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文檔簡介
2023-2024學(xué)年山西平遙縣和誠高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.下圖是我國第24~30屆奧運獎牌數(shù)的回眸和中國代表團獎牌總數(shù)統(tǒng)計圖,根據(jù)表和統(tǒng)計圖,以下描述正確的是().金牌(塊)銀牌(塊)銅牌(塊)獎牌總數(shù)2451112282516221254261622125027281615592832171463295121281003038272388A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)一直保持上升趨勢B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不具有實際意義C.第30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銀牌數(shù)、銅牌數(shù)都有所下降D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)的中位數(shù)是54.52.曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為()A.3 B.2 C. D.13.已知雙曲線,點是直線上任意一點,若圓與雙曲線的右支沒有公共點,則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.4.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗線畫出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個面中最大面的面積為()A. B. C. D.5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.中,點在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.7.若向量,,則與共線的向量可以是()A. B. C. D.8.拋物線C:y2=2px的焦點F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A.2+1 B.22+3 C.9.設(shè)全集,集合,.則集合等于()A. B. C. D.10.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺11.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.12.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的值為()A. B.C. D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的實部為____________.14.己知函數(shù),若關(guān)于的不等式對任意的恒成立,則實數(shù)的取值范圍是______.15.已知向量,,則______.16.在數(shù)列中,,,曲線在點處的切線經(jīng)過點,下列四個結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)寫出曲線的極坐標方程;(2)點是曲線上的一點,試判斷點與曲線的位置關(guān)系.18.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓:()的左、右焦點分別為、,且點、與橢圓的上頂點構(gòu)成邊長為2的等邊三角形.(1)求橢圓的方程;(2)已知直線與橢圓相切于點,且分別與直線和直線相交于點、.試判斷是否為定值,并說明理由.19.(12分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求的極坐標方程和的直角坐標方程;(Ⅱ)設(shè)分別交于兩點(與原點不重合),求的最小值.21.(12分)設(shè)為實數(shù),已知函數(shù),.(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(2)設(shè)為實數(shù),若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;(3)若函數(shù)(,)有兩個相異的零點,求的取值范圍.22.(10分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)表格和折線統(tǒng)計圖逐一判斷即可.【詳解】A.中國代表團的奧運獎牌總數(shù)不是一直保持上升趨勢,29屆最多,錯誤;B.折線統(tǒng)計圖中的六條線段只是為了便于觀察圖象所反映的變化,不表示某種意思,正確;C.30屆與第29屆北京奧運會相比,奧運金牌數(shù)、銅牌數(shù)有所下降,銀牌數(shù)有所上升,錯誤;D.統(tǒng)計圖中前六屆奧運會中國代表團的奧運獎牌總數(shù)按照順序排列的中位數(shù)為,不正確;故選:B【點睛】此題考查統(tǒng)計圖,關(guān)鍵點讀懂折線圖,屬于簡單題目.2、A【解析】
根據(jù)題意,求導(dǎo)后結(jié)合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及運用基本不等式求最值,考查計算能力.3、B【解析】
先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點,可得,解得即可.【詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點,則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒有公共點,則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐,且是有三條棱互相垂直的三棱錐,根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積.【詳解】解:分析題意可知,如下圖所示,該幾何體為一個正方體中的三棱錐,最大面的表面邊長為的等邊三角形,故其面積為,故選B.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題,解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體,從而解決問題.5、C【解析】
化簡復(fù)數(shù)為、的形式,可以確定對應(yīng)的點位于的象限.【詳解】解:復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標為位于第三象限故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算,復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可得,又,,,,..故選:.【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應(yīng),縱坐標與縱坐標對應(yīng),切不可錯位.8、A【解析】
先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標和雙曲線的半焦距c的值,再利用雙曲線的定義可求得a的值,即可求得離心率.【詳解】由題意知,拋物線焦點F1,0,準線與x軸交點F'(-1,0),雙曲線半焦距c=1,設(shè)點Q(-1,y)ΔFPQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形,即PF所以PQ⊥拋物線的準線,從而PF⊥x軸,所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合,分析題目,畫出圖像,熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9、A【解析】
先算出集合,再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以,又因為.所以.故選:A.【點睛】本題考查集合間的基本運算,涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式,是一道容易題.10、A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.11、B【解析】
根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當時,,無意義,故排除A;又,則,故排除D;對于C,當時,,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】分析:解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比,利用題中所給的條件,建立項之間的關(guān)系,從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式,解方程即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意有,即,因為數(shù)列各項都是正數(shù),所以,而,故選C.點睛:該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比,而待求量就是,代入即可得結(jié)果.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的實部為2.故答案為:2【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】
首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞增,由此不等式對任意的恒成立,可轉(zhuǎn)化為在上恒成立,進而建立不等式組,解出即可得到答案.【詳解】解:函數(shù)的定義域為,且,函數(shù)為奇函數(shù),當時,函數(shù),顯然此時函數(shù)為增函數(shù),函數(shù)為定義在上的增函數(shù),不等式即為,在上恒成立,,解得.故答案為.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運用,考查不等式的恒成立問題,屬于常規(guī)題目.15、【解析】
求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運算計算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算.16、①③④【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個結(jié)論中正確的結(jié)論編號.【詳解】∵,∴曲線在點處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號是①③④.故答案為:①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)點在曲線外.【解析】
(1)先消參化曲線的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標方程;(2)由點是曲線上的一點,利用的范圍判斷的范圍,即可判斷位置關(guān)系.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為可得曲線的普通方程為,則曲線的極坐標方程為,即(2)由題,點是曲線上的一點,因為,所以,即,所以點在曲線外.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,考查直角坐標方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化,考查點與圓的位置關(guān)系.18、(1)(2)為定值.【解析】
(1)根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標準方程.(2)根據(jù)題意設(shè)直線方程:,因為直線與橢圓相切,這有一個交點,聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達式,比即可得出為定值.【詳解】解:(1)依題意,,,.所以橢圓的標準方程為.(2)為定值.①因為直線分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率.②設(shè)直線:,由得,由,得.①把代入,得,把代入,得,又因為,所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值.【點睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運用,考查橢圓的定值問題,考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.19、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)取中點,連,,由等邊三角形三邊合一可知,,即證.(2)以,,為正方向建立空間直角坐標系,由向量法可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.試題解析:(Ⅰ)證明:連,,則和皆為正三角形.取中點,連,,則,,則平面,則(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如圖所示,分別以,,為正方向建立空間直角坐標系,則,,,設(shè)平面的法向量為,因為,,所以取面的法向量取,則,平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20、(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,的直角坐標方程為;(Ⅱ)2.【解析】
(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標方程,對曲線同乘可得:,轉(zhuǎn)化成直角坐標為;(Ⅱ)分別聯(lián)立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結(jié)合三角函數(shù)即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為由曲線的極坐標方程得,所以的直角坐標方程為.(Ⅱ)與的極坐標方程聯(lián)立得所以.與的極坐標方程聯(lián)立得所以.所以.所以當時,取最小值2.【點睛】本題考查參數(shù)方程與極坐標方程的互化,極坐標方程與直角坐標方程的互化,極坐標中的幾何意義,屬于中檔題21、(1)函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)【解析】
(1)據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;(2)分離參數(shù),可得對任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;(3)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解:(1)當時,因為,當時,;當時,.所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為.(2)由
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