2024年4月上海市徐匯區(qū)高三數(shù)學二模(含解析)

2024學年其次學期徐匯區(qū)學習實力診斷卷

高三年級數(shù)學學科

2024.4

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分)考生

應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置干脆填寫結(jié)果.

1.設(shè)全集0={1,2,3,4},集合A={x|x2_5x+4<0,xeZ},則C〃A=.

2.參數(shù)方程為1a為參數(shù))的曲線的焦點坐標為_____________.

y=2t

3.已知復(fù)數(shù)z滿意忖=1,則|z-2|的取值范圍是.

2

4.設(shè)數(shù)列{4}的前〃項和為S“，若S〃=l—(neN*),貝”吧S“=.

5.若(x+」-)"(n>4,neN*)的二項綻開式中前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則n=.

2x

6.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張形態(tài)大小一樣的卡片上,隨機抽取一張卡片，則抽到寫著偶數(shù)或大于6

的數(shù)的卡片的概率為.(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)

124

xX|

7.若行列式cos土sin-0中元素4的代數(shù)余子式的值為一，則實數(shù)x的取值集合為.

8.滿意約束條件國+2|y|K2的目標函數(shù)z=y—x的最小值是

log2x,0<x<2

9.已知函數(shù)/(x)=<2.5.若函數(shù)g(x)=/(x)-左有兩個不同的零點，則實數(shù)k的取值范圍

(3)+9,x~2

是.

10.某部門有8位員工,其中6位員工的月工資分別為8200,8300,8500,9100,9500,9600(單位:元),

另兩位員工的月工資數(shù)據(jù)不清晰，但兩人的月工資和為17000元，則這8位員工月工資的中位數(shù)可能的

最大值為元.

11.如圖:在AABC中，M為上不同于氏C的隨意一點，點N滿意AN=2NM.若/)

AN=xAB+yAC,則的最小值為.BM

12.設(shè)單調(diào)函數(shù)y=p（x）的定義域為D，值域為A，假如單調(diào)函數(shù)y=q（x）使得函數(shù)y=p（q（x））的值域

也是A,則稱函數(shù)y=q（x）是函數(shù)y=p（x）的一個“保值域函數(shù)

2

已知定義域為可的函數(shù)/心）=1——r，函數(shù)/（X）與g（x）互為反函數(shù)，且h（x）是/（X）的一個“保值

打一3|

域函數(shù)”，g（x）是/z（x）的一個“保值域函數(shù)”，則

二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)

在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.

13.“龍＞1”是“工＜1”的（

)

x

（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件

（C）充要條件（D）既非充分也非必要條件

14.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)

角，下周八尺，高五尺，問：積及米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處

堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺,

米堆的高為5尺，間米堆的體積及堆放的米各為多少？”已知一斛米的

體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有（）

(A)21斛(B)34斛(C)55斛(D)63斛

15.將函數(shù)y=--的圖像按向量￡=（1,0）平移，得到的函數(shù)圖像與函數(shù)y=2sin?x（-2＜x＜4）的圖像的

X

全部交點的橫坐標之和等于（）

(A)2(B)4(C)6(D)8

22

16.過橢圓土+-J=1（加＞4）右焦點廠的圓與圓O:必+V=1外切，則該圓直徑FQ的端點Q的軌跡

mm—4

是（）

（A）一條射線（B）兩條射線（C）雙曲線的一支（D）拋物線

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必需在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要

的步驟.

17.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

如圖：在四棱錐P—ABCD中，PA±^ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AD=2.

(1)求異面直線PC與A3所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；P

(2)若點E、E分別是棱AD和PC的中點，求證：石歹工平面必。./

18.(本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

m,4，+1

已知函數(shù)/(x)=---是偶函數(shù).

(1)求實數(shù)加的值；

(2)若關(guān)于x的不等式2h/(x)〉342+1在(_oo,0)上恒成立，求實數(shù)左的取值范圍.

19.(本題滿分14分，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分)

如圖所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行，

某一時刻，甲船在最前面的A點處，乙船在中間的6點處，丙

船在最終面的C點處，且3。：/43=3:1.一架無人機在空中的

P點處對它們進行數(shù)據(jù)測量，在同一時刻測得ZAPB=30°,

NBPC=90°.(船只與無人機的大小及其它因素忽視不計)

(1)求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比；

(2)若此時甲、乙兩船相距100米，求無人機到丙船的距

離.(精確到1米)

20.（本題滿分16分，第1小題滿分4分，第2小題滿分7分，第3小題滿分5分）

222

如圖：橢圓上+y2=1與雙曲線二—與=1（?！?1〉0）有相同的焦點耳、F它們在y軸右側(cè)有

2crb~

兩個交點A、B,滿意=將直線A3左側(cè)的橢圓部分（含兩點）記為曲線叫，直線AB

右側(cè)的雙曲線部分（不含A,5兩點）記為曲線叫.以耳為端點作一條射線，分別交叫于點P（%,%），

交比2于點加（%”，為）（點又在第一象限），設(shè)此時RM=m-RP.

（1）求快的方程；

（2）證明:4=工，并探究直線ME,與尸居斜率之間的關(guān)系；

m

（3）設(shè)直線g交叫于點N,求的面積S的取值范圍.

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

現(xiàn)有正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)表如下：

第一行：1

其次行：12

第三行：1123

第四行：11211234

第五行：1121123112112345

第左行：先抄寫第1行，接著按原序抄寫第2行，然后按原序抄寫第3行，…,直至按原序抄寫第左-1行，最

終添上數(shù)K（如第四行，先抄寫第一行的數(shù)1,接著按原序抄寫其次行的數(shù)1,2,接著按原

序抄寫第三行的數(shù)1,1,2,3,最終添上數(shù)4）.

將依據(jù)上述方式寫下的第n個數(shù)記作?！保ㄈ?=1,%=I,%=2，。4=1，…，%=3，…，

。14=3,%5=4,）?

（I）用友表示數(shù)表第左行的數(shù)的個數(shù)，求數(shù)列｛4｝的前左項和4；

（2）第8行中的數(shù)是否超過73個？若是，用表示第8行中的第73個數(shù)，試求％和為。的值;

若不是，請說明理由；

（3）令S”=。］++。3++4"，求邑。"的值.

參考答案

一、填空題：(共54分，第1~6題每題4分；第7~12題每題5分)

7

1.{1,4}2.(1,0)3.[1,3]4.15.86.—

7.=ezj8.-29.(1,1)10.880011.|-12.1

二、選擇題：(共20分，每題5分)

13.A14.A15.D16.C

三、解答題

解：(1)以點A為原點，以A3方向為x軸正方向，4。方向為y軸正方向，建立空間直角坐標系，則

P(0,0,2),A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),........2分

所以，PC=(2,2,-2),AB=(2,0,0),.........4分

設(shè)PC,AB的夾角為a,

nilPCAB4V3八

貝！Icosa=?--j—i-----r=—T=—二:一,.....5分

|PC|-|AB|2V3-23

所以，PC,A5的夾角為arccos75,

3

即異面直線PC與AB所成角的大小為arccos—.........6分

3

(2)因為點E、尸分別是棱AD和PC的中點，

可得E(0,l,0)，F(xiàn)(l,l,l),所以麗=(1,0,1),..........8分

又BC=(0,2,0),PC=(2,2,-2),.........10分

計算可得E/-PC=0,E/］仁二。，.....12分

所以，EF±PC,EF1BC,又PCBC=C,所以EFL平面網(wǎng)。14分

m?4"+1

瓜(1)因為函數(shù)小戶二^是定義域為R的偶函數(shù)，所以有=-2分

x

口門m?4一”+1m-4+l

即---------

Tx

m+4Xm-4A+1八

即nri------二---------，.........................................4分

2X2X

故m=l.........................................................6分

Ax?1

(2)/(x)=--------〉0,3左2+1〉0,且2h/(x)〉342+1在(—8,0)上恒成立,

2X

9k1

故原不等式等價于在(—8,0)上恒成立，.............8分

3k+1/(%)

XXG(-00,0),所以/(X)￡(2,+00),...................................................10分

所以...................11分

fM12)

smZCBPsmZCPB1

又生=3,sinZABP=sinZCBP,.............................................................6分

AB1

Apo2

故一=—.即無人機到甲、丙兩船的距離之比為一................7分

CP33

(2)由BC:AB=3：1得AC=400,且NAPC=120°,.........................................9分

由(1),可設(shè)AP=2x,貝!JCP=3x,..............................................................10分

在AAPC中，由余弦定理，得160000=(2X)2+(3X)2-2(2X)(3X)COS120。，……12分

解得產(chǎn)膽=理叵，

19

即無人機到丙船的距離為CP=3比=1200Mx275米.-…14分

19

20、解：(1)由條件，得且(1,0),依據(jù)區(qū)4+68=0知，尸2、4、8三點共線，

且由橢圓與雙曲線的對稱性知，A、8關(guān)于x軸對稱，

J?J?

故A5所在直線為尤=1,從而得A(1,X—),5(1,--)..........2分

22

所以，5一2=1，又因為工為雙曲線的焦點，所以4+尸=1,

解得...........................................3分

2

22

因此，區(qū)的方程為十—十=1(%>1)........4分

22

M(X,JM)，=(X+1,JM),

⑵由P(Xp,yp)、M得耳P=(xp+l,yp),FXMM

xM+l=m(xp+l)XM=mx+771-1

由條件，得即｛p..........5分

mm

yM=yPyM=yP

由P(尤p?p)、分別在曲線”和抬上，有

<2%,消去加，得

22

2(jnxp+m-l)-2(myp)-1

2

3mx；+4m(m—V)xp+1—4m=0(*)7分

1]1—4H2

將一代入方程(*),成立，因此(*)有一根/=—，結(jié)合韋達定理得另一根為馬=—因為

mm3m

機>1,所以與=」1—4-J"Tl<」，舍去.

P3m

所以，%=-8分

m

21

m——

從而P點坐標為(工,2

)，

mm

所以，直線PF2的斜率左時.........................9分

1-m

由“=mxp+加-1=加，得M（加,

所以，直線班的斜率左.2.............10分

m—1

因此，“鳥與P居斜率之和為零.......................11分

(3)由⑵知直線PF?與"關(guān)于x軸對稱，結(jié)合橢圓的對稱性知點產(chǎn)與點N關(guān)于x軸對稱，故

14分

因為S在(1,+0。)上單調(diào)遞增,.......................15分

所以,S的取值范圍是(&,+8卜...................................16分

21、解：(1)當上22時，

4=G+，2+a-1+1?............................................2分

&+1=：+，2+&+1，

于是&+]_(=&，即&+i=2幾，又質(zhì)=2：片=1,..............3分

所以友=2人，

故[=1+2+22++2i=2"-l...........4分

(2)由4=21得第8行中共有27=128個數(shù)，

所以，第8行中的數(shù)超過73個，-一一6分

7

?0=7；+73=2-1+73=200,…7分

從而fa%=。200="73，

由26-1=63<73,27-1=127>73,

所以，按上述依次依次寫下的第73個數(shù)應(yīng)是第7行的第73-63=10個數(shù)，同上過程知

^73=^10=2.........................................................................................................................9分

9

所以，分

a他n=2.......................................................................................10

(3)由于數(shù)表的前n行共有2"-1個數(shù)，于是，先計算Sy」.

方法一：在前2"-1個數(shù)中，共有1個〃，