七年級下- 3實數(shù)（解析版）

七年級下冊數(shù)學《第六章實數(shù)》6.3實數(shù)知識點一知識點一無理數(shù)的概念◆1、無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)又叫做無理數(shù).◆2、常見的無理數(shù)的三種形式：(1)圓周率π以及一些含π的數(shù)，2π﹣3，π2(2)開方開不盡的數(shù)，如：，等；(3)有規(guī)律但不循環(huán)的數(shù)，如1.01001000100001…等.知識點二知識點二實數(shù)的概念和分類◆1、實數(shù)的概念：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).◆2、實數(shù)的分類：（1）按定義分類．（2）按性質分類.知識點三知識點三實數(shù)與數(shù)軸的關系◆1、實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).◆2、◆3、實數(shù)的大小比較①正實數(shù)大于零，負實數(shù)小于零，正實數(shù)大于負實數(shù)；②兩個正實數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；③兩個負實數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小.知識點四知識點四實數(shù)的性質在實數(shù)范圍內，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣．◆1、數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個實數(shù).

◆2、一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即設a表示任意一個實數(shù)，則|a|=知識點五知識點五實數(shù)的運算◆1、當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除(除數(shù)不為0)、乘方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.

◆2、◆3、實數(shù)的運算律.①加法交換律：a＋b＝b＋a；②加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交換律：ab＝ba；④乘法結合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.題型一無理數(shù)的識別題型一無理數(shù)的識別【例題1】（2022秋?皇姑區(qū)校級期末）下列各數(shù)中，無理數(shù)是（）A．π2 B．16C．0.25 D．0.1010010001【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．據此解答即可．【解答】解：A．π2B．16=C．0.25是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；D．0.1010010001是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了無理數(shù)的定義，掌握帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)是解題的關鍵．解題技巧提煉（1）對有理數(shù)和無理數(shù)進行區(qū)分時，應先對某些數(shù)進行計算或化簡，然后根據結果進行分類，不能僅看到用根號表示的數(shù)就認為是無理數(shù)；（2）π是無理數(shù)，，化簡后含π的數(shù)也是無理數(shù)，判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)要抓住兩點：一是無限小數(shù)；二是其形式不循環(huán).【變式1-1】（2022秋?碑林區(qū)校級期末）在實數(shù)﹣2，117，9，3?27，11中的無理數(shù)是【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．【解答】解：﹣2，9=3，3117無理數(shù)是11．故答案為：11．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，2，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0）等形式．【變式1-2】下列實數(shù)中，不是無理數(shù)的是（）A．2 B．π C．33 【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：A.2是無理數(shù)；B．π是無理數(shù)；C.33D．﹣2是整數(shù)，屬于有理數(shù)．故選：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式1-3】下列說法錯誤的有（）①無限小數(shù)是無理數(shù)；②無理數(shù)都是帶根號的數(shù)；③只有正數(shù)才有平方根；④3的平方根是3；⑤﹣2是（﹣2）2的平方根．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得無理數(shù)，可判斷①②；根據平方根，可判斷③④⑤．【解答】解：①無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故①錯誤；②無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故②錯誤；③0的平方根是0，故③錯誤；④3的平方根是±3，故④錯誤；⑤±(?2)2=±2故選：D．【點評】本題考查了無理數(shù)，注意無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)．【變式1-4】（2022春?杜爾伯特縣期中）下列語句正確的是（）A．3.78788788878888是無理數(shù) B．無理數(shù)分正無理數(shù)、零、負無理數(shù) C．無限小數(shù)不能化成分數(shù) D．無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：A、3.78788788878888是有限小數(shù)，是有理數(shù)，故選項錯誤；B、0是整數(shù)，是有理數(shù)，故選項錯誤；C、無限小數(shù)中的循環(huán)小數(shù)是分數(shù)，是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，不能寫成分數(shù)，故選項錯誤；D、正確．故選：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【變式1-5】（2022秋?高郵市期中）下列一組數(shù)：﹣8，2.7，237，πA．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：π2故選：C．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．題型二實數(shù)的分類題型二實數(shù)的分類【例題2】（2022秋?麗水期中）把下列各數(shù)的序號填在相應的橫線上：①﹣3.14，②2π，③?13，④0.618，⑤?16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨22整數(shù)集合：{……}；分數(shù)集合：{……}；無理數(shù)集合：{……}．【分析】利用整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)的定義分類填空．【解答】解：整數(shù)有：⑤?16=?4，⑥0，⑦﹣1，分數(shù)有：①﹣3.14，③?13，④0.618，⑨無理數(shù)有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐漸多1），故答案為：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【點評】本題考查了實數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握整數(shù)、分數(shù)、無理數(shù)的定義．解題技巧提煉本題采用分類法解答，可先把題目中所列各數(shù)分成有理數(shù)和無理數(shù)兩類，再從有理數(shù)中找整數(shù)及分數(shù).【變式2-1】（2021秋?社旗縣期末）實數(shù)?13，A．﹣1 B．?6 C．0 D．【分析】根據實數(shù)的分類進行解答即可．【解答】解：這一組數(shù)中的負整數(shù)是﹣1．故選：A．【點評】本題考查的是實數(shù)，熟知實數(shù)的分類是解題的關鍵．【變式2-2】（2022秋?寧波期中）下列實數(shù)：2，39，1，94，π2，?A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據實數(shù)的分類及分數(shù)的定義進行解答即可．【解答】解：這一組數(shù)中的分數(shù)有：94，?73故選：B．【點評】本題考查的是實數(shù)，熟知所有的分數(shù)都是有理數(shù)是解題的關鍵．【變式2-3】（2022春?宜秀區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．實數(shù)包括有理數(shù)、無理數(shù)和零 B．有理數(shù)包括正有理數(shù)和負有理數(shù) C．無限不循環(huán)小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù) D．無論是有理數(shù)還是無理數(shù)都是實數(shù)【分析】靈活掌握實數(shù)分類以及有理數(shù)和無理數(shù)概念，注意容易混淆的知識點．【解答】解：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，0屬于有理數(shù)，故A錯誤，有理數(shù)包括正有理數(shù)、負無理數(shù)和0，0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，故B錯誤，無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)，故C錯誤，實數(shù)分為有理數(shù)和無理數(shù)，故D正確．故選：D．【點評】考查了實數(shù)的概念，以及有理數(shù)和無理數(shù)概念及分類．【變式2-4】（2022春?夏津縣期末）下列說法中錯誤的是（）A．3?27是整數(shù) B．?17C．33是分數(shù) D．9【分析】根據立方根，算術平方根，有理數(shù)，無理數(shù)的意義，即可解答．【解答】解：A、∵3?27∴3?27故A不符合題意；B、?1713是有理數(shù)，故C、33是無理數(shù)，不是分數(shù)，故CD、∵9=3，3的立方根是33，∴9的立方根是無理數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了實數(shù)，熟練掌握有理數(shù)，無理數(shù)的意義是解題的關鍵．【變式2-5】（2022秋?黑山縣期中）把下列各數(shù)分別填入相應的集合內：33，?4，25，4【分析】根據無理數(shù)以及正實數(shù)的定義，在給定實數(shù)中分別挑出無理數(shù)以及正實數(shù)，此題得解．【解答】解：如圖所示：【點評】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關鍵．【變式2-6】（2021春?個舊市校級期中）在下列各數(shù)中，選擇合適的數(shù)填入相應的集合中．?15，39，π2，3.14．?3（1）有理數(shù)集合：{…}；（2）無理數(shù)集合：{…}；（3）正實數(shù)集合：{…}；（4）負實數(shù)集合：{…}；【分析】根據實數(shù)的分類法填寫即可．【解答】解：（1）有理數(shù)為：3.14，?327，0，?1故答案為：3.14，?327，0，?1（2）無理數(shù)為：39，π2，﹣5.123456…，故答案為：39，π2，﹣5.123456…，（3）正實數(shù)為：39，π2，3.14，327故答案為：39，π2，3.14，（4）負實數(shù)為：?15，?3故答案為：?15，?3【點評】此題考查了實數(shù)，熟練掌握實數(shù)的分類方法是解本題的關鍵．題型三實數(shù)和數(shù)軸的關系題型三實數(shù)和數(shù)軸的關系【例題3】（2022?海淀區(qū)校級模擬）實數(shù)a與b在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|【分析】根據數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)b＜a，且，由此即可判斷以上選項正確與否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合題意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合題意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合題意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合題意．故選：C．【點評】本題考查的是數(shù)軸與實數(shù)的大小比較等相關內容，會利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小是解決問題的關鍵．解題技巧提煉根據“實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應”及“在數(shù)軸上右邊的點總比左邊的點表示的數(shù)大”，我們可以把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，利用數(shù)形結合思想計較實數(shù)的大小.【變式3-1】（2021春?南岸區(qū)期中）實數(shù)a在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，若實數(shù)b滿足a＜b＜2，則b的值可以是（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3【分析】先判斷b的范圍，再確定符合條件的數(shù)即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故選：B．【點評】本題考查了數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應關系，解決本題的關鍵是根據數(shù)軸上的點確定數(shù)的范圍．【點評】本題考查了有理數(shù)大小比較：正數(shù)大于0，負數(shù)小于0；負數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越?。咀兪?-2】（2022春?鼓樓區(qū)期中）若將三個數(shù)?2，5，10表示在如圖所示的數(shù)軸上，則被墨跡覆蓋的數(shù)是三個數(shù)中的【分析】依據表示三個數(shù)?2，5，10【解答】解：∵﹣2＜?2＜?1，2＜5∴被墨跡覆蓋的數(shù)是三個數(shù)中的5．故答案為：5．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；反之，數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù)．【變式3-3】把表示下列各數(shù)的點畫在數(shù)軸上，再按從小到大的順序，用“＜”號把這些數(shù)連接起來：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先計算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用數(shù)軸表示數(shù)的方法表示所給的6個數(shù)，然后寫出它們的大小關系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用數(shù)軸表示為：，它們的大小關系為﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2【變式3-4】（2022春?海安市校級月考）7、如圖：數(shù)軸上表示1、5的對應點分別為A、B，且點A為線段BC的中點，則點C表示的數(shù)是（）A．5?1 B．1?5 C．5?2【分析】設C點表示的數(shù)為x，再根據中點坐標公式求出x的值即可．【解答】解：設C點表示的數(shù)為x，則x+5解得x＝2?5故選：D．【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應關系是解答此題的關鍵．【變式3-5】（2022秋?邢臺期中）如圖，有一個半徑為12個單位長度的圓，將圓上的點A放在原點，并把圓沿數(shù)軸逆時針方向滾動一周，點A到達點A'的位置，則點A'表示的數(shù)；若點B表示的數(shù)是?10，則點B在點A'的【分析】因為圓從原點沿數(shù)軸向左滾動一周，可知OA′＝π，再根據數(shù)軸的特點及π的值即可解答；比較﹣π與?10【解答】解：∵圓的周長為π×2×12∴OA′＝π，故A′點表示的數(shù)是﹣π，∵（﹣π）2≈9.8282，（?10）2∴﹣π＞?10∴點B在點A′的左邊．故答案為：﹣π；左邊．【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸的特點，熟知實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系是解答此題的關鍵．【變式3-6】（2022秋?寧波期中）如圖，數(shù)軸上點A到點B的距離與點B到點C的距離相等，若點B表示1，點C表示7，則點A表示的數(shù)是．【分析】設點A表示的數(shù)是x，根據數(shù)軸上兩點間的距離的表示列出方程求解即可．【解答】解：設點A表示的數(shù)是x，由題意得，1﹣x=7解得x＝2?7故答案為：2?7【點評】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，主要利用了數(shù)軸上兩點間的距離的表示，是基礎題．【變式3-7】（2022秋?西安月考）如圖，已知實數(shù)?5，﹣1，5，3，其在數(shù)軸上所對應的點分別為點A，B，C，D（1）求點C與點D之間的距離；（2）記點A與點B之間距離為a，點C與點D之間距離為b，求a﹣b的值．【分析】（1）根據數(shù)軸上兩點間距離的計算方法進行計算即可得出答案；（2）先根據數(shù)軸上兩點間距離的計算方法計算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根據題意可得，點C與點D之間的距離為3?5（2）根據題意可得，a＝|﹣1+5|=5?1，ba﹣b=5?1﹣（3?5【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸及數(shù)軸上兩點間距離，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系及數(shù)軸上兩點間距離的計算方法進行求解是解決本題的關鍵．題型四實數(shù)的大小比較題型四實數(shù)的大小比較【例題4】在﹣1，0，π，3這四個數(shù)中，最大的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．π D．3【分析】實數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小，據此判斷即可．【解答】解：根據實數(shù)比較大小的方法，可得﹣1＜0＜3＜∴在這四個數(shù)中，最大的數(shù)是π．故選：C．【點評】此題考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而?。忸}技巧提煉1、①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而?。?、比較實數(shù)大小比較的常用方法有：（1）取近似值法（或估算法）；（2）平方法（或立方法）（脫去根號比較）.當一個帶根號的無理數(shù)和一個有理數(shù)進行比較時，首選的方法就是把有理數(shù)還原成帶根號的形式，比較被開方數(shù)，也可采用近似值的方法來比較大小.【變式4-1】（2022?沂源縣一模）在3，?3A．3 B．?3 C．0 【分析】根據實數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負數(shù)；④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，?3，0，2這四個數(shù)中，最小的一個數(shù)是?故選：B．【點評】此題考查了實數(shù)大小比較，可以利用數(shù)的性質比較異號兩數(shù)及0的大小，利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。咀兪?-2】三個數(shù)﹣π，﹣3，?3A．﹣3＜﹣π＜?3 B．﹣π＜﹣3＜?3 C．﹣π＜?3＜?3【分析】先對無理數(shù)進行估算，再比較大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，?3因為3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜?3故選：B．【點評】本題考查了同學們對無理數(shù)大小的估算能力及比較兩個負數(shù)大小的方法，即兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而?。咀兪?-3】設a為實數(shù)且0＜a＜1，則在a2，a，a，1aA．1a＞a＞a＞a2 B．a【分析】根據正數(shù)比較大小的法則進行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜a＜1，∴1a＞a＞a故選：D．【點評】本題考查的是實數(shù)的大小比較，熟知正數(shù)比較大小的法則是解答此題的關鍵．【變式4-4】比較2，5，37A．2＜5＜37 B．2＜37＜5 【分析】把2轉化為4，【解答】解：∵2=4∴5＞2∵2=3∴2＞3∴5＞2＞即37故選：D．【點評】本題考查了實數(shù)大小的比較，解決本題的關鍵是把2轉化為4，【變式4-5】比較大小：?3【分析】正實數(shù)都大于0，負實數(shù)都小于0，正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，據此判斷即可．【解答】解：(?3)2∵3＞2.25，∴?3故答案為：＜．【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)＞0＞負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小，兩個負數(shù)平方大的反而小．【變式4-6】比較大?。?1135．【分析】首先將根號外的因式移到根號內部，進而利用實數(shù)比較大小方法得出即可．【解答】解：∵211=44，3∴211＜35故答案為：＜．【點評】此題主要考查了實數(shù)比較大小，正確將根號內的數(shù)字移到根號內部是解題關鍵．【變式4-7】（2021秋?新津縣校級月考）比較大小：3?1212，32【分析】（1）比較出兩個數(shù)的差的正負，即可判斷出它們的大小關系．（2）首先比較出兩個數(shù)的平方的大小關系；然后根據：兩個正實數(shù)，平方大的，這個數(shù)也大，判斷出原來的兩個數(shù)的大小關系即可．【解答】解：（1）∵3?1∴3?1（2）(32)2∵18＞12，∴32＞23故答案為：＜、＞．【點評】此題主要考查了實數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：正實數(shù)＞0＞負實數(shù)，兩個正實數(shù)，平方大的，這個數(shù)也大．題型五求一個的數(shù)的相反數(shù)或絕對值題型五求一個的數(shù)的相反數(shù)或絕對值【例題5】實數(shù)?3A．3 B．?33 C．?3【分析】直接利用絕對值的性質分析得出答案．【解答】解：實數(shù)?3的絕對值是：3故選：A．【點評】此題主要考查了絕對值，正確掌握絕對值的性質是解題關鍵．解題技巧提煉求一個數(shù)的相反數(shù)時，結果符號相反、絕對值不變；即數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個實數(shù).

2、一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.【變式5-1】2的相反數(shù)是（）A．?2 B．2 C．12【分析】根據相反數(shù)的含義，可得求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”，據此解答即可．【解答】解：根據相反數(shù)的含義，可得2的相反數(shù)是：?2故選：A．【點評】此題主要考查了相反數(shù)的含義以及求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在；求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“﹣”．【變式5-2】|?2A．?2 B．2 C．﹣2 【分析】運用平方運算的法則運算即可．【解答】解：|?2故選：D．【點評】本題主要考查了平方運算的法則，熟練掌握法則是解答此題的關鍵．【變式5-3】填空：（1）5的相反數(shù)是，絕對值是；（2）3?1的相反數(shù)是，絕對值是（3）若|x|=3，則x＝【分析】根據相反數(shù)和絕對值的定義即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反數(shù)是?5，絕對值是5（2）3?1的相反數(shù)是1?3，絕對值是（3）∵|x|=3∴x=±3故答案為：（1）?5，5（2）1?3，3（3）±3【點評】本題考查了實數(shù)的性質，算術平方根，掌握絕對值等于3的數(shù)有2個是解題的關鍵．【變式5-4】（2022秋?輝縣市校級月考）5?2的相反數(shù)是；81的平方根是【分析】根據算術平方根，平方根，相反數(shù)的定義求解即可．【解答】解：5?2的相反數(shù)是2?5；故答案為：2?5【點評】本題考查了實數(shù)的性質，算術平方根，平方根，相反數(shù)，先求出81的值，再求它的平方根是解題的關鍵．【變式5-5】（2021?市南區(qū)模擬）下列各組數(shù)中互為相反數(shù)的是（）A．﹣2與(?2)2 B．﹣2與3?8 C．2與（?2）2 【分析】根據只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得一個數(shù)的相反數(shù)．【解答】解：A、只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，故A正確；B、是同一個數(shù)，故B錯誤；C、是同一個數(shù)，故C錯誤；D、是同一個數(shù)，故D錯誤；故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)的性質，利用了只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)．【變式5-6】（2021秋?蓮湖區(qū)校級月考）已知31?3b與32a+1互為相反數(shù)，求3﹣6a+9【分析】根據立方根和相反數(shù)的意義先求出﹣2a與3b的關系，再整體代入求出3﹣6a+9b的平方根．【解答】解：∵31?3b與3∴31?3b∴31?3b∴1﹣3b＝﹣（2a+1）．∴﹣2a+3b＝2．∴3﹣6a+9b＝3+3（﹣2a+3b）＝3+3×2＝9．∵9的平方根是±3，∴3﹣6a+9b的平方根是±3．【點評】本題考查了平方根的計算，掌握相反數(shù)的意義、立方根的性質是解決本題的關鍵．【變式5-7】（2022春?如皋市校級月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y【分析】直接利用絕對值的性質以及平方根的性質分類討論得出答案．【解答】解：∵|x|=5∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴當x=5，則y=?故x+y=5當x=?5，則y=?故x+y=?5綜上所述：x+y的值為5?11或【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質，正確分類討論是解題關鍵．題型六有關數(shù)軸與絕對值的化簡題型六有關數(shù)軸與絕對值的化簡【例題6】（2022秋?大竹縣校級期末）實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應點的位置如圖，則|a﹣b|?a2A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由數(shù)軸可得a＜b＜0，然后利用算術平方根與絕對值的性質，即可求得答案．【解答】解：根據題意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|?a2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a故選：C．【點評】此題考查了數(shù)軸、算術平方根與絕對值的性質．此題難度適中，注意a2=|解題技巧提煉本題給出數(shù)軸上一些實數(shù)，求一些含絕對值的式子的和,方法是先去掉絕對值符號，再進行合并計算.【變式6-1】實數(shù)a、b在數(shù)軸上所對應的點如圖所示，則|3?b|+|a+3|+a2的值【分析】直接利用數(shù)軸結合絕對值以及平方根的性質化簡得出答案．【解答】解：由數(shù)軸可得：a＜?3，0＜b＜故|3?b|+|a+3=3?b﹣（a+=3?b﹣a＝﹣2a﹣b．故答案為：﹣2a﹣b．【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算以及實數(shù)與數(shù)軸，正確化簡各式是解題關鍵．【變式6-2】實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(a?b)2?|a+c|+【分析】利用數(shù)軸首先得出各式的符號，進而化簡得出答案．【解答】解：如圖所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，則原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，正確判斷出各式的符號是解題關鍵．【變式6-3】（2021春?南通期末）如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點A、B、C所對應的實數(shù)．試化簡：c2+|a+b|+3(a+b)【分析】直接利用數(shù)軸得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化簡求解．【解答】解：由數(shù)軸可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【點評】此題主要考查了實數(shù)運算以及實數(shù)與數(shù)軸，正確化簡各式是解題關鍵．【變式6-4】實數(shù)a，b，c表示在數(shù)軸上如圖所示，完成下列問題，試化簡：(a?c)2【分析】根據題意可得：b＜0＜a＜c，從而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性質，絕對值，立方根的意義進行化簡計算，即可解答．【解答】解：由題意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(a?c)＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【點評】本題考查了整式的加減，實數(shù)與數(shù)軸，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式6-5】（2022秋?保定月考）如圖，一只螞蟻從點B沿數(shù)軸向左爬了2個單位長度到達點A，點B表示3，設點A所表示的數(shù)為m．（1）實數(shù)m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根據實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系進行計算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入進行計算即可得出答案．【解答】解：（1）根據題意可得，m=3故答案為：3?2（2）m+1=3∵1＜3∴0＜3（m+2）2+|m+1|＝（3?2+2）2+|3＝（3）2+＝3+＝2+3故答案為：2+3【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸及絕對值，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應關系及絕對值的性質進行求解是解決本題的關鍵．題型七實數(shù)非負性的應用題型七實數(shù)非負性的應用【例題7】（2022春?澗西區(qū)期中）已知實數(shù)a，b，c滿足（a﹣2）2+|2b+6|+5?c（1）求實數(shù)a，b，c的值；（2）求a?3b+c的平方根．【分析】（1）直接利用非負數(shù)的性質結合偶次方的性質、絕對值的性質、算術平方根的性質得出a，b，c的值；（2）直接利用平方根定義得出答案．【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+5?c∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，則a?3b+c＝4，故a?3b+c的平方根為：±2．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質，正確掌握相關性質得出a，b，c的值是解題關鍵．解題技巧提煉幾個非負數(shù)的和等于零，則每個非負數(shù)的值都等于零，據此得出關于字母的方程，運用方程思想求相關字母的值.【變式7-1】已知m，n是實數(shù)，且2m+1+|3n?2|=0，求m2+n2【分析】根據算術平方根與絕對值的和為0可得算術平方根與絕對值同時為0，可得答案．【解答】由題意得：2m+1＝0，3n﹣2＝0，∴m=?12，n∴m2+n2＝（?12）2+（23）∴m2+n2的平方根是±56【點評】本題考查非負數(shù)的性質，根據算術平方根與絕對值的和為0可得算術平方根與絕對值同時為0．【變式7-2】已知|a+1|+3a?2b?1=0，求4a+5b【分析】根據平方與絕對值的和為零，可得平方與絕對值同時為零，可得a、b的值；將a和b的值代入待求式，求值，并求其算術平方根即可．【解答】解：∵|a+1|+3a?2b?1∴a+1＝0，3a﹣2b﹣1＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣2，∴4a+5b2＝4×（﹣1）+5×4＝16，∴4a+5b2的算術平方根為4．【點評】本題考查了算術平方根，利用了平方與絕對值的和為零，得出平方與絕對值同時為零是解題關鍵．【變式7-3】（2022秋?原陽縣月考）若a?12b+|b【分析】直接利用絕對值和算術平方根的非負數(shù)性質得出a，b的值，進而得出答案．【解答】解：∵a?12b+∴a?1解得a=1b=2∴14【點評】此題主要考查了非負數(shù)性質，正確得出a，b的值是解題關鍵．【變式7-4】（2021秋?撫州期末）已知|a|+a＝0，且|a2﹣1|+（b﹣2）2+3?c=0，求a﹣b+4【分析】根據非負數(shù)的性質求出a、b、c的值，代入a﹣b+4c計算求出的值，最后根據平方根的定義得出答案．【解答】解：∵|a2﹣1|+（b﹣2）2+3?c∴a2﹣1＝0，b﹣2＝0，3﹣c＝0，解得a＝±1，b＝2，c＝3，∴2A﹣B又∵|a|+a＝0，∴a＝﹣1，∴a﹣b+4c＝﹣1﹣2+4×3＝9，∴a﹣b+4c的平方根是±3．【點評】此題主要考查了非負數(shù)的性質和平方根的的定義，解答此題的關鍵是能夠根據非負數(shù)的性質正確求出a、b、c的值．【變式7-5】（2022春?孟村縣期中）已知|2a+b|與3b+12互為相反數(shù)．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）解關于x的方程ax2+4b﹣2＝0．【分析】（1）依據非負數(shù)的性質可求得a、b的值，然后再求得2a﹣3b的值，最后依據平方根的定義求解即可；（2）將a、b的值代入得到關于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：由題意，得2a+b＝0，3b+12＝0，解得b＝﹣4，a＝2．（1）∵2a﹣3b＝2×2﹣3×（﹣4）＝16，∴2a﹣3b的平方根為±4．（2）把b＝﹣4，a＝2代入方程，得2x2