第三章 概率與概率分布教材

概率和概率分布第三章第一節(jié)概率的基本概念一、確定現(xiàn)象與非確定現(xiàn)象

在保持條件不變的情況下，重復(fù)的進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果總是確定的必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定現(xiàn)象或必然現(xiàn)象。1、確定現(xiàn)象2、非確定現(xiàn)象又叫隨機(jī)現(xiàn)象

具有隨機(jī)性(不確定性或偶然性)的現(xiàn)象稱為非確定現(xiàn)象或隨機(jī)現(xiàn)象。在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在100℃時(shí)沸騰；明天的最高溫度;C.擲一顆骰子，觀察其向上點(diǎn)數(shù)；D.上拋的物體一定下落；E.新生嬰兒體重。下列現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？是是是否否人類生活的世界充滿了隨機(jī)現(xiàn)象

從投硬幣、擲骰子和摸撲克等簡(jiǎn)單的機(jī)會(huì)游戲，到復(fù)雜的社會(huì)現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬(wàn)物的繁衍生息；從流星殞落，到大自然的千變?nèi)f化…，我們無(wú)時(shí)無(wú)刻不面對(duì)具有不確定性現(xiàn)象(即隨機(jī)現(xiàn)象)。

從亞里士多德時(shí)代開(kāi)始，哲學(xué)家們就已認(rèn)識(shí)到隨機(jī)現(xiàn)象在生活中的作用；但他們是把隨機(jī)性看作是破壞生活規(guī)律、超越人們理解能力的東西。隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言?否！在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測(cè)后就會(huì)發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)現(xiàn)象的發(fā)生有一定的規(guī)律性。

將不定性(隨機(jī)性)數(shù)量化，來(lái)嘗試回答這些問(wèn)題，直到20世紀(jì)初葉才開(kāi)始。但還不能說(shuō)這個(gè)努力已取得十分成功，不過(guò)就是那些已得到的成果，已經(jīng)給人類活動(dòng)的諸多領(lǐng)域帶來(lái)了一場(chǎng)深刻的革命。概率論

研究偶然現(xiàn)象本身規(guī)律性的科學(xué)稱為概率論?；趯?shí)際觀測(cè)結(jié)果，利用概率論得出的規(guī)律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科學(xué)就是統(tǒng)計(jì)學(xué)。

概率論是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論所得出的規(guī)律在各領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用。1.隨機(jī)試驗(yàn)同一組綜合條件的實(shí)現(xiàn)，稱為試驗(yàn)（trial）。（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。而一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述三個(gè)特性，則稱其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)（randomtrial），簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。二、事件及事件的關(guān)系2.隨機(jī)事件

2）復(fù)合事件由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件（compoundevent）。

隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（randomevent），簡(jiǎn)稱事件(event），通常用大寫(xiě)的拉丁字母A、B、C等來(lái)表示。1）基本事件

我們把不能再分的事件稱為基本事件（elementaryevent）用小寫(xiě)拉丁字母a,b,c…來(lái)表示，也稱為樣本點(diǎn)（samplepoint）。集合A與B的并或和：若

C,當(dāng)且僅當(dāng)

A或B,則稱集合C為集合A與B的并或和,記成A∪B或A+B。事件A與B的并或和：若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A或B發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的并或和，記成A∪B或A+B。3事件的關(guān)系與運(yùn)算3.1事件的和集合A與集合B的交或積：若

C，當(dāng)且僅當(dāng)A且B,則稱集合C為集合A與B的交或積,記成A∩B或AB。事件A與B的積或交：若事件C發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生，則稱事件C為事件A與B的積或交,記成A∩B或AB。3.2事件的交3.3互不相容事件（mutuallyeyclusiveevent)

事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件A和B互不相容或互斥。n個(gè)事件兩兩互不相容，則稱這n個(gè)事件互斥。對(duì)立事件

事件A和事件B必有一個(gè)發(fā)生，但二者不能同時(shí)發(fā)生，且A和B的和事件組成整個(gè)樣本空間。即A+B=W，AB=V。我們稱事件B為事件A的對(duì)立事件。B=A三、頻率（frequency）若在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)m稱為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，比值m/n稱為事件A出現(xiàn)的頻率(frequency)，記為W(A)=m/n。0≤W(A)≤1

表3-1玉米種子發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果種子總數(shù)(n)1020501002005001000發(fā)芽種子數(shù)(m)9194791186458920種子發(fā)芽率(m/n)0.9000.9500.9400.9100.9300.9180.920種子發(fā)芽與否是不能事先確定的，但從表中可以看出，試驗(yàn)隨著n值的不同，種子發(fā)芽率也不相同，當(dāng)n充分大時(shí)，發(fā)芽率在0.92附近擺動(dòng)。例：

頻率表明了事件頻繁出現(xiàn)的程度，因而其穩(wěn)定性說(shuō)明了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，是其本身固有的客觀屬性，提示了隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象中的規(guī)律性。概率四、概率（probability,P)1.概率的統(tǒng)計(jì)定義P(A)=p

這樣的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率(statisticsprobability)或者后驗(yàn)概率(posteriorprobability)

設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，若事件A的頻率穩(wěn)定地在某一確定值p的附近擺動(dòng)，則稱p為事件A出現(xiàn)的概率。統(tǒng)計(jì)概率

拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗(yàn)記錄實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù)發(fā)生正面朝上的次數(shù)頻率(m/n)

蒲豐404020480.5069K皮爾遜1200060190.5016K皮爾遜24000120120.5005

隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，正面朝上這個(gè)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定接近0.5，我們稱0.5作為這個(gè)事件的概率。

在一般情況下，隨機(jī)事件的概率P是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。P(A)=p=lim

mnmn（1）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，即樣本空間中的基本事件只有有限個(gè);（2）所有基本事件的發(fā)生是等可能的;（3）試驗(yàn)的所有可能結(jié)果兩兩互不相容。2.概率的古典定義隨機(jī)事件

具有上述特征的隨機(jī)試驗(yàn)，稱為古典概型（classicalmodel).概率的古典定義

在滿足上述條件下，設(shè)樣本空間有n個(gè)等可能的基本事件所構(gòu)成，其中事件A包含有m個(gè)基本事件，則事件A的概率為m/n，即P(A)=m/n。這樣定義的概率稱為古典概率(classicalprobability)或先驗(yàn)概率(priorprobability)。12345678910隨機(jī)抽取一個(gè)球，求下列事件的概率;（1)事件A＝抽得一個(gè)編號(hào)<4（2)事件B=抽得一個(gè)編號(hào)是2的倍數(shù)

該試驗(yàn)樣本空間由10個(gè)等可能的基本事件構(gòu)成，即n=10，而事件A所包含的基本事件有3個(gè)，即抽得編號(hào)為1、2、3中的任何一個(gè)，事件A便發(fā)生。P(A)=3/10=0.3P(B)=5/10=0.512345678910A＝“一次取一個(gè)球，取得紅球的概率”10個(gè)球中取一個(gè)球，其可能結(jié)果有10個(gè)基本事件（即每個(gè)球被取到的可能性是相等的），即n=10事件A：取得紅球，則A事件包含3個(gè)基本事件，即m=3P(A)=3/10=0.312345678910B＝“一次取5個(gè)球，其中有2個(gè)紅球的概率”10個(gè)球中任意取5個(gè)，其可能結(jié)果有C105個(gè)基本事件，即n=C105事件B=5個(gè)球中有2個(gè)紅球，則B包含的基本事件數(shù)m=C32C73P(B)=C32C73/

C105=0.4170≤P(A)≤1

任何事件P(W)=1

必然事件P(V)＝0

不可能事件0<P(A)<1

隨機(jī)事件概率的基本性質(zhì)概率的計(jì)算第二節(jié)一、概率的計(jì)算法則1互斥事件加法定理定理:若事件A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)

試驗(yàn)的全部結(jié)果包含n個(gè)基本事件，事件A包含其中m1個(gè)基本事件，事件B包含其中m2個(gè)基本事件。由于A和B互斥，因而它們各包含的基本事件應(yīng)該完全不同。所以事件A＋B所包含的基本事件數(shù)為m1+m2。P(A+B)=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)1互斥事件加法定理的推理推理1P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)推理2P(A)=1-P(A)推理3完全事件系的和事件的概率為1。例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，雙穗株(B)占30.7%，空穗株(C)占2.1%，試計(jì)算一穗株和雙穗株的概率。P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979因?yàn)镻(A)+P(B)+P(C)=1P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979或2獨(dú)立事件乘法定理

定理:事件A和事件B為獨(dú)立事件，則事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的概率為各自概率的乘積。

P(AB)=P(A)P(B)推理：A1、A2、…An彼此獨(dú)立，則

P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)例:播種玉米，種子的發(fā)芽率為90%，每穴兩粒，則：A:第一粒種子發(fā)芽，P(A)=0.9，P(A)=0.1B:第二粒種子發(fā)芽，P(B)=0.9，P(B)=0.1C:兩粒種子均發(fā)芽：D:一粒種子發(fā)芽：E:兩粒種子均不發(fā)芽：求：C=AB，P（C)=P(A)P(B)=0.81D=AB+AB，P(D)＝0.9×0.1+0.1×0.9=0.18E=AB，P(E)＝P(A)P(B)=0.1×0.1=0.01二、條件概率與乘法法則

條件概率（conditionalprobability)：若A，B為兩個(gè)事件，且P（B）>0，研究事件B已發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為：P（A︱B）1.條件概率例2.2使用兩種不同藥物殺滅螟蟲(chóng)，結(jié)果見(jiàn)下表：

死亡（A）存活（A）和甲藥物（B）9624120乙藥物（B）641680

和16040200計(jì)算以下概率：P（A）=160/200=0.80P（B）=120/200=0.60P（A

B）=96/200=0.48P（B︱A

）=P（A

B）/P（A）=0.48/0.80=0.602.概率乘法法則

可以敘述為：兩事件交的概率，等于其中一事件（其概率必須不為0）的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生條件下的條件概率。3.獨(dú)立事件P(B︱A)=P(B)，或P(A︱B)=P(A)，稱A和B是獨(dú)立事件。對(duì)于獨(dú)立事件概率乘法公式為：P(AB)=P(A)P(B)第三節(jié)概率分布1.隨機(jī)變量（randomvariable)例：觀察10只新生動(dòng)物的性別，是一組隨機(jī)試驗(yàn)，其中雄性動(dòng)物出現(xiàn)的只數(shù)用y表示，則y的取值為0、1、2、…、10。隨機(jī)試驗(yàn)中被測(cè)定的量叫隨機(jī)變量。做一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個(gè)數(shù)來(lái)表示，把這些數(shù)作為變量Y的取值范圍，則試驗(yàn)結(jié)果可用變量y來(lái)表示，隨機(jī)變量所取得的值稱為觀測(cè)值。1.1隨機(jī)變量的定義

如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量y，其可能取值為有限個(gè)，或者可數(shù)無(wú)窮個(gè)孤立的值，則稱Y為離散型隨機(jī)變量

(discreterandomvariable)；如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量y，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且y在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱Y為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)。1.2隨機(jī)變量的類型2.離散型變量的概率分布要了解離散型隨機(jī)變量Y的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須知道它的一切可能值yi

及取每種可能值的概率pi。對(duì)離散型變量Y的所取得的值y的概率P(Y=y)寫(xiě)成y的函數(shù)p(y)，這樣的函數(shù)稱為隨機(jī)變量Y的概率函數(shù)。p(y)=P(Y

=y)2.1概率函數(shù)（probabilityfunction)2.2概率分布

將Y的一切可能值以及取得這些值的概率，排列起來(lái)，就構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的概率分布（probabilitydistribution)。

表3-1離散型變量的概率分布表變量(y)=

y1y2

y3

y4…yn

…概率(P)=p（y1）

p（y

2）

p（y3）

p（y

4）

…p（yn）

…2.3概率分布圖和概率分布表圖3-1概率分布圖y1y2yn３．分布函數(shù)（distributionfunction)指隨機(jī)變量小于等于某一可能值（）的概率。例：

表3-2某魚(yú)群的年齡組成年齡(y)1234567概率(P)0.45970.33350.12540.05070.02150.00800.0012

此表給出了該魚(yú)群年齡構(gòu)成的全部，我們稱之為該魚(yú)群年齡的概率分布。

表3-3嬰兒的性別情況表性別(y)0（男）1（女）概率(P)0.5170.483此表列出了性別變量的取值及相應(yīng)值的概率，揭示了觀察嬰兒性別試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。例：4.離散型變量的概率分布的特點(diǎn)p(y)≧0=15.連續(xù)型變量的概率分布

設(shè)y0是隨機(jī)變量Y

的一個(gè)可能的值，Y=y0的概率等于0。我們通常關(guān)心的是Y取值在一個(gè)區(qū)間的概率。Y值落在區(qū)間內(nèi)的概率為：