【凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用探究3500字】

凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u23731凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 179111.引言 1123032.凸函數(shù)的定義及判別法 2113882.1函數(shù)的定義 2168892.2凸函數(shù)的判定定理 5209653.凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 679134.凸函數(shù)的應(yīng)用 7142634.1詹森（Jensen）不等式 7192514.2凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用 1078684.3凸函數(shù)求解高中數(shù)學(xué)題的應(yīng)用 12171755.結(jié)語 1524143參考文獻(xiàn) 151085致謝 16摘要：數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)是我們重點(diǎn)研究的問題，而在函數(shù)種類中，凸函數(shù)則是非常重要的一類函數(shù)。在本文中，我們闡明了關(guān)于凸函數(shù)的具體定義，給出方法用于判定一個函數(shù)是否為凸函數(shù)，再列舉了凸函數(shù)在運(yùn)算中的性質(zhì)，著重的對詹森不等式進(jìn)行推導(dǎo)證明，并結(jié)合相應(yīng)的題目體現(xiàn)出了凸函數(shù)在解決實(shí)際問題的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；運(yùn)算；詹森不等式。1.引言凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中一類極其重要的函數(shù)，其定義和性質(zhì)在理論和實(shí)踐中都有著極其重要的作用,它的適用性之廣使在諸多方面都有應(yīng)用,研究價值極高。因此,在后續(xù)的數(shù)學(xué)發(fā)展中對凸函數(shù)的等價的定義、性質(zhì)和應(yīng)用方面的研究一直是人們所重點(diǎn)研究的問題。在已有的研究成果出發(fā),本文首先給出華東師范大學(xué)主編的《數(shù)學(xué)分析》(上冊

)并結(jié)合復(fù)旦大學(xué)主編的高等教育出版社第三版《數(shù)學(xué)分析》，給出凸函數(shù)的基本定義以及相關(guān)的幾個常用等價定義；進(jìn)而由凸函數(shù)的基本定義出發(fā)給出判定凸函數(shù)的方法,再列出了凸函數(shù)在運(yùn)算中的一些性質(zhì);由掌握性質(zhì)便于更好的解題，我們在最后結(jié)合相應(yīng)的題目體現(xiàn)出了凸函數(shù)在解決實(shí)際問題的應(yīng)用。2.凸函數(shù)的定義及判別法2.1函數(shù)的定義對于函數(shù)而言，我們在了解了它的單調(diào)性和極值之后，對函數(shù)形狀的把握有了很大的提升，但為了更深入和精確地掌握函數(shù)的形狀、性質(zhì)，我們又將函數(shù)分為了凸函數(shù)和凹函數(shù)。下面我們就結(jié)合凸函數(shù)的函數(shù)圖像來把握凸函數(shù)在幾何圖形的特征。從幾何圖形的角度容易看出，凸函數(shù)中任意兩點(diǎn)的連線都位于函數(shù)曲線的上方，對于函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)分別為，都有：。那么我們在圖像上另取一點(diǎn),不難得出：由此我們可以給出滿足凸函數(shù)的概念：定義1:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ谏系淖宰兞亢蛯?shí)數(shù)滿足：則稱為上的凸函數(shù)。特別地，當(dāng)上述等號不成立時，稱為上的嚴(yán)格凸函數(shù)。由這一基本定義出發(fā)，我們可以給出很多凸函數(shù)的等價定義。定義2:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ?，且，總有，則是定義域?yàn)榈囊粋€凸函數(shù)?；仡櫠x1來看，定義1中時，我們就可以得到定義2。定義3:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ?，總是能夠得到，那么定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是一個凸函數(shù)。其幾何意義是：弦斜率隨的增大而增大，即是單調(diào)遞增的。證明：［充分條件］設(shè)，則，代入定義1，得：［必要條件]在定義域中存在兩點(diǎn)，令求得，根據(jù)函數(shù)必要性，于是得出：故而為上的凸函數(shù)。定義4:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于，滿足：則稱為上的凸函數(shù)。其實(shí)我們根據(jù)矩陣的運(yùn)算性質(zhì)將矩陣展開整理可得:,發(fā)現(xiàn)其與定義3是等價的。而在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們知道就是曲線切點(diǎn)斜率的變化規(guī)律，斜率又是表達(dá)函數(shù)在切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。因而，我們又可以得到凸函數(shù)的另一定義。定義5:函數(shù)在定義域上都可以求得導(dǎo)數(shù)，若是單調(diào)的，還是遞增的，那么函數(shù)是定義在上的一個凸函數(shù)。那由定義5，我們又可以探討凸函數(shù)的函數(shù)值與它的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。假設(shè)在上有定義且是單調(diào)遞增的，是否可以證明：對于上任意兩點(diǎn),總有證明如下：由拉格朗日中值定理有因而凸函數(shù)它的定義又可以表示為：定義6:函數(shù)在定義域上都可以求得導(dǎo)數(shù)，在定義域上的總是存在兩點(diǎn)、，滿足:那么函數(shù)在定義域上是一個凸函數(shù)。由定義5我們知道，是單調(diào)遞增的，那么我們由單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系來看凸函數(shù)，我們可以得出凸函數(shù)的二階導(dǎo)是大于等于零的，也可根據(jù)這一特性給出凸函數(shù)的定義：定義7:為定義在上的連續(xù)函數(shù)，在上二階可導(dǎo)，且，那么就是定義在上的凸函數(shù)。從凸函數(shù)的基本定義出發(fā)，我們又得到了凸函數(shù)的幾種等價定義，在了解了凸函數(shù)的定義后，我們就可以運(yùn)用其定義來判定一個函數(shù)是否為凸函數(shù)，進(jìn)而對相應(yīng)的問題進(jìn)行求解和研究。2.2凸函數(shù)的判定定理從凸函數(shù)的定義出發(fā)，我們不難得出判斷某個函數(shù)是否為凸函數(shù)的判斷方法。判定定理1：函數(shù)在定義域上都可以求得導(dǎo)數(shù)，那為凸函數(shù)需滿足條件：在內(nèi)為遞增函數(shù)。判定定理2：函數(shù)在定義域上都可以求得導(dǎo)數(shù)，而且二階導(dǎo)數(shù)也是存在的，那為凸函數(shù)需滿足條件：。判定定理3：函數(shù)在定義域上都可以求得導(dǎo)數(shù)，那為凸函數(shù)需滿足條件：。判定定理4：函數(shù)在定義域上都可以求得導(dǎo)數(shù)，那為凸函數(shù)需滿足條件：。判定定理5：某函數(shù),和，且，那為凸函數(shù)需滿足條件：需要注意的是定理5又叫做詹森（Jensen）不等式，是由為凸函數(shù)的條件下證明得來，其證明放在凸函數(shù)的應(yīng)用中給出，在此就不做過多的論述。在知曉了凸函數(shù)的定義和判別法之后，可以使得我們在解題過程中省略大部分的思考時間，有利于我們更快的把握問題函數(shù)的本質(zhì)，利用對應(yīng)的性質(zhì)解決問題。3.凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)在研究一個函數(shù)時，那就要從函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、增減性等方面對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行思考。除此之外，對于函數(shù)整體的運(yùn)算性質(zhì)也是我們所思考的一個重要方面。例如：定義在實(shí)數(shù)上的單調(diào)增函數(shù)在擴(kuò)大倍后得到的函數(shù)在定義域上仍為單調(diào)遞增的。由此出發(fā)，我們也可以得到凸函數(shù)的幾大運(yùn)算性質(zhì)。運(yùn)算性質(zhì)1：對于定義在上的兩凸函數(shù)和，那么+在定義域上也是一個凸函數(shù)。運(yùn)算性質(zhì)2：凸函數(shù)在定義域上有定義，那么有在定義域上也是一個凸函數(shù)。運(yùn)算性質(zhì)3：設(shè)凸函數(shù)與都在定義域有定義，函數(shù)值都大于等于零且是遞增的，則也是區(qū)間上的凸函數(shù)。運(yùn)算性質(zhì)4：若凸函數(shù)在定義域上是嚴(yán)格遞增的，而也是一個凸函數(shù)時，那我們可以得知函數(shù)也為凸函數(shù)。對于運(yùn)算性質(zhì)1，同為凸函數(shù)的兩函數(shù)相加，又由凸函數(shù)是單調(diào)遞增的可得，凸函數(shù)加凸函數(shù)得到的目標(biāo)函數(shù)仍舊為凸函數(shù)；對于運(yùn)算性質(zhì)2，根據(jù)函數(shù)的求導(dǎo)法則，k不影響函數(shù)的求導(dǎo)之后的值，即目標(biāo)函數(shù)的與原函數(shù)具有相同的增減性，故目標(biāo)函數(shù)還是一個凸函數(shù)；對于運(yùn)算性質(zhì)3，凸函數(shù)的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)都為非負(fù)數(shù)，那么目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)也是一個大于等于零的數(shù)，根據(jù)凸函數(shù)的判定定理2，那么目標(biāo)函數(shù)也是一個凸函數(shù)。這三個運(yùn)算性質(zhì)也比較容易推導(dǎo)，在這就簡單敘述一下，不作證明。而對于運(yùn)算性質(zhì)四也并不難以理解，我們在結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則亦可證明，下面我們給出它的證明過程：證明：運(yùn)算性質(zhì)得證。4.凸函數(shù)的應(yīng)用4.1詹森（Jensen）不等式在凸函數(shù)的判定定理5中，我們給出了詹森不等式的表達(dá)形式，下面我們給出它的證明。證明如下：記，又λ＜1，則由泰勒公式有各式乘以λi再相加，得特別地，取時，則 取時，則有。詹森不等式是凸函數(shù)的一個重要性質(zhì)，它是我們在解題中最常用到的方法，能夠很大程度簡化我們的運(yùn)算過程。例1證明不等式證明：例2設(shè)和是兩組正數(shù)，，證明。證明：要證明不等式即要證例3求證個大于零的數(shù)的倒數(shù)的算數(shù)平均值不小于這個數(shù)的算數(shù)平均值的倒數(shù)。證明：例4設(shè)a1,a2,,an均為正數(shù)，且a1+a2++an=1，求證：4.2凸函數(shù)在不等式中的應(yīng)用凸函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中一類非常重要的函數(shù)，在大學(xué)數(shù)學(xué)的過程中，特別是在不等式的證明中應(yīng)用特別廣泛，下面我們來看幾個例題。例5設(shè)a、b＞0，,r＞0,證明：證明：例6證明younger不等式：證明：例7對任何正數(shù)，當(dāng)α＞1時有證明：4.3凸函數(shù)求解高中數(shù)學(xué)題的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)也是貫穿教材始終的一個知識點(diǎn)，在學(xué)習(xí)了凸函數(shù)之后，我們可以用凸函數(shù)的性質(zhì)來思考解答高中數(shù)學(xué)題，與高中的解題方法相比較而言，我們的解題過程更加簡潔、方便。例8求證：對于任意實(shí)數(shù)a、b,有。證明：例9在?ABC中，證明：證明：例10求證：對于任意，對于函數(shù)，都有證明：例11若是一組實(shí)數(shù)，且，試求：的最小值。解：例12證明：例13（Ⅰ）設(shè)函數(shù),求f(x)的最小值。（Ⅱ）設(shè)正數(shù)滿足，證明：（Ⅰ）解：（Ⅱ）解：5.結(jié)語從上述凸函數(shù)的應(yīng)用發(fā)現(xiàn)，在熟悉了凸函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)算性質(zhì)后，可以簡化我們在解題過程中的運(yùn)算，縮短解題的時間。實(shí)際發(fā)現(xiàn)，凸函數(shù)在諸多領(lǐng)域的問題的解決過程中都有著很不錯的效果，因此，我們?nèi)孕鑼ν购瘮?shù)的理論進(jìn)行更深層次的開拓，進(jìn)而推動數(shù)學(xué)的發(fā)展，讓數(shù)學(xué)更好的融入我們的生活。參考文獻(xiàn)[1]熊鵬飛,付曉鵑.凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用[J].黑龍江科技信息,2011(21):180.[2]陶鳳梅.簡論凸函數(shù)的等價定義及其性質(zhì)(Ⅱ)[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報,1993(03):27-30+71.[3]劉仁義.關(guān)于凸函數(shù)的討論[J].南都學(xué)壇,1991(S2):19-24.[4]蔣善利,普豐山.凸函數(shù)的性質(zhì)與判斷[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,26(06):13-14.[5]劉仁義.關(guān)于凸函數(shù)的判定[J].甘肅高師學(xué)報,1998(03):8-14.[6]陳亞麗.關(guān)于凸函數(shù)的定義和性質(zhì)[J].無錫商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報,2013,13(03):111-112.[7]張向輝,程曹宗.(h,ф)-凸函數(shù)的廣義方向?qū)?shù)及廣義次梯度的兩個基本性質(zhì)[J].今日科苑,2007(10):146-147.[8]楊新民.凸函數(shù)