2024屆廣東省惠州市示范名校高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2024屆廣東省惠州市示范名校高一下數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，，若與的夾角為，則（）A．2 B． C． D．12．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，,且，，面積的最大值為（）A．6 B．8 C．7 D．93．已知直線平面，直線平面，下列四個(gè)命題中正確的是（）．（）（）（）（）A．（）與（） B．（）與（） C．（）與（） D．（）與（）4．如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形二維碼，為了測(cè)算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為（）A．4 B．5 C．8 D．95．已知某區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)如圖所示，為了解學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法來(lái)進(jìn)行調(diào)查。若高中需抽取20名學(xué)生，則小學(xué)與初中共需抽取的人數(shù)為（）A．30 B．40 C．70 D．906．若，，，點(diǎn)C在AB上，且，設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．7．已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心為，則圓的方程為A． B．C． D．8．如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A．25 B． C． D．559．已知中，，，，則BC邊上的中線AM的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．10．方程的解集為（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車(chē)次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車(chē)所有車(chē)次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為_(kāi)__________.12．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為_(kāi)_________里．13．已知函數(shù)fx=cosx+2cosx，14．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則______.15．某公司當(dāng)月購(gòu)進(jìn)、、三種產(chǎn)品，數(shù)量分別為、、，現(xiàn)用分層抽樣的方法從、、三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為的樣本，若樣本中型產(chǎn)品有件，則的值為_(kāi)______．16．如圖，二面角等于，、是棱上兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，，且，則的長(zhǎng)等于______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，且的面積為，求的值．18．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.（1）試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若，試求面積的最大值.19．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象，且在區(qū)間內(nèi)的最大值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)與直線相鄰交點(diǎn)間距離的最小值.20．已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn).（1）求BC邊所在直線的方程；（2）求BC邊上的高所在直線方程.21．已知.(1)求的值;(2)求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

先計(jì)算與的模，再根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)即可計(jì)算求值.【詳解】因?yàn)?，，所以?又，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的數(shù)量積，向量的模的計(jì)算，屬于中檔題.2、D【解析】

由已知利用基本不等式求得的最大值，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，利用基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故三角形的面積的最大值為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式的應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

∵直線l⊥平面α，若α∥β，則直線l⊥平面β，又∵直線m?平面β，∴l(xiāng)⊥m，即(1)正確；∵直線l⊥平面α，若α⊥β，則l與m可能平行、異面也可能相交，故(2)錯(cuò)誤；∵直線l⊥平面α，若l∥m，則m⊥平面α，∵直線m?平面β，∴α⊥β；故(3)正確；∵直線l⊥平面α，若l⊥m，則m∥α或m?α，則α與β平行或相交，故(4)錯(cuò)誤；故選D.4、B【解析】

由幾何概型中的隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得：，將正方形面積代入運(yùn)算即可．【詳解】由題意在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，則其中落入黑色部分的有605個(gè)點(diǎn)，由隨機(jī)模擬試驗(yàn)可得：，又，可得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型概率公式以及模擬實(shí)驗(yàn)的基本應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題，求不規(guī)則圖形的面積的主要方法就是利用模擬實(shí)驗(yàn)，列出未知面積與已知面積之間的方程求解.5、C【解析】

根據(jù)高中抽取的人數(shù)和高中總?cè)藬?shù)計(jì)算可得抽樣比；利用小學(xué)和初中總?cè)藬?shù)乘以抽樣比即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，抽樣比為：則小學(xué)和初中共抽?。喝吮绢}正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中樣本數(shù)量的求解，關(guān)鍵是能夠明確分層抽樣原則，準(zhǔn)確求解出抽樣比，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出．【詳解】解：，，又在上，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．7、D【解析】

先計(jì)算圓半徑，然后得到圓方程.【詳解】因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，且圓心為所以圓的半徑為，則圓的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了圓方程，先計(jì)算半徑是解題的關(guān)鍵.8、D【解析】

根據(jù)向量的加法和平面向量定理，得到和的值，從而得到等差數(shù)列的公差，根據(jù)等差數(shù)列求和公式，得到答案.【詳解】因?yàn)镋是平行四邊形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，，所以等差?shù)列的公差，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法和平面向量定理，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題.9、A【解析】

利用平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和，求的長(zhǎng)．【詳解】延長(zhǎng)至，使，連接、，如圖所示；由題意知四邊形是平行四邊形，且滿(mǎn)足，即，解得，所以邊上的中線的長(zhǎng)度為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和應(yīng)用問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力．10、C【解析】

利用反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的周期為，即可得到原方程的解.【詳解】由，根據(jù)正切函數(shù)圖像以及周期可知：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了反三角函數(shù)的定義以及正切函數(shù)的性質(zhì)，需熟記正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1．98.【解析】

本題考查通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．【詳解】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車(chē)正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為11+21+11=41，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類(lèi)抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車(chē)數(shù)量與列車(chē)總數(shù)的比值．12、192【解析】設(shè)每天走的路程里數(shù)為由題意知是公比為的等比數(shù)列∵∴∴故答案為13、(0,1)【解析】

畫(huà)出函數(shù)f(x)在x∈0,2【詳解】解:畫(huà)出函數(shù)y=cosx+2|cosx|=3cos以及直線y=k的圖象,如圖所示;由f(x)的圖象與直線y=k有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn),可得0<k<1.故答案為:(0,1).【點(diǎn)睛】本題主要考查利用分段函數(shù)及三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.14、【解析】

利用三角函數(shù)的定義可求.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義，注意根據(jù)正弦的定義構(gòu)建關(guān)于的方程，本題屬于基礎(chǔ)題.15、.【解析】

利用分層抽樣每層抽樣比和總體的抽樣比相等，列等式求出的值.【詳解】在分層抽樣中，每層抽樣比和總體的抽樣比相等，則有，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，解題時(shí)要充分利用各層抽樣比與總體抽樣比相等這一條件列等式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

由已知中二面角α﹣l﹣β等于110°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，由，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】∵A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面α、β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于110°，且AB＝AC＝BD＝1，∴，60°，∴故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，其中利用，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算，是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用，化簡(jiǎn)得，然后利用正弦定理和余弦定理求解即可.（Ⅱ）利用面積公式得，得到，再利用，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意知，即，由正弦定理，得，①，由余弦定理，得，又因?yàn)椋裕á颍┮驗(yàn)?，，由面積公式得，即．由①得，故，即．【點(diǎn)睛】本題考查正弦和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由，利用正、余弦定理，得，化簡(jiǎn)整理即可證明：為直角三角形；（2）利用，，根據(jù)基本不等式可得：，即可求出面積的最大值.試題解析：解法1：（1）∵，由正、余弦定理，得，化簡(jiǎn)整理得：，∵，所以，故為直角三角形，且；（2）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，∴.故，即面積的最大值為.解法2（1）由已知：，又∵，，∴，而，∴，∴，故，∴為直角三角形.（2）由（1），∴.∵，∴，∴，令，∵，∴，∴.而在上單調(diào)遞增，∴.19、（1）1；（2）【解析】

（1）將化簡(jiǎn)可得，再由平移變換可得，由在區(qū)間內(nèi)的最大值為，可得的值；（2）解方程，可得所求相交點(diǎn)距離的最小值.【詳解】解：（1）所以，，∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，∴.（2）根據(jù)題意，令，，∴或，.解得或，.因?yàn)椋?dāng)時(shí)取等號(hào)，∴相鄰交點(diǎn)間距離的最小值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變化及三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）由已知條件結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程的求法求解即可；（2）先求出直線BC的斜率，再求出BC邊上的高所在直線的斜率，然后利用直線的點(diǎn)斜式方程的求法求解即可.【詳解】解：（1），，直線BC的方程為，即.（2），直線BC邊上的高所在的直線的斜率