陜西省延安市2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

陜西省延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024年高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,

1.已知(2-如)(1——舊的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為8,則實(shí)數(shù)機(jī)=()

X

A.2B.-2C.-3D.3

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(1—i)z=40則目=()

A.2aB.2C.4D.3

22

3.橢圓/+]_=1的焦點(diǎn)為耳,鳥，點(diǎn)P在橢圓上，若IP8|=2,則/耳的大小為()

A.150°B.135°C.120°D.90°

4.木匠師傅對(duì)一個(gè)圓錐形木件進(jìn)行加工后得到一個(gè)三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積()

A.24萬(wàn)+96B.48l+9百C.48萬(wàn)+18&D.144萬(wàn)+18百

5.設(shè)/Xx)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤之0時(shí)，/(x)=log2(x+l)+ax2一。+1(。為常數(shù))，則不等式/(3%+4)>—5

的解集為()

A.(-oo,-l)B.(-l,+oo)C.(-oo,-2)D.(-2,+oo)

6.設(shè)過(guò)拋物線9=2勿(〃>0)上任意一點(diǎn)p(異于原點(diǎn)。)的直線與拋物線丁=8加(">0)交于兩點(diǎn)，直線

s

OP與拋物線丁=8加(。>0)的另一個(gè)交點(diǎn)為。，則7儂=()

3ABO

A.1B.2C.3D.4

右

定義在上的偶函數(shù)/（%）,對(duì)且石成立，已知（）

7.RVXI,于42，句>0a=/ln?,

b-fe5,則。，b,c的大小關(guān)系為（)

\7

A.b>a>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

8.已知I,機(jī)是兩條不同的直線，根1_平面（X,貝!1“///?！笔恰癓L/W”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

等比數(shù)列｛4｝中，6=：應(yīng)=2,則%與肉的等比中項(xiàng)是（）

9.

O

1

A.±4B.4D.-

4

10.若點(diǎn)--位于由曲線-_-_；與-一.圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），貝！I的取值范圍是（）

A[-3.1]B-[-3.5]Cj[?,4-X)D,u[J.4-x)

11.函數(shù)戶2國(guó)3n2%的圖象可能是

的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重

合的變換方式有（）

①繞著X軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°;

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對(duì)稱；

④以工軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知橢圓C：5+營(yíng)=1（。〉?！?）的左，右焦點(diǎn)分別為《，B，過(guò)耳的直線交橢圓C于A，3兩點(diǎn)，若

NA5g=90。，且8的三邊長(zhǎng)忸閶，到，|明|成等差數(shù)列，則。的離心率為.

14.（5分）已知橢圓方程為爐+工=1,過(guò)其下焦點(diǎn)支作斜率存在的直線/與橢圓交于A,3兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

2

則AQ8面積的取值范圍是.

15.對(duì)任意正整數(shù)〃，/（n）=2n3-7n2cosnjv-An-l,若/⑵20,則2的取值范圍是；若不等式

/5）20恒成立，則X的最大值為

22

16.已知雙曲線C：=—1=1（。>0,b>0）的左，右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn),,過(guò)點(diǎn)耳的直線與雙曲線的左，右兩

a2b2

7

支分別交于A,3兩點(diǎn)，若|A5|=|A閶，COSZBAF=-,則雙曲線C的離心率為.

28

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在三棱錐A-BC。中，AB±AD,BCVBD,平面ABZ>_L平面5c。，點(diǎn)E,F（E與A,。不重合）

分別在棱AZ>,BD1.,且E/UA。.

求證：（1）E尸〃平面A5C；

(2)ADLAC.

18.(12分)如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=3,點(diǎn)瓦/分別是線段DC,3C的中點(diǎn)，分別將△。4石沿4￡

折起，ACEF沿EF折起,使得。，。重合于點(diǎn)G,連結(jié)AF.

(I)求證：平面GEFL平面GAP；

(II)求直線GF與平面G4E所成角的正弦值.

19.(12分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",2s“+a〃=l("eN)

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

11r11

(2)若。“=——+:-----,7；為數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和.求證：Tn＞2n—.

11-an+x3

20.(12分)已知四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為等腰梯形，AD\BC,PA=AD=AB^CD=2,6C=4,

B4_L底面ABCD.

(1)證明：平面平面上鉆；

(2)過(guò)"的平面交于點(diǎn)E,若平面P4E把四棱錐P-A6CD分成體積相等的兩部分，求二面角A-PE-5的

余弦值.

InX

21.(12分)已知函數(shù)/(尤)=廿一上土.

a

(1)若Ax)在工2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的最大值；

(2)若0＜。＜1,求證：/(x)N的巫.

a

22.（10分）已知函數(shù)/■（；<）=7（aHO）.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)。=1時(shí)，如果方程/（X），有兩個(gè)不等實(shí)根為％,求實(shí)數(shù)，的取值范圍，并證明%+%>2.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

1313

先求（1-一甘的展開式，再分類分析（2-7依）中用哪一項(xiàng)與（1--了相乘，將所有結(jié)果為常數(shù)的相加，即為

XX

12

（2-叩）（1--）3展開式的常數(shù)項(xiàng)，從而求出機(jī)的值.

X

【詳解】

1,,1

3r

a——）3展開式的通項(xiàng)為=c;-i-（—y=a?（—1）‘廣，

XX

當(dāng)（2—7我）取2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為2xC；=2,

當(dāng)（2-皿）取一加％時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為一〃2xC；x（-l）i=3租

由題知2+3〃z=8,則“7=2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的展開式中的系數(shù)問(wèn)題，其中對(duì)（2-依）所取的項(xiàng)要進(jìn)行分類討論，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出z,再由模的定義計(jì)算出模.

【詳解】

4z4;(1+0

z=----=-2+2i,\z\=242.

1-Z(1-0(1+0

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法法則，考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得|，岑|=4,|耳耳|=2夕，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，閨閭=2々，|尸耳|+|尸閭=6,又怛閭=2,則|尸q=4,

16+4—281

由余弦定理可得cos"明=

2x2x42

故/片PK=120°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個(gè)從圓錐中截出來(lái)的錐體，圓錐底面半徑為r=/2+（竽）2，圓錐的高h(yuǎn)=J（3石）2—32，截去

的底面劣弧的圓心角為與，底面剩余部分的面積為5=---^r2+-r2sin—，利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為「=/32+（罕）2=6,圓錐的高力=J（3百）2—32=6,圓錐母線

I=>/62+62=672?截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

S=—兀戶+—戶sin—=—^-x62+—x62xsin—=24?+9石,故幾何體的體積為：

323323

V=gs/z=gx（24?+9^）x6=48〃+18G.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問(wèn)題，考查了學(xué)生空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，難度一般.

5、D

【解析】

由可得“所以2由于(X)為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增

/(O)=0=1,/(x)=log2(x+l)+x(x>0),R

函數(shù)，可知y=/(x)在R上單調(diào)遞增，注意到/(-2)=-7(2)=-5,再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.

【詳解】

因?yàn)?'(X)在R上是奇函數(shù).所以/(0)=0,解得4=1,所以當(dāng)了之0時(shí)，

2且時(shí)，/(元)單調(diào)遞增，所以

/(x)=log2(x+l)+x,xe[0,+8)

y=/(x)在H上單調(diào)遞增，因?yàn)?(2)=5,/(-2)=-5,

故有3x+4>-2,解得x>-2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力，是一道中檔題.

6、C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉(zhuǎn)為線段長(zhǎng)度比，進(jìn)而轉(zhuǎn)為坐標(biāo)的表達(dá)式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo),

最后代入坐標(biāo)，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設(shè)A5與。尸的夾角為。，則△A3Q中A3邊上的高與中A3邊上的高之比為華絲=￡&,

OPsm0OP

??.]理=黑=用*=迤—1，設(shè)則直線0尸：丁=彳%，即y=與聯(lián)立，解得

sABOOPyPyP12Pj77%

4y.

%=4%,從而得到面積比為3-1=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

解決本題主要在于將面積比轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯(cuò)的綜合題.

7,A

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.

【詳解】

解：對(duì)V%,x,且,有"“)"%)>0

%2-%；

/(%)在%€(-00,0)上遞增

因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)/(九)

所以/(%)在無(wú)€(0,+8)上遞減

又因?yàn)閘og2%=log?6〉2,1<1117T<2,o<e"^<1

所以Z?>a>c

故選:A

【點(diǎn)睛】

考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)機(jī)_1_平面a時(shí)，若/〃a"則成立，即充分性成立，

若ZL",貝！j/〃a或/ua,即必要性不成立，

則”〃a”是“以加”充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和定義是解決本題的關(guān)鍵.難度不大，屬于基礎(chǔ)題

9、A

【解析】

利用等比數(shù)列｛4｝的性質(zhì)可得尺=%。8，即可得出.

【詳解】

設(shè)應(yīng)與W的等比中項(xiàng)是X.

由等比數(shù)列｛4｝的性質(zhì)可得4=a4a8，x--a6■

:.%與6的等比中項(xiàng)x=土&=土=+4.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比中項(xiàng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

畫出曲線--_-與-_；圍成的封閉區(qū)域，.表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)--和定點(diǎn)-連線的斜率，然后結(jié)合

*|/?JILaA*1

圖形求解可得所求范圍.

【詳解】

如圖陰影部分所示.

表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)二二和定點(diǎn)二V一］連線的斜率,

0-J

設(shè)，結(jié)合圖形可得-一-或-v-

r_—二口二二一3一一

由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為.

二.一J

:-2;或一<

的取值范圍為

故選D.

【點(diǎn)睛】

解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問(wèn)題，即把看作兩點(diǎn)間連線的斜率；二是要正確畫出兩曲線

所圍成的封閉區(qū)域.考查轉(zhuǎn)化能力和屬性結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在弓，兀)上的符號(hào)，即可判斷選擇.

詳解：令/(%)=2禺sin2x，

因?yàn)閤eR,/(-x)=2卜.sin2(-x)=一2忖sin2x=-/(x),所以f(x)=2付sin2x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B；

jr

因?yàn)閊^(,，兀)時(shí)，/(%)<0,所以排除選項(xiàng)C,選D.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見題型及解題思路：(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性;

(4)由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

12、D

【解析】

計(jì)算得到/■(九+2Qr)=/(x),=+故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對(duì)稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像

知①③錯(cuò)誤，得到答案.

【詳解】

/、sinx.(,\sin(x+2化sinx\7_

/(-2H=1+2sin(x+2M=T7i—=/?1

當(dāng)沿X軸正方向平移2左肛左￡Z個(gè)單位時(shí)，重合，故②正確；

.(n\

sin——\-x

12)_cosx

l+2sin^+x[l+2c°sx

故—=+函數(shù)關(guān)于X=￡對(duì)稱，故④正確;

根據(jù)圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、—

2

【解析】

設(shè)夜名|=x,|A@=x+d,|A閶=x+2d,根據(jù)勾股定理得出x=3d,而由橢圓的定義得出ABg的周長(zhǎng)為4a,

有a=3d,便可求出。和c的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.

【詳解】

解：由已知，相"的三邊長(zhǎng)忸閶，|A用成等差數(shù)列，

設(shè)忸6|=x,|AB|=x+d,|AF^|=x+2d,

而乙鉆瑪=90。，根據(jù)勾股定理有：x2+(x+d)2=(x+2d)2,

解得：x=3d,

由橢圓定義知：ABB2的周長(zhǎng)為4a,有a=3d,|%|=。=|期

在直角BF，H中,由勾股定理，2a2=4°2,即：＞=上,

a22

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

14、（0當(dāng)

【解析】

由題意，a=6,b=\,則°=后二瓦=1，得/（0，一1）.由題意可設(shè)/的方程為y=近一1，4（石,%）,3（%,%），

y=kx-lC°-i

2kn?

聯(lián)立方程組c22c八，消去y得(左2+2)/一2"—1=°，/>0恒成立，AiX=——%+'2=仁，則

2x2+y-2=02k2+2

|AB|={(1+左2)[(4+W)2—4芯421=2可+D,點(diǎn)50,0）到直線/的距離為d=7^,則

左2+2“？+1

夜_____1r——

_I~；1,,又，左~+1H—1.22s/k~+l=2,貝?。?/p>

-7FTi+-r_乂VFTiV2+

收+iv

應(yīng)＜血.____1

°<^AAOB

爐力+_1-2,當(dāng)且僅當(dāng)JR+1=方場(chǎng)，即左=0時(shí)取等號(hào).故面積的取值范圍是

J/+1,+

(0苧

1313

15、—00,------

2~2

【解析】

將〃=2代入求解即可；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cosn兀=-1，則轉(zhuǎn)化/⑺=2/+—即_12。為彳W2/+7〃-匕設(shè)

n

g（“）=2*+7〃-L由單調(diào)性求得g（H）的最小值；同理，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),cos府=1,則轉(zhuǎn)化

n

/⑺=2/—7/—力z_1No為XW_7〃—匕設(shè)/z(x)=2/—7x—工(x22),利用導(dǎo)函數(shù)求得h(x)的最小值,

nx

進(jìn)而比較得到X的最大值.

【詳解】

13

由題J(2)=16—28—22—1N0,解得2W—

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),cos〃"二一1,由/(n)=2n3+7n2-2〃一120,得XW2n2+7n--,

n

01

而函數(shù)g(n)=2n2+7n—為單調(diào)遞增函數(shù)，所以gS)*=g⑴=8,所以；I<8；

n

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),cos加r=l,由/(〃)=2/一7〃2一％〃一120,得XW2n2-In--,

n

設(shè)/z(x)=2x2-7x~—(x22),

x

x22,/.//(%)=4x-7+二>0,h(x)單調(diào)遞增，

%

1313

Kx)^=久2)=—萬(wàn)斯以％W—5，

13

綜上可知，若不等式f(n)>0恒成立，則2的最大值為-

乂田小生.(13]13

故答案為:⑴—8,一■—；(2)---

I2J2

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想.

2a

1lfbi、----

3

【解析】

設(shè)忸閭=引9|=加,由雙曲線的定義得出：忸耳|=2a+〃|M|=m-2a,由〔ABRA引得A5居為等腰三角

7—\BFI—n

形，設(shè)NABK=NAg8=8,根據(jù)cosNB4E)=—,可求出=工=2^=2_，得出機(jī)=2",再結(jié)合焦點(diǎn)

84\AF2\m

三角形AB與耳，利用余弦定理：求出。和c的關(guān)系，即可得出離心率.

【詳解】

解：^\BF2\=n,\AF2\=m,

由雙曲線的定義得出：

忸耳|一|陷|=2a,則班;|=2a+”，

\AF^-\AF]=2a,^\AF^=m-2a,

由圖可知：|AB|=忸耳|A4|=4a+〃—m,

又|AB|=|A鳥I，

即4a+n—m=m9

貝!12m=4a+n9

為等腰三角形，

7

cosZBAF2=—,

設(shè)NA36=NA63二。，

20+ABAF2-7i9則26="一/BA8，

/.cos20=cos(?-ZBAF2)=-cosBAF2=——,

97

BPCOS2^^2COS2^-1=——,解得:cos^=-

84

貝小狼春/=￡

I阿4

1

——n

,2_=1，解得：rn=2n,

m4

4

4〃=4Q+〃，即3〃=4a,解得：n--a,

3

8

3

在△§￡耳中，由余弦定理得:

網(wǎng)「+忸鳥「一片工I

cosZFBF=cos0-

i22忸用忸耳4

(2a+〃7+("J4c2

即:

2(2a+n)-n

M4H296c2A/6

解得：=—=一，n即ne=—=1^.

ea36a3

故答案為：巫.

3

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，求雙曲線離心率.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)見解析(2)見解析

【解析】

試題分析：(1)先由平面幾何知識(shí)證明防〃AB,再由線面平行判定定理得結(jié)論；(2)先由面面垂直性

質(zhì)定理得8CL平面9，則3C_LAD,再由及線面垂直判定定理得AO_L平面A5C,即可得

AD±AC.

試題解析：證明：(1)在平面ABZ)內(nèi)，因?yàn)镋F±AD,所以跖IAB.

又因?yàn)镋F<2平面ABC,ABu平面4BC,所以EF〃平面ABC.

(2)因?yàn)槠矫鍭8D_L平面3a),

平面ABDC平面BCD=BD,

6。匚平面3。，BC±BD,

所以BC,平面AB￡>.

因?yàn)锳￡)u平面AB￡>,所以BC,AD.

y.AB±AD,BCcAB=B,ABu平面ABC,BCu平面A5C,

所以AZ)_L平面ABC,

又因?yàn)锳Cu平面ABC,

所以AO_LAC

點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)

證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

18、(I)詳見解析；(II)迪.

【解析】

(1)根據(jù)宓，&1,GELGF,可得GEL平面GAP,故而平面GE產(chǎn)，平面G4F.

(II)過(guò)P作EHLAG于H,則可證平面G4E,故NR汨為所求角，在AAG歹中利用余弦定理計(jì)算

cosZFGH,再計(jì)算sinNFGH.

【詳解】

解：(1)因?yàn)殄担?M，GELGF,GEGF=G,GEi平面GAP,GFu平面GA尸

所以GE，平面GAP,

又GEi平面GER,

所以平面GEF_L平面GAb；

(II)過(guò)b作EHLAG于〃，則由GE，平面GAF,且方Hu平面GAF知

GE±FH,所以EH_L平面G4E,從而NFGH是直線GF與平面G4E所成角.

因?yàn)锳G=3,FG與AF=^42+(|)2=,

n973

制2+6尸2_河27

所以cosZAGF=44

-2GAGF-

2-3--9

2

從而sinNFGH=sinZAGF=A/1-cos2ZAGF=勺但

9

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計(jì)算，屬于中檔題.

19、(1)(2)證明見解析

【解析】

S],幾=1(、

(1)利用4=、_、,求得數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式.

(2)先將。“縮小即%>2-由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法，證得不等式成立.

【詳解】

⑴力+一小網(wǎng)，令I(lǐng),得

/\&1

又2S,T+4T=1(〃22),兩式相減，得之=..

an-l3

11

3"3"111

-------------1--------;-------=2—------------1--------;------

3，，+i3"+i—13"+13"鬼一1

11

=2—

3"+13"i—1廣

又；

c11cl

二-------r——>2n——?

3"i33

T>2〃—.

3

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查已知S“求劣,考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.

4

20、(1)見證明；(2)—

7

【解析】

(1)先證明等腰梯形ABC。中AC_LA5,然后證明即可得到AC_L平面從而可證明平面PAC

_L平面QAB；(2)由^棱錐P-4BE=%棱錐P-ABCD，可得到S^ABE=S梯形AES，列出式子可求出_8￡1,然后建H如圖的空

__/\I

間坐標(biāo)系，求出平面P4石的法向量為〃],平面PBE的法向量為%，由cos可得到答案.

【詳解】

(1)證明：在等腰梯形ABC。，ADBC，AD=AB=CD=2,

易得NA6c=60°

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=4+16-8=12,

則有AB2+AC2=臺(tái)。2,故AC,

又B4_L平面ABCD,ACu平面ABCD,AC,

AC1AB

即…JoACL平面上鉆，故平面平面上45.

AC1.PA

(2)在梯形A5C。中，設(shè)BE=a,

??&棱錐尸一ABE=%棱錐尸一ABC。，??^AABE=S梯形Ax。。，

.-.-xBAxBEsinZABE=(°「+膽義'

而fi=A/22—I2=A/3，

22

即...I

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A5所在直線為x軸，AC所在直線為V軸，AP所在直線為z軸，建立如圖的空間坐標(biāo)系，則

3月、

4(0,0,0),尸(0,0,2),5(2,0,0),E—,0,

22J

/1oFy'

設(shè)平面PAE的法向量為4=(X,y,z),AE子;,0,#=(0,0,2),

22J

1小

n,±AE-x-\-----y=0n

由,?得22

4±AP

2z=0

30〕

取x=l,得y=z=0,，4=1,—95

9

同理可求得平面P8E的法向量為%=

IJ7

設(shè)二面角A-PE-B的平面角為6,

【點(diǎn)睛】

本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計(jì)算，考查了空間想象能

力及計(jì)算能力，屬于中檔題.

21、(1)圭(2)詳見解析

【解析】

(1)/'(x)=e'---(x>0),

ax

在口,2]上，因?yàn)椤ㄓ?是減函數(shù)，所以((幻=3--'-40恒成立，

ax

即恒成立，只需l2(xe，)1rax.

aa

令心)=疣",XG[1,2],貝!|r(x)=e"+xe",因?yàn)椤浮昕?2],所以，(x)>0.

x2

所以t(x)=xe在［1,2］上是增函數(shù),所以(xe^)max=2e,

所以：Z2e2,解得

所以實(shí)數(shù)。的最大值為占.

2e

(2)/(x)=ex--(x>0),/,(x)=et-—

ax

令g(x)=e*---(x>0),則g<x)=e”+二y,

axax'

根據(jù)題意知g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上是增函數(shù).

1L

又因?yàn)間(—)=e"-l>0,

a

當(dāng)X從正方向趨近于0時(shí)，,趨近于+8,e，趨近于1，所以g(x)=e'-L<0,

axax

所以存在不e(0」)，使8(%)=峭-；=0,

a辦o

的1

即e")=---,x0=-]n(ax0)=-1na-\nx0,

所以對(duì)任意xe(0,x。)，g(x)<0,即/'(x)<0,所以/(無(wú))在(0,%)上是減函數(shù);

對(duì)任意xe(%,+co),g(x