(完整)2012年二元一次方程組教材分析

第八章二元一次方程組

教材分析2012年2月本章地位

作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型.本章將研究二元一次方程組的有關(guān)概念、解法和應(yīng)用等.它是一元一次方程的繼續(xù)和發(fā)展，是今后學(xué)習(xí)線性方程組及平面解析幾何等知識的基礎(chǔ).本章的學(xué)習(xí)將使學(xué)生進(jìn)一步體會方程的模型思想，感受代數(shù)方法的優(yōu)越性，同時(shí)也將有助于鞏固有理數(shù)、整式的運(yùn)算、一元一次方程等知識.1、以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗(yàn)結(jié)果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中含有多個(gè)未知數(shù)的問題的數(shù)學(xué)模型.2、了解二元一次方程組及其相關(guān)概念，能設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，并列方程組表示實(shí)際問題中的兩種相關(guān)的等量關(guān)系.3、了解二元一次方程組的基本目標(biāo)：使方程組逐步轉(zhuǎn)化為x=a，y=b的形式，體會“消元”思想，掌握解二元一次方程組的代入法和加減法，能根據(jù)二元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥?4、了解三元一次方程組及其解法，進(jìn)一步體會“消元”思想，能根據(jù)三元一次方程組的具體形式選擇適當(dāng)?shù)慕夥?5、通過探究實(shí)際問題，進(jìn)一步認(rèn)識利用二（三）元一次方程組解決實(shí)際問題的基本過程，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，提高分析問題、解決問題的能力.課標(biāo)要求重點(diǎn)解各類方程組(化歸思想、優(yōu)化思想的逐步形成)列方程解應(yīng)用題(發(fā)展分析問題能力，發(fā)展發(fā)散思維能力)難點(diǎn)由于含有兩（三）個(gè)以及多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系比較多，在某些問題中數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以列方程組表示問題中的數(shù)量關(guān)系是教學(xué)中的難點(diǎn)。

作為有近十年初中教學(xué)實(shí)踐的教師，本輪備課中我更多關(guān)注：代入與加減消元法的理論依據(jù)（二元一次方程解法的本質(zhì)上的東西是什么？）關(guān)注方程的“元”、“次”，某數(shù)學(xué)問題是否可解的意識在8.3節(jié)中怎么充分挖掘課本中例題的作用，培養(yǎng)學(xué)生問題意識，深入的思考問題的意識。（摒棄窮盡各類題型的做法）例：如圖，為鈍角，若

OB,OC,OD為三條射線，若OB平分,OD平分求的度數(shù).

xxyZ三個(gè)未知數(shù)能不能找到三個(gè)方程？求兩個(gè)未知數(shù)的關(guān)系自主的應(yīng)用方程的思想去解決數(shù)學(xué)問題，是一個(gè)要長期滲透的工作，在今后教學(xué)中應(yīng)把握適當(dāng)教學(xué)時(shí)機(jī)，比如，幾何中某些運(yùn)算問題，函數(shù)中，幾個(gè)獨(dú)立條件能確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)等時(shí)候反復(fù)加強(qiáng)。課時(shí)分配8．1二元一次方程組1課時(shí)8．2消元——二元一次方程組的解法3課時(shí)8．3實(shí)際問題與二元一次方程組4課時(shí)8．4三元一次方程組解法舉例2課時(shí)小結(jié)2課時(shí)8.1二元一次方程組

本節(jié)處理整體想法：（1）不用課本上籃球勝負(fù)場數(shù)的問題，一是考慮到問題背景除了來自于生活實(shí)際，還有大量來自于數(shù)學(xué)問題；二是實(shí)際問題往往使得二元一次方程的解有整數(shù)或者非負(fù)的限定，不便于學(xué)生理解二元一次方程解的不確定性。（2）用了一些時(shí)間處理二元一次方程及其解的概念的理解，不著急給出二元一次方程組及其解的概念，為學(xué)生今后理解線性方程組的“元的個(gè)數(shù)”與“方程組的個(gè)數(shù)”的關(guān)系做鋪墊。引入：有兩個(gè)數(shù)，他們的和是14，求這兩個(gè)數(shù)？x+y=14.

給出二元一次方程定義指出下面各方程，哪些是二元一次方程？哪些不是？當(dāng)x=1,y=13,代入方程，等式成立，稱x=1,y=13是方程x+y=14的一解，記作請同學(xué)們考慮除了上述解之外，還有沒有其它解？列出方程的解如：給出二元一次方程解的定義總結(jié)：（1）任何一個(gè)二元一次都有解，并且有無數(shù)個(gè)解;（2）每一個(gè)解都是互相關(guān)聯(lián)的，即確定一個(gè)未知數(shù)的值之后，另一個(gè)未知數(shù)的值隨之確定下來了。課本P95，習(xí)題1引入問題改造

有甲乙兩個(gè)數(shù)，他們的和為14，甲數(shù)的2倍比乙數(shù)的3倍大3，求這兩個(gè)數(shù)？這兩個(gè)方程不是孤立的，而是在同一個(gè)問題中密切聯(lián)系的方程，它們之間的聯(lián)系表現(xiàn)在兩個(gè)方程中的x都表示甲數(shù)，而y都代表乙數(shù)，所求的甲乙兩數(shù)必須都是上面兩個(gè)方程的解或公共解，我們把兩個(gè)方程寫在一起組成一個(gè)方程組，為了表達(dá)這個(gè)組的兩個(gè)方程是相關(guān)聯(lián)的，故在前面加聯(lián)立號，記為,這樣的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程組定義判斷下列方程組是不是二元一次方程組：要明確這個(gè)方程組是二元一次方程組，卻不是由兩個(gè)二元一次方程組成的分析方程（1）分析方程（2）二元一次方程組的解的概念課本P95，習(xí)題2關(guān)于8.1能力提升點(diǎn)：對解的概念認(rèn)識的提升用誰表示誰更簡單；體會二元一次方程的解是一對數(shù)值8.2消元——二元一次方程組的解法

本節(jié)要使學(xué)生體會“消元”是解決問題的基本方法，引導(dǎo)學(xué)生自覺運(yùn)用這一思想去解決問題，注意改進(jìn)教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，變學(xué)生被動接受式學(xué)習(xí)為主動探索式學(xué)習(xí)．鼓勵(lì)探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好地激發(fā)學(xué)生積極思維，得到更大收獲。解決這個(gè)問題，還須從方程組的含義去考慮，方程（1）中的x與方程（2）中的x是同一個(gè)量，同樣方程（1）中的y與方程（2）中的y是同一個(gè)量,因此在方程（1）中所表示的兩個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系在方程（2）中也成立，即在方程（1）中有y=14-x,在方程(2)中也有y=14-x(3),這樣就可以利用等量代換方法將y=14-x代入第(2)方程，得2x-3(14-x)=3,這樣經(jīng)過代換之后，消去一個(gè)未知數(shù)變成一元一次方程，解這個(gè)一元一次方程，得x=9.我們還是看引例中的怎么去求y?優(yōu)化“代”(1)代入法的作用是什么？(2)代入法的依據(jù)是什么？課本P99練習(xí)2要注意引導(dǎo)學(xué)生選擇系數(shù)較簡單的方程進(jìn)行變形．有什么特點(diǎn)？最明顯的特點(diǎn)是y的系數(shù)互為相反數(shù)，如果把這兩個(gè)方程相加，就可以消去一個(gè)未知數(shù)y,得到一個(gè)一元一次方程，很容易得到方程的解，現(xiàn)在的關(guān)鍵問題是，這兩個(gè)方程能不能相加？即相加之后求得的未知數(shù)的值是不是方程組的解？實(shí)際上，兩式相加，得4x+10y+15x-10y=3.6+8,消去y得4x+15x=3.6+8(3)若用代入法，可由（1）將10y=3.6-4x，代入（2）得15x-（3.6-4x）=8，即4x+15x=3.6+8(4)比較上述兩種方法，所得的結(jié)果，在等式變換上是一致的，所以，加減法解方程的合理性也可由代入法的合理性給予說明。

對于加減消元法的理論依據(jù)也可以根據(jù)等式的性質(zhì)：“等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）相等的數(shù)或代數(shù)式，等式仍成立”給出。命題“若A則B”成立，“若C則B”怎么轉(zhuǎn)化為“若A則B”讓學(xué)生體會加減法解一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的二元一次方程組的步驟是什么？把一般的二元一次方程組化為一個(gè)未知數(shù)系數(shù)絕對值相等的特殊方程組，這種一般到特殊的轉(zhuǎn)化正是我們需要的解題思想課本P102練習(xí)1培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會觀察方程組系數(shù)特點(diǎn)，優(yōu)化解法

根據(jù)以上學(xué)生的回答和分析，師生共同討論歸納出根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)如何選擇較簡單的解題方法：當(dāng)方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值為l或有一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)是0時(shí)，用代入法較簡便；當(dāng)兩個(gè)方程中的同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或成整數(shù)倍時(shí)，或系數(shù)的絕對值不等也不成整數(shù)倍時(shí)，用加減法較為簡便。強(qiáng)調(diào)：1、從一個(gè)方程變形得到的表示式應(yīng)代入另一個(gè)方程，否則不能求出確定的解；2、用x的式子代替y時(shí)，應(yīng)添上括號。強(qiáng)調(diào)：1、利用加減法消元時(shí)，應(yīng)盡量選未知數(shù)中系數(shù)最簡單的，使選出的未知數(shù)變形后的系數(shù)成為原系數(shù)的最小公倍數(shù)；2、要防止變形時(shí)，出現(xiàn)不乘方程某一邊或某些項(xiàng)的錯(cuò)誤。適當(dāng)做一些變式:對于形式比較復(fù)雜的方程組，需要觀察方程組的系數(shù)特點(diǎn)，著眼于整體上解決問題，常用到整體疊加、設(shè)元引參、換元轉(zhuǎn)化等方法技巧.方程組與的解相同，試求a、b的值。二元一次方程組的解的定義解決簡單的待定系數(shù)問題8.3實(shí)際問題與二元一次方程組書上選擇了3個(gè)具有一定綜合性的問題:估算與精確計(jì)算的比較（探究1），開放地尋求設(shè)計(jì)方案（探究2），根據(jù)圖表所表示的實(shí)際問題的數(shù)據(jù)信息列方程組（探究3）。提供給學(xué)生利用方程組為工具進(jìn)行具有一定深度的思考，增加運(yùn)用方程組解決實(shí)際問題的實(shí)踐，向?qū)W生滲透把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的辯證思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，將全章所強(qiáng)調(diào)的“以方程組為工具把實(shí)際問題模型化”的思想提到新的高度.也進(jìn)一步的提高分析問題和解決問題的綜合能力。養(yǎng)牛場原有30只大牛和15只小牛，一天約用飼料675kg；一周后又購進(jìn)12只大牛和5只小牛，這時(shí)一天約用飼料940kg；飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每只大牛一天約用飼料18~20kg，每只小牛一天約用飼料7~8kg，你能否通過計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)？養(yǎng)牛場原有30只大牛和15只小牛，一天約用飼料675kg；知道？不知道？有大牛30只、小牛15只，一天用飼料約675kg每只大牛一天吃多少飼料？每只小牛一天吃多少飼料？x30xy15y30x+15y=675一周后又購進(jìn)12只大牛和5只小牛，這時(shí)一天約用飼料940kg；知道？進(jìn)一步知道：大牛為30+12=42只、小牛15+5=20只，一天用飼料約940kg42x+20y=940飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每只大牛一天約用飼料18~20kg，每只小牛一天約用飼料7~8kg，你能否通過計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)？42x+20y=940②30x+15y=675①y=5x=20檢驗(yàn)順利完成！一句話的深入解析幫助學(xué)生順利解決問題，樹立信心！在本章的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，可以從多角度進(jìn)行思考，借助圖形、表格、式子等進(jìn)行分析，尋找等量關(guān)系，我們除了可以引導(dǎo)學(xué)生把問題中的數(shù)量關(guān)系符號化之外，還可以利用表格或者線段示意圖等形式反映數(shù)量關(guān)系。反思1：關(guān)注增加量：“增加的大牛1天所需飼料+增加的小牛1天所需飼料=增加的飼料量（即265kg）”

12x+5y=265③隱蔽的數(shù)量關(guān)系顯現(xiàn)出來

無論從這個(gè)方程的實(shí)際意義，還是從它的數(shù)據(jù)來源，都可以知道方程③就是方程②-①的結(jié)果。12x+5y=265③30x+15y=675①12x+5y=265③42x+20y=940②優(yōu)選此方程組反思2：上面方程怎么解？①

在以上分析中，我們采取不同的方法，多角度分析思考問題，更強(qiáng)調(diào)這種發(fā)散之后的聚合思維——優(yōu)化策略的重要意義，發(fā)散思維為聚合思維提供了廣泛的基礎(chǔ)，只有把發(fā)散思維的成果進(jìn)行甄別，才能優(yōu)中選優(yōu)，得到最合理的解題方法，使優(yōu)化思維稱為可能。④③④聯(lián)立系數(shù)簡單據(jù)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:1.5?，F(xiàn)要把一塊長200m，寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎么劃分這塊土地，使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4(結(jié)果取整數(shù))？據(jù)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:1.5。知道？兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:1.5不知道？甲的單位面積產(chǎn)量？乙的單位面積產(chǎn)量？

a

1.5a現(xiàn)要把一塊長200m，寬100m的長方形土地，分成兩塊小長方形土地，分別種植這兩種作物，怎么劃分這塊土地，知道？不知道？長方形的長200m、寬100m、分成兩塊小長方形；怎么劃分？使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4(結(jié)果取整數(shù))？不知道？知道？甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4甲的面積？乙的面積？怎么劃分？（一）將長劃分知給甲的面積100x知給乙的面積100y前面知道單位面積產(chǎn)量

甲：a

乙：1.5ax+y=200知甲的總產(chǎn)量

100xa知乙的總產(chǎn)量100y·1.5a100xa︰100y·1.5a=3︰4層層遞進(jìn)，有序思維，揭開列方程(組)的神秘面紗？總產(chǎn)量

？反思1：單位產(chǎn)量之比知道，總產(chǎn)量之比知道，則面積比可求這樣的拓展有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和綜合能力看似不同方案的辯證統(tǒng)一

如圖，長青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連。這家化工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠，制成每噸8000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地，已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸·千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸·千米），且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97200元，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)費(fèi)的和多多少元？購買原料的噸數(shù)？生產(chǎn)產(chǎn)品的噸數(shù)？如圖，長青化工廠與A、B兩地有公路、鐵路相連。這家化工廠從A地購買一批每噸1000元的原料運(yùn)回工廠，知道？化工廠的路程：鐵路120km、公路10km；原料費(fèi)1000元/噸A不知道？公路運(yùn)費(fèi)、鐵路運(yùn)費(fèi)、購進(jìn)原料多少噸制成每噸8000元的產(chǎn)品運(yùn)到B地，不知道？知道？B的路程：鐵路110km、公路20km；產(chǎn)品銷售款8000元/噸化工廠公路運(yùn)費(fèi)、鐵路運(yùn)費(fèi)、產(chǎn)品多少噸已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸·千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸·千米）知道？不知道？公路運(yùn)費(fèi)、鐵路運(yùn)費(fèi)、xy且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)15000元，鐵路運(yùn)費(fèi)97200元公路運(yùn)費(fèi):1.5(10x+20y)鐵路運(yùn)費(fèi):1.2(120x+110y)這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)費(fèi)的和多多少元？1.5(10x+20y)=150001.2(120x+110y)=97200銷售款：8000y；原料費(fèi)：1000x；運(yùn)費(fèi)15000+97200x=400y=300原料費(fèi)：1000x；銷售款：8000y；“成本與產(chǎn)出問題”中的一些條件是用示意圖給出的，這種表達(dá)形式比較簡明，注意培養(yǎng)學(xué)生從圖表中獲取信息的能力.同時(shí)這個(gè)問題還使學(xué)生進(jìn)一步感受設(shè)間接未知數(shù)迂回解決問題的解題策略.實(shí)際問題設(shè)未知數(shù)、找等量關(guān)系、列方程（組