2023-2024學(xué)年遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)得勝高級(jí)中學(xué)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)得勝高級(jí)中學(xué)高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是，則的最小值為A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．3．函數(shù)在上的圖象大致為()A． B．C． D．4．將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（）A．14種 B．15種 C．16種 D．18種5．已知集合，則=A． B． C． D．6．正的邊長(zhǎng)為2，將它沿邊上的高翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，此時(shí)四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．7．在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．函數(shù)的圖象如圖所示,則它的解析式可能是()A． B．C． D．9．在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是（）A． B．C． D．10．已知直線：（）與拋物線：交于（坐標(biāo)原點(diǎn)），兩點(diǎn)，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點(diǎn)，使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一組樣本數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)_____.14．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則__________.15．集合，，若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則下列說(shuō)法正確的為_(kāi)_______①的值可以為2；②的值可以為；③的值可以為；16．過(guò)拋物線C：（）的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M，若，則l的斜率為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn)，滿(mǎn)足，記點(diǎn)N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，求的值．18．（12分）為了解廣大學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)校園食品安全的認(rèn)識(shí)，某市食品安全檢測(cè)部門(mén)對(duì)該市家長(zhǎng)進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長(zhǎng)僅有一次參加機(jī)會(huì)，現(xiàn)對(duì)有效問(wèn)卷進(jìn)行整理，并隨機(jī)抽取出了200份答卷，統(tǒng)計(jì)這些答卷的得分（滿(mǎn)分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.（1）請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求；（2）該市食品安全檢測(cè)部門(mén)為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生家長(zhǎng)制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話(huà)費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話(huà)費(fèi)：②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話(huà)費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為：獲贈(zèng)的隨機(jī)話(huà)費(fèi)（單位：元）概率市食品安全檢測(cè)部門(mén)預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人，請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話(huà)費(fèi)？附：①；②若；則，，.19．（12分）已知中，，，是上一點(diǎn)．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，，求的值．20．（12分）已知橢圓，上、下頂點(diǎn)分別是、，上、下焦點(diǎn)分別是、，焦距為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作與軸平行的直線，直線與交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值，說(shuō)明理由.21．（12分）直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，若，到軸距離的乘積為．（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，將曲線經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）說(shuō)明曲線是哪一種曲線，并將曲線的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，又直線上有兩點(diǎn)和，且，又點(diǎn)的極角為，點(diǎn)的極角為銳角.求：①點(diǎn)的極角；②面積的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是，所以，即，所以，又，所以的最小值為．故選C．2、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．3、A【解析】

首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可利用排除法解得；【詳解】解：依題意，，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，排除C；而，排除B；，排除D.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

采取分類(lèi)計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開(kāi)始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可，因此共有2×7=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用，插空法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．6、D【解析】

如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，的外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，利用正弦定理可得，利用球心的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，最后利用勾股定理可求外接球的半徑，從而可得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，外接圓的圓心為，四面體的外接球的球心為，連接，則平面，.因?yàn)?，故，因?yàn)?，?由正弦定理可得，故，又因?yàn)?，?因?yàn)?，故平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，故，故，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，故外接球的半徑為，外接球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的折疊以及三棱錐外接球表面積的計(jì)算，還考查正弦定理和余弦定理，折疊問(wèn)題注意翻折前后的變量與不變量，外接球問(wèn)題注意先確定外接球的球心的位置，然后把半徑放置在可解的直角三角形中來(lái)計(jì)算，本題有一定的難度.7、C【解析】分析：從兩個(gè)方向去判斷，先看能推出三角形的形狀是銳角三角形，而非鈍角三角形，從而得到充分性不成立，再看當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，也推不出成立，從而必要性也不滿(mǎn)足，從而選出正確的結(jié)果.詳解：由題意可得，在中，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，結(jié)合三角形內(nèi)角的條件，故A,B同為銳角，因?yàn)?，所以，即，所以，因此，所以是銳角三角形，不是鈍角三角形，所以充分性不滿(mǎn)足，反之，若是鈍角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以為既不充分也不必要條件，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要用到不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化，余弦的和角公式，誘導(dǎo)公式等，需要明確對(duì)應(yīng)此類(lèi)問(wèn)題的解題步驟，以及三角形形狀對(duì)應(yīng)的特征.8、B【解析】

根據(jù)定義域排除，求出的值，可以排除，考慮排除.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象得定義域?yàn)?，所以不合題意；選項(xiàng)，計(jì)算，不符合函數(shù)圖象；對(duì)于選項(xiàng)，與函數(shù)圖象不一致；選項(xiàng)符合函數(shù)圖象特征.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇合適的解析式，主要利用函數(shù)性質(zhì)分析，常見(jiàn)方法為排除法.9、A【解析】

分析函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除C、D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，，則，排除B選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.10、D【解析】

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消去、列出韋達(dá)定理，再由直線與拋物線的交點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)，得到方程，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解：設(shè)，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.11、B【解析】

由可得；由過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過(guò)點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.12、A【解析】

投影即為，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得，解得的值，進(jìn)而由方差公式計(jì)算，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意求出的值，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，首先求得，然后求得.【詳解】設(shè)的公比為，由，得，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、②③【解析】

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算：，得到，，得到答案.【詳解】如圖所示：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只需研究第一象限的情況，集合：，故，即或，集合：，是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，故所在的直線的傾斜角為，，故：，解得，此時(shí)，，此時(shí).故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

分別過(guò)A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，根據(jù)拋物線定義和求得，從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過(guò)A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，由拋物線的定義知，，，因?yàn)?，所以，所以，即直線的傾斜角為，又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為，.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關(guān)系即可求解，屬于較易題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫(xiě)出直線l1的參數(shù)方程，設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由題意可得，即ρ＝4cosθ，然后化為普通方程；（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得到關(guān)于t的一元二次方程，再由參數(shù)t的幾何意義可得|AP|?|AQ|的值．【詳解】（Ⅰ）直線l1的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）即（t為參數(shù)）．設(shè)N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），則，即，即ρ=4cosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2-4x+y2=0（x≠0）.（Ⅱ）將l1的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程中，得，即，t1，t2為方程的兩個(gè)根，∴t1t2=-1，∴|AP|?|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查直角坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，訓(xùn)練了直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義的應(yīng)用，是中檔題．18、（1）；（2）估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話(huà)費(fèi)【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設(shè)某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話(huà)費(fèi)為元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出的話(huà)費(fèi)數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話(huà)費(fèi)的可能值有10，20，30，40元，且每位家長(zhǎng)獲得贈(zèng)送1次、2次話(huà)費(fèi)的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話(huà)費(fèi)；得分不低于平均值，2次均獲贈(zèng)10元話(huà)費(fèi)，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈(zèng)10元話(huà)費(fèi)，另一次獲贈(zèng)20元話(huà)費(fèi)，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機(jī)會(huì)均獲20元話(huà)費(fèi)，概率為.所以變量的分布列為：某家長(zhǎng)獲贈(zèng)話(huà)費(fèi)的期望為.所以估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話(huà)費(fèi).【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計(jì)算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)進(jìn)行，本題屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】

（1）運(yùn)用三角形面積公式求出的長(zhǎng)度，然后再運(yùn)用余弦定理求出的長(zhǎng).（2）運(yùn)用正弦定理分別表示出和，結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】（1）由在中，由余弦定理可得（2）由已知得在中，由正弦定理可知在中，由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理，結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵，此類(lèi)題目是?？碱}型，能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化，需要掌握解題方法.20、（1）；（2），理由見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求得的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此計(jì)算出直線和的斜率，可計(jì)算出的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，橢圓的上焦點(diǎn)為、，由橢圓的定義可得，可得，，因此，所求橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，得，直線的斜率為，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，所以，，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，同時(shí)也考查了橢圓中定值問(wèn)題的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）；（2）【解析】

（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由距離之積為16，可得.利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為.再利用兩點(diǎn)均在拋物線上，即可求得p的值，從而求出拋物線的方程；（2）設(shè)出直線l的方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理發(fā)現(xiàn)直線l恒過(guò)定點(diǎn)，將面積用參數(shù)t表示，求出其最值，并得出此時(shí)的直線方程.【詳解】解：（1）由題設(shè)，因?yàn)?，到軸的距離的積為，所以，又因?yàn)?，，，所以?huà)佄锞€的方程為．（2）因?yàn)橹本€與拋物線兩個(gè)公共點(diǎn)，所以的斜率不為，所以設(shè)聯(lián)立，得，即，，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，面積取得最小值，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線相交的問(wèn)題，其中垂直條件的轉(zhuǎn)化，直線過(guò)定點(diǎn)均為該題的關(guān)鍵，屬于綜合性較強(qiáng)的題.22、（1）曲線為圓心在原點(diǎn)，半徑