八年級(jí)數(shù)學(xué)-第十四章-整式的乘法 -教案

第十四章整式的乘法

14.1.1同底數(shù)塞的乘法

教學(xué)目的：

1、能歸納同底數(shù)塞的乘法法則，并正確理解其意義；

2、會(huì)運(yùn)用同底數(shù)基的乘法公式進(jìn)行計(jì)算，對(duì)公式中字母所表示“數(shù)”的各種可能情形應(yīng)有

充分的認(rèn)識(shí)，并能與加減運(yùn)算加以區(qū)分；了解公式的逆向運(yùn)用；

教學(xué)重點(diǎn)：同底數(shù)幕的乘法法則

難點(diǎn)：底數(shù)的不同情形，尤其是底數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)的變號(hào)過程

教具與實(shí)驗(yàn)：用于拼圖的長方形硬紙板

一、創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)求知欲

課本第95頁的引例

二、復(fù)習(xí)提問

1.乘方的意義：求n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫乘方

2.指出下列各式的底數(shù)與指數(shù)：

(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23.

其中，(-2)3與-23的含義是否相同？結(jié)果是否相等？(-2”與-24呢？

三、講授新課

1.利用乘方概念計(jì)算：1014x1()3.

2、計(jì)算觀察,探索規(guī)律：完成課本第95頁的“探索”，學(xué)生“概括"a"'Xa"="=a”2

3、觀察上式，找出其中包含的特征：左邊的底數(shù)相同,進(jìn)行乘法運(yùn)算；

右邊的底數(shù)與左邊相同,指數(shù)相加

4、歸納法則：同底數(shù)的基相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

三、實(shí)踐應(yīng)用，鞏固創(chuàng)新

例1、計(jì)算：

(l)x2?x5⑵a?a6(3)2X2*X23(4)xm-x3m+1

練習(xí)：

1.課本第96頁：(學(xué)生板演過程，寫出中間步驟以體現(xiàn)應(yīng)用法則)

2.隨堂鞏固：下面計(jì)算否正確？若不正確請(qǐng)加以糾正。

①a6,a6=c2a6②^a2+a4=a6(3^)a2,a4=a8

例2、計(jì)算：

(1)(-2)x(-*x(-2)、(2)x3(-/)(3)(-x).?.(-x)2.

(4)3"(-9)x275(5*工-才(x-力(工-才；(6)(x-j)3(x-7)(y-x)2

要點(diǎn)指導(dǎo)：底數(shù)中負(fù)號(hào)的處理；能化為同底數(shù)幕的數(shù)字底數(shù)的處理；多項(xiàng)式底數(shù)及符號(hào)的

處理。

例3、(1)填空：⑴若xM'xxXZx1貝ijm=；

、mnr.m+n

(2)2=16,2=8,則2=。

四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)：1、同底數(shù)基相乘的法則；

2、法則適用于三個(gè)以上的同底數(shù)幕相乘的情形；

3、相同的底數(shù)可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；

4、要注意與加減運(yùn)算的區(qū)別。

14.1.2塞的乘方

教學(xué)目標(biāo)：

(1)經(jīng)歷探索幕的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)塞的意義；

(2)了解塞的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問題.

教學(xué)重點(diǎn)：幕的乘方的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：幕的運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

一：知識(shí)回顧

1.講評(píng)作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤

2.同底數(shù)幕的乘法的應(yīng)用的練習(xí)

二：新課引入

探究：根據(jù)乘方的意義及同底數(shù)塞的乘法填空，看看計(jì)算的結(jié)果有

什么規(guī)律：

(1)(32)3=32X32X32=3(1

(2)(a):二a

(/3)xz\am)\3:am.am,am-a()

“個(gè)”,

(4)(a")”=….""==an.

--

觀察結(jié)果，發(fā)現(xiàn)塞在進(jìn)行乘方運(yùn)算時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)的乘法運(yùn)算.

引導(dǎo)學(xué)生歸納同底數(shù)幕的乘法法則：

基的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

即：(a)〃=才(仄刀都是正整數(shù)).

二、知識(shí)應(yīng)用

例題：(1)(103)5；(2)(a1)4；(3)(as)2；(4)—(4)

說明：一(/)3表示(、')3的相反數(shù)

練習(xí)：課本第143頁(學(xué)生黑板演板)

補(bǔ)充例題：

(1)(/)3-y(2)2(a2)6-(才)1(3)(ab2)3

(4)-(-2a2b)4

說明：(1)(/)Ly中既含有乘方運(yùn)算，也含有乘法運(yùn)算，

按運(yùn)算順序，應(yīng)先乘方，再做乘法，所以，(/)

=/；

(2)2(/)6—(3)4按運(yùn)算順序應(yīng)先算乘方，最后再化簡.所

以，2(a2)6—(3)4=23X6—a3X4=2j2—J2=y.

三寨的乘方法則的逆用cr=(amy=(〃)".

⑴/?V=X()=()5=()4=())

(2)a2m=()2=()"(力為正整數(shù)).

練習(xí)：

1.已知3義9"=31求〃的值.

2.已知護(hù)=5,片，=3,求才少的值.

3.設(shè)〃為正整數(shù)，且六=2,求9(產(chǎn))2的值.

四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)

小結(jié)：事的乘方法則.

14.1.3積的乘方

教學(xué)目標(biāo)：

(1)經(jīng)歷探索積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)幕的意義；

(2)了解積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實(shí)際問題.

教學(xué)重點(diǎn)：積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：積的乘方運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

教學(xué)過程：

一.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

1.前面我們學(xué)習(xí)了同底數(shù)嘉的乘法、幕的乘方這兩個(gè)運(yùn)算性質(zhì)，請(qǐng)同學(xué)們通過

完成一組練習(xí)，來回顧一下這兩個(gè)性質(zhì)：

344

(])。XX。=(2)團(tuán)

(3)2夕)葭1(4)1xJxax口y=

2.探索新知，講授新課

(1)(3X5)7——積的乘方

二(3x5)x(3x5)x---x(3x5)一一累的意義

~7個(gè)&x5)-

二(3x3x…x3)X(5x5x…x5)——乘法交換律、結(jié)合律

7個(gè)37個(gè)5

=37X57；——乘方的意義

(2)(ab)2=(ab),(ab)=(a?a),(b?b)=a')b11

(3)(a2bD3=(a2b3)?(a2b3)?(a2b3)=(a2?a2?a2)?(b3?b3?b3)

=a*b(1

⑷(")"

二(ab)?(ab).....(ab)一一累的意義

〃個(gè)就

二(a?a?a......a)?(hhb......b)——乘法交換律、結(jié)合律

”個(gè)a”個(gè)b

nin

-aD.——乘方的意義

由上面三個(gè)式子可以發(fā)現(xiàn)積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)：

積的乘方，等于把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的寨相乘.

BP：(ab)n=an*bn

二、知識(shí)應(yīng)用，鞏固提高

例題3計(jì)算

(1)(2a＞；(2)(—503；(3)(獷此

(4)(-2/3f)1(5)(一2孫尸(6)(2X103)2

說明:(5)意在將(")"=///'推廣，得到了

判斷對(duì)錯(cuò)：下面的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)怎樣改正？

①(一『=，②位『)3=9*3,3③(-z/)2=-4a，

練習(xí)：課本第98頁

三.綜合嘗試，鞏固知識(shí)

補(bǔ)充例題：計(jì)算：

(1)/.九+町+(_2日

(2)2口卜/邛可+㈤…

四.逆用公式:(而"=〃/，即。方=(寺)"

預(yù)備題：(1)aV=(『⑵*4=(戶

例題：(1)0.12516?(-8)17；(2)I-I211

(2)已知2"'=3,2"=5,求23—20的值.

(注解)：23m+2,,=23Hf>22,,=(2m)3?(2fl)2=33?52=27X25=675.

四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)

作業(yè)：習(xí)題14.1

14.1.4整式的乘法(單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式)

教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷探索單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程，會(huì)進(jìn)行整式相乘的

運(yùn)算。

教學(xué)重點(diǎn)：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的探索.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算和化簡.

教學(xué)過程：

一.復(fù)習(xí)鞏固：

同底數(shù)毒，基的乘方，積的乘方三個(gè)法則的區(qū)分。

二.提出問題，引入新課

(課本引例)：光的速度約為3x105千米/秒，太陽光照射到地球上需要的

時(shí)間大約是5xl()2秒，你知道地球與太陽的距離約是多少千米嗎？

(1)怎樣計(jì)算(3x105)x(5X102)?計(jì)算過程中用到哪些運(yùn)算律及運(yùn)算性

質(zhì)？

(2)如果將上式中的數(shù)字改為字母，比如?a2怎樣計(jì)算這個(gè)式子？

說明：(3X1O5)X(5X102),它們相乘是單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘.

?兒2是兩個(gè)單項(xiàng)式45與。相乘，我們可以利用乘法交換律，結(jié)合律及

同底數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)來計(jì)算：ac5*bc2=(a?b)?(c5*c2)=abc'+2=abc1.

三.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則及應(yīng)用

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)

單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

例4(課本例題)計(jì)算：(學(xué)生黑板演板)

(1)(—5a%)(—3a)；(2)(2x)3(—5x)2).

練習(xí)1(課本)計(jì)算：

(1)3X25X3；(2)4y(—2xy2)；

(3)(3x2y)3,(—4x)；(4)(—2a)3(-3a)2.

練習(xí)2(課本)下面計(jì)算的對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？

(1)3a3.2〃=6J；(2)2x2,=6x4；

(3)3??4/=⑵2；(4)5y3?；/=15yl5.

四.鞏固提高

(補(bǔ)充例題)：

1.(-2x2y),(l/3xy2)

2.(-3/2ab)?(-2a)?(-2/3a2b2)

3.(2XIO'5)2?(4X103)

4.(-4xy)?(-x2y2)?(l/2y3)

5.(-l/2ab2c)2?(-l/3ab3c2)3?(12a3b)

6.(-ab3),(~a2b)3

7.(~2xn+lyn),(-3xy),(-l/2x2z)

8.-6m2n,(x-y)3,l/3mn”,(y-x)2

五.小結(jié)作業(yè)

方法歸納：

(1)積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，應(yīng)先確定符號(hào)。

(2)相同字母相乘，是同底數(shù)塞的乘法。

(3)只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注

意不要把這個(gè)因式丟掉。

(4)單項(xiàng)式乘法法則對(duì)于三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。

(5)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。

作業(yè)：課本104頁3

14.1.4整式的乘法(單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式)

教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷探索單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程，會(huì)進(jìn)行

整式相乘的運(yùn)算。

教學(xué)重點(diǎn)：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的探索.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算和化簡.

教學(xué)過程：

復(fù)習(xí)舊知

1.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則

R3

2.練習(xí)：9x2y?(-2xy2)(-3ab)?(l/3abz)

3.合并同類項(xiàng)的知識(shí)

二、問題引入，探究單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則

(課本內(nèi)容)：三家連鎖店以相同的價(jià)格"2(單位：元/瓶)銷售某種

商品，它們在一個(gè)月內(nèi)的銷售量(單位：瓶)分別是“、尻C.你能

用不同的方法計(jì)算它們在這個(gè)月內(nèi)銷售這種商品的總收入嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考，然后討論交流.經(jīng)過思考可以發(fā)現(xiàn)一種方法是先求

出三家連鎖店的總銷量，再求總收入，為：m(a+b+c).

另一種計(jì)算方法是先分別求出三家連鎖店的收入，再求它們的

和，即：ma+inb+inc.

由于上述兩種計(jì)算結(jié)果表示的是同一個(gè)量，因此

m(。+力+c)=ma-\-mb-\-mc.

學(xué)生歸納：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每

一項(xiàng)，再把所得的積相加.

引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是利用乘法分配律轉(zhuǎn)化為單

項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,

三.講解例題

1.例題5(課本)計(jì)算：

9i

(1)(—4f)(3x+l)；(2)(-cib~—2ab)?—cib

2.補(bǔ)充例題1：

化簡求值：(-3x)2_2x(x+3)+x?x+2x,(-4x+3)+2007

其中：X=2008

練習(xí)：課本100頁1、2

3.補(bǔ)充練習(xí)：

計(jì)算

1.lab(5ab2+3a2b)i2.(-ab2—lab},-ab\

32

3.-6x(x-3y)；4.—la(-ab+b2).

2

5.(-2a2)?(l/2ab+b2)

6.(2/3x2y—6xy)?l/2xy2

7.(-3x2)?(4x2-4/9x+1)

83ab?(6a2b4-3ab+3/2ab3)

9.l/3xny,(3/4x2—l/2xy—2/3y—l/2x2y)

10.(—ab)2,(-3ab)2,(2/3a2b+a3?a2?a—l/3a)

四.小結(jié)歸納，布置作業(yè):

作業(yè)：課本第105頁4

14.1.4整式的乘法（多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式）

教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的過程，會(huì)進(jìn)行

整式相乘的運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則的探索

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算和化簡.

教學(xué)過程：

一.復(fù)習(xí)舊知

講評(píng)作業(yè)

二.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

（課本）如圖，為了擴(kuò)大街

心花園的綠地面積，把一塊原長

。米、寬加米的長方形綠地，增

長了〃米，加寬了〃米.你能用幾種方法求出擴(kuò)大后的綠地面積?

一種計(jì)算方法是先分別求出四個(gè)長方形的面積，再求它們的和，

即（am+an+bm+bn）米

另一種計(jì)算方法是先計(jì)算大長方形的長和寬，然后利用長乘以寬

得出大長方形的面積，即Ca+b）（機(jī)+〃）米2.

由于上述兩種計(jì)算結(jié)果表示的是同一個(gè)量，因此

(?+/>)(，〃+〃)=am+an+bm+bn.

教師根據(jù)學(xué)生討論情況適當(dāng)提醒和啟發(fā)，然后對(duì)討論結(jié)果（。+8）

（m+n）=am+an+bm+bn進(jìn)行分析，可以把m-\~n看做一個(gè)整體，

運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，得

(a+b)(m+〃)=a(m+〃)+b(TW+M),

再利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，得

a(m+〃)+Z?(zw+n)=am+an+bm+bn.

學(xué)生歸納：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一

項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

三、應(yīng)用提高、拓展創(chuàng)新

例6(課本)：計(jì)算

(1)(3x+l)(x+2);(2)(x—8y)(x—y);

(3)(x+y)(x2—xy+y2)

進(jìn)行運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意：不漏不重，符號(hào)問題，合并同類項(xiàng)

練習(xí)：(課本)102頁12

補(bǔ)充例題：

1.(a+b)(a—b)—(a+2b)(a—b)

2.(3x*—3X2+1)(X*+X2—2)

3.(x—1)(x+1)(x2+l)

4.當(dāng)a=~l/2時(shí),求代數(shù)式(2a—b)(2a+b)+(2a—b)(b—4a)+2b(b

—3a)的值

四.歸納總結(jié)，布置作業(yè)

課本105頁5

14.2.1平方差公式

教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷探索平方差公式的過程，會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行

簡單的運(yùn)算.

教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用平方差公式解決實(shí)際問題.

過程：

一.創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引出本節(jié)內(nèi)容

活動(dòng)1知識(shí)復(fù)習(xí)

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)

乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.

(a+6)(m+n)-am+an+bm+bn

活動(dòng)2計(jì)算下列各題，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1)(x+1)(x—1)；(2)(a+2)(a—2)；

(3)(3—x)(3+x)；(4)(2/w+〃)(2m-n).

再計(jì)算：(a+方)(a—h)=a1—ah+ab—Z?2=a2—h2.

得出平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2.即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

活動(dòng)3請(qǐng)用剪刀從邊長為a的正方形紙板上，剪下一個(gè)邊長為匕的小正方形(如

圖1),然后拼成如圖2的長方形，你能根據(jù)圖中的面積說明平方差公式嗎？

圖1中剪去一個(gè)邊長為人的小正方形，余下圖形的面積，即陰影部分的面積為

(a2-b2).

在圖2中，長方形的長和寬分別為(a+。)、(a-b),所以面積為

(a+b)(a-b).

這兩部分面積應(yīng)該是相等的，即(a+b)(a-b)=a2-b2.

二、知識(shí)應(yīng)用，鞏固提高

例1計(jì)算：

(1)(3x+2)(3x—2)；(2)(~x+2y)(—x-2y)

(3)(b+2a)(2a-b)；(4)(3+2。)(-3+2。)

練習(xí)：加深對(duì)平方差公式的理解（課本110頁練習(xí)1有同種題型）

下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是（）

(1)(x+1)(1+x)；(2)3+(/?-1?)；

2。)2

(3)(—a+b)(〃一人)；(4)(f—y)(x+J)；

2222

(5)(—a-b)(Q—8)；(6)(c-J)Cd+cy

例題2：計(jì)算

(1)102X98

(2)(y+2)(y-2)—(y—1)(方5)

(3)Qa+b+c)(a—b+d)(補(bǔ)充)

22

(4)2004-2003(補(bǔ)充)

2

(5)(a+3)(a—3)(a+9）（補(bǔ)充）

說明：(3)意在說明公式中的a,）可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式

(4)意在說明公式的逆用

練習(xí)：課本110頁2

四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)

課本習(xí)題112頁習(xí)題1；5

14.2.2完全平方公式（第1課時(shí)）

教學(xué)目標(biāo)：完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用；完全平方公式的幾何背景；體會(huì)公式

中字母的廣泛含義，它可以是數(shù)，也可以是整式.

教學(xué)重點(diǎn)：(1)完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語言表述、幾何解釋；

(2)完全平方公式的應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋和公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.

教學(xué)過程：

一、激發(fā)學(xué)生興趣，引出本節(jié)內(nèi)容

活動(dòng)1探究，計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=；

(2)(w+2)2=(w+2)(〃z+2)=；

(3)(/?—1)W(/?—1)(p—1)=；

(4)(m-2)2=(m—2)(m—2)=.

答案：(1)p1+2p+1；(2)m2+4m+4；(3)p?—2p+l；(4)m2—4m+4.

活動(dòng)2在上述活動(dòng)中我們發(fā)現(xiàn)(0+8)2=42+2。/；+〃，是否對(duì)任意的

b,上述式子都成立呢？

學(xué)生利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算，觀察計(jì)算結(jié)果，尋找一般

性的結(jié)論，并進(jìn)行歸納，用多項(xiàng)式乘法法則可得

(a+b)2=(a+。)(a+/7)=a(a+b)+bQa+b)-cr+ab+ab+b2

=a+2ab-^b.

(a-/7)2=(?―/?)(〃一”)=a(aT?)~bQa—b)=c^-ab-ah+h2

=cr—2ab+b2.

二、問題引申，總結(jié)歸納完全平方公式

兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍,

即

(a+6)2=a2+2ab+b2,

(a~b)2=a2—2a6+62.

在交流中讓學(xué)生歸納完全平方公式的特征：

(1)左邊為兩個(gè)數(shù)的和或差的平方；

(2)右邊為兩個(gè)數(shù)的平方和再加或減這兩個(gè)數(shù)的積的2倍.

活動(dòng)4你能根據(jù)教材中的圖15.2-2和圖15.2-3中的面積說明完全平

方公式嗎？

三.例題講解，鞏固新知

例3：(課本)運(yùn)用完全平方公式計(jì)算

(1)(4m+n)2;(2)(y—1/2)2

補(bǔ)充例題：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算

(1)(—x+2y)2；(2)(—x—y)2；(3)(x+y)2—(x—y)~.

說明：(1)題可轉(zhuǎn)化為(2y—x)2或(尤一2y)2,再運(yùn)用完全平方公式；

(2)題可以轉(zhuǎn)化為(x+y)2,利用和的完全平方公式；

(3)題可利用完全平方公式，再合并同類項(xiàng)，也可逆用平方差公式

進(jìn)行計(jì)算.

例4：(課本)運(yùn)用完全平方公式計(jì)算

(1)1022；(2)992.

思考：(a+匕)2與(一&—〃)2相等嗎？為什么？

(?-/?)2與(b—a)2相等嗎？為什么？

Qa-b)2與一一一相等嗎?為什么？

練習(xí)：課本110頁1；2

補(bǔ)充例題：

(1)如果X2+kxy+9y2是一個(gè)完全平方式，求k的值

(2)已知％+)=8,孫=12,求f+y2；(X—y)2的值

92

(3)已知a+1/a=3,求a+1/a

四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)

小結(jié)：完全平方公式.

作業(yè)：課本112頁習(xí)題2；6；7

14.2.2完全平方公式(第2課時(shí))

教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握完全平方公式及其應(yīng)用，理解公式中添括號(hào)的方法

重點(diǎn)：添括號(hào)法則及完全平方公式的靈活應(yīng)用

難點(diǎn)：添括號(hào)法則及完全平方公式的靈活應(yīng)用

內(nèi)容：

一復(fù)習(xí)舊知，引入添括號(hào)法則

去括號(hào)法則：a+(b+c)=a+b+ca—(b+c)=a—b—c

添括號(hào)法則：a+b+c=a+(b+c)a—b—c=a—(b+c)

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前

面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

練習(xí)：(課本111頁練習(xí)1有同種類型題)

a+b—c=a+(b—c)=a—(-b+c)

a—b+c=a+(-b+c)=a—(b—c)

二講解例題，鞏固新知

例題5運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(課本)

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)

2

(2)(a+b+c).

練習(xí)：課本111頁練習(xí)2

三補(bǔ)充例題，開闊眼界

1利用乘法公式化簡求值題

(2x+y)2—(x+y)(x-y),其中x=1,y=-2

2乘法公式在解方程和不等式中的應(yīng)用

①已知(a+b尸=7,(a—b尸=4求a?+b?和ab的值

②解不等式：

(2x—5)(-5—2x)+(x+5)>3x(-x+2)

3與三角形知識(shí)相結(jié)合的應(yīng)用

已知三角形ABC的三邊長a、b、c,滿足a?+b?+<?-ab-be-ac=0,試判斷

三角形的形狀。

四總結(jié)歸納，布置作業(yè)

添括號(hào)法則

作業(yè)：課本112頁3；4；5；8；9；(根據(jù)學(xué)生情況酌定)

14.3.1同底數(shù)塞的除法

教學(xué)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷探索同底數(shù)暴的除法的運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會(huì)累

的意義，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。

2、了解同底數(shù)事的除法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解一些實(shí)際問題。

教學(xué)重點(diǎn)：公式的實(shí)際應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：a°=l中aNO的規(guī)定。

教學(xué)過程：

一、探索同底數(shù)塞的除法法則

1、根據(jù)除法的意義填空，并探索其規(guī)律

(1)5=53=5,)

(2)1074-105=10(>

(3)a64-a3=a()

推導(dǎo)公式：am^a"=(awo,n為正整數(shù)，且m>n)

歸納：同底數(shù)塞相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

2、比較公式

a,a=a(a)=a

(ab)m=ambmam4-a=ara-n

比較其異同，強(qiáng)調(diào)其適用條件

二、實(shí)際應(yīng)用

例1:計(jì)算

(1)X84-X2(2)a4-a(3)(ab)54-(ab)

例2：一種數(shù)碼照片的文件大小是28K,一個(gè)存儲(chǔ)量為26M(1M

=210K)的移動(dòng)存儲(chǔ)器能存儲(chǔ)多少張這樣的數(shù)碼照片？

解：26M=26X2l0K=2l6K

2164-28=28(張)=256(張)

三、探究a°的意義

根據(jù)除法的意義填空，你能得什么結(jié)論？

(1)32^-32=

(2)1034-103=

(3)af(aWO)

由除法意義得：a^an=l(a#0)

如果依照菰+工=2『"=￡

于是規(guī)定：a°=l(a/0)

即任何不等于0的數(shù)的0次幕都等于1

四、練習(xí)：PM1、2、3

五、作業(yè)：P104習(xí)題14.31、4、5、7

14.1.4整式的除法(1)

教學(xué)目標(biāo)：

經(jīng)歷探索單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的過程，會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式除以單項(xiàng)

式的運(yùn)算。

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用法則計(jì)算單項(xiàng)式除法

教學(xué)難點(diǎn)：法則的探索

教學(xué)過程：

一、提出問題，引入新課］

問題：木星的質(zhì)量約是1.90X102,噸，地球的質(zhì)量約是5.98X1021

噸，你知道木星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的多少倍嗎？

如何計(jì)算：(1.90X1024)4-(5.98X1021),并說明依據(jù)。

二、討論問題，得出法則

討論如何計(jì)算：

(1)8a34-2a(2)6x3y4-3xy(3)12a3b3x34-3ab2

［注：8a=2a就是(8aD+(2a)］

由學(xué)生完成上面練習(xí)，并得出單項(xiàng)式除單項(xiàng)式法則。

單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：

單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)塞分別相除，作為商的因式，對(duì)于

只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

三、法則的應(yīng)用

例1：計(jì)算

(1)28x4y24-7x3y(2)-5a5b3c-M5a4b

練習(xí)：P1041>2

例2：計(jì)算下列各題

(1)(a+b)44-(a+b)2

(2)[(x-y)3]3+：(y-x)2]4

(3)(—6x2y)3-r(—3xy)3

例3：當(dāng)x=-2,y=l/4時(shí)，求代數(shù)式：

(—4x2)4-(-4x)2+12x3y2-7-(-4x2y)—24x4y34-(-4x3y2)的值

例4：已知5m=325m=11,求5舐-2n的值。

四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)

本節(jié)所學(xué)法則可與前面所學(xué)的三個(gè)法則比較，理解并記憶。

五、學(xué)校作業(yè)：Pio42、4、5、6

補(bǔ)充作業(yè)：

1、月球距離地球大約3.84Xl()5km,一架飛機(jī)的速度約為

8X10Wh,如果坐此飛機(jī)飛行這么遠(yuǎn)的距離，大約需要多長時(shí)

間？

2、觀察下面一列式子，根據(jù)你所看到的規(guī)律進(jìn)行填空：

a,-2a2,4a2,-8a2,……，第10項(xiàng)為,第n項(xiàng)

為o

3、已知a=4,an=3,a=2

則a'"-3k，如=____________________

4、16",4-4n4-2等于()

(A)(B)22U*2(C)231"2"1(D)24m-2n-1

14.1.4整式的除法(2)

教學(xué)目標(biāo)：

經(jīng)歷探索多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則的過程，會(huì)進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)

式的運(yùn)算。

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用法則計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式。

教學(xué)難點(diǎn)：

(1)法則的探索；

(2)法則的逆應(yīng)用；

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)舊知：

計(jì)算：

(1)am4-m+bm-i-m

(2)a2-j-a+ab+a

(3)4x2y4-2xy+2xyJ4-2xy

二、探索多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則

計(jì)算：(am+bm)+m,并說明計(jì)算的依據(jù)

(a+b)m=am+bm

(am+bm)+m=a+b

又am-j-m+bm4-m=a+b

故(am+bm)4-m=am4-m+bni-7-m

用語言描述上式，得到多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,

再把所得的商相加。

根據(jù)法則：(a~+ab)+a=+

三、實(shí)踐應(yīng)用

例1：計(jì)算

(1)(4x2y+2xy2)+2xy

(2)(12a3-6a2+3a)4-3a

(3)(21xy3—35x3y2+7x2y2)4-(—7x2y)

(4)[(x+y)2—y(2x+y)—8x]4-2x

練習(xí)：Pi?！?1)(2)(3)(4)

例2:計(jì)算

(1)(2/5a3x4-0.9ax3)4-3/5ax3

(2)(2/5xy2-7xy2+2/3y3)4-2/3y2

例3：化簡求值

(1)(X5+3X3)4-X3-(X+1)2其中x=-l/2

(2)[(x+y)(x—y)—(x—y)2+2y(x-y)]4-4y

其中x=2,y=l

四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)Pios38

思考題：

(1)4-(-4x2)=-3x2+4x—2

(2)長方形的面積為4a2—6ab+2a,若它的一個(gè)邊長為2a,則

它的周長是o

(3)已知g+ir能被10整除，求證：3n+4+n*能被10整除。

14.4.1提公因式法

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解因式分解的概念。

2、會(huì)確定多多項(xiàng)式的公因式。

3、會(huì)用提公因式法分解因式。

教學(xué)重點(diǎn)：用提公因式法分解因式

教學(xué)難點(diǎn)：公因式的確定

教學(xué)過程：

一、分解因式(因式分解)的概念

計(jì)算：

(1)x(x+1)(2)(x+1)(x-1)(學(xué)生練習(xí)，并演板)

X(x+1)=x2+x(x+1)(X—1)=X2—1

上面二式都是整式乘法，即把整式的乘積化為多項(xiàng)式的形式。

反過來：x2+x=x(x+1)X2—1=(x+1)(X—1)

即把多項(xiàng)式化為整式積的形式。

因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫

做這個(gè)多項(xiàng)式因式分解(或分解因式)。

因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即它們互為逆運(yùn)算。

判斷下列各式由左邊到右邊的變形中，哪些是因式分解：

(1)6=2X3(2)a(b+c)=ab+ac

(3)a2—2a+l=a(a—2)+1

(4)a2—2a=a(a—2)(5)a+l=a(1+1/a)

二、提公因式法

1、公因式

多項(xiàng)式ma+mb+mc中，各項(xiàng)都有一個(gè)公共的因式m,稱為該多

項(xiàng)式的公因式。

一般地,一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都有的公共的因式稱為這個(gè)多項(xiàng)式的公

因式。

指出下列各多項(xiàng)式的公因式

(1)8a3b2+12ab!c(2)8m2n+2mn

(3)—6abc+3ab2—9a2b

通過以上各題，你對(duì)確定多項(xiàng)式的公因式有什么方法？(學(xué)生歸

納、總結(jié))

2、提公因式法

由m(a+b+c)=ma+mb+mc,得至Uma+mb+mc+=m(a+b+c),

其中，一個(gè)因式是公因式m,另一個(gè)因式(a+b+c)是ma+mb+mc

除以m所得的商，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

三、例1：把(1)2a2b—4ab2(2)8ab+12ab3c分解因式

解：(1)2ab-4ab2

=2abXa_2abX2b

=2ab(a—2b)

(2)8a3b2+12ab3c

=4ab2X2a2+4ab2X3bc

=4ab?(2a2+3bc)

練習(xí)：P“51(1)(2)

例2：把2a(b+c)—3(b+c)分解因式

練習(xí)：P“51(3)(4)2

例3：用簡便方法計(jì)算

(1)9992+999(2)20072-2006X2007

練習(xí)：P⑹3

四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)

(1)分解因式(2)確定公因式(3)提公因式方法

Pu9習(xí)題14.316

補(bǔ)充練習(xí)：

1、分解因式：

(1)m2(a—2)+m(2—a)(2)m—n—mn+1

(3)a2n-an

(4)(3a-4b)(7a-8b)+(Ila—12b)(8b-7a)

2、計(jì)算：210-29-28

3、已知a—b=3,ab=-1,求a'b—ab-'

4、若a為實(shí)數(shù)，則多項(xiàng)式aYa?-1)—a?+1的值()

A、不是負(fù)數(shù)B、恒為正數(shù)

C、恒為負(fù)數(shù)D、不等于0

5、證明：817—279—90能被45整除

6、若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式3x2—mx+n分解因式結(jié)果

為(3x+2)(x—1),則m=,n=。

14.3.2公式法(1)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)進(jìn)一步理解分解因式的概念。

(2)能熟練運(yùn)用平方差公式分解因式。

教學(xué)重點(diǎn)：把符合公式形式的多項(xiàng)式寫成平方差的形式，并分解

因式。

教學(xué)難點(diǎn)：(1)確定多項(xiàng)式中的a、b;(2)分解徹底；

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)鞏固

1、什么叫分解因式？

2、用提公因式法分解因式

(1)2xy—4y(2)—2x(x+1)+(x+1)'

二、用平方差公式分解因式

把公式(a+b)(a—b)=a?-b?反過來就得到

a~-b2=(a+b)(a—b)

該公式用語言敘述為：

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積。

注：(1)使用平方差公式分解因式時(shí)，必須先把原多項(xiàng)式寫成兩

“數(shù)”平方差的形式，再分解因式，即用公式分解因式時(shí)，必須認(rèn)準(zhǔn)

其中的“a”與“b”。

(2)公式中的a、b即可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

三、公式的應(yīng)用

例1：分解因式

(1)4xJ—9(2)(x+p)(x+q)-

解：(1)4x之一9

—(2x)2-32

=(2x+3)(2x-3)

(2)(x+p)2-(x+q)2

=[(x+p)+(x+q)][(x+p)—(x+q)]

——(2x+p+q)(p—q)

練習(xí)Pil712

例2：分解因式

(1)x1—y4(2)a3b—ab

注：分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)進(jìn)行因式都不能再分解為止。

練習(xí)：分解因式

(1)a3—a(2)—(1+xy)2+(1—xy)2

(3)x2(x—y)+y2(y—x)(4)1—x4

(5)2x‘一8(6)m2(a—2)+m(2—a)

(7)mJ-n2+2m-2n

四、小結(jié)

(1)應(yīng)用平方差公式分解因式，必須認(rèn)準(zhǔn)的a與b。

(2)分解因式必須徹底。]

(3)有公因式的先提公因式，再用公式分解。

五、作業(yè)：Pn927

14.3.2公式法(2)

教學(xué)目標(biāo)：熟練應(yīng)用完全平方公式分解因式

教學(xué)重點(diǎn)：把多項(xiàng)式寫成符合公式的形式，并分解因式。

教學(xué)難點(diǎn)：(1)辨認(rèn)多項(xiàng)式中的“a”與"b”；(2)分解到底。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)平方差公式，并練習(xí)下列各題

(1)—a2+b2(2)(x+2)'—(x—2)2(3)2a—8a2

二、用完全平方公式分解因式

把整式乘法的完全平方公式:

(a+b)2=a?+2ab+b~(a—b)2=a'—2ab+b2

反過來，得到：aL，+2ab+b2=(a+b)2

a2—2ab+b2=(a—b)2

注：(1)形如a?12ab+b2的式子叫做完全平當(dāng)式,說出它們的特點(diǎn)。

(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多項(xiàng)式因式分解。

(3)上面兩個(gè)公式用語言敘述為：

兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩

個(gè)數(shù)的和(或差)的平方。

三、例題或練習(xí)：

1、下列多項(xiàng)式是不是完全平方式？為什么？

(1)a'—2a+1(2)a2—4a+4(3)a2+2ab—b2

(4)a2+ab+b2(5)9a2—6a+1(6)a2+a+1/4

2、分解因式

(1)16X2+24X+9(2)—x2+4xy—4y2

解：16X2+24X+9

=(4x)2+2-4x?3+32

[a2+2?a?b+b2]

(4x+3)2

：(a+b)2]

3、分解因式

(1)3ax2+6axy+3ay2(2)(a+b)2—12(a+b)+36

練習(xí)：P(i92(1)-----(6)

四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)

(1)用完全平方公式分解因式時(shí)，必須認(rèn)準(zhǔn)a與b。

(2)分解因式要“完全徹底”。

作業(yè)：P,20359

14.3.4習(xí)題課

教學(xué)目標(biāo)：綜合應(yīng)用提出因式法和公式法分解因式

教學(xué)重點(diǎn)：(1)熟練應(yīng)用分解因式的兩種方法分解因式；

(2)兩種方法的綜合應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)：(1)選擇恰當(dāng)?shù)姆纸夥椒ǎ?2)把多項(xiàng)式分解徹底；

教學(xué)過程：

一、分解因式有哪些方法？你認(rèn)為在使用這些方法時(shí)，應(yīng)注意什么？

二、例題或練習(xí)

1、下邊從左到右的變形，是因式分解的有。

(1)X2—4y2=(x+2y)(x—2y)

(2)a2—2ab+b2=(b—a)2

(3)X2-4X+5=(X-2)2+l

(4)x2—4x+5=x(x—4)+5

(5)(x+3)(x—3)=x2—9

(6)—ma+mb-mc=-m(a+b+c)

2、—m(a—x)(x—b)—mn(a—x)(b—x)的公因式是()

3、下列各式能用完全平方公式分解因式的是()

A、x2+4y2B、X2—2xy+4y2

C、—x2—4xy+4y2D、(x—y)2—10(y—x)+25

4、填空:

(1)-l/9a2+l/4=()2-()2

(2)4X2+1+=(+1)2

(3)1/9X2++1打=(9/3x-l/2y)2

(4)若x?+kx+64是完全平方式，則k的值為o

(5)X2+5X+=()2

5、把下列各式分解因式：

(1)a4+3a2(2)5(a—2)3—3(2—a)2

(3)(x—2)2—x+2(4)a(a-b—c)+b(b+c—a)

(5)(a—b)2(a+b)3—(b—a)3(b+a)2

(6)—2xy+6x2y2-8x2y

6、把下列各式分解因式：

(1)l/2x2—2y2(2)—6a—a2—9

(3)(l/36x—1/3)x+1(4)(a+b)2—4(a+b—1)

(5)X2+8X(X+1)+16(x+1)2

(6)2(a2+b2)(a+b)2—(a2—b2)2

(7)X3+X2+0.25X

(8)(x2—x)2+1/2(x2—x)+1/16

(9)x3—X2+4

7、(1)求證對(duì)于任意自然數(shù)n,2n+4—211是30的倍數(shù)。

(2)求證：248—1可以被63和65整除。

作業(yè)：Pn946810

課外作業(yè)：P122數(shù)學(xué)活動(dòng)12

14.3.5十字相乘法（二次項(xiàng)系數(shù)為1）

教學(xué)目標(biāo)：

使學(xué)生理解并掌握二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的因式分解。

教學(xué)重點(diǎn)：準(zhǔn)確、迅速進(jìn)行十字相乘分解因式。

教學(xué)難點(diǎn)：p與q異號(hào)的情形。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)鞏固

,觀察規(guī)律，得到

(x+p)(x+q)=x?+(p+q)x+pq

反過來，有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)

它告訴我們：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式，如果它的常數(shù)

項(xiàng)能夠分解成兩個(gè)因數(shù)，并且它們的和恰好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么，

它就可以分解成兩個(gè)一次因式的積。

如：x?+(1+2)x+lX2=(x+1)(x+2)

X2+(—1+2)x+(—1)*2=(x—1)(x+2)

二、例題與練習(xí)

例1：分解因式X2+6X+8

解：X2+6X+8=X2+(2+4)x+2X4

=(x+2)(x+4)

熟練后，中間步驟可省去。

練習(xí)：分解因式

(1)X2+7X+12(2)X2+12X+20

例2：分解因式X2-8X+15

分析：因?yàn)橐?為負(fù)數(shù)，所以15應(yīng)分解為兩個(gè)負(fù)數(shù)之積。

解：X2—8x+15

=x2+[(—3)+(—5)]x+(—5)X(—3)

—[x+(—3)][x+(-5)]

=(x—3)(x—5)

練習(xí)：分解因式：（1）x2—3x+30(2)X2-8X+12

例3：分解因式（1）X2—3X—10(2)X2+9X—10

分析（由學(xué)生分析，解答）

練習(xí)：分解因式(1)X2—3x—4(2)X2+10X-24

(3)a2+a—20(4)a2—9a—36

例4：分解因式(1)X2—7xy—18y2(2)x2y2+7xy—44

(3)x2—20xy+96y2(4)a4—21a2—100

例5：分解因式(1)—a2+6ab—9b2(2)—x2—3x+4

(3)x—X2+42(4)x2(x2—20)+64

(5)3x2y2—9xy—12

(6)(x2+x)2—14(x2+x)+24

(7)(x2+x)(x2+x—1)~2

例6：求證：四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積與1