磁場(chǎng)中的旋轉(zhuǎn)圓、放縮圓、平移圓、磁聚焦模型-2024年高考物理熱點(diǎn)含答案

磁場(chǎng)中的旋轉(zhuǎn)圓、放縮圓、平移圓、磁聚焦模

型-2024年高考物理熱點(diǎn)

磁場(chǎng)中的施轉(zhuǎn)圓、放縮圓、平移園■磁聚焦模整

?命題趨勢(shì)

,I，■.—

L高考命題中，帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，常常涉及到臨界問題或多解問題，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊

界相切經(jīng)常是臨界條件。帶電粒子的入射速度大小不變，方向變化，軌跡圓相交與一點(diǎn)形成旋轉(zhuǎn)圓。帶電粒

子的入射速度方向不變，大小變化，軌跡圓相切與一點(diǎn)形成放縮圓。

2.圓形邊界的磁場(chǎng),如果帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑如果等于磁場(chǎng)圓的半徑，經(jīng)常創(chuàng)設(shè)磁聚焦和磁發(fā)散模型。

.重難詮釋

一

一、分析臨界極值問題常用的四個(gè)結(jié)論

⑴剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切.

（2）當(dāng)速率”一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大,則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)，

（3）當(dāng)速率。變化時(shí)，圓心角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，解題時(shí)一般要根據(jù)受力情況和運(yùn)動(dòng)情況畫出運(yùn)動(dòng)軌跡的草圖，

找出圓心,再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑及圓心角等

（4）在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌遠(yuǎn)圓半徑大于區(qū)域圓半徑時(shí)，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)軌跡

對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大（所有的弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng)）。

二、“放縮圓”模型的應(yīng)用

速度方向

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁

一定，大

場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化

小不同

適用

XXXXXX

p,

XX%Xx

條件如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度。越大，運(yùn)動(dòng)/、、

軌跡圓圓X/X*-X

半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌X：X麻

心共線\\

跡的圓心在垂直初速度方向的直線上

PPXX'興_

XX、'b~xx

界定以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP'直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出臨界條件,這種方法

方法稱為“放縮圓”法

三、“旋轉(zhuǎn)圓”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁

場(chǎng)時(shí),它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速

速度大小

適用度為3,則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為7?=吟。如圖所示

一定，方

條件

向不同

軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入?射點(diǎn)MP為

圓心、半徑加簿的圓上

界定將半徑為￡=的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)'從而探索粒子的臨界條件'這種

方法方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

四、“平移圓”模型的應(yīng)用

速度大小一定，粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但在同一直

XXXXXXX

適方向一定，但入

X、X線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半

用射點(diǎn)在同一直III徑相同，若入射速度大小為州,則半徑R="等，如圖所示

條線上qB

件軌跡圓圓心共帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上,該直線與入射點(diǎn)的連線平

線行

將半徑為R=*的圓進(jìn)行平移,從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”

界定方法qB

法

五、“磁聚焦”模型

1.帶電粒子的會(huì)聚

如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)圓

半徑相等（R=T）,則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出.（會(huì)聚）

證明：四邊形0AoB為菱形,必是平行四邊形，對(duì)邊平行，必平行于AO,（即豎直方向）,可知從A點(diǎn)發(fā)出

的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn).

2.帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓心為。，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大

小相等的速度。沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)半徑相

等,則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行.（發(fā)散）

證明：所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心。、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，

。3。）均平行于,即出射速度方向相同（即水平方向）.

重難通關(guān)練

（建議時(shí)，60分鐘）

一、單融

「題目?地磁場(chǎng)能抵御宇宙射線的侵入，赤道剖面外地磁場(chǎng)可簡(jiǎn)化為包圍地球一定厚度的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂

直該部面，如圖所示，O為地球球心、R為地球半徑，假設(shè)地磁場(chǎng)只分布在半徑為R和2R的兩邊界之間的

圓環(huán)區(qū)域內(nèi)（邊界上有磁場(chǎng)）,磷的應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向垂直紙面向外。宇宙射線中含有一種帶電粒子,

其質(zhì)量為小、電荷量為q,忽略引力和帶電粒子間的相互作用，下列說法正確的是（）

A.從A點(diǎn)沿垂直地面方向射入的該種粒子，速率為避的粒子可達(dá)到地面

m

B.從A點(diǎn)沿垂直地面方向射入的該種粒子，速率為當(dāng)空的粒子可達(dá)到地面

2m

C.從A點(diǎn)沿平行地面方向射入的該種粒子，速率為彎口的粒子可達(dá)到地面

3m

D.從A點(diǎn)沿平行地面方向射入的該種粒子，速率為遺些的粒子可達(dá)到地面

m

］題目］句（2024?重慶?統(tǒng)考一模）地磁場(chǎng)對(duì)宇宙高能粒子有偏轉(zhuǎn)的作用，從而保護(hù)了地球的生態(tài)環(huán)境。赤道平

面的地磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為如圖，O為地球球心、R為地球半徑,地磁場(chǎng)只分布在半徑為R和2R的兩邊界之間的圓

環(huán)區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向垂直紙面向里。假設(shè)均勻分布的帶正電高能粒子以相同速度垂直

沿赤道平面射向地球。已知粒子質(zhì)量均為小。電荷量均為q。不計(jì)粒子的重力及相互作用力。則

A.粒子無(wú)論速率多大均無(wú)法到達(dá)皿N右側(cè)地面

B.若粒子速率為避,正對(duì)著。處入射的粒子恰好可以到達(dá)地面

m

C.若粒子速率小于胖，入射到磁場(chǎng)的粒子可到達(dá)地面

2m

D.若粒子速率為獸膽,入射到磁場(chǎng)的粒子恰能覆蓋MN右側(cè)地面一半的區(qū)域

4m

版目］0兩個(gè)等質(zhì)量粒子分別以速度va和%垂直射入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩粒子的入射方向與磁場(chǎng)邊界的夾角

分別為60°和45°,磁場(chǎng)垂直紙面向外，磁場(chǎng)寬度為d,兩粒子同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，4、B連線垂

直于磁場(chǎng)邊界。如圖所示，則（）

A.a粒子帶負(fù)電，6粒子帶正電B.兩粒子的軌道半徑之比幾:%=1:2

C.兩粒子的電荷量之比會(huì):%=3:2D.兩粒子的速率之比”。:%=22:3

題目⑷如下圖所示，電子質(zhì)量為小,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限,射入時(shí)速度方

向不同，速度大小均為狗，現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于，。9平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若

這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與沙軸平行，下列說法正確的是（）

A.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是己蜜B.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是（兀+：）年鬲

2e2B22e2B2

C.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是（3兀+［丁迪D.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是現(xiàn)喀

題目可帶電粒子流的磁聚焦是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。磁聚焦原理如圖,真空中半徑為r的圓形區(qū)

域內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一束寬度為2人沿，軸正方向運(yùn)動(dòng)的電子流射入該磁場(chǎng)后聚焦于坐標(biāo)原

點(diǎn)。。已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e、進(jìn)入磁場(chǎng)的速度均為v,不計(jì)粒子間的相互作用力,則磁感應(yīng)強(qiáng)度

二、多選題

題目⑥我國(guó)研制的世界首套磁聚焦霍爾電推進(jìn)系統(tǒng)已經(jīng)完成了全部在軌飛行驗(yàn)證工作，可作為太空發(fā)動(dòng)機(jī)

使用，帶電粒子流的磁聚焦是其中的關(guān)鍵技術(shù)之一.如圖，實(shí)線所示的兩個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直于紙面的

勻強(qiáng)磁場(chǎng)/、H,磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為兩圓半徑均為r,相切于。點(diǎn).一束寬度為2r的帶電粒子流沿

c軸正方向射入后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O.己知粒子的質(zhì)量均為小、電荷量均為+外進(jìn)入磁場(chǎng)的速度均為”,

不計(jì)帶電粒子的重力及粒子間的相互作用力.下列說法正確的是（）

B.從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)n的粒子的速度仍相等

C.若5=2目,則粒子在磁場(chǎng)II的邊界的射出點(diǎn)在六分之一圓周上

D.若A=0.5B，則粒子在磁場(chǎng)II中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為誓

遒團(tuán)口如圖所示，多邊形區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（邊界處有磁場(chǎng)）,粒子源P

可以沿底邊向右發(fā)射質(zhì)量為小、電荷量為+q的粒子，粒子速率各不相同;右側(cè)邊界中點(diǎn)處有一粒子源Q可

以在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向向磁場(chǎng)內(nèi)部發(fā)射質(zhì)量為小、電荷量為-外速率為3=型的粒子。下列說法正確

m

A.由粒子源P發(fā)射的粒子，能夠到達(dá)的邊界長(zhǎng)度為3a

B.由粒子源P發(fā)射的粒子，能夠到達(dá)的邊界長(zhǎng)度為4a

C.由粒子源Q發(fā)射的粒子,首次到達(dá)邊界（除Q所在的邊界）的最短時(shí)間為普

3qB

D.由粒子源Q發(fā)射的粒子,首次到達(dá)邊界的最長(zhǎng)時(shí)間為部

qB

三、解答題

題目區(qū)如圖所示,在矩形MVPQ平面內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8。點(diǎn)河處有一

個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為小、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相等,方向均在紙面內(nèi),

與的夾角分布在0~90°范圍內(nèi)。已知AW=a,NP—（1+遍）a,粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于

a?（1+g”之間，不計(jì)粒子重力及相互間的作用。若粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為其做圓周運(yùn)動(dòng)周

期的四分之一。求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑五；

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大小”。

P

QXXXX

XXXX

XXXX

XXXX

XXXX

XXXX

V)”XXX

MN

v

、題目⑥（2024?廣西?統(tǒng)考一模）如圖，一半徑為居的圓內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為5,方向垂直于紙

面向里，在圓形磁場(chǎng)右邊有一接地的"L”形金屬擋板abed,ab=cd=36,be=4七,在be邊中點(diǎn)。開一

小孔，圓形磁場(chǎng)與be邊相切于。點(diǎn),擋板內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小瑪=

0.55,在cd邊下方2晶處放置一足夠長(zhǎng)的水平接收板P,初速度可忽略的大量電子，經(jīng)過電壓U加速后，有

寬度為2房的平行電子束豎直向上進(jìn)入圓形磁場(chǎng),均通過。點(diǎn)進(jìn)入B2，電子質(zhì)量為m，電荷量為e,忽略電

子間的相互作用和電子的重力，其中U、5、ni、e已知，求：

（1）電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度小

（2）圓形磁場(chǎng)區(qū)域的半徑向；。

（3）電子在水平接收板上擊中的區(qū)域。

34

ba

XXXXX

XXXXX

XXXXX

RXXXg°xXXXX

、、/xX/

、—__~XXXXX

XXXXX

平行電子束Cd

+

24

P

題目M如圖所示，矩形ABCD區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為邊

長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為2d,。是邊的中點(diǎn)，E是AO邊的中點(diǎn)。在O點(diǎn)有一粒子源，可以在紙面內(nèi)向磁場(chǎng)

內(nèi)各個(gè)方向射出質(zhì)量均為小、電荷量均為外同種電性的帶電粒子，粒子射出的速度大小相同，速度與

邊的夾角為60°的粒子恰好從E點(diǎn)射出磁場(chǎng),不計(jì)粒子的重力,求：

⑴粒子帶電荷的電性；

（2）粒子運(yùn)動(dòng)的速度大??；

（3）從AD邊離開的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；

（4）從人。邊離開的粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過的區(qū)域形成的面積。

培優(yōu)爭(zhēng)分練

（建議用時(shí)■30分鐘）

一、單

題目工如圖所示，上下板足夠長(zhǎng),間距為成一質(zhì)量為小、電荷量為+q的粒子（不計(jì)重力），從下極板上的人

點(diǎn)以速度v沿與極板成60°角、垂直磁場(chǎng)的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域。若要使粒子不打在上極板,則磁場(chǎng)的磁感

應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)滿足（）

XXXXXX

A.B.0VBV吟C.B>D.嗎

2qdqd2qdqd

題目⑸如圖所示，水平直線邊界PQ的上方空間內(nèi)有方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),

長(zhǎng)為2d、與PQ平行的擋板到PQ的距離為d,邊界PQ上的S點(diǎn)處有一電子源，可在紙面內(nèi)向PQ上

方各方向均勻的發(fā)射電子。已知電子質(zhì)量為小、電荷量為e，速度大小均為儂,N、S的連線與PQ垂直,

m

不計(jì)電子之間的作用力，則擋板MN的上表面沒有被電子擊中部分的長(zhǎng)度為（）

B

?????、?

P--------L…或

A.dB.V3dC.（2-V3）c7D.（3-V3）d

題目區(qū)如圖所示，在直角坐標(biāo)系力Ov的第一象限內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)

磁場(chǎng)，在夕軸上S處有一粒子源，它可向右側(cè)紙面內(nèi)各個(gè)方向射出速率相等、質(zhì)量均為m、電荷量均為q的

同種帶負(fù)電粒子，所有粒子射出磁場(chǎng)時(shí)離S最遠(yuǎn)的位置是立軸上的P點(diǎn)。已知礪=34,礪=4,粒子重

力及粒子間的相互作用均不計(jì)，則（）

A

XxXXX

XXXXX

A.粒子的速度大小為福

qBd

B.從。點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為筆

qB

C.從2軸上射出磁場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間與最長(zhǎng)時(shí)間之比為2：9

D.沿平行于力軸正方向射入的粒子離開磁場(chǎng)時(shí)的位置到。點(diǎn)的距離為與

蜃目⑷帶電粒子流的磁聚焦是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一、磁聚焦原理如圖，真空中一半徑為r的圓形

區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一束寬度為2人沿，軸正方向運(yùn)動(dòng)的帶電粒子流射入該磁場(chǎng)后匯聚于坐

標(biāo)原點(diǎn)O。已知粒子的質(zhì)量均為機(jī)、電荷量均為外進(jìn)入磁場(chǎng)的速度均為期,不計(jì)帶電粒子的重力及粒子間

的相互作用力。則磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)為（）

頷目⑤如圖（a）是一種防止宇宙射線危害字航員的裝置,在航天器內(nèi)建立半徑分別為72和V3R的同心圓

柱，圓柱之間加上沿軸向方向的磁場(chǎng)，其橫截面如圖（b）所示。宇宙射線中含有大量的質(zhì)子，質(zhì)子沿各個(gè)方

向運(yùn)動(dòng)的速率均為方,質(zhì)子的電荷量為e、質(zhì)量為小。下列說法中正確的是（）

圖(a)圖(b)

A.若沿任何方向入射的質(zhì)子都無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小至少為,"°、—

（73-1）62?

B.若正對(duì)防護(hù)區(qū)圓心入射的質(zhì)子恰好無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū),則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

V3eR

C.若正對(duì)防護(hù)區(qū)圓心入射的質(zhì)子恰好無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū),則該情況下質(zhì)子從進(jìn)入磁場(chǎng)到離開磁場(chǎng)的總時(shí)間

D.若正對(duì)防護(hù)區(qū)圓心入射的質(zhì)子恰好無(wú)法進(jìn)入防護(hù)區(qū),則該情況下質(zhì)子在磁場(chǎng)中的軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為

60°

二、多選題

題目可如圖所示，邊界OA與。。之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一粒子源S。某一時(shí)

亥U，從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子（不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用），所

有粒子的初速度大小相同，經(jīng)過一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)。已知乙4。。=依從邊界OC

穿出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間等于弓（T為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期），則從邊界OC穿出的粒子在

磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的說法正確的是（）

Cxx

/xxX

XXXX

/XXXX

XXXXX

0A…王…暇X—X

X

A.若。=60°,則從邊界OC穿出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短為《

B.若。=45°,則從邊界OC穿出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短為工

C.若。=30°,則從邊界OC穿出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短為春

D.從邊界。。穿出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的長(zhǎng)短與6的大小無(wú)關(guān)

題目可如圖所示，在矩形3皿區(qū)域內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，四個(gè)完全相

同的帶電粒子僅在洛倫茲力的作用下，以大小不同的速率從P點(diǎn)射入勻強(qiáng)磁場(chǎng),它們軌跡在同一平面（紙

面）內(nèi)，下列說法正確的是（）

GJ

P

H

A.①、②、③、④這四個(gè)粒子在矩形GHZ7磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)周期相同

B.④粒子的速率最大

C.③粒子的向心加速度最大

D.②粒子在矩形磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)

【題目回如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向里。質(zhì)量為機(jī)、電荷

量為q的帶電粒子由A點(diǎn)沿平行于直徑CD的方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)過圓心。，最后離開磁場(chǎng)。已知圓形區(qū)域

，不計(jì)粒子重力。則（

A.粒子帶負(fù)電B.粒子運(yùn)動(dòng)速率為網(wǎng)”

m

C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為"D.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的路程為學(xué)

3qB3

三、解鑰S

〔題目回磁聚焦和磁發(fā)散技術(shù)在許多真空系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用，如電子顯微鏡技術(shù)，它的出現(xiàn)為科學(xué)研究

做出了重大貢獻(xiàn)。現(xiàn)有一個(gè)磁發(fā)散裝置，如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外,磁感應(yīng)

強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在圓形磁場(chǎng)區(qū)域右側(cè)有一方向豎直向下，電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)左邊界與

圓形磁場(chǎng)右邊界相切。在水平地面上放置一個(gè)足夠長(zhǎng)的熒光屏PQ,它與磁場(chǎng)相切于P點(diǎn)。粒子源可以持

續(xù)的從P點(diǎn)向磁場(chǎng)內(nèi)發(fā)射速率為里方向不同的帶正電同種粒子。經(jīng)觀測(cè):有一粒子a以豎直向上的初速度

射入磁場(chǎng),該粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后恰好以水平方向離開磁場(chǎng)，然后進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域。粒子b進(jìn)入磁場(chǎng)的速度方

向與粒子a的速度方向夾角為。（未知），進(jìn)入磁場(chǎng)后，粒子6的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好能通過圓形磁場(chǎng)的圓心。，最

終也進(jìn)入到電場(chǎng)區(qū)域。已知電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系滿足E=不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用。

求：

⑴粒子的比荷

m

（2）粒子b與粒子a的夾角。和b粒子打在熒光屏上的亮點(diǎn)到P點(diǎn)的距離,；

（3）入射方向與熒光屏所在平面成60°~120°區(qū)間范圍內(nèi)的粒子，最終打到熒光屏上形成的亮線長(zhǎng)度。

題目以/帶電粒子流的磁控束和磁聚焦是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一，如圖甲，在cog平面的第一象限內(nèi)

曲線和沙軸之間存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Bo；在第二象限內(nèi)存在著如圖乙所示

的交變磁場(chǎng)（以垂直紙面向外為磁場(chǎng)的正方向）。放射源在43a,0）點(diǎn)發(fā)射質(zhì)量為小、帶電量為+q的粒

子，其速度大小v0=，方向與，軸負(fù)方向的夾角為。（大小未知，0＜。W53）,粒子都能垂直穿過y

軸后進(jìn)入第二象限。t=0時(shí)刻某粒子P經(jīng)過y軸。不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用，已知sin53°=0.8,

cos53°=0.6）o求：

⑴若。=53°,粒子在第一象限的磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（2）若5產(chǎn)半，要使粒子P在0?虱內(nèi)不回到第一象限，交變磁場(chǎng)的變化周期或應(yīng)滿足什么條件；

O

（3）若將第二象限的交變磁場(chǎng)撤換為磁感應(yīng)強(qiáng)度為及且分別與2軸和夕軸相切的圓形有界磁場(chǎng)，且所有粒

子均從力軸上的切點(diǎn)射出，求粒子中經(jīng)過圓形磁場(chǎng)區(qū)域最大偏轉(zhuǎn)角&的正弦值。

甲乙

磁場(chǎng)中的施轉(zhuǎn)國(guó)■放縮園■平移園、磁聚焦模整

命題趨勢(shì)

L高考命題中，帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，常常涉及到臨界問題或多解問題，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和磁場(chǎng)邊

界相切經(jīng)常是臨界條件。帶電粒子的入射速度大小不變，方向變化，軌跡圓相交與一點(diǎn)形成旋轉(zhuǎn)圓。帶電粒

子的入射速度方向不變，大小變化，軌跡圓相切與一點(diǎn)形成放縮圓。

2.圓形邊界的磁場(chǎng),如果帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑如果等于磁場(chǎng)圓的半徑，經(jīng)常創(chuàng)設(shè)磁聚焦和磁發(fā)散模型。

重難詮釋

一、分析臨界極值問題常用的四個(gè)結(jié)論

⑴剛好穿出磁場(chǎng)邊界的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切.

（2）當(dāng)速率”一定時(shí)，弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大,則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)，

（3）當(dāng)速率。變化時(shí)，圓心角大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間長(zhǎng)，解題時(shí)一般要根據(jù)受力情況和運(yùn)動(dòng)情況畫出運(yùn)動(dòng)軌跡的草圖，

找出圓心,再根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑及圓心角等

（4）在圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌遠(yuǎn)圓半徑大于區(qū)域圓半徑時(shí)，入射點(diǎn)和出射點(diǎn)為磁場(chǎng)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)軌跡

對(duì)應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大（所有的弦長(zhǎng)中直徑最長(zhǎng)）。

二、“放縮圓”模型的應(yīng)用

速度方向

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，這些帶電粒子在磁

一定，大

場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑隨速度的變化而變化

小不同

適用

XXXXXX

p,

XX%Xx

條件如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度。越大，運(yùn)動(dòng)/、、

軌跡圓圓X/X*-X

半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場(chǎng)后，它們運(yùn)動(dòng)軌X：X麻

心共線

跡的圓心在垂直初速度方向的直線上

PPXX'興_

XX、'b~xx

界定以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP'直線上,將半徑放縮作軌跡圓,從而探索出臨界條件,這種方法

方法稱為“放縮圓”法

三、“旋轉(zhuǎn)國(guó)”模型的應(yīng)用

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁

場(chǎng)時(shí),它們?cè)诖艌?chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同，若射入初速

速度大小

適用度為3,則圓周運(yùn)動(dòng)半徑為7?=吟。如圖所示

一定，方

條件

向不同

軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在以入射點(diǎn)P為

圓心、半徑加簿的圓上

界定將半徑為￡=的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)'從而探索粒子的臨界條件'這種

方法方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

四、“平移圓”模型的應(yīng)用

速度大小一定，粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點(diǎn)不同，但在同一直

XXXXXXX

適方向一定，但入

X、X線的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半

用射點(diǎn)在同一直III徑相同，若入射速度大小為州,則半徑R="等，如圖所示

條線上qB

件軌跡圓圓心共帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在同一直線上,該直線與入射點(diǎn)的連線平

線行

將半徑為R=*的圓進(jìn)行平移,從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”

界定方法qB

法

五、“磁聚焦”模型

1.帶電粒子的會(huì)聚

如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場(chǎng)區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場(chǎng)圓

半徑相等（R=T）,則所有的帶電粒子將從磁場(chǎng)圓的最低點(diǎn)B點(diǎn)射出.（會(huì)聚）

證明：四邊形0AoB為菱形,必是平行四邊形，對(duì)邊平行，必平行于AO,（即豎直方向）,可知從A點(diǎn)發(fā)出

的帶電粒子必然經(jīng)過B點(diǎn).

2.帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所示，有界圓形磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓心為。，從P點(diǎn)有大量質(zhì)量為m、電荷量為q的正粒子，以大

小相等的速度。沿不同方向射入有界磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場(chǎng)半徑相

等,則所有粒子射出磁場(chǎng)的方向平行.（發(fā)散）

證明：所有粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心與有界圓圓心。、入射點(diǎn)、出射點(diǎn)的連線為菱形，也是平行四邊形，

。3。）均平行于,即出射速度方向相同（即水平方向）.

重難通關(guān)練

（建議用時(shí)，60分鐘）

一、單血

［題目舊地磁場(chǎng)能抵御宇宙射線的侵入，赤道剖面外地磁場(chǎng)可簡(jiǎn)化為包圍地球一定厚度的勻強(qiáng)磁場(chǎng),方向垂

直該部面，如圖所示，O為地球球心、R為地球半徑，假設(shè)地磁場(chǎng)只分布在半徑為R和2R的兩邊界之間的

圓環(huán)區(qū)域內(nèi)（邊界上有磁場(chǎng)）,磷的應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向垂直紙面向外。宇宙射線中含有一種帶電粒子,

其質(zhì)量為小、電荷量為q,忽略引力和帶電粒子間的相互作用，下列說法正確的是（）

A.從A點(diǎn)沿垂直地面方向射入的該種粒子，速率為避的粒子可達(dá)到地面

m

B.從A點(diǎn)沿垂直地面方向射入的該種粒子，速率為當(dāng)空的粒子可達(dá)到地面

2m

C.從A點(diǎn)沿平行地面方向射入的該種粒子，速率為彎口的粒子可達(dá)到地面

3m

D.從A點(diǎn)沿平行地面方向射入的該種粒子，速率為遺些的粒子可達(dá)到地面

m

【答案】。

【解析】AB.從＞1點(diǎn)沿垂直地面方向射入的該種粒子，軌跡與地面相切時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系可知

r2+(2ay=(r+R)2

根據(jù)

v2

qvBD—m—

r

解得到達(dá)地面最小速度

3BqR

V~2m

故AB錯(cuò)誤；

CD.從A點(diǎn)沿平行地面方向射入的該種粒子，到達(dá)地面最小軌跡半徑

「1=我

對(duì)應(yīng)最小速度

12m

最大軌跡半徑

3R

,2=5五

對(duì)應(yīng)最大速度

3qBR

2-2m

故。正確。錯(cuò)誤。

故選。。

i0（2024.重慶?統(tǒng)考一模）地磁場(chǎng)對(duì)宇宙高能粒子有偏轉(zhuǎn)的作用，從而保護(hù)了地球的生態(tài)環(huán)境。赤道平

面的地磁場(chǎng)簡(jiǎn)化為如圖，O為地球球心、R為地球半徑,地磁場(chǎng)只分布在半徑為R和2R的兩邊界之間的圓

環(huán)區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B,方向垂直紙面向里。假設(shè)均勻分布的帶正電高能粒子以相同速度垂直

沿赤道平面射向地球。已知粒子質(zhì)量均為小。電荷量均為q。不計(jì)粒子的重力及相互作用力。則

A.粒子無(wú)論速率多大均無(wú)法到達(dá)皿N右側(cè)地面

B.若粒子速率為遮,正對(duì)著O處入射的粒子恰好可以到達(dá)地面

m

C.若粒子速率小于學(xué)，入射到磁場(chǎng)的粒子可到達(dá)地面

2m

D.若粒子速率為半生，入射到磁場(chǎng)的粒子恰能覆蓋MN右側(cè)地面一半的區(qū)域

4m

【答案】。

【解析】A.射入方向在地球下表面以下的粒子，只要速率合適，粒子可到達(dá)MN右側(cè)地面，故A錯(cuò)誤;

B.若粒子的速率為反”二則粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，有

m

qvB=m—

r

解得

r=R

若粒子正對(duì)著O處入射,且恰好可以到達(dá)地面,其軌跡如圖所示

4

設(shè)該軌跡半徑為n,由幾何關(guān)系可得

E+（2五）2—n=一

解得

n=y-R力r

故B錯(cuò)誤；

C.若粒子的速率為華星，則粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，有

2m

*

qv2RB=m—

，2

解得

R/3p

由5選項(xiàng)分析可知，若粒子速率等于羋星時(shí)，入射到磁場(chǎng)的粒子均不可以到達(dá)地面，所以若粒子速率小于

2m

維色，入射到磁場(chǎng)的粒子均不可以到達(dá)地面，故c錯(cuò)誤；

2m

D.若粒子速率為半生，由洛倫茲力提供向心力得

4m

qv^B—m—

『3

解得

_5R

百丁

此時(shí)最下端的粒子正入射恰好可以到達(dá)最右側(cè)地面；而在最下端的以上入射的粒子，因?yàn)橄蛏掀D(zhuǎn)，能到

達(dá)右側(cè)地面最右端以下；綜上所述，入射到磁場(chǎng)的粒子恰能覆蓋右側(cè)地面一半的區(qū)域，故。正確。

題目§兩個(gè)等質(zhì)量粒子分別以速度va和%垂直射入有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩粒子的入射方向與磁場(chǎng)邊界的夾角

分別為60°和45°,磁場(chǎng)垂直紙面向外，磁場(chǎng)寬度為d,兩粒子同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)，4、B連線垂

直于磁場(chǎng)邊界。如圖所示，則（）

A.a粒子帶負(fù)電，b粒子帶正電B,兩粒子的軌道半徑之比上:居=1：2

C.兩粒子的電荷量之比隨：%=3:2D.兩粒子的速率之比外a=2V2：3

【答案】。

【解析】?jī)闪Ｗ舆\(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

A.由左手定則可知6粒子帶負(fù)電，a粒子帶正電，A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)幾何關(guān)系，有

d=Ra=V2Rb

則

Ra：Rb=V2：l

B錯(cuò)誤；

D.粒子從A到B,由幾何關(guān)系知a粒子圓心角為%=看，6粒子圓心角為仰=看，由于兩粒子同時(shí)出發(fā)同

O/

時(shí)到達(dá)，有

,_①aRa_①bRb

^AB-=

VaVb

則

va:vb=2A/2:3

。正確;

c,粒子所受洛倫茲力提供向心力，有

qvB=m^~

R

則有???

qa=vaRh=2

Qb。風(fēng)3

。錯(cuò)誤。

故選。。

題目?如下圖所示，電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)。處沿xOy平面射入第一象限,射入時(shí)速度方

向不同，速度大小均為。。，現(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于2。沙平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為若

這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與沙軸平行，下列說法正確的是（）

B.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是紅士智造

A.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是笞號(hào)

2e2B22e2B2

C.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是.（3兀+2）館2逋D.所加磁場(chǎng)范圍的最小面積是現(xiàn)喀

4e2B22e2B2

【答案】B

［解析】設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由牛頓第二定律得

evoB^m—

1L

即

mv

R=0

~eB

電子從y軸穿過的范圍為

。河=2公=2華

eB

初速度沿力軸正方向的電子沿04運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)；初速度沿g軸正方向的電子沿O。運(yùn)動(dòng)到

熒光屏MTV上的Q點(diǎn)；由幾何知識(shí)可得

PQ-R-^B

取與力軸正方向成夕角的方向射入的電子為研究對(duì)象，其射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為E（x，n），因其射出后能垂直打到

屏A4N上，故有

x=—Rsin0

y=R+Reos3

?

即

x+（y—R）2=B2

又因?yàn)殡娮友豠7軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為＞1點(diǎn)；沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為。點(diǎn)，故所

加最小面積的場(chǎng)的邊界是以（0,/?）為圓心、R為半徑的圓的一部分,如圖中實(shí)線圓所圍區(qū)域，所以磁場(chǎng)范圍

的最小面積為

S=母兀加+后一；兀&=（與+1）（*丫=（兀+”2/

44'2八eB）2eB

故B正確。

故選B。

頷目可帶電粒子流的磁聚焦是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。磁聚焦原理如圖,真空中半徑為r的圓形區(qū)

域內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一束寬度為2人沿c軸正方向運(yùn)動(dòng)的電子流射入該磁場(chǎng)后聚焦于坐標(biāo)原

點(diǎn)O。已知電子的質(zhì)量為機(jī)、電荷量為e、進(jìn)入磁場(chǎng)的速度均為明不計(jì)粒子間的相互作用力，則磁感應(yīng)強(qiáng)度

【答案】。

【解析】由題可知，從左側(cè)任選一束電子流A經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，通過坐標(biāo)原點(diǎn)。，如圖所示

由于電子沿水平方向射入磁場(chǎng)，半徑與速度方向垂直，可知

AO2//OQ

由幾何關(guān)系可知，平行四邊形AO2OO1為菱形，因此電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑

R—r

又由于

~2

evB=TYIV