G單元立體幾何

G單元立體幾何

目錄

G單元立體幾何................................................................-1-

G1空間兒何體的結(jié)構(gòu)..........................................................-1-

G2空間幾何體的三視圖和直觀圖...............................................-2-

G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線............................................-17-

G4空間中的平行關(guān)系.........................................................-17-

G5空間中的垂直關(guān)系.........................................................-28-

G6三垂線定理...............................................................-55-

G7棱柱與棱錐...............................................................-55-

G8多面體與球................................................................-58-

G9空間向量及運(yùn)算...........................................................-63-

G10空間向量解決線面位置關(guān)系...............................................-63-

G11空間角與距離的求法.....................................................-67-

G12單元綜合................................................................-84-

G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）】6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體

ABC?！狝￡G2中，E是棱BC上的一點(diǎn)，則三棱錐口—耳￡￡的體積等于

1B小

A.-D.

3126

【知識(shí)點(diǎn)】錐體的體積求法.G1

【答案】【解析】D解析：VD_BCE^VE_BCD=-SABCD-CC,=-xixl2xl=-,

1X|一￡>|V|CCD|V|Z7|34AD|C?326

故選D.

【思路點(diǎn)撥】由等體積轉(zhuǎn)化法求解.

【數(shù)學(xué)卷?2015屆江蘇省鹽城中學(xué)高三1月月考（201501）】6.J知圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)與底面

-1-

的直徑相等，則該圓柱的體積為▲.

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.G1

【答案】【解析】2%解析：根據(jù)題意，圓柱的底面半徑廠1,母線長(zhǎng)l=2r=2

圓柱的體積為V=S1=JIrl=nX12X2=2K.

故答案為：2Ji.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，求出圓柱的母線長(zhǎng)1,再求圓柱的體積V.

G2空間幾何體的三視圖和直觀圖

【數(shù)學(xué)（理）卷?2015屆湖北省荊門(mén)市高三元月調(diào)研考試（201501）】6.某幾何體的三視圖如圖所示，其

中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為

B.兀+百

C-TD.y+V3

第6題圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】A

解析：由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐，其底面面積為」%X12=_1萬(wàn)，側(cè)面面積為

22

-7TX2+—x22=7T+y/3,所以其表面積為生+退，則選A.

242

【思路點(diǎn)撥】由三視圖求表面積與體積時(shí)，可先通過(guò)三視圖分析原幾何體的特征，再進(jìn)行求值.

【數(shù)學(xué)（理）卷?2015屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（201501）】6.一個(gè)兒何體的三視圖如圖所示,

則該幾何體的表面積和體積分別是

-2-

俯視圖

A.24+6直和40B.24+6盤(pán)和72C.64+6應(yīng)和40D.50+6也和72

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】C解析：由三視圖可得該兒何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為

3,4高為4的四棱錐，所以其體積為2x3x4+1x3x4x4=40,表面積為：

3

(3x2+4x2)x2+；x4x4+gx3x4+gx3x4返+；x5x4=64+6后所以選C.

【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為3,4高為4的

四棱錐，即可求得其體積以及表面積.

【數(shù)學(xué)(理)卷-2015屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考(201501)14.右圖是一個(gè)幾何體的正(主)

視圖和側(cè)(左)視圖，其俯視圖是面積

為8夜的矩形，則該幾何體的表面積是()

A.20+8&B.24+872

C.8D.16

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】A

【解析】此兒何體是一個(gè)三棱柱，且其高為蜂=4,由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形，

2V2

直角邊長(zhǎng)為2,所以其面積為,><2x2=2,又此三棱柱的高為4,

2

故其側(cè)面積為，(2+2+2V2)x4=16+8夜，表面積為：2x2+16+8&=20+8JL

【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此幾何體為一個(gè)三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為

故先求出底面積，求解其表面積即可.

-3-

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）】9.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊

長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)等于

A.A/34B.歷C.5?D.2A/15

第9題圖

【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖的應(yīng)用.G2

【答案】【解析】C解析：由三視圖可知此幾何體的直觀圖如下:

所以其最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)DB=5〃，故選C.

【思路點(diǎn)撥】山幾何體的三視圖得此幾何體的直觀圖及相關(guān)數(shù)據(jù)，從而該多面體最長(zhǎng)的棱長(zhǎng).

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆湖北省襄陽(yáng)市高三第一次調(diào)研考試（201501）word版】7若某多面體的三視圖如

右圖所示，則此外接球的表面積是

,<018+V14

A.6B.-----

4

C.2乃D.3九

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】D

-4-

【解析】三視圖復(fù)原幾何體如圖：

是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體,

它的外接球就是展開(kāi)為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度,

體對(duì)角線的長(zhǎng)度為：回

所以外接球的半徑為：@；所以外接球的表面積為：13l=3n.

【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出三視圖復(fù)原后幾何體是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，如圖，推斷出幾何體的外接球的

直徑，直接求出幾何體的外接球的表面積.

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆湖北省荊門(mén)市高三元月調(diào)研考試（201501）】15.某幾何體的三視圖如圖所示,

其中俯視圖是半圓，則該幾何體的表面積為▲.

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】—+V3

2

解析：由三視圖可知該幾何體為半個(gè)圓錐，其底面面積為!"xFzzL",側(cè)面面積為

22

-^-x2+—X22=^-+V3,所以其表面積為2+G.

242

【思路點(diǎn)撥】由三視圖求表面積與體積時(shí)，可先通過(guò)三視圖分析原兒何體的特征，再進(jìn)行求值.

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)考（201501）】3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,

則該幾何體的體積為

A.12

-5-

B.24

C.40

D.72

+3-H

俯視圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】C解析：由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為234的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為

3,4高為4的四棱錐，所以其體積為2x3x4+：x3x4x4=40.所以選C.

3

【思路點(diǎn)撥】由三視圖可得該幾何體是底面為邊長(zhǎng)分別為2,3,4的正方體，上面為底面邊長(zhǎng)為3,4高為4的

四棱錐，即可求得其體積.

【數(shù)學(xué)（文）卷-2015屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考（201501）】4.右圖是一個(gè)幾何體的正（主）

視圖和側(cè)（左）視圖，其俯視圖是面積

為8及的矩形，則該幾何體的表面積是（）

A.20+872B.24+872

C.8D.16

正視圖穌左）視圖

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】A

【解析】此幾何體是一個(gè)三棱柱，且其高為蜂=4,由于其底面是一個(gè)等腰直角三角形,

2V2

直角邊長(zhǎng)為2,所以其面積為』x2x2=2,又此三棱柱的高為4,

2

故其側(cè)面積為，（2+2+2正）x4=16+8五，表面積為：2*2+16+8貶=20+8起.

【思路點(diǎn)撥】由三視圖及題設(shè)條件知，此兒何體為?個(gè)三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高為血，

-6-

故先求出底面積，求解其表面積即可.

12.【數(shù)學(xué)理卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三卜.學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）word版（自動(dòng)保存的）】三棱柱的三

視圖如圖所示，則該棱柱的體積等于.

俯視圖

（第12題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的應(yīng)用.G2

【答案】【解析】3解析：由三視圖可知，此三棱柱是直三棱柱,其高為3,底面是底邊長(zhǎng)2,底邊上的高

為1的等腰三角形，所以該棱柱的體積等于1倉(cāng)ij21?33.

2

【思路點(diǎn)撥】由三視圖得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底邊長(zhǎng)及高的值，從而

求得此三棱柱的體積.

13.【數(shù)學(xué)理卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）word版（自動(dòng)保存的）】三棱柱的三

視圖如圖所示，則該棱柱的體枳等于.

（第12題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖的應(yīng)用.G2

【答案】【解析】3解析：由三視圖可知，此三棱柱是直三棱柱,其高為3,底面是底邊長(zhǎng)2,底邊上的高

為1的等腰三角形，所以該棱柱的體積等于工倉(cāng)也1?33.

2

【思路點(diǎn)撥】由三視圖得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底邊長(zhǎng)及高的值，從而

-7-

求得此二棱柱的體枳.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考(201501)word版】7.已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為

1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為

正視圖

俯視圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】c【解析】解析：邊長(zhǎng)為1的正三角形的高為且，即側(cè)視圖的底面邊長(zhǎng)為立，而側(cè)視圖的高,

22

即為正視圖的高百，所以側(cè)面積為‘X迫X6=3.故選擇C.

224

【思路點(diǎn)撥】山題意可得側(cè)視圖為三角形，且邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1的正三角形的高線，高等于正視圖的高，分

別求解代入三角形的面積公式可得答案.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考(201501)word版】7.已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為

1的正三角形，其正視圖與俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為

俯視圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

-8-

【答案】C【解析】解析：邊長(zhǎng)為1的正三角形的高為且，即側(cè)視圖的底面邊長(zhǎng)為走，而側(cè)視圖的高，

22

即為正視圖的高行，所以側(cè)面積為=3.故選擇C.

224

【思路點(diǎn)撥】由題意可得側(cè)視圖為三角形，且邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為1的正三角形的高線，高等于正視圖的高，分

別求解代入三角形的面積公式可得答案.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖北省襄陽(yáng)市高三第一次調(diào)研考試（201501）word版】6.若某多面體的三視圖如右

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】D

【解析】三視圖復(fù)原幾何體如圖：

是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體,

它的外接球就是展開(kāi)為正方體的外接球，外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)度，

體對(duì)角線的長(zhǎng)度為：@

所以外接球的半徑為：@；所以外接球的表面積為：l-Bl=3n.

【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出三視圖復(fù)原后幾何體是正方體去掉一個(gè)角后的幾何體，如圖，推斷出幾何體的外接球的

直徑，直接求出幾何體的外接球的表面積.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（201501）】4、已知某幾何體的三視圖

（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A、48cm3B、78cm3C、88cm3D、98cm3

-9-

俯視圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】D

解析：由三視圖可知幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體截取個(gè)角后剩余的幾何體，所以其體積為

6X3X6--x-x4x5x3=98cm,所以選D.

32

【思路點(diǎn)撥】山三視圖求體積，通常先判斷結(jié)合體特征再計(jì)算.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（201501）［4、己知某幾何體的三視圖

（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A、48cm’B、78cm'C^88cm!D、98cm'

俯視圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】D

解析：由三視圖可知幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體截取一個(gè)角后剩余的幾何體，所以其體積為

6X3X6--x-x4x5x3=98cm,所以選D.

32

-10-

【思路點(diǎn)撥】由二視圖求體枳，通常先判斷結(jié)合體特征再計(jì)算.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）】9.如圖為某幾何體的三視圖，則

該幾何體的表面積為

A.io+VsB.io+V2

c.6+2^/2+5/6D.6+yl~2,+V6

A

1

V

正視圖側(cè)視圖

V

俯視圖（第9題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

S=^^^-+2x2x-+2xlx-+-x2V2x2+-x2^xV2=6+272+76?

22222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試（201501）［10.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的體積等于（）

A.—B.160C.64+3272D.60

3

-11-

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】A解析：由已知中的三視圖，我們可以判斷該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成,

三棱柱的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形，高為4,四棱錐的底面是一個(gè)以4為邊長(zhǎng)的正方形，高

為4,分別求出棱柱和棱錐的體積，其中直三棱的底面為左視圖，高為8-4=4,故七三棱柱=8x4=32,四

棱錐的底面為邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4,

故慍極惟-16x4=g,故該幾何體的體積V-丫育三樓柱+M喊錐=，故選A.

【思路點(diǎn)撥】由已知中的三視圖，可以判斷該兒何體是?個(gè)直三棱柱和?個(gè)四棱錐的組合體.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第五次月考(201501)word版】4.已知某幾何體的三視圖(單

位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是

A.108cmB.100cm3C.92cm3D.84cm3

3

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】B【解析】解析：如圖所示，原幾何體為:

一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為6,3,6的長(zhǎng)方體砍去一個(gè)三棱錐，底面為直角邊分別為3,4直角三角形，高為4.因此

該幾何體的體枳=3x6x6-'x'x3x4x4=108—8=100

32

.故選擇B.

【思路點(diǎn)撥】如圖所示，原幾何體為：一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為6,3,6的長(zhǎng)方體砍去一個(gè)三棱錐，底面為直角

-12-

邊分別為3,4直角三角形，高為4.利用長(zhǎng)方體與三棱錐的體枳計(jì)算公式就看得出.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆河北省衡水市冀州中學(xué)高三上學(xué)期第四次月考（201501）】14.如圖是一個(gè)無(wú)蓋器皿

的三視圖，正視圖、側(cè)視圖和俯視圖

中的正方形邊長(zhǎng)為2,正視圖、側(cè)視圖中的虛線都是半圓，

則該器皿的衣面積是

俯視圖

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案】【解析】%+24

解析：該器皿的表面積可分為兩部分：去掉--個(gè)圓的正方體的表面積與和半球的表面積$2，

圻=6x2x2—萬(wàn)xF=24—乃$2=^-x4^xl2=2兀,故5=電+邑="+24

【思路點(diǎn)撥】由三視圖求表面積與體積，關(guān)鍵是正確分析原圖形的兒何特征.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）［11.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的表面積為

A.10+y[5B.10+

C.6+25/2^+V6D.6+V2+V6

2不

士*1

Y——2——AI

正視圖側(cè)視圖

2

俯視圖

（第9題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

s=（l+2）x2+2x2x-!-+2xlx-+-x2V2x2+-x2V3xV2=6+2A/2+V6,

22222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

-13-

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的表面積為

A.io+VsB.104-V2

C.6+2V2+V6D.6+V2+V6

2T

1

K---2----1*

正視圖側(cè)視圖

俯視圖（第9題圖）

【知識(shí),點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

1

s=042）?SZ+2x2x--+2xlx-+-x2V2x2+-x2V3xV2-6+2V2+V6?

22222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）［11.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的表面積為

A.10+B.10+V2

C.6+D.6+V2+V6

T

!i

K---2----

正視圖側(cè)視圖

v

俯視圖（第9題圖）

-14-

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

（1+2x2

S=）+2x2x-+2xlx-+-x2V2x2+

2222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）】11.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的表面積為

A.10+y/5B.10+5/2

C.6+2V2+V6D.6+V2+\/~6

▼

俯視圖

（第9題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

S=￡j11222sz+2x2x1+2xlxL+Lx2后x2+」x2百x收=6+2行+標(biāo)。

22222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）［11.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的表面積為

A.10+V5B.10+V2

C.6+2A/^+D.6+V2+V6

-15-

1

VV.

W---2----

正視圖側(cè)視圖

俯視圖（第9題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

s=0+2）x2+2x2xj_+2xIxl+lx2V2x2+-x2V3xV2=6+2V2+V6?

22222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆山西省康杰中學(xué)等四校高三第二次聯(lián)考（201501）［11.已知某幾何體的三視圖如圖所

示，則該幾何體的表面積為

A.io+VsB.io+V2

C.6+2V2+V6D.6+V2+V6

1

V

側(cè)視圖

v

俯視圖（第9題圖）

【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2

【答案】C

【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體

（）

s^l+2x2+2X2X-I-+2X1X-+-X2V2X2+-X2V3XV2=6+2V2+V60

22222

【思路點(diǎn)撥】先還原幾何體再分別求出各個(gè)面的面積再求和。

-16-

【數(shù)學(xué)文卷”015屆云南省部分名校高三1月份統(tǒng)一考試(201501)]9.已知某幾何體的三視圖如圖所示,

r352

D.——

3

【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2

【答案H解析】A解析：由已知中的三視圖，我們可以判斷該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成,

三棱柱的底面是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4的直角三角形，高為4,四棱錐的底面是一個(gè)以4為邊長(zhǎng)的正方形，高

為4,分別求出棱柱和棱錐的體積，其中直三棱的底面為左視圖，高為8-4=4,故匕…棱柱=8x4=32,四

棱錐的底面為邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4,

故%)棱錐=；*16X4=F，故該幾何體的體積丫=V直三梭柱+%q棱帷，故選A.

【思路點(diǎn)撥】由已知中的三視圖，可以判斷該幾何體是?個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐的組合體.

G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線

G4空間中的平行關(guān)系

【數(shù)學(xué)(理)卷?2015屆湖北省荊門(mén)市高三元月調(diào)研考試(201501)118.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐S—ABC。中，底面ABC。是正方形，SA_L底面48CO,SA=A8,點(diǎn)M是SD的中點(diǎn),

AN_LSC,且交SC于點(diǎn)N.

(I)求證：SB〃平面ACM；

(II)求證：平面SAC_L平面AMN；

(III)求二面角。-AC-M的余弦值.

第18題圖

-17-

【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系二面角G4G5G11

【答案】【解析】(I)略；(H)略；(III)—

3

解析：方法r(I)證明：連結(jié)交AC于E,連結(jié)ME.

QABC。是正方形，是3。的中點(diǎn).

QM是S。的中點(diǎn)，是△DSB的中位線.

：.MEIISB..................................2分

又MEu平面ACM,SB2平面ACM,

...58〃平面ACM..................................4分

(II)證明：由條件有DC1SA,DC1DA,

DC1平面SAD,且AMu平面SAD,：.AM±DC.

又：54=4。,知是5。的中點(diǎn)，AM1SD.

.?.4知_1平面5。仁5。(3平面5。。,，5。，4加...........6分

由巴知SCLAN...SC,平面AMN.

又SCu平面SAC,...平面54。_1平面4血.................8分

(III)取AO中點(diǎn)/，則MF〃S4.作尸Q_LAC于Q,連結(jié)MQ.

;SA1底面ABCD,MF1底面ABCD.

FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影.

FQLAC,：.MQYAC.

二NF。”為二面角D-4C-M的平面角...................10分

-I1

設(shè)SA=A8=a,在R/AM/7。中，MF=-^SA=~,FQ=~DE,

/?tan4FQM=~—=A/2.

V2

---a

4

A

???二面角。一AC—M的余弦的大小為J...................12分

3

方法二：(II)如圖，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z，

-18-

由SA=AB,可設(shè)AB=A。=AS=1,則

A(0,0,0),B(0,l,0),C(l,l,0),0(1,0,0),S(0,0,l),M(1,0,1).

UUIT11uu

QAM=(-,0,-),CS=(-1,-1,1),

uuiruiriiuuuuu

.-.AMCS=--+-=0AM_LCS,即有SC_LAM…6分

22

又5。_14"且4"口4例=4.

.?.SC,平面AMN.又SCu平面SAC,

平面SAC_L平面AMN...................8分

uuuu

（HI）QSAJ?底面48cO,AS是平面ABC。的一個(gè)法向量，AS=（0,0,1）.

設(shè)平面ACM的法向量為〃=（x,y,z）,

x+y4-0=0,

uuruuirn?AC=0,y=f,

AC=(1,1,0),AMruuir即<11,?'

n?AM=0.—x+0d—z=0.Z--X.

令X=-l,則〃=（一1,1,1）..............................10分

uur廣

uirr4,前i

cos<AS,n>=mr=一,由作圖可知二面角。一AC—M為銳二面角

|AS|-|?|lxj33

...二面角。一AC的余弦值為"...................12分

3

【思路點(diǎn)撥】證明線面平行于面面垂直通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求二面角時(shí)可通過(guò)尋求二面角的平

面角解答也可以建立空間直角坐標(biāo)系用空間向量解答.

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）】20.（12分）

如圖平面ABCD_L平面BCE,四邊形ABCD為矩形，BOCE,點(diǎn)F為CE中點(diǎn).

⑴證明：AE〃平面BDF；

（2）點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P,使得PMLBE?若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加

以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第20題圖

【知識(shí)點(diǎn)】空間點(diǎn)，線，面位置關(guān)系；線面平行及線面垂直的證明.G4G5

【答案】【解析】（1）證明：見(jiàn)解析；（2）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM1BE,證明：見(jiàn)解析.解析：（1）連接

AC交BD于O,連接OF.

-19-

在4ACE中，?..四邊形ABCD是矩形，,0為AC中點(diǎn)，又F為EC中點(diǎn)，

，OF〃AE,

又。/i平面BDF,AEE平面BDF,；.AE〃平面BDF.

（2）當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM1.BE,以下給予證明.

取BE中點(diǎn)H,連接DP,PH,CH,

；P為AE中點(diǎn)，H為BE中點(diǎn)，

，PH〃AB,又AB〃CD,

；.PH〃CD,

：.P、H、C、D四點(diǎn)共面.

;平面ABCDJ_平面BCE,且平面ABCDl平面BCE=BC,CD1BC

，CD_L平面BCE,又BEI平面BCE,

ACD±BE,VBC=CE,且H為BE中點(diǎn),ACH±BE

VCHICD=C,；.BEL平面DPHC,

又PMI平面DPHC,，BHJ_PM,即PMJ_BE.

【思路點(diǎn)撥】⑴取BD中點(diǎn)O,證明。F〃AE即可；（2）要使PM_LBE,只需BE_L平面DCP,

取BE中點(diǎn)H,連接CH,因?yàn)锽C=CE,所以BEJ_CH,有BE,平面BCH,則平面BCH于線段AE的交點(diǎn)為點(diǎn)

P,易得P為線段AE中點(diǎn).

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆湖北省荊門(mén)市高三元月調(diào)研考試（201501）120.（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐S-A8C。中，底面A8CZ）是正方形，SA_L底面A8C￡>,SA=A8=2,點(diǎn)〃是SO的中

點(diǎn)，A/V1SC,且交SC于點(diǎn)N.

（I）求證:58〃平面ACM；

（口）求證：直線SCJ?平面4MN；

（DI）求直線CM與平面AMN所成角的余弦值.

-20-

第20題圖

【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系直線與平面所成角G4G5G11

【答案】【解析】(I)略；(II)略；(III)-

3

解析：方法一：(I)證明：連結(jié)8。交AC于E,連結(jié)ME.

()48。。是正方形，...七是8。的中點(diǎn).

QM是S。的中點(diǎn)，.是aoSB的中位線.

：.MEIISB............................2分

又MEu平面ACM,S6<Z平面ACM,

.?.SB〃平面ACM..............................4分

(H)證明：由條件有。C_LS4,QC_LD4,

平面SA。，，4MLOC.......6分

又：SA=A。,又是5。的中點(diǎn)，，AM_LSD

AM±平面SDC；SCIAM.

山已知SCLAN,...SC，平面AMN......................8分

(III)由(II)如CN，面AMN,則直線CM在面AMN內(nèi)的射影為NM,

NCMN為所求的直線CM與面AMN所成的角.............10分

又SA=A8=2,...在H/ACOM中。￡)=2,加。=血；.。加=瓜

又SC=yjSA2+AC2=20

MNMN1

由ASNMsA5OC可得^-=-：.MN=—.：.cos4cMN=—=-

CDSC3CM3

-12分

直線CM與平面4MN所成角的余弦值為l.............13分

3

【思路點(diǎn)撥】證明線面平行于面面垂直通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明，求直線與平面所成角時(shí)可找出其對(duì)

應(yīng)的平面角再進(jìn)行解答.

-21-

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆湖北省荊門(mén)市高三元月調(diào)研考試（201501）】3.若a，〃是兩條不重合的空間直

線，a是平面，則下列命題中正確的是

A.若加〃〃，〃ua,貝（|m〃aB.若,“〃〃，nila,則"?〃a

c.若〃?〃"，〃_La,則〃z_LaD.若〃？_L”，〃_La,則加〃a

【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系垂直關(guān)系G4G5

【答案】【解析】C

解析：A選項(xiàng)，直線m還可能在平面a內(nèi)，所以錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，直線m還可能在平血a內(nèi)，所以錯(cuò)誤；C選

項(xiàng)由線面垂直的性質(zhì)可知正確，所以應(yīng)選C.

【思路點(diǎn)撥】判斷垂直關(guān)系與平行關(guān)系時(shí)，能直接利用定理判斷的可用定理判斷，不能直接利用定理判斷

的可用反例法排除.

【數(shù)學(xué)（文）卷?2015屆河北省衡水中學(xué)高三上學(xué)期第四次聯(lián)考（201501）】19.（12分）如右圖，已知

三棱柱ABC—A1B1C1。

（I）若M、N分別是AB,AiC的中點(diǎn)，求證:MN〃平面BCCiBi。

（II）若三棱柱ABC-AiBiCi的各棱長(zhǎng)均為2,ZB1BA=ZB1BC=

60°,P為線段BiB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA++PC最小時(shí)，求證:BiB_L平面APC。

【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系垂直關(guān)系C4G5

【答案】⑴略（H）略

【解析】（1）證明：連接則AN=NC,因?yàn)锳M=MB,所以MN平行

BC[U平面BCG4，所以MN〃平面BCCiBr

（II）將平面AB4q展開(kāi)到與平面BCCi4共面，A到A'的位置，此時(shí)A'BCB]為菱形，可知

PA+PC=P}+PC,A'C即為PA+PC的最小值，此時(shí)BB1±A'C,所以6g1PA'

BB]1PC,BBX1PA,BE】_LPC,所以BBX1面PAC

【思路點(diǎn)撥】利用線線垂直證明線面垂直，再根據(jù)最小值證明結(jié)果。

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）word版（自動(dòng)保存的）[17.（本小題

滿分12分）如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線交于點(diǎn)。，。石，平面45。。.（1）求證：AC1BE；

（2）若/4。。=120°,。6=2,BE上一點(diǎn)F滿足OF〃DE,求直線AF與平面5CE所成角的正弦值.

-22-

E

第17題圖

【知識(shí)點(diǎn)】空間線面位置關(guān)系；空間坐標(biāo)系；空間向量的應(yīng)用.G4G5GIOG11

【答案】【解析】（D證明：見(jiàn)解析；（2）-

7

解析:(l)VDE±￥tSABCD,ACi平面ABCD,，DEJLAC.

?四邊形ABCD是菱形，，AC_LBD,

又DEIBD=D,；.AC_L平面BDE,

VBEI平面BDE,AACXBE

（2）?.?DE_L平面ABCD,OF〃DE,；.OF_L平面ABCD,以。為原點(diǎn)OAQBQF分別為x軸,y軸,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則A(6o,O)B(O,l,O),。(-V3,0,0),￡(0,-l,2),F(0,0,l),

UUULUUULUUU

AF=(-V3,0,l),BC=(V3,-l,0pF=(0,-1,1)

tlUUU

u遴?BC0Vlx-y=0

設(shè)平面BCE的法向量為〃=G，?z），則ndnumP

0/y+z=0

UUUU.—

uuuauAF?〃2,3

取w=(1,-6-6)，則co楸F,〃

7

-23-

UUUUJ21

設(shè)直線AF和平面BCE所成的角為q,貝Using=c。楙F,"=—.

7

【思路點(diǎn)撥】（1）證ACL平面BDE即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)求解.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）word版（自動(dòng)保存的）】6、

已知/，根表示兩條不同的直線，a表示平面，下列說(shuō)法正確的是

（）.

A.若/Aa,mPa,則/AmB.若IAm,m翻a,則/a

C.若4〃?/"ua,則4a。.若則

【知識(shí)點(diǎn)】線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì).G4G5

【答案】【解析】A解析：對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)過(guò)直線m的平面交平面a于n,因?yàn)闄C(jī)Pa,

所以m〃n,又I八a,所以/An,所以/Am,故選A.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)得選項(xiàng)A正確.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆福建省廈門(mén)市高三上學(xué)期質(zhì)檢檢測(cè)（201501）word版（自動(dòng)保存的）［17.（本小題

滿分12分）如圖，菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,對(duì)角線交于點(diǎn)。，￡＞石_1平面48。。.（1）求證：AC1BE；

（2）若NAOC=120°,DE=2,8E上一點(diǎn)尸滿足求直線4尸與平面BCE所成角的正弦值.

第17題圖