數(shù)學文化 課件 7-概率統(tǒng)計的思想與意義

數(shù)學文化第7章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的思想方法與意義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究與揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科，它的起源與博弈現(xiàn)象有關。

在16世紀，意大利的一些學者開始研究賭博中的一些簡單問題；

到了17世紀中葉，法國與荷蘭的一些數(shù)學家基于排列組合方法，解決了一些較復雜的賭博問題。1812年，拉普拉斯在系統(tǒng)總結前人工作的基礎上，寫出了《概率的分析理論》，并在概率論中引入了更有力的分析工具，將概率論的發(fā)展推向一個新的階段。

19世紀末，俄國數(shù)學家們用分析方法科學地建立了實際中遇到的許多隨機變量近似地服從正態(tài)分布的理論，給出了概率的公理化定義，發(fā)展起了現(xiàn)代概率理論。數(shù)理統(tǒng)計雖然源于古代，但它的正式誕生應當是19世紀后期的事情。

概率論的建立為數(shù)理統(tǒng)計奠定了理論基礎，而數(shù)理統(tǒng)計的發(fā)展又為概率論的應用提供了用武之地。兩者互相推動，迅速發(fā)展。目前，概率論與數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)廣泛地應用于自然科學、技術科學、人文科學、社會科學等許多領域，它在經(jīng)濟、管理、工程、技術、教育、語言、生物、環(huán)保、國防等許多領域中的作用愈益顯著。章節(jié)目錄7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史7.2概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本思想7.3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的文化意義

首先提到的是文藝復興時期的數(shù)學家、醫(yī)學家J·卡當，他才華橫溢，對數(shù)學貢獻巨大，但卻熱衷于賭博。他不希望把時間花在不能獲利的事情上，因此，他認真地研究牌技以及在一副牌中獲得“A”的概率。他把自己的研究成果編成了一本手冊，題為《賭博的游戲》。這是世界上第一部研究概率論的著作。他的研究除了賭博外還與當時的人口、保險業(yè)等有關，但由于卡當?shù)乃枷胛匆鹬匾?，概率概念的要旨也不明確，于是很快被人淡忘了。7.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史7.1.1概率論發(fā)展簡史

大約100年以后，另一位賭徒梅累繼續(xù)研究概率問題?？墒撬痪哂邢窨ó斈菢拥臄?shù)學天分，所以不得不就這一問題去請教數(shù)學奇才帕斯卡。帕斯卡就梅累的問題與費馬通了信，由此，帕斯卡和費馬創(chuàng)立了概率論的一些基本結果。他們往來的信函中討論了如下的“合理分配賭注問題”：甲、乙兩人同擲一枚硬幣。規(guī)定：正面朝上，甲得一點；若反面朝上，乙得一點。先積滿3點者贏取全部賭注。假定在甲得2點、乙得1點時，賭局由于某種原因中止了，問應該怎樣分配賭注才算公平合理？

當費馬和帕斯卡通信討論的問題被數(shù)學家惠更斯知曉后，他對這個問題進行了較為深入的研究。1657年，惠更斯的名著《論賭博中的計算》一書出版。此書是概率論的第一部成形的著作，書中提出了數(shù)學期望、概率的加法與乘法定理等基本概念。

1677年，法國數(shù)學家浦豐利用有名的浦豐投針問題給出了幾何概率的概念。

使概率論成為一個獨立數(shù)學分支的是瑞士數(shù)學家雅各布

伯努利。1713年出版了他的遺作《猜度術》，書中提出了現(xiàn)在稱之為伯努利大數(shù)定律的概率論的第一個極限定律，起到了概率的理論奠基作用。

1812年，拉普拉斯的名著《概率的分析理論》出版，書中系統(tǒng)總結了前人關于概率的研究成果，使以前零星的概率知識系統(tǒng)化，而且明確給出了概率的古典定義，并引入分析方法，把概率論提高到一個新的階段。

1733年，1809年棣莫佛與高斯分別獨立地引進了正態(tài)分布的概念。1837年，法國數(shù)學家泊松發(fā)表著名論文《關于判斷的概率之研究》，提出泊松分布。

1866年，俄國的切比雪夫建立了獨立隨機變量的大數(shù)定律，使伯努利與泊松的大數(shù)定律成為特例，并把棣莫佛與拉普拉斯的極限定理推廣為一般的中心極限定理。

由于拉普拉斯的概率定義存在模糊的意義，1899年，法國科學家貝朗特提出了所謂的“貝朗特悖論”：在半徑為r的圓內(nèi)隨機地選擇弦，求弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率。由于對“隨機地選擇”的不同理解，使得結果不唯一。概率論陷入危機之中。

為了克服古典概率的缺陷，數(shù)學家們開始創(chuàng)建概率的公理系統(tǒng)。俄國數(shù)學家伯恩斯坦、奧地利數(shù)學家馮米西斯都提出了一些概率公理，但都不甚理想。1905年，法國數(shù)學家波萊爾用他創(chuàng)立的“測度論”語言來表述概率，為現(xiàn)代概率打開了大門。

1929年，前蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫發(fā)表論文《概率論與測度論的一般理論》，首次給出了以測度論為基礎的概率論公理結構；1930年，他的《概率論中的解析方法》開創(chuàng)了隨機工程的一般理論（即馬爾科夫過程）；1933年，他出版了名著《概率論基礎》，建立了柯爾莫哥洛夫公理化概率論。

1934年，前蘇聯(lián)數(shù)學家辛欽提出“平穩(wěn)理論”，建立了平穩(wěn)隨機過程理論。1942年。日本數(shù)學家伊藤清引進了隨機微分方程，為隨機分析理論奠定了基礎。

1949年，柯爾莫哥洛夫與格涅堅科合作寫出《獨立隨機變量與極限分布》，建立了弱極限理論。7.1.2數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展簡史1763年，英國統(tǒng)計學家貝葉斯（T.Bayes）發(fā)表《論機會學說問題的求解》，提出“貝葉斯定理”，也就是從結果去對原因進行后驗概率的計算方法。

近代統(tǒng)計學是在概率論的基礎上建立起來的。1662年，英國統(tǒng)計學家J.格蘭特組織調(diào)查倫敦的人口死亡率，并發(fā)表《從自然和政治方面觀察死亡統(tǒng)計表》的專著，提出了“大數(shù)恒靜定律”。

19世紀中葉，比利時統(tǒng)計學家A.凱特勒把統(tǒng)計方法應用于天文、氣象、物理、生物與社會學，并強調(diào)正態(tài)分布的用途，為統(tǒng)計方法的推廣做了大量工作。同一時期，愛爾蘭經(jīng)濟學家E埃奇沃斯引入了方差的概念。

1889年，英國生物學家高爾頓出版其著作《自然的遺傳》，引入回歸分析方法，給出了回歸直線與相關系數(shù)等重要概念。高爾頓是生物統(tǒng)計學派的奠基人，他用統(tǒng)計方法研究遺傳進化問題，第一次將概率統(tǒng)計原理應用于生物科學，明確提出“生物統(tǒng)計學”。

從19世紀末到二次世界大戰(zhàn)結束，數(shù)理統(tǒng)計得到蓬勃發(fā)展并日臻成熟。這一時期，英國數(shù)學家皮爾遜發(fā)展了生物統(tǒng)計學與社會統(tǒng)計學的基本法則，發(fā)展了回歸分析及相關理論，并于1900年提出了卡方統(tǒng)計量與卡方分布，建立了卡方檢驗法。1908年，皮爾遜的學生，英國科學家W.S.戈塞特導出大統(tǒng)計量及其精確分布，建立了t檢驗法（也就是學生分布）。

現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計的奠基人應該是英國數(shù)學家費歇爾（FisherRonaldAylmer，1890-1962）。1929年，他出版了《理論統(tǒng)計的數(shù)學基礎》，對統(tǒng)計學中的相關系數(shù)、樣本分布、多元分析以及統(tǒng)計方法在遺傳與優(yōu)生方面的應用都進行了研究，成為現(xiàn)代統(tǒng)計學的奠基性著作，在估計理論、假設檢驗、實驗設計、方差分析等方面都作出了貢獻。

1940年，瑞士數(shù)學家克拉默（H.Cramer）發(fā)表《統(tǒng)計學的數(shù)學方法》，運用測度論方法總結了數(shù)理統(tǒng)計的成果，使現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計趣于成熟。

我國數(shù)學家許寶祿在數(shù)理統(tǒng)計和概率論這兩個數(shù)學分支都有重要貢獻。他的重要成績有：1938年至1945年間，他在多元統(tǒng)計與統(tǒng)計推測方面發(fā)表了一系列論文，給出了樣本協(xié)方差矩陣等概念，推進了矩陣論在數(shù)理統(tǒng)計學中的應用；他對高斯-馬爾科夫模型中方差的最優(yōu)預計的研究是其后關于方差分量和方差的最佳二次預計的眾多研究的出發(fā)點；他推動了人們對全部相似檢驗進行研究等。7.2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本思想

所謂概率，通俗地說：就是一件事情發(fā)生的可能性的大小。在日常生活中，我們所使用的概率思想，主要是滿足于估計一件事情發(fā)生的概率是大還是小，從而為我們的決策提供一種理性的支持。

我們來看看在古典概率中如何利用數(shù)學得到精確的概率值。例如，單獨拋一枚骰子，出現(xiàn)“2”的概率是多少?解決這個問題的一種方法是，擲100000次骰子，然后計算出現(xiàn)“2”的次數(shù)。出現(xiàn)“2”的次數(shù)與100000的比就是所求的答案，或者差不多會接近真實的答案。但是，數(shù)學家們一般不會采用這種方法，而是靜坐默思去找出解決這個問題的方法。

我們來看看帕斯卡和費馬如何考慮這個問題的：一個骰子有6個面，由于在骰子的形狀上或者在扔骰子的方式中，沒有任何因素有利于某一面的出現(xiàn)，所以得到每一面正面朝上的可能性是相同的。六面出現(xiàn)的可能性相同，而僅僅只有一面也就是出現(xiàn)“2”的一面是有利情形，因為這就是我們所要求的那一面。因此出現(xiàn)“2”的概率就是1/6。如果我們對出現(xiàn)4或5這兩面都感興趣，我們則得到其概率為2/6，即6種可能性中的兩種對我們有利；如果我們對出現(xiàn)4或5不感興趣，那么將有4種有利的可能性，因此概率應該為4/6。

在古典概率中，一般地，計算概率值的定義是，如果有n種等可能性，而有利于一定事件發(fā)生的情形是m，那么這個事件發(fā)生的概率是m/n，而該事件不發(fā)生的概率是（n-m）/n。在這個概率的一般定義之下，如果沒有有利的可能性發(fā)生，也就是說，如果事件是不可能的，則事件的概率為0；而如果n種可能性都是有利的，也就是說，如果事件是完全確定的，則概率為1。因此，概率值在從0到1的范圍內(nèi)變化，即從不可能性到確定性。

作為這個定義的一個例子，我們考慮從52張普通的一副撲克牌中，選取一張牌“A”的可能性。這里有52種等可能選擇，其中有4種是有利的，因此，這個概率是4/52，即為1/13。

從52張一副的撲克牌中選取“A”的概率是1/13。圍繞著這一命題的意義，經(jīng)常會產(chǎn)生一些疑問。這個命題是否意味著，如果一人在這副撲克牌中取了13次(每一次都重復取牌，即將取過的牌又放回)，那么將一定會選中一張“A”呢?事實并不是這樣，他可能取了30次或40次，也沒有得到一張“A”。不過，他取的次數(shù)越多，則取得A的次數(shù)與取牌總次數(shù)之比將會趨近于1比13。

這是個合理的期望，因為選取的數(shù)目越大，每一張牌被取出的次數(shù)就會越相等。一個相關的錯誤想法是，假定如果一人取了一張“A”，比如說正好是在第一次取得的，那么下一次取出一張“A”的概率就必定小于1/13。實際上，概率依然是相同的，即為1/13，即使當3張“A”被連續(xù)抽中時也是如此。一副牌或一枚硬幣，它們既沒有記憶也沒有意識，因此已經(jīng)發(fā)生的事情不會影響未來。

注意，我們這里所討論的問題要具有等可能性。例如，假定我們斷說，一個人安全過街頭的概率是1/2，因為只有兩種可能性：安全通過或沒有安全通過。如果這個命題成立，那我們就什么事情也別干了，只有坐在家里。這個命題的錯誤在于“安全通過或沒有安全通過”這兩種可能性不是等可能的。例1彩票中的數(shù)學問題

以某省福利彩票為例做說明。這種彩票玩法比較簡單：2元一注，每注填寫一張彩票；每張彩票由一個6位數(shù)和一個特別號碼組成。每個數(shù)字均可填寫0，1，……，9這十個數(shù)字中的任何一個；特別號碼可以填寫0，1，2，3，4這五個數(shù)字中的任何一個。每期開獎，開出一個6位數(shù)和一個特別號碼作為中獎號碼。設六個獎勵等級：特等獎——獎券上寫的6個數(shù)字與一個特別號碼全部相同；一等獎——有6個連續(xù)數(shù)字相同；二等獎——有5個連續(xù)數(shù)字相同；三等獎——有4個連續(xù)數(shù)字相同；四等獎——有3個連續(xù)數(shù)字相同；五等獎——有2個相鄰數(shù)字相同。每一期彩票以收入的50%作為獎金。三、四、五等獎獎金固定；一、二、特等獎的獎金浮動。假如，中獎號碼是123456，特別號碼是0，那么，各個獎項的中獎號碼和每注獎金如表7-1所示。表7-1某省福利彩票各個獎項的中獎號碼和每注獎金獎級中獎號碼每注獎金特等獎123456+0（獎金總額-固定獎金）

65%/注數(shù)88萬元（保底），500萬元（封頂）一等獎123456（獎金總額-固定獎金）

15%/注數(shù)二等獎12345,23456,…共2組20個（獎金總額-固定獎金）

20%/注數(shù)三等獎1234,2345,3456,…共3組300個300元四等獎123,234,…共4組4000個20元五等獎12,23,34,…共5組50000個5元(1)中獎概率：以一注為單位，計算一注彩票的中獎率特等獎———張彩票上前6個號碼有種可能選擇，特別號碼有5種選擇，故一張獎券上的號碼共有5×種不同的填法。因此一注特等獎的中獎率為P0=l/(5×)=2×=0.0000002；

一等獎中獎概率為：P1=1/=0.000001；

二等獎中獎概率為：P2=20/1000000=0.00002；

三等獎中獎概率為：P3=300/1000000=0.0003；

四等獎中獎概率為：P4=4000/1000000=0.004；

五等獎中獎概率為：P5=50000/1000000=0.05。

合起來，一注彩票的總的中獎率為上述之和：

P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543212≈5.4%。這就是說，每10000張彩票大約有540張得獎(包括從特等獎到五等獎)。

(2)彩票的期望值因為彩票的返還率一般是50%，所以從總體上說，每注2元一張的彩票，其期望值應該是1元。下面來實際計算一下，看是否如此。決定彩票的期望值有兩個因素，一是各個獎級的中獎率，二是各個獎勵級別獎金多少。三、四、五等獎的獎金已經(jīng)給出，中獎的概率也已知道，其他三個等級獎的獎金則可以計算出來。

根據(jù)規(guī)定，這三種獎級的獎金與三個因素有關：一是當期獎金總額，決定于銷售的彩票總注數(shù)；二是上期“獎池”中的累積獎金；三是滯留到下期“獎池”的獎金。綜合這幾種因素，再結合對2001年2——4月發(fā)行的20期獲獎情況統(tǒng)計的平均值，可以作如下假定：

第一，每一期售出100萬注，獎金總額為100萬；

第二，每期前三個獎級獎金取平均值；

第三，獎池的累積獎金以平均值計算。結果如下表7-2：表7-2某省福利彩票各個獎項的中獎概率和獎金

獎級

概率

獎金（元）

特等獎0.000000220000001等獎0.000001500002等獎0.0000250003等獎0.00033004等獎0.004205等獎0.055從而算得期望值E=0.0000002×2000000+0.000001×50000+0.00002×5000+0.0003×300+0.004×20+0.05×5=0.4+0.05+0.l+0.09+0.08+0.25=0.97(元)即每一注彩票中獎的期望值約為0.97元，這與理論值（l元）非常接近。

(3)彩票同列號現(xiàn)象此福利彩票，每一期中獎號碼是從01,02，…，33這33個號碼中隨機搖出7個數(shù)字（不計順序）以及一個特別數(shù)字組成的。所謂“同列號”，是指中獎號碼除了特別數(shù)字以外的7個數(shù)字中個位數(shù)相同者。例如，在總第98、第99兩期的中獎號碼：總第98期為02,10,18,25,27,28,30總第99期為04,11,13,14,15,17,19中，前者的18,28為同列號，后者的04,14為同列號。這種“同列號”現(xiàn)象較為普遍，有人甚至說，每期中獎號碼都有同列號的出現(xiàn)。這個說法是不對的。那么出現(xiàn)同列號的機會究竟有多么大呢？下面我們來研究這個有趣的問題。我們把01-33這33個數(shù)字作如下排列，如表7-3所示。表7-3

某省福利彩票數(shù)字排列1234567890010203040506070809101112131415161718192021222324252627282930313233A區(qū)B區(qū)

為方便起見，我們從反面來考慮，一期中獎號碼里不出現(xiàn)同列號的概率是多少？要想一期中獎號碼里不出現(xiàn)同列號，那么，需且僅需這7個數(shù)字出現(xiàn)在上述10列中不同的7列。因為A區(qū)與B區(qū)列中的數(shù)字個數(shù)不同，所以要按照在A區(qū)中所取數(shù)字個數(shù)，分以下4中情況來討論。1）0個數(shù)字在A區(qū)（即7個數(shù)字都在B區(qū)）。這時中獎號碼里的7個數(shù)字都在B區(qū)，因為B區(qū)只有7列，所以恰好每列取1個數(shù)字。而在每一列取1個數(shù)字有3種可能，故不同的取法應有37=2187種。2）1個數(shù)字在A區(qū)（6個數(shù)字都在B區(qū)）。首先，考慮A區(qū)的1個數(shù)字。因為A區(qū)有3列，在這3列中選出1列，有3種選法；在這一列中選1個數(shù)字，又有4中選法，故有12種選法。其次，考慮在B區(qū)的6個數(shù)字。先在7列中選出6列，再在每列中選出1個數(shù)字，故有種選法。合起來應有種不同取法。3）2個數(shù)字在A區(qū)（即5個數(shù)字都在B區(qū)）。先考慮A區(qū)的2個數(shù)字。這兩個數(shù)字的取法有種。再考慮B區(qū)取的5個數(shù)字，應有種選法。合起來應有種不同選法。4）3個數(shù)字在A區(qū)（4個數(shù)字都在B區(qū)）。3個數(shù)字在A區(qū)，有種取法，4個數(shù)字在B區(qū)，有種取法。合起來應有種取法。綜上所述，從01-33這33個數(shù)字中取出7個不同列的數(shù)字組成一個中獎號碼的不同取法，共有從33個數(shù)字中取7個數(shù)字的取法，總共有種。故中獎號碼沒有同列號的概率為因此，中獎號碼有同列號的概率為。對此福利彩票自發(fā)行以來共99期和4個幸運獎的統(tǒng)計，在103個中獎號碼中，沒有同列號現(xiàn)象的有12次（總期號分別為15，31，42，48，49，53，61，68，86，91，95，100），占11.65%，這與理論值非常接近。

彩票中還有其他一些現(xiàn)象和問題，都可以用數(shù)學知識來解釋。例如，在當代，隨著數(shù)學在更大范圍和更廣泛領域內(nèi)被應用于各門學科，數(shù)學在獲得越來越多應用價值的同時，也存在著被誤用和濫用的現(xiàn)象。在某些情況下，數(shù)學化雖然具有貌似的合理性，但卻并非客觀和全面的量性刻畫，進而容易造成貌似數(shù)學化的偽科學性。例如，在電視等媒體上，對體育彩票和福利彩票搖獎之后對近期中獎號碼重復頻率進行的所謂統(tǒng)計分析純粹是一種誤導和欺騙彩民的偽數(shù)學行為，既是對數(shù)學的褻瀆，也是對彩票公正性的歪曲，因此是極不負責任的。例2.色盲的遺傳問題

色盲雖然不是什么嚴重疾病，但卻也是一種生理缺陷。大約在上世紀初葉，有人發(fā)現(xiàn)色盲是可以遺傳的。于是人們提出了一個驚人的問題：色盲既然是能遺傳給下一代，那么將來會不會有一天使全世界的人都成為色盲?

要弄清色盲是怎么回事，先得明白我們?yōu)槭裁茨芸吹筋伾?，又得研究視網(wǎng)膜的復雜的構造和性質，還得了解不同的光波所能引起的光化學反應，等等。

因為眼睛是人體很復雜的器官，要從解剖學的角度來考慮，就已經(jīng)十分困難，何況還與遺傳因素有關。當時，人們還不了解遺傳基因的結構，根本沒法了解色盲在遺傳基因上的原因。所以，對于生理學來講這是個當時無法解決的難題。這個問題被提到了哈代(1877-1947)的面前。哈代是英國大數(shù)學家，自稱是純粹數(shù)學家，對實際問題不感興趣。但是，這回是個例外，他對這個問題不但有興趣、而且以概率統(tǒng)計的觀點、僅用初等代數(shù)知識，就巧妙地、徹底地解決了這個難題。分析：他首先從大量臨床統(tǒng)計資料得知以下情況：（1）色盲中男性遠多于女性；（2）色盲父親與正常母親不會有色盲孩子；（3）正常父親和色盲母親的兒子是色盲，女兒則不是。

因此，他判斷：色盲的遺傳與性別有關。男女性別的差異，與遺傳基因中的性染色體有關。每個人的體內(nèi)有23對染色體，一半來自父親，一半來自母親；其中有一對特殊的染色體——性染色體，決定人的性別。男性性染色體是XY，女性的性染色體是XX。在遺傳給下一代時，母親賦予XX，給予子女的總是X，父親賦予XY，隨機地選擇一X或者Y給予子女，其概率是21∶22。若前者，則是女性，若后者，則是男性。所以男、女出生的概率是22∶21。這實際上已經(jīng)回答了統(tǒng)計中為什么男性比例略高于女性的問題。

既然色盲與性別有關，所以色盲者一定是性染色體出了毛病。那么，究竟是X出了毛病，還是Y出了毛病呢？一定是X，而且這個異常染色體會世代遺傳下去。

為什么能肯定病態(tài)染色體是X呢？這可用反證法來證明：假如病態(tài)染色體是Y，女性就不會有色盲，因為女性性染色體中沒有Y。但是，女性有色盲存在，只是比男性色盲少而已。那么，為什么男性色盲比女性多呢？這是因為女性有兩個X，如果其中有一個異常、一個正常，仍然可以維持正常視力。這種女性，我們不妨稱之為“次正?！?。這樣，男性分為兩類：正常和色盲；女性分為三類：正常、次正常和色盲。

根據(jù)這些分析，我們可以利用數(shù)學方法，來估計下一代人中的色盲比例。我們首先如下的假設：1.在兩類男子和三類女子之間，夫婦配對是隨機的；2．異常染色體(記作“”)，在所有染色體X中所占比例為p，在男、女染色體中保持不變；3.父、母和子女中男女出生比例均為1：1。以下建立數(shù)學模型和計算：男性中正常和色盲兩類，以F、S表示；女性中正常、次正常和色盲三類，分別以Z、C、Κ表示。則F、S在男性中所占比例分別為q、p(q=l-p)；Z、C、Κ在女性中的比例，分別為。男、女配對有6種夫婦類型，在夫婦總數(shù)中各占比例如下：

第一類(F，Z)——父、母均正常，其概率為，子女中不會有色盲。如表7-4所示。表7-4正常丈夫與正常妻子

男女X

Y

X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子

X（X，X）正常女兒（X，Y）正常兒子第二類(F，C)——父正常、母次正常，其概率為；其子女的四種情況中有一種是色盲（如表7-5），即這類夫婦的子女中有1/4是色盲，在下一代人口中所占的比例是。

表7-5正常丈夫與次正常妻子

男女

X

Y（

，X）次色盲女兒（，Y）色盲兒子

X

（X，X）正常女兒

（X，Y）正常兒子第三類(F，Κ)——父正常、母色盲，其概率為；其子女的四種情況中有兩種是色盲（如表6-6），故這類夫婦的子女中有l(wèi)/2是色盲，在下代人口中所占比例是/2。表7-6正常丈夫與色盲妻子

男女

X

Y

（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子（，X）次色盲女兒（，

Y）色盲兒子第四類(S，Z)——父色盲、母正常，其概率為；其子女不會有色盲（如表7-7）表7-7色盲丈夫與正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（X，）次色盲女兒（，Y）正常兒子XXXX第五類(S，C)——父色盲、母次正常，其概率為；這類夫婦的子女中有一半是色盲（如表7-8），在下代人口中所占比例是表7-8

色盲丈夫與次正常妻子

男女

Y

（X，）次色盲女兒（，

Y）正常兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子XX第六類(S，K)——父母均色盲，其概率為；其子女全部為色盲（如表7-9）表7-9色盲丈夫與色盲妻子

男女

Y

（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子（

，）色盲女兒（，

Y）色盲兒子

將以上6類(實際只有4類)夫婦的子女中色盲的比例相加得：在例2中我們提到了男、女出生的概率是22∶21。在17世紀時，蘇格蘭的一位雜貨商人格蘭特，作為消遣，研究了當時英國城市的各種死亡記錄，他注意到，男孩與女孩的出生比例差不多，而男孩稍多（當時他還不知道概率事實）。例3身高和智力遺傳問題

英國的高爾頓與他的學生皮爾遜（KarlPearson）對人類身高與智力的遺傳問題所做的研究。皮爾遜選取了1078個父親，測量了他們的身高，然后測量他們已是成人的兒子的身高。皮爾遜發(fā)現(xiàn)，一般來說，父親高，兒子也高。皮爾遜對他的數(shù)據(jù)作了仔細分析，其中兩組數(shù)據(jù)是

父親平均身高約68英寸，兒子平均身高約69英寸；父親平均身高約72英寸，兒子平均身高約71英寸。

這兩組數(shù)據(jù)說明什么問題呢？高爾頓發(fā)現(xiàn)，父親的身高與兒子的身高有一種正相關的關系。一般來說，高個的父親會有高個的兒子；但是，兒子與中等個的父親的偏差?。灰簿褪钦f，兒子的身高有向中等個退化的傾向。