2022-2023學年江蘇省淮安市盱眙縣九年級（上）期末數(shù)學試卷

2022-2023學年江蘇省淮安市吁胎縣九年級第一學期期末數(shù)學試

卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題3分,共24分。每題的四個選項中，只有一個符合題

意，請把符合題意的選項填在下表中）

1.方程9-9=0的解是（）

A.x\=3,X2=-3B.x=0C.XI=X2=3D.x\=X2=-3

2-微的頂點坐標為

2.拋物線y=2(x+1))

(1)

A.(1,B.C.(-1,—)D.4

*2

3.在射擊訓練中，某隊員的10次射擊成績?nèi)鐖D，則這10次成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）

C.9.5,9.6D.9.6,9.8

4.若關于x的一元二次方程爐-2%+加=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)〃?的取值范圍是（）

A.tn<Z1B.m>-1C.m>lD,tn<-1

5.甲，乙，丙，丁四位同學本學期5次50米短跑成績的平均數(shù)彳（秒）及方差S2如下表所

示.若選出一位成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參加學校比賽，則應選的同學是（）

甲乙丙T

X777.57.5

S20.450.20.20.45

A.甲B.乙C.丙D.丁

6.如圖，四邊形48C。內(nèi)接于。0,若N8=108°,則/。的大小為（）

5

A.54°B.62°C.72°D.82°

7.用扇形紙片制作一個圓錐的側(cè)面，要求圓錐的高是4。小底面周長是7m則扇形的半

徑為（）

A.3cmB.ScmC.6cmD.5cm

8.如圖所示是二次函數(shù)以+c圖象的一部分，圖象過A點（3,0）,二次函數(shù)圖象

對稱軸為直線x=l,給出五個結(jié)論：①8c>0；②a+6+c<0；③4a-2/?+c>0；④方程

加+6*+0=0的根為xi=-1,及=3；⑤當X<1時，y隨著x的增大而增大.其中正確結(jié)

論是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.①④?

二、填空題（共8小題，每題3分，共24分）

9.將拋物線y="向上平移3個單位長度，所得拋物線的函數(shù)解析式為.

10.天氣預報說某天最高氣溫是9℃,最低氣溫為-3℃,則該天氣溫的極差是.

11.在一個不透明的口袋中裝有若干個只有顏色不同的球，如果已知袋中只有一4個紅球，且

摸出紅球的概率為那么袋中的球共有個.

12.已知扇形的圓心角為150°,它所對應的弧長為20JICM,則此扇形的面積是cm2.

13.拋物線y=-/+公+。的部分圖象如圖所示，若y>0,則x的取值范圍是.

14.如圖所示，A8為。。的直徑，點C在。0上，OCLAB,過點C的弦CC與線段08

相交于點E,滿足乙4EC=65°,連接4。，則/54。=度.

15.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程12x+35=0的根，則該三角形的周長

為.

16.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x與雙曲線^=區(qū)交于A,B兩點，P是以點C

x

(2,2)為圓心，半徑長為1的圓上一動點，連接AP,。為AP的中點.若線段。。長

三、解答題(本題共11小題，共102分。解答應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說

明)

17.計算：

(1)Sx2-3x=0；

(2)N-4x+l=0.

18.己知關于x的方程f+/wc+3=0的一個根是1,求機的值和另一個根.

19.在一幅長8分米，寬6分米的矩形風景畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制

成一幅矩形掛圖(如圖②).如果要使整個掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬.

匚

圖①圖②

20.在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，△ABC的三個頂點都

在格點上.(每個小方格的頂點叫格點)

(1)畫出△ABC向下平移3個單位后的△4SG；

(2)畫出△ABC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△4&C2,并求點A旋轉(zhuǎn)到4所經(jīng)過的路

線長.

A

BCo

21.如圖，AB是半圓。的直徑，C,。是半圓。上不同于A,8的兩點，AD=BC,AC與

BO相交于點尸.BE是半圓。所在圓的切線，與AC的延長線相交于點E.

(1)求證：△CB4絲△D48；

(2)若BE=BF,求證：AC平分

22.為進一步開展“睡眠管理”工作，某校對部分學生的睡眠情況進行了問卷調(diào)查.設每名

學生平均每天的睡眠時間為x小時，其中的分組情況是：

A組：xV8.5

B組：8.50<9

C組：9?9.5

。組：9.5WxV10

E組：x210

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題:

(1)本次共調(diào)查了名學生;

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)在扇形統(tǒng)計圖中，求。組所對應的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)若該校有1500名學生，請估計該校睡眠時間不足9小時的學生有多少人?

23.體育課上，小明、小強、小華三人在學習訓練踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢

一次.

(1)如果從小強開始踢,經(jīng)過兩次踢后，用樹狀圖表示或列表法求足球踢到了小華處的

概率是多少

(2)如果從小明開始踢，經(jīng)過踢三次后，球踢到了小明處的概率.

24.如圖，是?0的直徑，點C是。。上一點，NC4B的平分線4。交前于點。，過點

D作DE//BC交AC的延長線于點E.

(1)求證：OE是OO的切線；

(2)過點。作。尸，AB于點F,連接若。尸=1,BF=2,求8。的長度.

25.某商場將每件進價為160元的某種商品原來按每件200元出售，一天可售出100件，后

來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品每降低2元，其銷量可增加10件.

(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元？

(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元.

①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤4320元，則每件商品售價應降價多少元？

②求出y與x之間的函數(shù)關系式，當x取何值時，商場獲利潤最大？并求最大利潤值.

26.閱讀理解:

小明熱愛數(shù)學，在課外數(shù)學資料上看到平行四邊形一個性質(zhì)定理：任意平行四邊形對角

線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在平行四邊形ABCD中，AC1+BD1=

AB^BC^+CD^DA2.由此，他探究得到三角形的一個性質(zhì)：三角形兩邊的平方和等于第

三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.

(1)說理證明：

如圖2,在aABC中，若點。為8c的中點，則有：AB2+AC2=2AD2+2B￡>2.請你證明小

明得到的三角形性質(zhì)的正確性.

(2)理解運用：

①在△ABC中，點。為BC的中點，AB=4,AC=3,BC=6,則AO=；

②如圖3,。。的半徑為6,點4在圓內(nèi)，且。4=4&,點B和點C在。。上，且/84C

=90°,點E、F分別為AO、BC的中點，則E尸的長為；

(3)拓展延伸：

如圖4,已知。0的半徑為2代，以A(2,2)為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B,C

都在OO上，。為BC的中點，則AO長的最大值為.

27.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-9+法+c的圖象與坐標軸相交于A、B、C

三點，其中A點坐標為(3,0),8點坐標為(-1,0),連接AC、BC.動點P從點A

出發(fā)，在線段AC上以每秒加個單位長度向點C做勻速運動；同時，動點。從點3出

發(fā)，在線段8A上以每秒1個單位長度向點A做勻速運動，當其中一點到達終點時，另

一點隨之停止運動，連接P。，設運動時間為，秒.

(1)求反c的值.

(2)在P、。運動的過程中，當f為何值時，四邊形8CPQ的面積最小，最小值為多少？

(3)在線段AC上方的拋物線上是否存在點M,使△MP。是以點P為直角頂點的等腰

直角三角形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(本題共8小題，每小題3分，共24分。每題的四個選項中，只有一個符合題

意，請把符合題意的選項填在下表中)

1.方程x2-9=0的解是()

A.xi=3,X2=-3B.x=0C.X\=X2=3D.X\=X2=-3

【分析】將方程常數(shù)項移到方程右邊，利用平方根的定義開方即可得到方程的解.

解：N-9=0,

變形得：f=9,

開方得：X1=3,X2--3；

故選：A.

【點評】本題主要考查直接開平方法解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法解一元二

次方程的依據(jù)是解題的關鍵.

2.拋物線y=2(x+1)2-?的頂點坐標為()

A.(1,——)B.(-1,——)C,(-1,—)D.(1,-

2222

【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以直接寫出該拋物線的頂點坐標.

解：：拋物線y=2(x+l)2-'

.??該拋物線的頂點坐標為(-1,,

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

解答.

3.在射擊訓練中，某隊員的10次射擊成績?nèi)鐖D，則這10次成績的中位數(shù)和眾數(shù)分別是()

C.9.5,9.6D.9.6,9.8

【分析】將折線統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)按照從小到大排列，然后即可得到這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).

解:這10次射擊成績從小到大排列是:8.8,9.0,9.2,9.4,9.4,9.6,9.6,9.6,9.8,9.8,

...中位數(shù)是C9.4+9.6）+2=9.5（環(huán)），

9.6出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為9.6環(huán).

故選：C.

【點評】本題考查眾數(shù)與中位數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，會求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

4.若關于x的一元二次方程f-2r+，"=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)，”的取值范圍是（）

A.m<1B.m>-1C.m>1D.m<-1

【分析】方程沒有實數(shù)根，則△<（）,建立關于，"的不等式，求出，〃的取值范圍.

解：由題意知，△=4-4m<0,

.*./?/>1

故選：C.

【點評】總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關系:

（1）△>00方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；

（3）△<0=方程沒有實數(shù)根.

5.甲，乙，丙，丁四位同學本學期5次50米短跑成績的平均數(shù)彳（秒）及方差群如下表所

示.若選出一位成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參加學校比賽，則應選的同學是（）

甲乙丙T

X777.57.5

0.450.20.20.45

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越

大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

解：???丙的平均分最好，方差最小，最穩(wěn)定，

，應選的同學是丙.

故選：C.

【點評】本題考查了方差，正確理解方差的意義是解題的關鍵.

6.如圖，四邊形ABCO內(nèi)接于Q0,若/8=108。，則/。的大小為（）

A.54°B.62°C.72°D.82°

【分析】運用圓內(nèi)接四邊形對角互補計算即可.

解：：四邊形48C。內(nèi)接于。。，ZB=108°,

.\ZD=180o-ZB=180°-108°=72°,

故選：C.

【點評】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補是解答

此題的關鍵.

7.用扇形紙片制作一個圓錐的側(cè)面，要求圓錐的高是4cm,底面周長是則扇形的半

徑為（）

A.3cmB.SanC.6cmD.5cm

【分析】首先根據(jù)圓錐的底面周長求得圓錐的底面半徑，然后根據(jù)勾股定理求得圓錐的

母線長就是扇形的半徑.

解：,底面周長是6TTC/W,

底面的半徑為3cm,

,圓錐的高為4cm,

...圓錐的母線長為：732+42=5（cm）,

扇形的半徑為5c/n,

故選：D.

【點評】本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是了解圓錐的母線、高及底面半徑圍成一

個直角三角形.

8.如圖所示是二次函數(shù)丫=渥+以+。圖象的一部分，圖象過A點（3,0）,二次函數(shù)圖象

對稱軸為直線x=l,給出五個結(jié)論：①bc>0；②a+6+c<0；③4"-2>c>0；④方程

蘇+法+0=0的根為幻=-1,及=3；⑤當X<1時，y隨著*的增大而增大.其中正確結(jié)

論是（）

A.①②③B.①③④C.②③④D.@（4X§）

【分析】根據(jù)拋物線的開口方向得〃<0,對稱軸在），軸右側(cè)，得匕>0,拋物線與y軸的

正半軸相交，得c>0,故①正確；當x=l時，y—a+b+c>0,故②錯誤；當x=-2時，

y=4a-2b+c<0,故③錯誤；根據(jù)對稱軸為x=l,與x軸交于點（3,0）可得與x軸的

另一個交點（-1,0）,故④正確；由拋物線的對稱性，得⑤正確.

解：???拋物線的開口向下，

.,.a<0,

；對稱軸x=l在y軸右側(cè)，

：.b>0,

???拋物線與y軸的正半軸相交，

/.c>0,故①正確；

當x=l時，y=a+b+c>0,故②錯誤；

當x=-2時，y=4a-2b+c<0,故③錯誤；

???對稱軸為x=l,與x軸交于點（3,0）,

...與x軸的另一個交點（-1,0）,故④正確；

由圖象得x<l時，y隨著x的增大而增大，故⑤正確；

正確結(jié)論有①④⑤，

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，是二次函數(shù)的綜合題型,

是一道數(shù)形結(jié)合題，要熟悉二次函數(shù)的性質(zhì)，觀察圖形，得出正確結(jié)論.

二、填空題（共8小題，每題3分，共24分）

9.將拋物線y="向上平移3個單位長度，所得拋物線的函數(shù)解析式為y=2%2+3.

【分析】直接運用平移規(guī)律”左加右減，上加下減”，在原式上加3即可得新函數(shù)解析

式尸2^+3.

解：?.，=汰2向上平移3個單位長度，

，新拋物線為＞="+3.

【點評】此題比較容易，主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加

右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式.

10.天氣預報說某天最高氣溫是9℃,最低氣溫為-3C,則該天氣溫的極差是12c.

【分析】根據(jù)極差的公式計算，即用9℃減去-3℃即可.

解：這天氣溫的極差是9-（-3）=12℃.

故答案為12c.

【點評】本題考查了極差的知識，極差反映了一組數(shù)據(jù)變化范圍的大小，求極差的方法

是用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值.

11.在一個不透明的口袋中裝有若干個只有顏色不同的球，如果已知袋中只有一4個紅球，且

摸出紅球的概率為那么袋中的球共有12個.

【分析】根據(jù)紅球的概率公式列出方程求解即可.

解：設袋中的球共有機個，其中有4個紅球，則摸出紅球的概率為冬，

m

根據(jù)題意有9=5,

m3

解得：m=12.

故本題答案為：12.

【點評】本題考查的是隨機事件概率的求法的運用，如果一個事件有〃種可能，而且這

些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)，"種結(jié)果，那么事件A的概率尸（A）=皿.

n

12.已知扇形的圓心角為150°,它所對應的弧長為20ircm,則此扇形的面積是240ncM.

【分析】首先根據(jù)弧長公式求得扇形的半徑，然后利用扇形的面積公式即可求解.

解：設扇形的半徑是R,由題意得：/=151jR=20m

loO

解得：R=24cnt,

則扇形的面積s=—//?=—X20nX24=24X10n=240nc/n2.

22

故答案是：2407r.

【點評】本題考查了扇形的面積公式，正確掌握扇形的面積公式以及弧長公式是關鍵.

13.拋物線>=-必+6x+c的部分圖象如圖所示，若y>0,則x的取值范圍是-3<x<l

【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸為》=-1.一個交點為（1,0）,可推出另一交點為（-3,

0）,結(jié)合圖象求出y>0時，x的范圍.

解：根據(jù)拋物線的圖象可知：

拋物線的對稱軸為x=-1,已知一個交點為（1,0）,

根據(jù)對稱性，則另一交點為（-3,0）,

所以y>0時，x的取值范圍是-3<xVl.

故答案為：

【點評】此題的關鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與對稱性，找出拋物線'=-好+6+。的完

整圖象.

14.如圖所示，AB為的直徑，點C在。。上，且OCLA8,過點C的弦CC與線段08

相交于點E,滿足NAEC=65°,連接AO,則NBA￡>=20度.

【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出NOCE=25°,由等腰三角形的性質(zhì)得出NOOC=N

OCE=25°,求出NOOC=130°,得出NBO￡>=NDOC-NCOE=40°,再由圓周角

定理即可得出答案.

解：連接O。，如圖：

'：OC±AB,

AZCOE=9D°,

VZAEC=65°,

???NOCE=9(T-65°=25°,

*：OC=OD,

：.ZODC=ZOCE=25°,

???NOOC=180°-25°-25°=130°,

：.ZBOD=ZDOC-ZCOE=40°,

AZBAD=—ZBOD=20°,

2

故答案為：20.

【點評】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角

和定理：熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵.

15.三角形兩邊的長是3和4,第三邊的長是方程12x+35=0的根，則該三角形的周長

為12.

【分析】先解一元二次方程，由于未說明兩根哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從

而得到其周長.

解：解方程N-12r+35=0,

得制=5,也=7,

?門〈第三邊＜7,

二第三邊長為5,

.,?周長為3+4+5=12.

【點評】此題是一元二次方程的解結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)的應用，注意分類討論.

16.如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x與雙曲線y=K交于A,8兩點，P是以點C

x

(2,2)為圓心，半徑長為1的圓上一動點，連接4P,。為4P的中點.若線段。。長

度的最大值為2,則%的值為.

----2~

【分析】確定0Q是△ABP的中位線，0。的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=

BP-PC=4-1=3,則(,77-2)2+(-w-2)』32,即可求解.

解：連接BP,點。是A8的中點，則。。是△ABP的中位線，

當8、C、P三點共線時，PB最大,則0Q=*8P最大，

而0。的最大值為2,故BP的最大值為4,

貝|J8C=BP-PC=4-1=3,

設點B(m,-in),則(m-2)2+(-w-2)2=32,

解得：

.'.k—m(-〃?)=--,

2

【點評】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，確定0Q是△ABP的中位線

是本題解題的關鍵.

三、解答題(本題共U小題，共102分。解答應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說

明)

17.計算:

(1)5/-3x=0；

(2)x2-4x+l=0.

【分析】(1)提公因式法因式分解，可得結(jié)論；

(2)直接利用配方法解方程得出答案.

解：(1)V5X2-3x=0,

.,.x(5x-3)=0,

；.x=0或5x-3=0,

.__3

..Xl=0n,X2——；

5

(2)?.?/-4x+l=0,

.'.x2-4x=-1,

.".x2-4x+4=-1+4,

(x-2)2=3,

?'.X-2=±盯，

解得：JCI=2+5/3,X2=2-遮.

【點評】此題主要考查了因式分解法以及配方法解一元二次方程，熟練應用因式分解法

解方程是解題關鍵.

18.已知關于x的方程x2+妙+3=0的一個根是1,求，〃的值和另一個根.

【分析】先把x=l代入關于x的方程/+妙+3=0求出的值，再把片的值代入方程，

利用根與系數(shù)的關系即可得出結(jié)論.

解：；關于x的方程聲如+3=0的一個根是1,

/.12+/?+3=0,

.".m=-4,

.?.把機=-4代入方程x2+/nx+3=0得x2-4x+3=0,

設方程的另一個根為a,則l+a=4,

.?.a=3.

【點評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟知制，X2是方程爐+px+q=0的

兩根時，X}+X2=-p,XlX2=q是解題的關鍵.

19.在一幅長8分米，寬6分米的矩形風景畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制

成一幅矩形掛圖(如圖②).如果要使整個掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬.

【分析】設金色紙邊的寬為X分米，關鍵題意列出方程，求出方程的解即可.

解：設金色紙邊的寬為X分米，

方程為(8+2x)(6+2x)=80,

解方程得：》=-8或犬=1,

經(jīng)檢驗x=-8或1都是所列方程的解，但是寬不能為負數(shù),

即x=1,

答：金色紙邊的寬是1分米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，能根據(jù)題意列出方程是解此題的關鍵.

20.在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，的三個頂點都

在格點上.(每個小方格的頂點叫格點)

(1)畫出△ABC向下平移3個單位后的

(2)畫出繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°后的△4星。2,并求點A旋轉(zhuǎn)到4所經(jīng)過的路

【分析】(1)根據(jù)平移的規(guī)律找到出平移后的對應點的坐標，順次連接即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找出旋轉(zhuǎn)后各個對應點的坐標，順次連接即可.點A旋轉(zhuǎn)到4所

經(jīng)過的路線是半徑為OA,圓心角是90度的扇形的弧長.

解：(1)畫出△ASG；

(2)畫出△A2B2c2

22

連接OA,OA2,QA=V2+3=V13,

點4旋轉(zhuǎn)到A2所經(jīng)過的路線長為1==呼冗?

【點評】本題考查的是平移變換與旋轉(zhuǎn)變換作圖.

作平移圖形時，找關鍵點的對應點也是關鍵的一步.平移作圖的一般步驟為：①確定平

移的方向和距離，先確定一組對應點；②確定圖形中的關鍵點；③利用第一組對應點和

平移的性質(zhì)確定圖中所有關鍵點的對應點；④按原圖形順序依次連接對應點，所得到的

圖形即為平移后的圖形.

作旋轉(zhuǎn)后的圖形的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，基本作法是①先確定圖形的關鍵點；②利用旋轉(zhuǎn)

性質(zhì)作出關鍵點的對應點；③按原圖形中的方式順次連接對應點.要注意旋轉(zhuǎn)中心，旋

轉(zhuǎn)方向和角度.

21.如圖，48是半圓0的直徑，C,。是半圓。上不同于A,B的兩點，AD=BC,AC與

8。相交于點尸.8E是半圓。所在圓的切線，與AC的延長線相交于點￡

（1）求證：△CBA絲△D4B；

（2）若BE=BF,求證：AC平分

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到NACB=/AOB=90°,根據(jù)全等三角形的判定定理

即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到根據(jù)切線的性質(zhì)得到/ABE=90°,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義即可得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：???A8是半圓。的直徑，

AZACB=ZADB=90°,

在RtA>CB4與RtADAB中，J.,

lBA=AB

ARtACBA^RtADAB(HL)；

(2)解：,:BE=BF,由(1)知BC_LE尸，

:./E=/BFE,

「BE是半圓0所在圓的切線，

AZABE=90°,

.".ZE+ZBA￡=90°,

由(1)知/。=90°,

/.ZDAF+ZAFD=90°,

'：NAFD=NBFE,

：.ZAFD=ZE,

：/D4F=90°-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,

：./￡>AF=NBAF,

；.AC平分ND48.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的識別

圖形是解題的關鍵.

22.為進一步開展“睡眠管理”工作，某校對部分學生的睡眠情況進行了問卷調(diào)查.設每名

學生平均每天的睡眠時間為x小時，其中的分組情況是：

A組：x<8.5

8組：8.5Wx<9

C組：9?9.5

。組：9.5Wx<10

E組:x210

根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)本次共調(diào)查了100名學生;

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)在扇形統(tǒng)計圖中，求。組所對應的扇形圓心角的度數(shù)；

(4)若該校有1500名學生，請估計該校睡眠時間不足9小時的學生有多少人？

【分析】（1）根據(jù)B組人數(shù)和所占的百分比，可以計算出本次調(diào)查的學生總?cè)藬?shù);

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果、條形統(tǒng)計圖中的時間和扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出A

組和E組的人數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整：

（3）根據(jù)。組的人數(shù)和調(diào)查的總?cè)藬?shù)，可以計算出。組所對應的扇形圓心角的度數(shù)；

（4）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出該校睡眠時間不足9小時的學生有多少人.

解：（1）204-20%=100（名），

即本次共調(diào)查了100名學生，

故答案為：100;

（2）選擇E的學生有：100X15%=15（人），

選擇A的學生有：100-20-40-20-15=5（人），

補全的條形統(tǒng)計圖如右圖所示；

(3)360°義上90==72°,

100

【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確

題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

23.體育課上，小明、小強、小華三人在學習訓練踢足球，足球從一人傳到另一人就記為踢

一次.

(1)如果從小強開始踢，經(jīng)過兩次踢后，用樹狀圖表示或列表法求足球踢到了小華處的

概率是多少

(2)如果從小明開始踢，經(jīng)過踢三次后，球踢到了小明處的概率.

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與經(jīng)過兩

次踢后，足球踢到了小華處的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與經(jīng)過踢三次后，

球踢到了小明處的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

解：(1)畫樹狀圖得：

開始

小明〃用

小禍〃冷小禍小明

???共有4種等可能的結(jié)果，經(jīng)過兩次踢后，足球踢到了小華處的有1種情況,

...足球踢到了小華處的概率是：4：

(2)畫樹狀圖得:

小禍<1呼小禍小明小禍<1冷〃中小明

；共有8種等可能的結(jié)果，經(jīng)過踢三次后，球踢到了小明處的有2種情況,

...經(jīng)過踢三次后，球踢到了小明處的概率為：3=3.

84

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復

不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩

步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

24.如圖，AB是。0的直徑，點C是。0上一點，NC48的平分線4。交標于點。，過點

D作DE//BC交AC的延長線于點E.

(1)求證：QE是。。的切線；

(2)過點。作。于點F,連接8D若OF=1,BF=2,求8。的長度.

【分析】(1)連接0。，由等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得出/AOO=ND4E,

從而OO〃AE,由。E〃BC得/E=90°,由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補得出N0￡>E=

90°,山切線的判定定理得出答案；

(2)先由直徑所對的圓周角是直角得出/ADB=90°,再由。尸=1,8尸=2得出OB的

值，進而得出A尸和54的值，然后證明△QBFs/vlB。，由相似三角形的性質(zhì)得比例式,

從而求得BD2的值，求算術平方根即可得出BD的值.

解：(1)連接0。，如圖，

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZADO,

平分NC48,

：.ZDAE=Z0AD,

：.NDAE,

：.OD//AE,

'：DE//BC,

.".ZE=90°,

AZ(?￡>￡=180°-NE=90°,

????！晔?。。的切線；

(2)〈AB是。。的直徑，

AZADB=90°,

VOF=\,BF=2,

???。8=3,

.\AF=4,84=6.

VDF1AB,

:?NDFB=90。,

???/ADB=/DFB,

又,:/DBF=NABD,

，工DBFS/\ABD,

.BD_BF

??前一麗’

：.BD2=BF*BA=2X6=n.

：.BD=2yf2-

解法二：利用勾股定理求出。凡再利用勾股定理求出8。即可.

【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握

圓的切線的判定與性質(zhì)及圓中的相關計算是解題的關鍵.

25.某商場將每件進價為160元的某種商品原來按每件200元出售，一天可售出100件，后

來經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品每降低2元，其銷量可增加10件.

(1)求商場經(jīng)營該商品原來一天可獲利潤多少元？

(2)設后來該商品每件降價x元，商場一天可獲利潤y元.

①若商場經(jīng)營該商品一天要獲利潤4320元，則每件商品售價應降價多少元？

②求出y與x之間的函數(shù)關系式，當x取何值時，商場獲利潤最大？并求最大利潤值.

【分析】(1)根據(jù)總利潤=單件利潤X銷量即可列式計算；

(2)①分別表示出銷量和單件的利潤即可表示出總利潤，從而列出方程求解；

②列出二次函數(shù)關系式后配方即可確定最大利潤值.

解：(1)原來一天可獲利潤是：(200-160)X100=4000元；

(2)①，依題意，得(200-160-x)(100+5x)=4320

解得：x=4或工=16

則每件商品應降價4元或16元；

②尸(200-160-x)(100+5%)=-5(x-10)2+4500

.?.當x=10時，y有最大值,最大值是4500元，

【點評】本題考查了一元二次方程的應用及二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是能夠表示出

銷量和單件的利潤，難度不大.

26.閱讀理解:

小明熱愛數(shù)學，在課外數(shù)學資料上看到平行四邊形一個性質(zhì)定理：任意平行四邊形對角

線的平方和等于四條邊的平方和.如圖1,在平行四邊形ABCD中，AC^+BD2^

AB^+B^+CD^DA2.由此，他探究得到三角形的一個性質(zhì)：三角形兩邊的平方和等于第

三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍.

(1)說理證明：

如圖2,在AABC中，若點。為的中點，則有：AB2+A(^=2AD2+2BD2.請你證明小

明得到的三角形性質(zhì)的正確性.

(2)理解運用：

①在△ABC中，點。為2c的中點，A8=4,AC=3,BC=6,貝ijA￡>=匹.；

一2一

②如圖3,。。的半徑為6,點A在圓內(nèi)，且OA=4，5,點3和點C在。。上，且NB4C

=90°,點E、尸分別為AO、BC的中點，則EF的長為_歷_;

(3)拓展延伸：

如圖4,已知。。的半徑為2遙，以A(2,2)為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B,C

【分析】(1)過點A作AE_LBC于點E,設8O=C￡)=x,DE^y,由A4uA/+BE2,

AC2=A￡2+C￡2,AD1=AE?+DE?,可得A￥+AC^ZAE2+(x-y)2+(x+y)2=2A￡(2+2x2+2y2,

BPW-4B2+AC2=2A￡2+2BD2+2DE2=2(A^+Dfi2)+2BD2=2AD2+2BD2-

(2)解：①由82+AO2=2A￡)2+28￡>2ma42+32=2Ar>2+2X32,故AD=YS_；

2

②連接OC,OF,OB,AF,由AF是aABC的中線，或7是△4F0的中線，可得8產(chǎn)=

—AB2+—AC--AF2,OF2=2EF2+2AEr-AF2,而0^=08?-BF2,可推得4￡產(chǎn)=20"2

22

-OA2,故跖=VIU；

(3)連接。A,取OA的中點E,連接。E,AD,由(2)的②可知：D^^OB2-

24

=8,有DE=2如,當A,E,。共線時，4。長的最大值為3&.

【解答】(1)證明：過點A作AE_LBC于點E,如圖，

A

公

BDEC

設8￡>=CQ=x,DE=y,

在RtzMBE中，AB^AE^BE1,

同理可得：AC<2=A￡2+CE2,AD1=AEr+DE?,

：.AB2+AC2=2AE2+C￡2+BE2=2AE2+(x-y)2+(x+y)2=2A￡2+2x2+2/,

?.,8￡>2=好，￡)￡2=y,

AB-+AC2=2AE2+2BD2+2DEr=2(AE2+DEr)+2BD2=2AD2+2BD2；

(2)解：①由(1)知482+40=1402+2班巴

?.?點。為8C的中點，BC=6,

:.BD=3,

?：AB=4,AC=3,

.-.42+32=2AD2+2X32,

：.AD=&

2

故答案為：叵；

2

②連接OC,OF,OB,AF,如圖，

；A尸是△4BC的中線，EF是的中線，

lAF^+lBF2=AB2+AC2,2EFQ+2AE?=AF2+OF，1,

.-.BI^^—AB^—AC2-A產(chǎn)，0尸=2￡產(chǎn)+2AE2-A產(chǎn)，

22

'：OB=OC,OF是△80C的中線，

J.OFLBC,

：.0^=082-BF2,

J.IEFq+IAE^-AF2=OB2-(—AB2+—AC2-Af2),

22

：AEf1=2OB1-AB2-AG+4A尸_44/,

VZBAC=90°,

：.AB2+ACZ=BC2^(2AF)2=4AF2,

；.4E產(chǎn)=20中.4A/，

\"OA=2AE,

：AAEr=OA2,

：.4E產(chǎn)=2OB?-OA2,

.?.#=▲032一」OA」_1X62-(4近)2=10,

2424