借助隱形的翅膀-圓解決定弦定角問題 論文

借助隱形的翅膀—圓，解決定弦定角問題摘要數學問題的探索重在揭示問題的本質，進而找到解決一類問題的通解。對于“定弦定角問題”的探究問題，主要借助于以下知識點：1）直徑所對的圓周角是直角；2）90°的圓周角所對的弦為直徑；3）在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角相等。在此基礎上將問題延伸，利于學生深度思考，從而達到“解一題，會一類”的效果。關鍵詞定弦定角數學建模問題背景新課程標準要求學生把學習數學知識的過程當做建立數學模型的過程，并在建模的過程中培養(yǎng)學生數學應用意識，引導學生自覺地應用數學方法和數學思維去分析、解決生活中的問題。[1]因此教師在教學過程中不但要引導學生建立數學模型，更重要的是讓學生在探究性教學的學習過程中，合情、合理、高效的做到自主建構模型，切實做到水到渠成。筆者發(fā)現(xiàn)2018年南通市中考題28題第（3）問，難度系數較大。通過鉆研，筆者將此題的知識點細化，并將問題層層剖析，給學生搭建好“臺階”，進而讓他（她）有迎難而上的勇氣，拾階而上。二、問題呈現(xiàn)[定義]如圖1，A、B為直線l同側的兩點，過點A作直線l的對稱點A’，連接A’B交直線l于點P，連接AP，則稱點P為點A、B關于直線l的“等角點”。[運用]如圖2，在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，），B(-2,-)兩點。圖1圖2若點P是點A，B關于直線y=ax+b(a≠0)的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，求b的取值范圍。圖1圖2從（3）中我們發(fā)現(xiàn)：除了要根據問題背景理解“等角點”的概念以外，關鍵是解決了動點P的運動軌跡問題。于是筆者主要先設置問題，遵循從“特殊”到“一般”的設計思路，建立并抽象出數學模型，并將第（3）問當成是“母問題”，并把它逐漸細化，形成若干“子問題”，順理成章的為學生搭建好“臺階”，真正達到“拾階而上，化險為夷”。三、問題探究，“大”題“小”做1.問題情境具體化，在同感中培養(yǎng)高階思維生活中處處有數學，把數學與我們經驗結合起來，讓學生體會數學價值的延續(xù)性與無限性。因此課堂教學中，恰當的問題情境是探究式教學的起點和關鍵，問題提出的質量直接影響后續(xù)問題的探究。復雜的幾何綜合題，往往是若干個小知識點的綜合體。因此，在通往“荊棘”的綜合道路上，需要巧設小問作為臺階，層層鋪墊，把簡單問題搞清楚，做到“小題大作”，關聯(lián)類比，這樣才能從容面對“荊棘之路”，于是筆者創(chuàng)設下列問題情境，抽象出本節(jié)的數學模型。（1）如圖3，已知AB=4，在直線AB上方是否存在一個動點P，使得∠APB=90°？如果存在，點P滿足什么條件？（2）如圖4，已知AB=4，在直線AB上方是否存在一個動點P，使得∠APB=45°？如果存在，點P滿足什么條件？（3）如圖5，已知AB=4，在直線AB上方是否存在一個動點P，使得∠APB=120°？如果存在，點P滿足什么條件？2.模型探究一般化，在提煉中培養(yǎng)學生高層次思維數學建模是一種重要的思想方法，在中學數學教學與解題中，作用巨大。因此，利用數學模型解決問題的數學建模教學成為數學教育改革的一個熱點。在教學中若能幫助學生建立最基本的數學模型，那么學生在綜合題的解決中定能如魚得水。在上述三個問題的基礎上，順理成章的將上述問題一般化，提出第四個問題。圖3（4）如圖6，已知AB=a，在直線AB上方是否存在一個動點P，使得∠APB=α？如果存在，點P滿足什么條件？圖3圖6圖6圖5圖4圖5圖4經過激烈討論，數學模型自然生成。[數學模型]：若AB=a（定值），P為平面內的一動點，且∠APB=α（定角），則點P的運動軌跡為：在以AB為弦，圓心角為2α的圓上運動。3.數學經驗再生化，在實踐中培養(yǎng)學生織出數學知識網數學活動經驗的積累是提高學生數學素養(yǎng)的重要方式，數學活動經驗需要在“做”與“思考”中沉淀。教學中教師結合具體學習內容，設計高效的探究式活動，使學生經歷數學的發(fā)生、發(fā)展過程，是學生積累數學活動經驗的重要途徑。[2]。因此在模型提煉的基礎上需要設計數學活動，加深對模型的認識，積累一些新的活動經驗，實現(xiàn)經驗再生。如圖7，在平面直角坐標系中，已知點A（2，），B（-2，-），平面內有一個動點P，滿足∠APB=60°，請你提出一個有意義的問題？并解決。圖7筆者設計了一個簡單的開放性問題，讓學生初步感受圖7AB長度一定，∠APB度數也一定。知道了點P的運動軌跡是以AB為弦，圓心角為120°的圓上運動，于是學生可能提出如下問題：①求AB的長度；②點P的運動軌跡是什么？③求點P所在圓的圓心E的坐標。當學生問出第三個問題時，也是對第②個問題的再深化。單單知道點P運動軌跡是圓還不夠，還要進一步理解為何在問題背景“已知AB=a，在直線AB上方是否存在一個動點P，使得∠APB=α？”中特地提出在直線AB的上方的原因。如圖8，在平面直角坐標系中，已知A（2，）B（-2，-）兩點,∠APB=60°，且P在直線AB的右下方，延長BP,作∠APC的角平分線l：y=ax+b(a≠0)圖8（1）若l與圓E相交，交點為Q，判斷△ABQ的形狀；圖8（2）求點Q的坐標。設計意圖：筆者設置這一“子”問題，已經引導學生往南通市壓軸題的路上無限靠攏，這一臺階的設定讓學生知道：①若∠APC的角平分線l與圓E相交，若交點為Q，則△ABQ一定是等邊三角形。②點Q坐標唯一確定，即Q為定點。此刻拾階而上，提出問題（3），學生便理解了問題（2）的用途，降低了難度。（3）證明：直線l必過定點；設計意圖：直線l為∠APC的角平分線，l必過點P，而l與圓E的位置關系為相切或相交。若l與圓E相交，必過定點Q；若l與圓E相切，切點一定為定點E。故第（3）問證明l過定點，便理所當然了。此刻，陳勝追擊，提高學生對數學問題的認知能力，提出下一個問題。（4）如圖9，若l與圓E相切時，求直線l的解析式。此刻，對學生難度有些大，如何理解直線l與圓E相切呢？教師設置臺階1：直線l與圓E可能存在哪些位置關系？臺階2：無論直線l與圓E存在什么關系，它一定過哪個定點？臺階3：直線l與圓E相切時，過不過定點Q？臺階4：直線l與圓E相切時，切點到底在哪里？有沒有思路？在這樣的追問下，學生漸入佳境，真正感受到這四個問題之間的連接點，以“小”見“大”，環(huán)環(huán)相扣，此刻再補“一刀”，提出下一個問題。（5）如圖10，若P在弧BQ（包括端點）上運動，求b的取值范圍。設計意圖：感受直線l與y軸交點的變化與切點Q有關，若l為圓E的切線，此時的b值最小，當點P在弧BQ上運動時，b的值逐漸增大，但直線l不能與x軸平行。故b的臨界值有三個。圖11圖10圖9圖11圖10圖94.“子”問題的設計思路流程化，“母子”渾然天成如圖11，“子”問題是鋪墊，是墊腳石，它們以點P的運動軌跡為主線，對特殊的直線l展開兩方面的研究。先從直線l與圓的一般的關系--相交出發(fā)，找到突破點，研究透徹特殊直線l過特殊點。由此進行類比、遷移，考察直線l與圓的特殊的背景下，是否也恒過這個特殊點。在這樣的思維認知下，方能從容面對問題（5）。這樣，再回首“問題呈現(xiàn)”，立刻茅塞頓開，達到化“干戈”為“玉帛”的效果。解決問題，總結提升如圖12，在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，），B(-2,-)兩點。（3）若點P是點A，B關于直線y=ax+b(a≠0)的等角點，且點P位于直線AB的右下方，當∠APB=60°時，求b的取值范圍。圖12圖12圖12圖12小結：本題在上述問題串的設置后，思路很清晰：（1）由相交，找定點；（2）由定點，找臨界；（3）由轉動，定范圍。結語數學建模思想、轉化思想作為重要的數學思想方法，在學習數學和解決問題的過程中無處不在。對于教師而言，要使學生對幾何綜合題有因難而上的勇氣，要使復雜的綜合題型無處