2024屆云南省廣南縣第三中學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆云南省廣南縣第三中學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某林場有樹苗30000棵，其中松樹苗4000棵．為調(diào)查樹苗的生長情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中松樹苗的數(shù)量為（）A．30 B．25 C．20 D．152．若直線與平面相交，則（）A．平面內(nèi)存在無數(shù)條直線與直線異面B．平面內(nèi)存在唯一的一條直線與直線平行C．平面內(nèi)存在唯一的一條直線與直線垂直D．平面內(nèi)的直線與直線都相交3．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（）A． B． C． D．4．已知一幾何體的三視圖，則它的體積為（）A． B． C． D．5．在中，若，則（）A． B． C． D．6．經(jīng)統(tǒng)計(jì)某射擊運(yùn)動員隨機(jī)命中的概率可視為，為估計(jì)該運(yùn)動員射擊4次恰好命中3次的概率，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法，先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，用0，1，2沒有擊中，用3，4，5，6，7，8，9表示擊中，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：7525，0293，7140，9857，0347，4373，8638，7815，1417，55500371，6233，2616，8045，6011，3661，9597，7424，7610，4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則可估計(jì)該運(yùn)動員射擊4次恰好命中3次的概率為（）A． B． C． D．7．已知向量，若，則（）A． B． C． D．8．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，21，…．該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，則（）．A．1 B．2019 C． D．9．某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)獎(jiǎng)金投入，若該公司年全年投入研發(fā)獎(jiǎng)金萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金比上一年增長，則該公司全年投入的研發(fā)獎(jiǎng)金開始超過萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．年 B．年 C．年 D．年10．若直線：與直線：垂直，則實(shí)數(shù)().A． B． C．2 D．或2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，若，則________.12．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長的一條棱的長為______.13．如圖，矩形中，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為__________．14．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，且的面積是，___________.15．向量滿足，，則向量的夾角的余弦值為_____．16．已知三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長都等于，則其外接球的體積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求邊AB的長；（2）求△ABC的面積．18．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和對稱軸；（Ⅱ）討論在上的單調(diào)性．19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．（1）求A；（2）求面積的最大值.20．（1）設(shè)，直接用任意角的三角比定義證明：.（2）給出兩個(gè)公式：①；②.請僅以上述兩個(gè)公式為已知條件證明：.21．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

抽取比例為,，抽取數(shù)量為20,故選C.2、A【解析】

根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】由題意，直線與平面相交，對于A中，平面內(nèi)與無交點(diǎn)的直線都與直線異面，所以有無數(shù)條，正確；對于B中，平面內(nèi)的直線與要么相交，要么異面，不可能平行，所以，錯(cuò)誤；對于C中，平面內(nèi)有無數(shù)條平行直線與直線垂直，所以，錯(cuò)誤；對于D中，由A知，D錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記直線與平面的位置關(guān)系，合理判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由三視圖還原幾何體，可知該幾何體是由邊長為的正方體切割得到的四棱錐，可知所求外接球即為正方體的外接球，通過求解正方體外接球半徑，代入球的表面積公式可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為如下圖所示的四棱錐：由上圖可知：四棱錐可由邊長為的正方體切割得到該正方體的外接球即為四棱錐的外接球四棱錐的外接球半徑外接球的表面積故選：【點(diǎn)睛】本題考查棱錐外接球表面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過三視圖還原幾何體，并將幾何體放入正方體中，通過求解正方體的外接球表面積得到結(jié)果；需明確正方體外接球表面積為其體對角線長的一半.4、C【解析】所求體積，故選C.5、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)20組隨機(jī)數(shù)可知該運(yùn)動員射擊4次恰好命中3次的隨機(jī)數(shù)共8組，據(jù)此可求出對應(yīng)的概率．【詳解】由題意，該運(yùn)動員射擊4次恰好命中3次的隨機(jī)數(shù)為：7525，0347，7815，5550，6233，8045，3661，7424，共8組，則該運(yùn)動員射擊4次恰好命中3次的概率為.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)模擬數(shù)表法求概率，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握．7、A【解析】

先根據(jù)向量的平行求出的值，再根據(jù)向量的加法運(yùn)算求出答案．【詳解】向量，，

解得，

∴，

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的平行和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

計(jì)算部分?jǐn)?shù)值，歸納得到，計(jì)算得到答案.【詳解】；；；…歸納總結(jié)：故故選：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的歸納推理，意在考查學(xué)生的推理能力.9、B【解析】試題分析：設(shè)從2015年開始第年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由已知得，兩邊取常用對數(shù)得，故從2019年開始，該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【考點(diǎn)】增長率問題，常用對數(shù)的應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用．在實(shí)際問題中平均增長率問題可以看作等比數(shù)列的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把哪個(gè)數(shù)作為數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，列出不等式或方程就可求解．10、A【解析】試題分析：直線：與直線：垂直，則，.考點(diǎn)：直線與直線垂直的判定.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用向量平行性質(zhì)得到答案.【詳解】，若故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行的性質(zhì)，屬于簡單題.12、【解析】

試題分析：由三視圖知，幾何體是一個(gè)四棱錐，四棱錐的底面是一個(gè)正方形，邊長是2，四棱錐的一條側(cè)棱和底面垂直，且這條側(cè)棱長是2，這樣在所有的棱中，連接與底面垂直的側(cè)棱的頂點(diǎn)與相對的底面的頂點(diǎn)的側(cè)棱是最長的長度是，考點(diǎn)：三視圖點(diǎn)評：本題考查由三視圖還原幾何體，所給的是一個(gè)典型的四棱錐，注意觀察三視圖，看出四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直．13、【解析】

取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長關(guān)系得到余弦值.【詳解】由題意，取中點(diǎn)，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結(jié)合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.14、【解析】

利用同角三角函數(shù)計(jì)算出的值，利用三角形的面積公式和條件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【詳解】，，，且的面積是，，，，，由余弦定理得，.故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角形面積公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、【解析】

通過向量的垂直關(guān)系，結(jié)合向量的數(shù)量積求解向量的夾角的余弦值．【詳解】向量，滿足，，可得：，，向量的夾角為，所以．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的余弦函數(shù)值的求法．考查計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先判斷球心在上，再利用勾股定理得到半徑，最后計(jì)算體積.【詳解】三棱錐的底面是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)棱長都等于為中點(diǎn)，為外心，連接，平面球心在上設(shè)半徑為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)AB的長為1．(2)6．【解析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的長.（2）根據(jù)的值，求得的值，由三角形面積公式，求得三角形的面積.【詳解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的長為1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18、(1);，(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【解析】

(1)先由題意得到，再化簡整理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）所以最大值為，由，，所以對稱軸，（2）當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減綜上可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟記三角函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于常考題型.19、（1）；（2）【解析】

（1）由題目條件a=1，可以將（1+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC中的1換成a，達(dá)到齊次化的目的，再用正余弦定理解決；（2）已知∠A，要求△ABC的面積，可用公式，因此把問題轉(zhuǎn)化為求bc的最大值．【詳解】（1）因?yàn)椋?+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理得：（1+b）（a-b）=（c-b）c∴（a+b）（a-b）=（c-b）c，得b2+c2-a2=bc由余弦定理得：，所以．（2）因?yàn)閎2+c2-a2=bc，所以bc=b2+c2-1≥2bc-1，可得bc≤1；所以，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時(shí)，取等號．∴面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形及面積問題，解決三角形面積最值問題常常結(jié)合均值不等式求解，屬于中等題.20、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用任意角的三角函數(shù)的定義證得．（2）由已知條件利用誘導(dǎo)公式，證明．【詳解】解：（1）將角的頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，