天津市蘆臺一中2024屆高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

天津市蘆臺一中2024屆高一數(shù)學第二學期期末監(jiān)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．2．設直線l與平面平行，直線m在平面上，那么（）A．直線l不平行于直線m B．直線l與直線m異面C．直線l與直線m沒有公共點 D．直線l與直線m不垂直3．如圖，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，測得，，CD＝30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB等于A． B． C． D．4．如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）A．異面直線與所成的角為45° B．平面C．平面平面 D．異面直線與所成的角為45°5．若角的終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．不存在6．在中，是邊上一點，，且，則的值為（）A． B． C． D．7．已知中，，，的對邊分別是，，，且，，，則邊上的中線的長為()A． B．C．或 D．或8．在區(qū)間內(nèi)任取一個實數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為（）A． B． C． D．9．某數(shù)學競賽小組有3名男同學和2名女同學，現(xiàn)從這5名同學中隨機選出2人參加數(shù)學競賽（每人被選到的可能性相同）.則選出的2人中恰有1名男同學和1名女同學的概率為（）A． B． C． D．10．計算的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的最小正周期是________12．已知，，，則的最小值為__________．13．若，則實數(shù)的值為_______.14．若，則=_________15．平面⊥平面,,，，直線，則直線與的位置關(guān)系是___．16．某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表所示（單位：人）.參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230若從該班隨機選l名同學，則該同學至少參加上述一個社團的概率為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）已知向量，求與的夾角的余弦值；（Ⅱ）已知角終邊上一點，求的值．18．已知點，圓．（1）求過點M的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點，且弦AB的長為，求的值．19．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F(xiàn)，G分別為線段BC，PB，AD的中點．（1）證明：EF∥平面PAC；（2）證明：平面PCG∥平面AEF；（3）在線段BD上找一點H，使得FH∥平面PCG，并說明理由．20．如果有窮數(shù)列(m為正整數(shù))滿足,即,那么我們稱其為對稱數(shù)列.(1)設數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列,其中,為等差數(shù)列,且,依次寫出數(shù)列的各項;(2)設數(shù)列是項數(shù)為(正整數(shù))的對稱數(shù)列,其中是首項為50,公差為-4的等差數(shù)列.記數(shù)列的各項和為數(shù)列,當k為何值時,取得最大值?并求出此最大值;(3)對于確定的正整數(shù),寫出所有項數(shù)不超過2m的對稱數(shù)列,使得依次為該數(shù)列中連續(xù)的項.當時,求其中一個數(shù)列的前2015項和.21．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠處一山頂D在西偏北的方向上，仰角為，行駛4km后到達B處，測得此山頂在西偏北的方向上．（1）求此山的高度（單位：km）；（2）設汽車行駛過程中仰望山頂D的最大仰角為，求．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運算公式和向量模的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、C【解析】

由題設條件，得到直線與直線異面或平行，進而得到答案．【詳解】由題意，因為直線與平面平行，直線在平面上，所以直線與直線異面或平行，即直線與直線沒有公共點，故選C．【點睛】本題主要考查了空間中直線與直線只見那的位置關(guān)系的判定及應用，以及直線與平面平行的應用，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題．3、D【解析】在中，由正弦定理得，解得在中，4、A【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，依次證明線面平行和面面平行，根據(jù)直線的平行關(guān)系求異面直線的夾角.【詳解】根據(jù)正方體性質(zhì)，，所以異面直線與所成的角等于，，，所以不等于45°，所以A選項說法不正確；，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，所以平面，所以B選項說法正確；同理可證：平面，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面平面，所以C選項說法正確；，異面直線與所成的角等于，所以D選項說法正確.故選：A【點睛】此題考查線面平行和面面平行的判定，根據(jù)平行關(guān)系求異面直線的夾角，考查空間線線平行和線面平行關(guān)系的掌握5、B【解析】

由三角函數(shù)的定義可得：，得解.【詳解】解：在單位圓中，，故選B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，屬基礎題.6、D【解析】

根據(jù)，用基向量表示，然后與題目條件對照，即可求出．【詳解】由在中，是邊上一點，，則，即，故選．【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用及向量的線性運算．7、C【解析】

由已知利用余弦定理可得，解得a值，由已知可求中線，在中，由余弦定理即可計算AB邊上中線的長．【詳解】解：，由余弦定理，可得，整理可得：，解得或1．如圖，CD為AB邊上的中線，則，在中，由余弦定理，可得：，或，解得AB邊上的中線或．故選C．【點睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．8、D【解析】

根據(jù)幾何概型長度型直接求解即可.【詳解】根據(jù)幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型概率問題的求解，屬于基礎題.9、A【解析】

把5名學生編號，然后寫出任取2人的所有可能，按要求計數(shù)后可得概率．【詳解】3名男生編號為，兩名女生編號為，任選2人的所有情形為：，，共10種，其中恰有1名男生1名女生的有共6種，所以所求概率為．【點睛】本題考查古典概型，方法是列舉法．10、D【解析】

直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【詳解】由二倍角公式得：，故選D.【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先利用二倍角余弦公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而利用三角函數(shù)最小正周期的公式求得函數(shù)的最小正周期．【詳解】解：f（x）＝1﹣2sin2x＝cos2x∴函數(shù)最小正周期Tπ故答案為π．【點睛】本題主要考查了二倍角的化簡和三角函數(shù)的周期性及其求法．考查了三角函數(shù)的基礎的知識的應用．12、8【解析】由題意可得：則的最小值為.當且僅當時等號成立.點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．13、【解析】

由得，代入方程即可求解.【詳解】,.,,,即，故填.【點睛】本題主要考查了反三角函數(shù)的定義及運算性質(zhì)，屬于中檔題.14、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．15、【解析】

利用面面垂直的性質(zhì)定理得到平面，又直線，利用線面垂直性質(zhì)定理得.【詳解】在長方體中，設平面為平面，平面為平面，直線為直線，由于，，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，因為，由線面垂直的性質(zhì)定理，可得.【點睛】空間中點、線、面的位置關(guān)系問題，一般是利用線面平行或垂直的判定定理或性質(zhì)定理進行求解.16、【解析】

直接利用公式得到答案.【詳解】至少參加上述一個社團的人數(shù)為15故答案為【點睛】本題考查了概率的計算，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由已知分別求得及與，再由數(shù)量積求夾角計算結(jié)果；（Ⅱ）利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα，再由三角函數(shù)的誘導公式化簡求值．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，||＝5，||，∴．（Ⅱ）∵P（﹣4，3）為角α終邊上一點，∴，．則sin2α．【點睛】本題考查利用數(shù)量積求向量的夾角，考查任意角的三角函數(shù)的定義，訓練了利用誘導公式化簡求值，是基礎題．18、（1）或．（2）【解析】

(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當斜率存在時設方程為,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線的距離列出等式求解即可.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標為,半徑,當過點M的直線的斜率不存在時,方程為．由圓心到直線的距離知,此時,直線與圓相切．當過點M的直線的斜率存在時,設方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過點M的圓的切線方程為或．（2）∵圓心到直線的距離為,∴,解得．【點睛】本題主要考查了直線與圓相切與相交時的求解.注意直線過定點時分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.19、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）證明，EF∥平面PAC即得證；（2）證明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得證；（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，證明N點為所找的H點．【詳解】（1）證明：∵E、F分別是BC，BP中點，∴，∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）證明：∵E、G分別是BC、AD中點，∴AE∥CG，∵AE?平面PCG，CG?平面PCG，∴AE∥平面PCG，又∵EF∥PC，PC?平面PCG，EF?平面PCG，∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E點，AE，EF?平面AEF，∴平面AEF∥平面PCG．（3）設AE，GC與BD分別交于M，N兩點，易知F，N分別是BP，BM中點，∴，∵PM?平面PGC，F(xiàn)N?平面PGC，∴FN∥平面PGC，即N點為所找的H點．【點睛】本題主要考查空間平行位置關(guān)系的證明，考查立體幾何的探究性問題的解決，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20、(1)2,5,8,11,8,5,2;(2);(3)答案見詳解【解析】

(1)求出前四項的公差，然后寫出即可(2)先算出，然后(3)依題意，可寫出所有項數(shù)不超過2m的對稱數(shù)列，然后求出第一個數(shù)列的【詳解】(1)設數(shù)列的公差為，則，解得所以各項為2,5,8,11,8,5,2(2)因為是首項為50,公差為-4的等差數(shù)列所以所以所以當時取得最大值，為626(3)所有可能的對稱數(shù)列是①,②,③,④,對于①，當時，當時所以【點睛】本題是一道數(shù)列的新定義的題，考查了數(shù)列的求和和最值問題.21、（1）km．