2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷及解析（理科）

2015年陜西省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、選擇題，共12小題，每小題5分，共60分

1、（5分）設(shè)集合M={XR=X},N={x|lgxW0},則MUN=（）

A、[0,1]B、（0,1]C、[0,1）D、（…，1]

2、（5分）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例

A、93B、123C、137D、167

3、（5分）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin

（三+。）+k、據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（)

6

y)水深/m

A、5B、6C、8D、10

4、（5分）二項式（x+1）n（nGN.）的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=（)

A、7B、6C、5D、4

5、（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（)

2

2

至視圖左視圖

A、3兀B、4nC、2n+4D、3n+4

6、(5分)"sina=cosa〃是"cos2a=0〃的()

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

7、(5分)對任意向量W、總下列關(guān)系式中不恒成立的是()

A.1a-bl<lallb|B,la-bKIIal-Ibl

C、(a+b)2=a+bl2D、(a+b)?(a-b)=~a~百

8、(5分)根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的y=()

9、(5分)設(shè)f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(<*/ab),q=f(且也)，r=A.(f(a)+f

22

(b)),則下列關(guān)系式中正確的是()

A、q=r<pB、p=r<qC、q=r>pD、p=r>q

10、（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料、已知生產(chǎn)1噸每

種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示、如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲

得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）128

A、12萬元B、16萬元C、17萬元D、18萬元

11>（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x,y?R）,若1z|W1,則y，x的概率為（）

A、3+J-B、1J-C、1-J-D、1-J-

42兀2+兀2兀42兀

12、（5分）對二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下

列結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是（）

A、-1是￡8）的零點B、1是f（x）的極值點

C、3是f（x）的極值D、點（2,8）在曲線y=f（x）上

二、填空題，共4小題，每小題5分，共20分

13、（5分）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015,則該數(shù)列的

首項為、

14、（5分）若拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=i的一個焦點，

則p=、

15、（5分）設(shè)曲線y=ex在點（0,1）處的切線與曲線y=l（x>0）上點P的切

X

線垂直，則P的坐標(biāo)為、

16、（5分）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊

界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值

為、

三、解答題，共5小題，共70分

17、（12分）^ABC的內(nèi)角A,B,（:所對的邊分別為a,b,c、向量/（a,正b）

與心（cosA,sinB）平行、

（I）求A；

（II）若a=b=2,求AABC的面積、

18、（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZBAD=2L,AB=BC=1,AD=2,

2

E是AD的中點，。是AC與BE的交點，將ABE沿BE折起到AiBE的位置，如圖

2、

（I）證明：CD,平面AiOC；

（II）若平面AiBE,平面BCDE,求平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值、

19、（12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路暢通狀

況有關(guān)，對其容量為200的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下:

T（分鐘）25303540

頻數(shù)（次）40608020

（1）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；

（2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即

返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概

率、

22

20、（12分）已知橢圓E：^—+y—=1（a>b>0）的半焦距為c,原點O到經(jīng)過

2,2

ab

兩點（C,0）,（0,b）的直線的距離為L、

2

（I）求橢圓E的離心率；

（II）如圖，AB是圓M：（x+2）2+（y-1）?=立的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、

B兩點，求橢圓E的方程、

21、（12分）設(shè)fn（x）是等比數(shù)列1,x,X2,xd的各項和，其中x>0,nGN,

n22、

（I）證明：函數(shù)Fn（x）=fn（x）-2在（L,1）內(nèi)有且僅有一個零點（記為

2

Xn）,JLxn=—+Xxn+1；

22n

（ID設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各

項和為gn（X）,比較力（X）和gn（X）的大小，并加以證明、

四、選修題，請在22、23、24中任選一題作答，如果多做則按第一題計分、選

修4-1：幾何證明選講

22、（10分）如圖，AB切。。于點B,直線AO交。。于D,E兩點，BC±DE,

垂足為C、

（I）證明：NCBD=NDBA；

（II）若AD=3DC,BC=&,求。O的直徑、

五、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

，1

x=3+5t

23、在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為，I-（t為參數(shù)），以原點為

尸丁

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，（DC的極坐標(biāo)方程為p=2*Esine、

（I）寫出。C的直角坐標(biāo)方程；

（II）P為直線I上一動點，當(dāng)P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標(biāo)、

六、選修4-5：不等式選講

24、已知關(guān)于x的不等式|x+a<b的解集為{x|2<x<4}

（I）求實數(shù)a,b的值；

（II）求而通+倔的最大值、

參考答案與試題解析

一、選擇題，共12小題，每小題5分，共60分

1、（5分）設(shè)集合M={X|X2=X},N={x|lgxW0},貝l]MUN=（）

A、[0,1]B、（0,1]C、[0,1）D、（…，1]

題目分析：求解一元二次方程化簡M,求解對數(shù)不等式化簡N,然后利用并集運

算得答案、

試題解答解：由M={X|X2=X}={0,1},

N={x|lgxW0}=（0,1],

得MUN={0,1}U（0,1]=[0,1]、

故選：A、

點評：本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題、

2、（5分）某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例

如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）

（初中部）（高中部）

A、93B、123C、137D、167

題目分析：利用百分比，可得該校女教師的人數(shù)、

試題解答解：初中部女教師的人數(shù)為110X70%=77；高中部女教師的人數(shù)為150

X40%=60,

???該校女教師的人數(shù)為77+60=137,

故選：c、

點評：本題考查該校女教師的人數(shù)，考查收集數(shù)據(jù)的方法，考查學(xué)生的計算能力,

比較基礎(chǔ)、

3、（5分）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin

（2LX+4））+k、據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（)

6

y,水深/m

A、5B、6C、8D、10

題目分析：由題意和最小值易得k的值，進而可得最大值、

試題解答解：由題意可得當(dāng)sin（三+6）取最小值-1時，

6

函數(shù)取最小值Ymin=-3+k=2,解得k=5,

y=3sin（JLx+力）+5,

6

??.當(dāng)當(dāng)sin（三+6）取最大值工時，

6

函數(shù)取最大值ymax=3+5=8,

故選：C、

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的最值，屬基礎(chǔ)題、

4、（5分）二項式（x+1）n（nGN.）的展開式中x2的系數(shù)為15,則n=（）

A、7B、6C、5D、4

題目分析：由題意可得,2=迨也15,解關(guān)于n的方程可得、

42

試題解答解：.??二項式（x+1）n（n?N.）的展開式中x2的系數(shù)為15,

.?.「2=15,即n（n-l）=i5,解得n=6,

42

故選：B、

點評：本題考查二項式定理，屬基礎(chǔ)題、

5、（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

左視圖

A、3nB、4nC、2n+4D、3n+4

題目分析：由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面

半徑為1,高為2,代入柱體表面積公式，可得答案、

試題解答解：由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，

底面半徑為1,高為2,

故該幾何體的表面積S=2XAJI+（2+H）X2=3H+4,

2

故選：D、

點評：本題考查的知識點是柱體的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中

檔、

6、（5分）"sina=cosa"是"cos2a=0”的（）

A、充分不必要條件B、必要不充分條件

C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件

題目分析：由cos2a=cos2a-siYa,即可判斷出、

試題解答解：由cos2a=cos2a-sin2a,

"sina=cosa"是"cos2a=0"的充分不必要條件、

故選：A、

點評：本題考查了倍角公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)

題、

7、（5分）對任意向量W、總下列關(guān)系式中不恒成立的是（）

A.la-bl<lallb|B,la-bKIIal-Ibl

C、（a+b）2=a+bl2D、（a+b）?（a-b）=~a-百

題目分析：由向量數(shù)量積的運算和性質(zhì)逐個選項驗證可得、

試題解答解：選項A恒成立，；芯|=|；|芯IcosV；,b>L

又Icosv；,b>二G芯W(wǎng)G芯恒成立;

選項B不恒成立，由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義可得-

Ibll;

選項C恒成立，由向量數(shù)量積的運算可得（a+b）2=|a+bl2;

選項D恒成立，由向量數(shù)量積的運算可得（a+b）?（a-b）=￡-言、

故選：B、

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題、

8、（5分）根據(jù)如圖框圖，當(dāng)輸入x為2006時，輸出的y=（)

題目分析：模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的x的值，當(dāng)x=-2時不

滿足條件x》0,計算并輸出y的值為10、

試題解答解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得

x=2006,

x=2004

滿足條件x》0,x=2002

滿足條件xNO,x=2000

滿足條件x》0,x=0

滿足條件x20,x=-2

不滿足條件x20,y=10

輸出y的值為10、

故選：C、

點評：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基礎(chǔ)題、

9、（5分）設(shè)f（x）=lnx,0<a<b,若p=f（Vab）>A=f（亙也），r=L（f（a）+f

22

（b））,則下列關(guān)系式中正確的是（）

A、q=r<pB、p=r<qC、q=r>pD、p=r>q

題目分析：由題意可得p=A.（lna+lnb）,q=ln（空也）Nin=P>r=X（lna+lnb）,

222

可得大小關(guān)系、

試題解答解：由題意可得若p=f（J瓦）=ln（-/ab）=JLlnab=L（Ina+lnb）,

22

q=f（迪）=ln（巡）Nin（后）=p,

22

r=-L（f（a）+f（b））=—（Ina+lnb）,

22

p=r<q,

故選：B、

點評：本題考查不等式與不等關(guān)系，涉及基本不等式和對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題、

10、（5分）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A、B兩種原料、已知生產(chǎn)1噸每

種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示、如果生產(chǎn)一噸甲、乙產(chǎn)品可獲

得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）128

A、12萬元B、16萬元C、17萬元D、18萬元

題目分析：設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為x,y噸，利潤為z元，然后根據(jù)題

目條件建立約束條件，得到目標(biāo)函數(shù)，畫出約束條件所表示的區(qū)域，然后利用平

移法求出Z的最大值、

試題解答解：設(shè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為X,y噸，利潤為z元，

，3x+2y<12

則<x+2y<8,

\.x>0,

目標(biāo)函數(shù)為z=3x+4y、

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（陰影部分）即可行域、

由z=3x+4y得y=-旦x+三，

44

平移直線y=-當(dāng)+三由圖象可知當(dāng)直線y=-為x+三經(jīng)過點B時，直線y=-Wx+三的

444444

截距最大，

此時z最大，

解方程組儼+2尸巴解得卜=2,

Ix+2y=8（y=3

即B的坐標(biāo)為x=2,y=3,

zmax=3x+4y=6+12=18>

即每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別為2,3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是

18萬元,

故選：D、

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，建立約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合

是解決本題的關(guān)鍵、

11、（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x,yGR）,若|z|W1,則yNx的概率為（）

A、B、1+J_C、1-J_D、1-J_

42兀2兀2兀42兀

題目分析：由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，分別求面積可得、

試題解答解：?.?復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x,yGR）且|z|Wl,

*,?|z|=V（x-l）2+y2<1,即（x-1）

...點（x,y）在（1,0）為圓心1為半徑的圓及其內(nèi)部，

而y>x表示直線y=x左上方的部分，（圖中陰影弓形）

/.所求概率為弓形的面積與圓的面積之比，

121

三兀?l”Tx1X1

所求概率P=------------------=!」-

K-1242冗

故選：D、

點評：本題考查幾何概型，涉及復(fù)數(shù)以及圓的知識，屬基礎(chǔ)題、

12、（5分）對二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下

列結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是()

A、-1是￡8)的零點B、1是f(x)的極值點

C、3是f(x)的極值D、點(2,8)在曲線y=f(x)上

題目分析：可采取排除法、分別考慮A,B,C,D中有一個錯誤，通過解方程求

得a,判斷是否為非零整數(shù)，即可得到結(jié)論、

試題解答解：可采取排除法、

若A錯，則B,C,D正確、即有f(x)=ax?+bx+c的導(dǎo)數(shù)為D(x)=2ax+b,

即有f'(1)=0,即2a+b=0,①又f(1)=3,即a+b+c=3②，

又f(2)=8,即4a+2b+c=8,③由①②③解得，a=5,b=-10,c=8、符合a為非

零整數(shù)、

若B錯，則A,C,D正確，則有a-b+c=0,且4a+2b+c=8,且4ac-b_=3,解得

4a

aG0,不成立；

若C錯，則A,B,D正確，則有a-b+c=0,且2a+b=0,且4a+2b+c=8,解得a=

-S不為非零整數(shù)，不成立；

3

2

若D錯，則A,B,C正確，則有a-b+c=0,且2a+b=0,且A%k=3,解得a二

4a

-S不為非零整數(shù)，不成立、

4

故選：A、

點評：本題考查二次函數(shù)的極值、零點等概念，主要考查解方程的能力和判斷分

析的能力，屬于中檔題、

二、填空題，共4小題，每小題5分，共20分

13、(5分)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2015,則該數(shù)列的

首項為5、

題目分析：由題意可得首項的方程，解方程可得、

試題解答解：設(shè)該等差數(shù)列的首項為a,

由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2015+a=1010X2

解得a=5

故答案為：5

點評：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)，涉及中位數(shù)，屬基礎(chǔ)題、

14、（5分）若拋物線y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線x2-y2=l的一個焦點，

貝1P=，退_、

題目分析：先求出x2-y2=i的左焦點，得到拋物線y2=2px的準(zhǔn)線，依據(jù)P的意

義求出它的值、

試題解答解：雙曲線x2-y2=i的左焦點為（-我，0）,故拋物線y2=2px的準(zhǔn)線

為X=-血,

羅友,,?P=2\歷，

故答案為：2加、

點評：本題考查拋物線和雙曲線的簡單性質(zhì)，以及拋物線方程y2=2px中P的意

義、

15、（5分）設(shè)曲線y=eX在點（0,1）處的切線與曲線y=l（x>0）上點P的切

X

線垂直，則P的坐標(biāo)為（1,1）、

題目分析：利用y=ex在某點處的切線斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一

曲線的斜率，進而求得切點坐標(biāo)、

試題解答解：（x）=ex,

.?.f'（0）=e°=l>

?.?y=ex在（0,1）處的切線與y=L（x>0）上點P的切線垂直

X

...點P處的切線斜率為-1、

又y'=-±,設(shè)點P（xo，y0）

x0=±l,*.*x>0,x0=l

yo=l

.,.點P（1,1）

故答案為：（1,1）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)在曲線切線中的應(yīng)用，在高考中屬基礎(chǔ)題型，常出現(xiàn)在選擇

填空中、

16、（5分）如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊

界呈拋物線型（圖中虛線所示），則原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為

1.2、

題目分析：建立直角坐標(biāo)系，求出拋物線方程，然后利用定積分求出泥沙沉積的

橫截面面積，求出梯形面積，即可推出結(jié)果、

試題解答解：如圖：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為：y=ax2,因為拋物

線經(jīng)過(5,2),可得a=2,

25

所以拋物線方程：2

y=-2_x,

橫截面為等腰梯形的水渠，泥沙沉積的橫截面的面積為：

2X(J瞧X?4X2X2)=2(卷X3|：-2)得

等腰梯形的面積為：心X2=16,當(dāng)前最大流量的橫截面的面積16-各,

23

原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為：一%1.2、

V尸o

故答案為：1.2、

點評：本題考查拋物線的求法，定積分的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力,

合理建系是解題的關(guān)鍵、

三、解答題，共5小題，共70分

17、(12分)^ABC的內(nèi)角A,B,(:所對的邊分別為a,b,c、向量/(a,爪b)

與二(cosA,sinB)平行、

(I)求A；

(II)若a=，7，b=2,求△ABC的面積、

題目分析：(I)利用向量的平行，列出方程，通過正弦定理求解A；

(II)利用A,以及a=近，b=2,通過余弦定理求出c,然后求解^ABC的面積、

試題解答解：(I)因為向量2(a,V3b)與—(cosA,sinB)平行，

所以asinB-我bcosA=0,由正弦定理可知：sinAsinB-?sinBcosA=0,因為sinB

WO,

所以tanA二可得A二二；

3

(II)a=J7,b=2,由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,可得7=4+c?-2c,解

得c=3,

△ABC的面積為：|bcsinA=^-'

點評：本題考查余弦定理以及正弦定理的應(yīng)用，三角形的面積的求法，考查計算

能力、

18、（12分）如圖,在直角梯形ABCD中,AD〃BC,ZBAD=2L,AB=BC=1,AD=2,

2

E是AD的中點，。是AC與BE的交點，將ABE沿BE折起到AiBE的位置，如圖

2、

(I)證明：CD,平面AQC；

(II)若平面AiBE,平面BCDE,求平面AiBC與平面A】CD夾角的余弦值、

圖1圖2

題目分析：(I)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明：CD,平面AQC；

(II)若平面AiBE,平面BCDE,建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求平面AiBC

與平面AiCD夾角的余弦值、

試題解答證明：(I)在圖1中，VAB=BC=1,AD=2,E是AD的中點，ZBAD=2L,

2

ABE±AC,

即在圖2中，BE±OAi，BE±OC,

則BE，平面AiOC；

：CD〃BE,

.?.CD,平面AiOC；

（II）若平面AiBE,平面BCDE,

由（I）知BE±OAi，BE±OC,

??.ZAiOC為二面角Ai-BE-C的平面角,

ZAIOC=2L,

2

如圖，建立空間坐標(biāo)系,

?.?A1B=A1E=BC=ED=1、BC〃ED

AB（返，0,0）,E（-返，0,0）,Ai（0,0,返），C（0,返，0）,

2222

BC=（-返，返，0）,T~C=（。，烏-返）,

2222

CD=BE=（^/2，0,0）

設(shè)平面AiBC的法向量為7=（x,y,z）,平面AiCD的法向量為U（a,b,c）,

則?巴。得|-x+y=0,令X=1,則y=LZ=l,即—（1,1,1）,

m-AjC=O[y-z=0

由r可二。得尸，

tn-CD=01~=0

取一（0,1,1）,

則cos<_f'>-m"n-2=近,

5n|-||-|仃x加3

??.平面AiBC與平面AiCD夾角的余弦值為返、

3

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標(biāo)系

利用向量法是解決空間角的常用方法、

19、（12分）設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T,T只與道路暢通狀

況有關(guān)，對其容量為200的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下：

T（分鐘）25303540

頻數(shù)（次）40608020

（1）求T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET；

（2）唐教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即

返回老校區(qū)，求唐教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概

率、

題目分析：（1）由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布，以頻率估計概率得T的分布列，

能求出T的分布列與數(shù)學(xué)期望ET、

（II）設(shè)％,T2分別表示往、返所需時間，％,T2的取值相互獨立，且與T的分

布列相同、設(shè)事件A表示"唐教授共用時間不超過120分鐘"，由于講座時間為

50分鐘，事件A對應(yīng)于"唐教授在途中的時間不超過70分鐘"、由此能求出唐教

授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率、

試題解答解：（1）由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為

T(分鐘)25303540

頻率0.20.30.40.1

以頻率估計概率得T的分布列為

T25303540

P0.20.30.40.1

從而ET=25X0.2+30X0.3+35X0.4+40X0.1=32、(分鐘)...(4分)

(II)設(shè)％,T2分別表示往、返所需時間，％,T2的取值相互獨立，且與T的分

布列相同、

設(shè)事件A表示"唐教授共用時間不超過120分鐘"，由于講座時間為50分鐘，

所以事件A對應(yīng)于"唐教授在途中的時間不超過70分鐘"、

P(A)=P(T1+T2W7O)=P(%=25,T2W45)+P(Ti=30,T2W4O)+P(%=35,T2

W35)+P(Ti=40,T2W3O)

=1X0.2+1X0.3+0.9X0.4+0.5X0.1=0.91、...(10分)

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查概率的求法，

是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率

乘法公式的合理運用、

22

20、(12分)已知橢圓E：工+“1(a>b>0)的半焦距為c,原點O到經(jīng)過

a2b,2

兩點(C,0),(0,b)的直線的距離為L、

2

(I)求橢圓E的離心率；

(II)如圖，AB是圓M：(x+2)2+(y-1)?=包的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A、

2

B兩點，求橢圓E的方程、

題目分析：（I）求出經(jīng)過點（0,b）和（c,0）的直線方程，運用點到直線的

距離公式，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求值；

（II）由（I）知，橢圓E的方程為x2+4y2=4b2,①設(shè)出直線AB的方程，代入

橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合圓的直徑和中點坐標(biāo)公式，解方程可

得b2=3,即可得到橢圓方程、

試題解答解：（I）經(jīng)過點（o,b）和（c,0）的直線方程為bx+cy-bc=0,

則原點到直線的距離為d=,be-L,即為a=2b,

2

Ma22

（II）由（I）知，橢圓E的方程為x?+4y2=4b2,①

由題意可得圓心M（-2,1）是線段AB的中點，則1AB|=g5,

易知AB與x軸不垂直，記其方程為y=k（x+2）+1,代入①可得

（l+4k2）x2+8k（l+2k）x+4（l+2k）2-4b2=0,

設(shè)A（Xi，Yi）,B（X2，丫2），

22

則x1+x2=-8k(l+2k)、X1X2=4(l+2k)-4b)

l+4k2l+4k2

由M為AB的中點，可得X1+X2=-4,得-8k(l+2k)=-4,解得k=L,

22

i_______l+4k廠

從而X1X2=8-2b2,于是|AB|=/+號產(chǎn)1X1-x2|=N^?J(X]+X2)2-4XIX2

=310(/-2)=近瓦解得b?=3,

22

則有橢圓E的方程為工+工；1、

123

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的

運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，同時考查直線和圓

的位置關(guān)系，以及中點坐標(biāo)公式和點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題、

21、(12分)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,X2,X。的各項和，其中x>0,nGN,

n22、

(I)證明：函數(shù)Fn(x)=fn(x)-2在(L,1)內(nèi)有且僅有一個零點(記為

2

Xn),且Xn=L+bn+1；

22n

(II)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各

項和為gn(X),比較力(X)和gn(X)的大小，并加以證明、

2n

題目分析：(I)由Fn(x)=fn(x)-2=l+x+x+...++x-2,求得Fn(1)>0,Fn

(I)<0、再由導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)Fn(X)在(L,1)內(nèi)單調(diào)遞增，得到Fn(X)

22

在(［，1)內(nèi)有且僅有一個零點Xn，由Fn(xn)=0,得到Tn+1；

2n2/n

2n

(II)先求出g1)="I)),構(gòu)造函數(shù)h(x)=fn(x)-gn(x)=l+x+x+...++x

-(n+l)(l+xn),當(dāng)x=l時，fn(x)=gn(X)、

2

當(dāng)X21時，利用導(dǎo)數(shù)求得h(x)在(0,1)內(nèi)遞增，在(1,+8)內(nèi)遞減，得

到fn(x)<gn(X)、

試題解答證明：(I)由Fn(x)=fn(x)-2=l+x+X2+...+xn-2,

則Fn(1)=n-l>0,

111-（產(chǎn)

Fn=l+1+(1-)2+-+(J)n-2=--2=^7<0、

2n

AFn（x）在（1，1）內(nèi)至少存在一個零點，

2

又F/（x）=l+2x+…+nxn~l＞0，（x）在（/1）內(nèi)單調(diào)遞增,

.,.Fn（X）在（［，1）內(nèi)有且僅有一個零點Xn，

2

,?.Xn是Fn（X）的一個零點，AFn（Xn）=0,

ird-l

即J：.一公°'故XnW'xEX；

(II)由題設(shè)，gn(x)=S+l)；l+x“),

2n

設(shè)h(x)=fn(x)-gn(x)=l+x+X+...+x-l】HL"、l+X..J，X〉o、

2

當(dāng)X=1時,fn(X)=gn(X)、

當(dāng)xWl時，h'(x)=l+2x+…+nxnT應(yīng)此產(chǎn)、

若0VxVI,h'(x)>

n-1n-1

n-l,9n-1,,rr1_n(n+l)x^Ln(n+1)xn(n+l)x

x+2x+…+nx------------------------------------一0、

若x>l,h'(x)<

1I-1n_1n-1

n-l.9n-l.,n-ln(n+l)x_n(n+l)xn(n+l)x

x+2x++nx-------------------------------0、

Ah（x）在（0,1）內(nèi)遞增，在（L+8）內(nèi)遞減,

h（X）＜h（1）=0,即3（X）＜gn（X）、

綜上，當(dāng)X=1時,fn（x）=gn（x）；

當(dāng)X＞0且XWI時，fn（X）＜gn（X）、

點評：本題考查了函數(shù)零點的判定方法，考查了等比數(shù)列的前n