9 微專題：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算 講義-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)滬教版（2020）必修第二冊

【學(xué)生版】微專題：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)表示：選取直角坐標(biāo)系的軸、軸上的單位向量，為基底，由平面向量基本定理，該平面內(nèi)任一向量表示成的形式，由于與數(shù)對是一一對應(yīng)的，因此把叫做向量的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知，，則（1）；（2）；【典例】例1、若，，則與共線的單位向量為【提示】；【答案】；【解析】；【說明】；例2、如圖，“六芒星”是由兩個(gè)邊長為3的全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對邊分別平行，點(diǎn)是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若，則x＋y的取值范圍是()A．[－4，4]B．[－eq\r(21)，eq\r(21)]C．[－5，5] D．[－6，6]【提示】【答案】【解析】例3、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，動點(diǎn)D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[4，6]B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)]D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]例4、如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為，，，與的夾角為，且，與的夾角為．若，則（

）【歸納】求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路1、向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算；2、巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程（組）進(jìn)行求解；3、妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)；【即時(shí)練習(xí)】1、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(－8,1)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)2、如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．2B.eq\f(8,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(8,5)3、設(shè)向量＝(1，1)，＝(－1，3)，＝(2，1)，且(－λ)⊥，則實(shí)數(shù)λ＝4、設(shè)向量，是與方向相反的單位向量，則的坐標(biāo)為__________.5、已知向量集合M＝{|＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{|＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，則M∩N等于6、已知向量＝(x，y)和向量＝(y，2y－x)的對應(yīng)關(guān)系用＝f()表示．（1）若＝(1，1)，＝(1，0)，試求向量f()及f()的坐標(biāo)；（2）求使f(c)＝(4，5)的向量c的坐標(biāo)；（3）對任意向量，及常數(shù)λ，μ，證明f(λ＋μ)＝λf()＋μf()；【教師版】微專題：平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)表示：選取直角坐標(biāo)系的軸、軸上的單位向量，為基底，由平面向量基本定理，該平面內(nèi)任一向量表示成的形式，由于與數(shù)對是一一對應(yīng)的，因此把叫做向量的坐標(biāo)表示；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知，，則（1）；（2）；【典例】例1、若，，則與共線的單位向量為【提示】注意：用好向量的線性運(yùn)算與關(guān)鍵詞“共線”、“單位向量”；【答案】和；【解析】由，與共線的單位向量為：；【說明】本題考查了向量減法的坐標(biāo)表示與單位向量的坐標(biāo)表示及其求法；例2、如圖，“六芒星”是由兩個(gè)邊長為3的全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)且三組對邊分別平行，點(diǎn)是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動點(diǎn)在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若，則x＋y的取值范圍是()A．[－4，4]B．[－eq\r(21)，eq\r(21)]C．[－5，5] D．[－6，6]【提示】注意：圖形的對稱性建立與坐標(biāo)的聯(lián)系；當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)一定在頂點(diǎn)處取得，依次驗(yàn)證即可得解；【答案】C【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，令正三角形邊長為3，則，，，，則，此時(shí)；同理當(dāng)，此時(shí)；當(dāng)，此時(shí)；當(dāng)，此時(shí)；當(dāng)，此時(shí)；所以的最大值為，根據(jù)其對稱性，可知的最小值為，則的取值范圍為；例3、在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，動點(diǎn)D滿足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范圍是()A．[4，6]B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)]D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]【提示】注意：向量的坐標(biāo)表示與距離公式；【答案】D；【解析】方法1、：設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式及向量模的運(yùn)算公式求解；設(shè)D(x，y)，則由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.又因?yàn)?，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x－1，y＋eq\r(3))，所以，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2).所以，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的幾何意義為點(diǎn)P(1，－eq\r(3))與圓(x－3)2＋y2＝1上點(diǎn)之間的距離，由|PC|＝eq\r(7)知，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是1＋eq\r(7)，最小值是eq\r(7)－1；故選D；方法2、根據(jù)向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))的平行四邊形法則及減法法則的幾何意義，模的幾何意義求解．如圖，設(shè)M(－1，eq\r(3))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，取N(1，－eq\r(3))，所以，eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(ON,\s\up6(→)).由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，可知點(diǎn)D在以C為圓心，半徑r＝1的圓上，所以，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(ND,\s\up6(→))，所以，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝|eq\o(ND,\s\up6(→))|，∴|eq\o(ND,\s\up6(→))|max＝|eq\o(NC,\s\up6(→))|＋1＝eq\r(7)＋1，|eq\o(ND,\s\up6(→))|min＝eq\r(7)－1.例4、如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為，，，與的夾角為，且，與的夾角為．若，則（

）【提示】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)的知識可求得坐標(biāo)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程組求得的值，進(jìn)而得到結(jié)果；【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，，所以，，，又，，又與的夾角為，所以，，，又，，所以，，所以，，解得：，所以，，故選：C；【說明】本題考查平面向量基本定理的相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠建立起平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來進(jìn)行求解；【歸納】求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路1、向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算；2、巧借方程思想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，轉(zhuǎn)化為方程（組）進(jìn)行求解；3、妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù)；【即時(shí)練習(xí)】1、已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．(－8,1)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)【答案】B；【解析】設(shè)P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))；2、如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，則λ＋μ＝()A．2B.eq\f(8,3)C.eq\f(6,5)D.eq\f(8,5)【答案】D；【解析】方法1、如圖以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為1，eq\o(AM,\s\up6(→))＝，eq\o(BN,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,1)．因?yàn)?，eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝λ＋μ＝，所以，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)μ＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(6,5)，,μ＝\f(2,5)，))故λ＋μ＝eq\f(8,5).方法2、以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))作為基底，因?yàn)?，M，N分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，因此eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－\f(μ,2)＝1，,\f(λ,2)＋μ＝1，))解得λ＝eq\f(6,5)且μ＝eq\f(2,5).所以λ＋μ＝eq\f(8,5)3、設(shè)向量＝(1，1)，＝(－1，3)，＝(2，1)，且(－λ)⊥，則實(shí)數(shù)λ＝【答案】3；【解析】易知－λ＝(1＋λ，1－3λ)，因?yàn)?－λ)⊥，＝(2，1)，所以(1＋λ，1－3λ)·(2,1)＝2＋2λ＋1－3λ＝0，解得λ＝3；4、設(shè)向量，是與方向相反的單位向量，則的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】由相反向量為且模長為，∴.故答案為：5、已知向量集合M＝{|＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N＝{|＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R}，則M∩N等于【答案】{(－2，－2)}；【解析】令(1，2)＋λ1(3，4)＝(－2，－2)＋λ2(4，5)，即(1＋3λ1，2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2).所以，eq\