2023北京朝陽高二（下）期末數(shù)學試卷含答案

2023北京朝陽高二(下)期末

數(shù)學

2023.7

(考試時間120分鐘滿分150分)

本試卷分為選擇題50分和非選擇題100分

第一部分(選擇題共50分)

一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

(1)已知集合4={-1，°，1，2),集合8={x|TWx<l},則48=

(A){0,1}(B){-1,1}(C){-1,0}(D){-1,0,1)

./、1

ae(^,7t)sin(兀-a)=一

(2)已知2,且3,則cosa=

2&22V2

(A)(B)__(C)(D)

3333

(3)已知不等式奴+4<°的解集為空集，則實數(shù)0的取值范圍是

(A)y,-4)(4,+00)(B)(-00,-4]I[4,+co)

(C)(T,4)(D)[-4,4]

(4)從集合{234,5,6,7,8}中任取兩個不同的數(shù)，則取出的兩個數(shù)中恰有一個是奇數(shù)的概率為

2346

A)xBIXIX

z7-Z7-7-X7-

a=1g—

(5)已知3,人=3°/，c=sin3,貝ij

(A)a>b>c(B)b>c>a(C)b>a>c(D)c>b>a

(6)設(shè)a，'wR,則"3一是?a<bn的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(7)某學校4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只能去1個小區(qū)，且每個小區(qū)至少安排

1名同學，則不同的安排方法種數(shù)為

(A)6(B)12(C)24(D)36

TT

(8)已知函數(shù)/(x)=sin(2x-§),則下列結(jié)論正確的是

(A)函數(shù)/(x+兀)的一個周期為三

2

(B)函數(shù)/(x+兀)的一個零點為二

(C)y=/(x)的圖象可由y=sin2x的圖象向右平移;個單位長度得到

3TC

(D)y=/(x)的圖象關(guān)于直線對稱

2

(9)良好生態(tài)環(huán)境既是自然財富，也是經(jīng)濟財富.為了保護生態(tài)環(huán)境，某工廠將產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后

排放，已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量'(單位：毫克/升)與過濾時間f(單位：小時)之間

的函數(shù)關(guān)系為y人為常數(shù)且%>0,%為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時，若

前4個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉90%,那么再繼續(xù)過濾2小時，廢氣中污染物的殘留數(shù)量約

為原污染物數(shù)量的

(A)1%(B)2%(C)3%(D)5%

(10)己知定義在R上的函數(shù)八方滿足：

①f(2+x)+/(-x)=0；

②/(—l+x)=/(—l—x)；

兀

,cos—［-1,01,

③當1,1］時，=l2

1-X,XG(0,1］,

則函數(shù)g(x)=f(X)+g在區(qū)間［-5,3］上的零點個數(shù)為

(A)3(B)4(C)5(D)6

第二部分(非選擇題共100分)

二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。

(x+-)6

(11)二項式x的展開式中的常數(shù)項是.(用數(shù)字作答)

(12)某中學高一、高二、高三年級的學生人數(shù)分別為1200,1000,800,為迎接運動會的到來，按照各

年級人數(shù)所占比例進行分層抽樣，選出30名志愿者，則高二年級應(yīng)選出的人數(shù)為.

46

y=x+--------2

(13)當x>—1時，函數(shù).x+1的最小值為,此時x=.

(14)已知”>°,則關(guān)于x的不等式9-40?542<°的解集是.

(一二加)

(15)若函數(shù)丫』。。,2"的圖象在區(qū)間4''”上恰有兩個極值點，則滿足條件的實數(shù)用的一個取值為

(16)已知集合”為非空數(shù)集，且同時滿足下列條件:

(i)2eM；

(ii)對任意的xwM,任意的丁￡加，都有x-yeM；

—GM

(迨)對任意的xcM且工0°,都有X

給出下列四個結(jié)論：

①OGM.

②1eM；

③對任意的蒼yeM,都有x+yeM；

④對任意的為丁^加，都有孫e".

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(17)(本小題13分)

設(shè)函數(shù)/(x)=2sinscos0x+見0>0,加eR),從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作

為己知，使函數(shù)f(x)唯一確定.

(I)求。和加的值；

g(x)=/(x-[)[0,^]

(II)設(shè)函數(shù)6,求雙的在區(qū)間2上的最大值.

條件①：/(0)=1；

條件②：A?的最小值為°：

71

條件③：/(X)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為5.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分.

(18)(本小題14分)

某保險公司2022年的醫(yī)療險理賠服務(wù)報告給出各年齡段的投保情況與理賠情況，統(tǒng)計結(jié)果如下：

40%

頻率35%

30%

25%

20%

15%I

11^%9%

10%冬5

^

5%1

1%01()%

-9%

21-30歲31-40歲41-50歲51-60歲61-70歲71年齡分組

第1組第2組第3組第4組第5組第6組第7組第8組

口投保占比■理賠占比

注：第1組中的數(shù)據(jù)13%表示0-5歲年齡段投保人數(shù)占全體投保人數(shù)的百分比為13%;

24%表示0-5歲年齡段理賠人數(shù)占全體理賠人數(shù)的百分比為24%.其它組類似.

(I)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計理賠年齡的中位數(shù)和第90百分位數(shù)分別在第幾組，直接寫出結(jié)論；

(II)用頻率估計概率，從2022年在該公司投保醫(yī)療險的所有人中隨機抽取3人，其中超過40歲的人數(shù)

記為X,求X的分布列及數(shù)學期望；

(III)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，有人認為“該公司2022年的理賠的平均年齡一定小于投保的平均年齡”，判斷這種

說法是否正確，并說明理由.

(19)(本小題15分)

己知函數(shù)/(x)=lnx-"(aeR).

(I)當。=3時，求曲線廣73在點("⑴)處的切線方程；

(II)若》=2是f(x)的一個極值點，求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(III)是否存在“，使得“X)在區(qū)間(°簿］上的最大值為_2?若存在，求出”的值：若不存在，說明理由.

(20)(本小題13分)

已知函數(shù)/⑶=e",g")="Qx+DeR)

(I)當機=1時，證明f(x)注g(x)；

(II)若直線＞=g(x)是曲線＞=/(")的切線，設(shè)〃(x)=f(x)-g(x),求證：對任意的”＞萬，都有

則二哽:＜2/_2

a-b.

(21)(本小題15分)

若有窮整數(shù)數(shù)列A：4M2，4，滿足(/=1,2,,〃)，且各項均不相同，則稱A為匕數(shù)列.對

4=—^a=2,3,,〃)

匕數(shù)列A：4M2,…q,設(shè)4=0,月1《一。"，則稱數(shù)列zl(A)：4,4，為數(shù)列4的導

出數(shù)列.

(I)分別寫出層數(shù)列2J4,3與3,1,4,2的導出數(shù)列；

(II)是否存在乙數(shù)列A使得其導出數(shù)列“4)的各項之和為0?若存在，求出所有符合要求的乙數(shù)列；若

不存在，說明理由；

(III)設(shè)匕數(shù)列A：4，6M"與A'：“，4'4的導出數(shù)列分別為'(A)：4,4，4與'(A'):4',%

求證：卬=4?=1，2，，")的充分必要條件是4=於=1，2，，〃).

(考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)

參考答案

一、選擇題（共10小題,每小題5分，共50分）

(DC(2)A(3)D(4)C(5)B

(6)A(7)D(8)B(9)C(10)B

二、填空題（共6小題，每小題5分,共30分）

(11)⑻(12)10(13)1,1

(14)(15)兀（答案不唯一）(16)①③④

三、解答題（共5小題，共70分）

(17)(共13分)

解：選①③.

(I)因為/(x)=2sinryxcos69x+/%=sin2^yx+/n

由/(0)=1,得〃?=1

兀

因為f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為5,

所以5=5.

T=^-=it

所以12。1

因為。＞0,所以勿=16分

(II)由([)可知/(x)=sin2x+l.

九71

g（-X）=f（x--）=sin（2x--）+1

o3.

因為xe［0,芻，所以2x-2e［—3,空］.

2333

所以當2x-工=色，即片型時，

3212

g（x）在區(qū)間［0,三上取得最大值g（工）=2...........................13分

選②③.

（［）因為/（x）=2sinGxcos5+M=sin25+機，

由八幻的最小值為0,得加=1.

71

因為“X）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為彳，

Tn.

所以萬一萬.

T/---2-九--

所以I2o|

因為。所以。=L..........................................6分

(II)同選①③.

(18)(共14分)

解：(I)理賠年齡的中位數(shù)在第4組，理賠年齡的第90百分位數(shù)在第5組.....4分

(II)用頻率估計概率，從投保醫(yī)療險的人中隨機抽取1人超過40歲的概率為Z.

X的所有可能取值為°J，2,3.

P(X=0)=躬)。聲磊

P(x=D=c?)審啜

13Q

P(X=2)毋率年

171

P(X=3)=C：(-)3(-)°=—

一4464.

所以隨機變量X的分布列為:

X0123

272791

64646464

所以隨機變量X的數(shù)學期望

2727913

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

646464644...............11分

(III)不正確.

比如理賠的年齡比較靠近每一組區(qū)間的右端點，

投保的年齡比較接近每一組區(qū)間的左端點，

這樣估計的結(jié)果就是理賠的平均年齡較大.

用區(qū)間的右端點估計理賠的平均年齡為

5x0.24+20x0.07+30x0.12+40x0.35+50x0.15+60x0.05+70x0.019+100x0.001

=32.13,

用區(qū)間的左端點估計投保的平均年齡為

0x0.13+6x0.13+21x0.16+31x0.33+41x0.11+51x0.09+61x0.04+71x0.01

=26.62,

因為32.13>26.62,所以說法不正確.................................14分

(19)(共15分)

解：函數(shù)〃x）=lnx-"的定義域為（。，+8）,則.

（1）當、=3時,/。）=加工-3x,所以〃1）=一3

因為八處4一3,所以/，（］）=「3=-2

所以曲線y=/a）在點（IJ（D）處的切線方程為y+3=—2（x-i）,

即2x+y+l=0...................................................4分

，/、/\2）=--a=0a=—

（1【）因為x=2是/（X）的一個極值點，所以2.解得2

/（x）=lnx—f'（x）=--^-

所以2,x2.

當0<x<2時，/'（幻>0,f（x）單調(diào)遞增；

當X>2時,r（x）<0,/（x）單調(diào)遞減.

所以當“一5時，》=2是"X）的極大值點.

此時“X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（°2）..............................9分

1

aW一

（III）①當e時，

x=

E、L=fOeif()---a^--a^O

因為"r(Ue],xe

所以/(X)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞增.

此時/(x)11m=/(e)=lne-ae=l-ae.

3

若l-oe=-2,則“-e,不合題意.

a>—0<—<e

②當e,即a時，

f'{x}=--a=0x=—

令x,解得a.

當口、,、"時，f'（x）>0,f（x）單調(diào)遞增；

當1<x<e時，/'（幻<°,f（x）單調(diào)遞減?

/（初皿=心=哈1

此時

|nl-l=-2

若。，則a=e,符合題意.

綜上，當”時，/(幻在區(qū)間(，］上的最大值為

=e0e-2..................15分

(20)(共13分)

解:(I)當加=1時，=fM-g(x)=e2x-2x-l則”(x)=2e"-2

令d(x)=2e"'-2=0,解得x=0.

當xe(7o,0)時，°'(x)<0,8(x)在區(qū)間(Y°，0)上單調(diào)遞減；

當xe(°，*°)時，夕'")>°,以幻在區(qū)間(0,+co)上單調(diào)遞增.

所以夕(X)、奴。)=0.

所以f(x)Ng(x)成立.......................................

5分

(II)由己知得廣(幻=2/'.

設(shè)切點為P&d"),

2e2M=2相，同=0,

則尸(2%+1)=，解得jzn=1.

所以g(x)=2x+l,h(x)=e2'-2x-1

h(a)-h(b)

----<Zc-Z2a

要證a-b------------,

/一2a-e"+282a

------------------------<2e-92

即證a-b,

即證…正口海-力.

令2?_?=rj>0,原不等式等價于l_e-'<r,即/+葭>1

設(shè)尸(f)=r+e-'，則/⑺=1-e-'>0