專項17 冪運算（三大類型）（解析版）

專項17冪運算（三大類型）類型一正向運用冪的運算的性質(zhì)類型二逆向運用冪的運算性質(zhì)方法：將指數(shù)相加二點冪轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的積，即（m、n都是正整數(shù)）；將指數(shù)相乘的冪轉(zhuǎn)化為冪的乘方，即（m、n都是正整數(shù)）；將相同指數(shù)冪的積轉(zhuǎn)化為積的乘方，即（n為正整數(shù)）。類型三來靈活運用冪的運算性質(zhì)方法：若冪的底數(shù)不同，要先化為同底數(shù)冪，再靈活運用冪的運算性質(zhì)求解‘若求指數(shù)中所含字母的值，則通常需要利用指數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程求解。【典例1】（2022秋?崇川區(qū)期中）下列計算正確的是（）A．（3a）2＝6a2 B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)6÷a2＝a3 D．a(chǎn)2?a＝a3【答案】D【解答】解：A、（3a）2＝9a2，故A不符合題意；B、（a2）3＝a6，故B不符合題意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合題意；D、a2?a＝a3，故D符合題意；故選：D．【變式1-1】（2022秋?思明區(qū)校級期中）計算m3?m2的結(jié)果，正確的是（）A．m2 B．m3 C．m5 D．m6【答案】C【解答】解：m3?m2＝m3+2＝m5．故選：C．【變式1-2】（2020?黔南州）下列運算正確的是（）A．（a3）4＝a12 B．a(chǎn)3?a4＝a12 C．a(chǎn)2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2【答案】A【解答】解：A、（a3）4＝a12，故原題計算正確；B、a3?a4＝a7，故原題計算錯誤；C、a2+a2＝2a2，故原題計算錯誤；D、（ab）2＝a2b2，故原題計算錯誤；故選：A．【典例2】（2021春?廣陵區(qū)校級期末）計算：（x2y）3?（﹣2xy3）2；（2）（xny3n）2+（x2y6）n；（3）（x2y3）4+（﹣x）8?（y6）2（4）a?a2?a3+（﹣2a3）2﹣（﹣a）6．【答案】（1）4x8y9（2）2x2ny6n（3）2x8y12（4）4a6．【解答】解：（1）原式＝x6y3?4x2y6＝4x8y9；（2）原式＝x2ny6n+x2ny6n＝2x2ny6n；（3）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；（4）原式＝a6+4a6﹣a6＝4a6．【變式2-1】（2022秋?思明區(qū)校級期中）計算：x4?x2﹣（3x3）2．【解答】解：x4?x2﹣（3x3）2＝x6﹣9x6＝﹣8x6．【變式2-2】（2022秋?閔行區(qū)期中）計算：﹣（﹣x2）3?（﹣x2）2﹣x?（﹣x3）3．【解答】解：﹣（﹣x2）3?（﹣x2）2﹣x?（﹣x3）3＝﹣（﹣x6）?x4﹣x?（﹣x9）＝x10+x10＝2x10．【變式2-3】（2022秋?東城區(qū)校級期中）計算：x2?x4+（x3）2+（﹣3x2）3．【解答】解：x2?x4+（x3）2+（﹣3x2）3＝x6+x6﹣27x6＝﹣25x6．【典例3】（2021春?陳倉區(qū)期末）計算：（x2）3?x3﹣（﹣x）2?x9÷x2．【答案】0【解答】解：原式＝x6?x3﹣x2?x9÷x2＝x9﹣x9＝0．【變式3】（2021春?萊山區(qū)期末）計算：（1）（﹣x2）5÷x+2x6x3．（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．【答案】（1）x9（2）y﹣3x【解答】解：（1）原式＝﹣x10÷x+2x9＝﹣x9+2x9＝x9；（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2＝9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2＝y(tǒng)﹣3x【典例4-1】（2021春?蘇州期末）若am＝3，an＝5，則am+n的值是（） B． C．8 D．15【答案】D【解答】解：因為am＝3，an＝5，所以am?an＝3×5，所以am+n＝15，故選：D．【典例4-2】（2022秋?城廂區(qū)月考）已知xm＝4，xn＝5，則xn﹣m的值為．【答案】【解答】解：當(dāng)xm＝4，xn＝5時，xn﹣m＝xn÷xm＝5÷4＝．故答案為：．【變式4-1】（2022秋?雙陽區(qū)校級月考）已知2x＝6，2y＝7，那么2x+y的值是．【答案】42【解答】解：∵2x＝6，2y＝7，∴2x+y＝2x×2y＝6×7＝42．故答案為：42．【變式4-2】（2022春?歷下區(qū)校級期中）已知3m＝2，3n＝4，則3m+n＝．【答案】8【解答】解：當(dāng)3m＝2，3n＝4時，3m+n＝3m×3n＝2×4＝8．故答案為：8．【變式4-3】（2022秋?儋州校級月考）計算：am+n÷am＝；a5÷a2?a2＝．【答案】an；a5．【解答】解：am+n÷am＝am+n﹣m＝an；a5÷a2?a2＝a3?a2＝a5．故答案為：an；a5．【典例5】（2021春?石景山區(qū)校級期中）已知3m＝a，3n＝b，則33m+2n的結(jié)果是．【答案】a3b2【解答】解：∵3m＝a，3n＝b，∴33m+2n＝33m?32n＝（3m）3?（3n）2＝a3b2．故答案為：a3b2．【變式5-1】（2019?綿陽）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n為正整數(shù)，則22m+6n＝（）A．a(chǎn)b2 B．a(chǎn)+b2 C．a(chǎn)2b3 D．a(chǎn)2+b3【答案】A【解答】解：∵4m＝a，8n＝b，∴22m+6n＝22m×26n＝（22）m?（23）2n＝4m?82n＝4m?（8n）2＝ab2，故選：A【變式5-2】（2021春?廣陵區(qū)校級期中）（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值．若2×8x×16x＝222，求x的值．【答案】（1）18（2）3【解答】解：（1）因為xm＝2，xn＝3，所以xm＝2，x2n＝9，所以xm?x2n＝18，xm+2n＝18；（2）因為2×8x×16x＝222，所以2×23x×24x＝222，所以21+3x+4x＝222，所以1+3x+4x＝22，所以7x＝21，所以x＝3．【典例7】（2021春?羅湖區(qū)期中）已知x+y﹣3＝0，則2x×2y的值為（）A．64 B．8 C．6 D．12【答案】B【解答】解：由x+y﹣3＝0得x+y＝3，∴2x×2y＝2x+y＝23＝8．故選：B．【變式7-1】（2021春?海陵區(qū)校級月考）（1）已知2x+5y﹣3＝0，求4x?32y的值．（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．【答案】（1）8（2）6【解答】解：（1）因為2x+5y﹣3＝0，所以2x+5y＝3，所以4x?32y＝22x?25y＝22x+5y＝23＝8；（2）因為2×8x×16＝2×23x×24＝223，所以1+3x+4＝23，解得x＝6【變式7-2】（2021春?邗江區(qū)月考）（1）若4a+3b＝3，求92a?27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【答案】（1）27（2）4【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，∴92a?27b＝34a?33b＝33＝27；（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，解得m＝4．【典例8】（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，則a、b、c的大小關(guān)系是（）a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b【答案】A【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故選：A．【變式8-1】（2018秋?渝中區(qū)校級期中）比較350，440，530的大小關(guān)系為（）A．530＜350＜440 B．350＜440＜530 C．530＜440＜350 D．440＜350＜530【答案】A【解答】解：350＝（35）10＝24310，440＝（44）10＝25610，530＝（53）10＝12510，∵125＜243＜256，∴530＜350＜440，故選：A．【典例9】（2021春?鄞州區(qū)校級期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x?27y÷81z的值．【答案】【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x?27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1＝【變式9】（2021春?泰興市月考）（1）已知2x＝3，2y＝5，求：2x﹣2y+1的值；（2）x﹣2y﹣1＝0，求：2x÷4y×8的值．【答案】（1）（2）16【解答】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，∴2x﹣2y+1＝2x÷（2y）2×2＝3÷52×2＝；（2）∵x﹣2y﹣1＝0，∴x﹣2y＝1，∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8．＝16．【典例10】（2021春?未央?yún)^(qū)月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b+c的值．（3）字母a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）25（2）100（3）c＝a+2b【解答】解：（1）∵3a＝5，∴（3a）2＝52＝25；（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，∴3a﹣b+c＝3a÷3b×3c＝5÷4×80＝100；（3）∵3a?32b＝5×42＝80＝3c，∴c＝a+2b；故答案為：c＝a+2b．【變式10】（2021春?未央?yún)^(qū)校級月考）已知3a＝5，3b＝4，3c＝80．（1）求（3a）2的值．（2）求3a﹣b﹣c的值．（3）字母a，b，c之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】（1）25（2）（3）c＝a+2b．【解答】解：（1）∵3a＝5，∴（3a）2＝52＝25；（2）∵3a＝5，3b＝4，3c＝80，∴3a﹣b﹣c＝3a÷3b÷3c＝＝；（3）∵3a?32b＝3c∴c＝a+2b；故答案為：c＝a+2b．1．（2022?淮安）計算a2?a3的結(jié)果是（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)3 C．a(chǎn)5 D．a(chǎn)6【答案】C【解答】解：a2?a3＝a5．故選：C．2．（2022秋?思明區(qū)校級期中）（）2020×（﹣3）2021的計算結(jié)果是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【解答】解：（）2020×（﹣3）2021＝（）2020×（﹣3）2020×（﹣3）＝（﹣）2020×（﹣3）＝（﹣1）2020×（﹣3）＝1×（﹣3）＝﹣3．故選：B．3．（2022春?甘孜州期末）已知am+1?a2m﹣1＝a9?，則m＝?．【答案】3【解答】解：∵am+1?a2m﹣1＝a9?，∴am+1+2m﹣1＝a9?，∴m+1+2m﹣1＝9，解得：m＝3．故答案為：3．4．（2022春?三元區(qū)校級月考）（x﹣y）3?（x﹣y）2?（x﹣y）4＝．【答案】（x﹣y）9【解答】解：（x﹣y）3?（x﹣y）2?（x﹣y）4＝（x﹣y）3+2+4＝（x﹣y）9，故答案為：（x﹣y）9．5．（2021秋?長沙期末）已知33x+1＝81，則x＝．【答案】1【解答】解：∵33x+1＝81，∴33x+1＝34，∴3x+1＝4，x＝1，故答案為：1．6．（2022秋?榆樹市月考）已知xm＝6，xn＝3，則xm﹣2n的值為．【答案】【解答】解：xm﹣2n＝xm÷x2n＝xm÷（xn）2，∵xm＝6，xn＝3，∴xm﹣2n＝6÷32＝，故答案為：．7．（2022春?青山區(qū)期中）計算：若am＝8，an＝2，則a2m﹣3n的值是．【答案】8【解答】解：∵am＝8，an＝2，∴a2m﹣3n＝（am）2÷（an）3＝82÷23＝64÷8＝8．故答案為：8．8．（2022秋?東方校級月考）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y+3的值．【解答】解：∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y+3＝2x?2y?23＝3×5×8＝120．9．（2022秋?永春縣期中）（1）若2x＝3，2y＝5