/：y=%+巾與橢圓C交于力，B兩點,求△P4B面積的

最大值.

第4頁，共23頁

21.已知函數(shù)/(%)=e2x—2(e+l)ex+2ex.

(1)若函數(shù)g(x)=/(%)-a有三個零點，求a的取值范圍；

(2)若f(%)=f(x2)=f(%3)(%iV%2V%3)，證明：+&>°?

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為匕：(a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點

為極點，％軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為3pcos。-4psin0+

4m=0.

(1)若直線2與曲線C有公共點，求m的取值范圍；

(2)已知點尸(0,m)(0<2),直線，與曲線C交于4,B兩點，若(|P4|+\PB\)2=20,

求Tn的值.

23.已知函數(shù)/1(x)=|2x+a|+-1|.

(1)當(dāng)a=4時，求不等式f(x)<9的解集；

(2)若f(x)>a2-|x-1|對任意的x￡R恒成立，求a的取值范圍.

第6頁，共23頁

答案和解析

1.【答案】

D

【解析】

解：集合4={x\lnx>0}={x\x>1],

B={x\2x_2<1}={x\x<2}>

則4nB={x|l<x<2}.

故選：D.

求出集合4B,利用交集定義能求出AnB.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】

C

【解析】

解：人資部門欲從研發(fā)部門和銷售部門的2200名員工中，用分層抽樣的方法抽取88名

員工進行調(diào)查，

研發(fā)部門有800名員工，則應(yīng)從銷售部門抽取的員工人數(shù)是：

故選：C.

利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解.

本題考查分層抽樣的運算，考查分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

3.【答案】

A

【解析】

解：a=1.201>1.20=1,

logo.sl<log0,80.9<log080.8).-.0<b<l,

c—logo.41,2<logo41=0,

則c<.b<a,

故選：A.

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

本題考查三個數(shù)的大小的求法，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.

4.【答案】

B

【解析】

解：由cos(a+§+cosa=日，

cosa-^-sina=V3sin(^-a)=彳，

即有sin(a-=一手

故選：B.

運用兩角和的余弦公式和兩角差的正弦公式、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，計算可得所求值.

本題考查兩角和差的正弦公式、余弦公式和誘導(dǎo)公式的運用，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】

D

【解析】

解：由雙曲線方程可得其漸近線方程為：y=±±x,

,a

??,直線，為久=C,

第8頁，共23頁

???48為雙曲線的通徑，即

(X=c(x=c

由],匕得,1.be,

=±_R型.[y=土一，

.?.|岡=華,

由|DE|=2|4B|得：—,

aa

即c=2b,

:.a=yjc2—b2=Wb,

???離心率e=-=

a3

故選：D.

利用雙曲線通徑長和與漸近線交點情況可得|4B|,|DE|,由|DE|=2|4B|和a,b,c關(guān)

系可求得c=2Z?,Q=J5b,由此可求得離心率.

本題考查了雙曲線離心率問題，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】

C

【解析】

解：設(shè)z=a+bi(atbG/?),

???|z—1+巡”=3，;la—1+(b+V3)i|=J(a-l)2+(b+V3)2=3,

復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z在以(1,-百)為圓心，r=3為半徑的圓上，

v\z\=y/a24-b2，表示點Z到(0,0)的距離，

???|z|的最大值為J12+(-V3)2+r=2+3=5.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】

B

【解析】

解：由題意這10名員工中，1分鐘內(nèi)踢建子的數(shù)目大于50的人數(shù)共有5人，

記事件4為“這10名員工中隨機抽取2名，他們1分鐘內(nèi)踢健子的數(shù)目大于50”，

則P(4)=^=音號.

C1O459

故選:B.

由題意這可知10名員工中，1分鐘內(nèi)踢超子的數(shù)目大于50的人數(shù)共有5人，從而利用

尸(4)=昌即可求出所求概率.

C1O

本題考查古典概型概率計算公式，考查學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】

A

【解析】

解：某圓錐的軸截面ABC是等邊三角形，。是線

段4B的中點，

點E在底面圓的圓周上，且^的長度等于笈的長

度，

E是我的中點，

取BC中點0,連接OE,OA,則?！?OC,04兩

兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)BC=2,則。E=OB=OC=1,。4=百，

???4(0,0,遍)，B(0,-l,0)，C(0,l,0),E(l,0,0),D(0,-i,y),

屁=(1*,一泉,BC=(0,2,0).

設(shè)異面直線DE與8C所成角為。，

rn.iIDEBSIIV2

則c°s9N=而病1=炭=7

.?屏面直線OE與BC所成角的余弦值為今

故選：A.

第10頁，共23頁

取BC中點0,連接0E,04則。E,OC,04兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點，建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線DE與BC所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成角的求法，考查異面直線所成角的定義、向量法等基礎(chǔ)知識，考

查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9【答案】

C

【解析】

解：設(shè)CD=h,

在RtA4CD中，Z.CAD=45°,所以4。=CD=h,

在RtZiBCD中，Z.CBD=30°,所以BD==四九，

在△4BD中，由余弦定理知，AB2=AD2+BD2-2AD-BDCOSAADB,

所以(35五>=爐+(V3ft)2-2/i-V3/1-(-^)?解得九=35,

所以蜚英塔的高度CD是35米.

故選：C.

設(shè)CD=/i,易知=BD=y/3h,再在△ABD中，利用余弦定理，可得關(guān)于八的方

程，解之即可.

本題考查解三角形的實際應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運

算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】

B

【解析】

解：由函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),其導(dǎo)函數(shù)是/''(%),且2f(x)+x/'(x)>%.

即2xf(x)+x2f'(x)—x2>0,

令g(x)=x2/W_

則g'(x)=2x/(x)+x2f'(x}—x2>0.

即y=g(x)在(。,+8)為增函數(shù)，

又f(2)=1，

則g(2)=p

134

-X>-

又不等式3/(%)-%-松>0可變形為/f⑶33

即g(x)>g(2),

又y=g(x)在(。,+8)為增函數(shù)，

則x>2,

即不等式3fQ)—x—爰>。的解集是(2,+8),

故選：B.

先構(gòu)造函數(shù)g(x)=//(乃-［%3,然后確定其單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解不等式即可.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，重點考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題.

11.【答案】

D

【解析】

解：當(dāng)。工0時，對任意的久NO,/(%)=/一(2Q+1)%+小+2在［0,+8)上至多2個

零點，不合乎題意，所以，a>0.

函數(shù)y=x2-(2a+l)x4-a24-2的對稱軸為直線％=a+g/=(2a+l)2-4(a24-

2)=4Q-7.

所以，函數(shù)/Q)在［a,a+|)上單調(diào)遞減，在(a+5,+8)上單調(diào)遞增，且f(a)=2—a.

①當(dāng)4=4。-7<0時，即當(dāng)0<a<:時，則函數(shù)/(x)在［a,+oo)上無零點，

所以，函數(shù)/'(X)=2sin［2?T(x-a+｝］在［0,a)上有5個零點，

1111

當(dāng)OWXVQ時，--a<x—a+則(1—2Q)TT工27r(%—a+鼻)V兀，

由題意可得一5n■<(1-2a)"W-4兀，解得|工。<3,此時a不存在；

②當(dāng)4=0時，即當(dāng)Q=：時，函數(shù)/(%)在￡+8)上只有一個零點，

當(dāng)％6［0,令時，/(為)=-2cos2nx,則。<27rx<y,則函數(shù)/(%)在［0,：)上只有3個零點，

第12頁，共23頁

此時，函數(shù)/'(x)在［0,+8)上的零點個數(shù)為4,不合題意;

③當(dāng)匕呼￡：；2°時'即當(dāng)a42時，函數(shù)/(x)在［a,+8)上有2個零點，

則函數(shù)f(x)=2sin［2n(x-a+｝］在［0,a)上有3個零點，

則一37T<(1-2a)兀<—2it,解得|<a<2,此時:<a<2；

④當(dāng)匕°時，即當(dāng)。>2時，函數(shù)"X)在［a,+8)上有1個零點，

則函數(shù)f(x)=2sin［27T(x—a+J］在［0,a)上有4個零點，

則一4兀<(1-2a)兀W—3兀，解得24a<|,此時，2<a<|.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是弓,2)U(2,$.

4Z

故選：D.

分析可知a>0,對實數(shù)a的取值進行分類討論，確定函數(shù)f(x)在［a,+8)上的零點個數(shù)，

然后再確定函數(shù)/Xx)在［0,a)上的零點個數(shù)，可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式(組)，綜合可得

出實數(shù)a的取值范圍.

本題考查函數(shù)的零點與方程的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

12.【答案】

【解析】

解：如圖所小:

分別取BBi，BC的中點M,N,連接MN,AM,AN,

所以EF〃MN,又MN,平面&EF,EFu平面&EF,

所以MN〃平面&EF,

同理4N//平面&EF,又ANCMN=N,

所以平面/MN〃平面&EF,

因為點P在正方形BCG/(包括邊界)內(nèi)，且力P〃平面AiEF,

所以點P的軌跡是線段MN,

所以4P長度的最大值為由，

在平面4/iCiDi內(nèi)取一點P,使得&P=1,貝IL4P=6，

所以以2為球心，遮為半徑的球面與底面為B1GD1的交線為

以為為圓心，以1為半徑的圓弧RPQ,

其長度為:x2乃x1=%

故選：力.

分別取BBi，BC的中點M,N,連接MN,AM,AN,易證平面4MN〃平面&EF,從而

得到點P的軌跡是線段MN,則4P長度.

本題考查了面面平行的性質(zhì)定理，屬于中檔題.

13.【答案】

-1

【解析】

解：???向量五=(m,2)]=(3,—1)，(2a+K)1b，

■■(^2a+b)-b=2a-b+b=2(3m—2)+10=0，

則m=-1,

故答案為：—1.

由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算

法則，計算求得m的值.

本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算

法則，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】

27

【解析】

第14頁，共23頁

解：(X->6展開式的通項公式為幾+1=C"6_k(_yk=第(一1)。6-2與

若第一個因式是/，則第二個因式也是一,

若第一個因式是-2,則第二個因式是一,

由6—2k=2,得2k=4,k=2,此時/?鬣?/=15/,

由6—2k=4,得2k=2,k=1,此時一2■盤?(-l)x4=12x3

則％4的系數(shù)是15+12=27,

故答案為：27.

根據(jù)因式乘法的性質(zhì)分別進行計算即可.

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，求出展開式的通項公式，利用多項式乘法的性質(zhì)進行

討論是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

15.【答案】

(-00,-2)U(0,1)

【解析】

解：對函數(shù)y=e-2x-i求導(dǎo)得y=-2e-2x,對函數(shù)y=ln(%+1)求導(dǎo)得y=金,

作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示：

當(dāng)直線y=kx與曲線y=ln(x+1)相切于原點時，k=六=1,

當(dāng)直線y=kx與曲線y=e-x-i相切于原點時，k=-2.

結(jié)合圖象可知，當(dāng)k<-2或0<k<1時，直線y=質(zhì)與函數(shù)/(x)的圖象有兩個交點，

故答案為：(-00,-2)U(0,1).

求出當(dāng)直線y=kx與曲線y=ln(x+1)相切于原點、直線y=kx與曲線y=e~2x—1相

切于原點時對應(yīng)的k的值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)k的取值范圍.

本題考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】

2

【解析】

解:顯然直線MN的斜率不為0,設(shè)M(%i，yi),N(X2，y2)，由題意可得鬻=1，華=1，

將M,N的坐標(biāo)代入可得憑=作差整理可得冷=言7=「，

(兆=2pX2%1-*2〃+月

所以直線MN的斜率k=濘^=p,

“1一%2

設(shè)直線MN的方程為=；(丫一1),即x=￡y-；+l,

y2=2px

_iI,1，整理可得：y2—2y+2-2p=0,

1x=py-p+1

則以+y2=2,y1y2=2-2p,

所以|MN|=Jl+',J(y】+丫2)2—4yly2=Jl+',J4-8+8p=V15,p>0,

解得：8P3—19P2+8p-4=008p3—16P2-3P2+8p-4=0=>8p2(p—2)—

(3p-2)(p-2)=0=>(p-2)(8p2-3p+2)=0,

解得p=2,

故答案為：2.

設(shè)M,N的坐標(biāo)，由題意可得M,N的坐標(biāo)的關(guān)系，將M,N的坐標(biāo)代入拋物線的方程,

作差可得直線MN的斜率，設(shè)直線MN的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及

兩根之積，代入弦長公式可得弦長的表達式，由題意可得p的值.

本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用及點差法求中點弦所在的直線的斜率，屬于中檔題.

17.【答案】

解：(1)依題意，由梟一(M+n-2)Sw-2(n?+n)=0,

2

化簡整理，得(S7t+2)[Sn-(n+n)]=0,

van>0,n€N*,二Sn>0,

：?Sn+2>0,

22

:.Sn—(n+n)=0,BRSn=n4-n,

第16頁，共23頁

當(dāng)九=時，

1=Sn=1?+1=2,

當(dāng)九>時，22

2an=Sn-Sn_]=n4-n-(n-l)-(n-1)=2n,

???當(dāng)？i=1時，Qi=2也滿足上式，

???an=2n,neN*.

iiilliii1

(2)由(1),可得b=不二=2n2(n+2)=Z,5匕-M)=it—芯)，

故及=瓦+⑦+,?,+%

_1q1.1A1.1A1.1A])1,11.1,11.

一8I3,十8(2/十8%5,十8~6，十8(n-1n+八十8、n+2

_1,11111111111、

一8(3十24十35十46十十n-ln+1+nn+2，

1.111、

8k2n+1n+27

_32n+3

-168(n+l)(n+2)*

【解析】

(1)先根據(jù)題干已知條件計算出又的表達式,然后根據(jù)公式與=《1'二；1">?即可計

九?n—l，九三乙

算出與的值和數(shù)列｛即｝的通項公式；

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列｛%｝的通項公式，然后運用裂項相消法計算出前n項

和

本題主要考查數(shù)列求通項公式，以及運用裂項相消法求前兀項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思

想，分類討論思想，裂項相消法，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

18.【答案】

解：(1)考生可在化學(xué)、生物、政治、地理四科中選擇兩科，共有以=6種,

其中考生選擇了地理作為再選科目，共有盤0=3種,

故考生甲和考生乙都選擇了地理作為再選科目的概率P="合［

(2)由題意可得，X所有可能取值為0,1,2,3,

=%彘送

P(X=1)=些=四=二

、J

Cl222055

P(X=2)=^=^

P-3)噫=短，

故X的分布列為:

X0123

2127271

P

5555220220

故E(X)=3x^=；.

【解析】

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解.

(2)由題意可得，X所有可能取值為0,1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率，再結(jié)合期望公

式，即可求解.

本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列，需要學(xué)生熟練掌握期望公式，屬于中檔題.

19.【答案】

解：(1)證明：設(shè)ACQBD=O,連接。E,

OE,

?:在四棱錐P—4BCD中，四邊形4BCD

是菱形，^BAD=60°,

.-.AC1BD,。是BC中點，

???E是PB的中點，S.BE=DE.

■■■OE1BD,

???ACCtOE=0,■.BD_L平面ACE；

(2)由⑴得OE〃P。,

vPD=AB,PD1AC,OE1AC,

,:ACCBD=0,OEJL平面4BCD,

■:四邊形48CD是菱形，

以。為坐標(biāo)原點為，。8所在直線為%軸，OC所在直線為y軸，0E所在直線為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD=4B=2,貝以(0,—百,0),。(-1,0,0),E(0,0,l),C(0,百,0),

DA=(l,-V3,0).DE=(1,0,1)-DC=(l,V3,0).

設(shè)平面4DE的法向量有=(x,y,z),

第18頁，共23頁

n-DA=x-^y=O取*=后得布=(二一同

則t

.n-DE=x+z=0

設(shè)平面DEC的法向量沅=(a,b,c),

則俘囂二:濯/取a3—?

設(shè)二面角4-DE-C的平面角為。，

則二面角A-DE-C的余弦值為:

\m-ri\55

cons"麗=萬石=5

【解析】

(1)設(shè)4CnBD=。，連接DE,0E,推導(dǎo)出ACIB。，OE1BD,由此能證明BD_L平面

ACE；

(2)以。為坐標(biāo)原點為，。8所在直線為x軸，0C所在直線為y軸，0E所在直線為z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-DE-C的余弦值.

本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20.【答案】

解：(1)由題意可知，e=-=—>-四-=2c，所以a=2,c=V2,

7a2sm600

所以爐=a2-c2=2,

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：-+^=1；

42

(2)方法一：設(shè)點5(x2,y2),

%2y2

丁+"7—1,消去y,整理得：3/++2nl2—4=0,

{y=x+m

則4=16m2—12x(2m2-4)=-8m24-48>0,所以m?<6,所以一份<m<V6,

所以%]+小=—等，％]冷=中，

所以|48|=41+k2yI(X]+%2)2—4%I=2—A/1+1,J(-￡)2_4X"34_,

P(后,2通)到直線八x-y+m=。的距離為d==場浮，

2

所以SAP/IB=之X\AB\xd=：x"'6；""W"=y(V6-m)V6-m.

設(shè)n—m=tE(0,2^6),則zn=V6—t.

所以SAPM=y-t-J-(t-V6)2+6=yJt2(-t2+2V6t)=*J-1，+2佩3,

令g(t)=-卜+2乃t3,te(0,2V6),

則g'(t)=-4t3+6VSt2=2t2(—2t+3佝,當(dāng)0<t<乎時，g'(t)>0,g(。單調(diào)遞

增，

當(dāng)乎<t<2歷時，g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減，

故當(dāng)t=乎，即加=一日時，g(t)取得最大值，即SAPM取得最大值，

所以SAP/IB最大值為qx(V6+當(dāng))」6一吟2=，吟

所以AP/IB面積的最大值公.

2

方法_：同方法一，S&PAB—~(V6—m)J(V6—m)(V6+m)=/J(遙—m)3(^

由(乃-m)3(V64-m)=1(V6—m)3(3V6+3m)<|x|(\，-7九)：3\,%+.嗎4_

當(dāng)且僅當(dāng)述—m=3乃+3m,即租=—當(dāng)時，取等號，

所以SAPABW當(dāng)x后=那

所以APAB面積的最大值%.

2

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的離心率及磊=2c,求得a和c,可求得b,求得橢圓方程；

(2)方法一：將直線，的方程代入橢圓方程，利用韋達定理，弦長公式及點到直線的距離

公式表示出APAB面積，換元，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得APAB

面積的最大值；

方法二：同方法一：表示出AP4B面積，根據(jù)均值不等式，及成立條件，即可求得APAB

面積的最大值.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，點到直線距離公式，

常見最值的方法，導(dǎo)數(shù)法和均值不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)思想，計算能力，屬于難

題.

21.【答案】

第20頁，共23頁

解：⑴令e%=t,則％=Int,記無((=t2—2(e+V)t+2elnt,t>0,

令/i，(t)=2t-2(e+l)+^=^J^=0,得h=1,t2=e,

當(dāng)0<t<1時，>0,l<t<e時，t>e時，〃(t)>0,

所以當(dāng)t=1時，/i(t)取得極大值h(l)=-2e-l,t=e時,h(t)取得極大值九(e)=-e2,

因為函數(shù)g(x)=/(%)-a有三個零點ay-h(t)與y=a有三個交點，

所以-e2<a<-2e-1,即a的取值范圍為(-e2,-2e-1).

證明：(2)記m(t)=九(￡)-/i(1)=t2-2(e+l)t+2elnt-j+2(e+1升-2eZn1

=t2-2(e+1)￡+4eltit-*+入；

乙、04.nr,,4e,22(e+l)2t4-2(e+l)t3+4et2-2(e+l)t+2

m(t)=2t-2(e+l)+T+--=------------------------

記n(t)=2t4-2(e+l)t3+4e2-2(e+l)t+2,

則n'(t)=8t3-6(e+l)t2+Set-2(e+1),

記s(t)=8t3-6(e+l)t2+Bet-2(e+1),

則s'(t)=24t2-I2(e+l)t+8e,

易知s(t)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，所以s(t)>s(l)=12-4e>0,

所以s(t)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增,所以s(t)>s(l)=0,

所以?i(t)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，所以zi(t)>n(l)=0,

所以m(t)在區(qū)間(l,e)上單調(diào)遞增，

X2X3

因為/01)=y(x2)=/(X3)(X1<X2<x3)?記e*i=ti，e=t2,e=t3,

所以九(tj.)=八?2)=九?3)?1<[2<13)，

由(1)可知，0<ti<1<t2<6<t3,

所以m