第3章 一次方程與方程組（壓軸必刷30題7種題型專項訓練）（原卷版）

第3章一次方程與方程組（壓軸必刷30題7種題型專項訓練）一．一元一次方程的解（共3小題）1．（2022秋?定遠縣期中）我們規(guī)定，若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b﹣a，則稱該方程為“差解方程”，例如：2x＝4的解為2，且2＝4﹣2，則方程2x＝4是差解方程．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）判斷3x＝4.5是否是差解方程；（2）若關(guān)于x的一元一次方程5x＝m+1是差解方程，求m的值．2．（2022秋?潁州區(qū)校級期中）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax＝b的解為x＝b+a，則稱該方程為“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解為x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，則方程2x＝﹣4為“和解方程”．請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：（1）已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值；（2）已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值．3．（2022秋?裕安區(qū)校級期中）如圖，已知點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點B對應(yīng)的數(shù)為b，且a、b滿足|a+3|+（b﹣2）2＝0．（1）求A、B所表示的數(shù)；（2）點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解．①求線段BC的長；②在數(shù)軸上是否存在點P，使PA+PB＝BC？求出點P對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由．二．解一元一次方程（共2小題）4．（2022秋?定遠縣校級月考）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a☆b＝ab2﹣2ab+a．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4．（1）求（﹣2）☆5的值；（2）若☆3＝8，求a的值；（3）若m＝4☆x，n＝（1﹣2x）☆3（其中x為有理數(shù)），試比較大小mn（用不等號填空）．5．（2022秋?蚌山區(qū)月考）已知關(guān)于x的方程（m+2）x|m|﹣1+5＝0是一元一次方程，求m的值及另一個方程的解．三．一元一次方程的應(yīng)用（共13小題）6．（2021秋?潁東區(qū)期末）下表所示是2019年元月的月歷表．下列結(jié)論：①每一豎列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；②可以框出一豎列上相鄰的三個數(shù)（如圖所示），這三個數(shù)的和是24；③不可以框出一個2×2的矩形塊的四個數(shù)（如圖所示），這四個數(shù)的和是82；④任意框出一個3×3的矩形塊的九個數(shù)（如圖所示），這九個數(shù)的和是中間數(shù)的9倍，其中正確的是（把所有正確的序號都填上）．7．（2022秋?包河區(qū)月考）2016年春節(jié)即將來臨，甲、乙兩單位準備組織退休職工到某風景區(qū)游玩．甲、乙兩單位共102人，其中甲單位人數(shù)多于乙單位人數(shù)，且甲單位人數(shù)不夠100人．經(jīng)了解，該風景區(qū)的門票價格如下表：數(shù)量（張）1﹣5051﹣100101張及以上單價（元/張）60元50元40元如果兩單位分別單獨購買門票，一共應(yīng)付5500元．（1）如果甲、乙兩單位聯(lián)合起來購買門票，那么比各自購買門票共可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩單位各有多少名退休職工準備參加游玩？（3）如果甲單位有12名退休職工因身體原因不能外出游玩，那么你有幾種購買方案，通過比較，你該如何購買門票才能最省錢？8．（2022秋?亳州期末）為舉辦校園文化藝術(shù)節(jié)，甲、乙兩班準備給合唱同學購買演出服裝（一人一套），兩班共92人（其中甲班比乙班人多，且甲班不到90人），下面是供貨商給出的演出服裝的價格表：購買服裝的套數(shù)1套至45套46套至90套91套以上每套服裝的價格60元50元40元如果兩班單獨給每位同學購買一套服裝，那么一共應(yīng)付5020元．（1）甲、乙兩班聯(lián)合起來給每位同學購買一套服裝，比單獨購買可以節(jié)省多少錢？（2）甲、乙兩班各有多少名同學？9．（2022秋?定遠縣校級月考）數(shù)軸上點A表示的數(shù)為10，點M，N分別以每秒a個單位長度，每秒b個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，a，b滿足|a﹣5|+（b﹣6）2＝0．（1）請直接寫出a＝，b＝；（2）如圖1，點M從A出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，到達原點后立即返回向右運動，同時點N從原點O出發(fā)沿數(shù)軸向左運動，運動時間為t，點P為線段ON的中點若MP＝MA，求t的值；（3）如圖2，若點M從原點向右運動，同時點N從原點向左運動，運動時間為t時M運動到點A的右側(cè)，若此時以M，N，O，A為端點的所有線段的長度和為142，求此時點M對應(yīng)的數(shù)．10．（2021秋?明光市校級月考）某商場用2500元購進了A，B兩種新型節(jié)能臺燈共50盞，這兩種臺燈的進價、標價如下表所示：類型價格A型B型進價（元/盞）4065標價（元/盞）60100（1）這兩種臺燈各購進多少盞？（2）若A型臺燈按標價的九折出售，B型臺燈按標價的八折出售，那么這批臺燈全部出售完后，商家共獲利多少元？11．（2021秋?廬江縣期末）盛盛同學到某高校游玩時，看到運動場的宣傳欄中的部分信息（如表）：院系籃球賽成績公告比賽場次勝場負場積分2212103422148362202222盛盛同學結(jié)合學習的知識設(shè)計了如下問題，請你幫忙完成下列問題：（1）從表中可以看出，負一場積分，勝一場積分（2）某隊在比完22場的前提下，勝場總積分能等于其負場總積分的2倍嗎？請說明理由．12．（2020秋?定遠縣期末）整理一批圖書，由一個人做要40h完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做4h，再增加2人和他們一起做8h，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？13．（2020秋?全椒縣期末）整理一批圖書，由一個人做要40小時完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起做8小時，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？14．（2020秋?廬陽區(qū)校級期末）先填空再解答某村去年種植的油菜籽畝產(chǎn)量達150千克，含油率為40%．今年改種新選育的油菜籽后畝產(chǎn)量提高了30千克，含油率提高了10百分點．今年與去年相比，油菜的種植面積減少了40畝，而村榨油廠用本村所產(chǎn)油菜籽的產(chǎn)油量提高了20%．（1）求今年油菜的種植面積．設(shè)今年油菜的種植面積是x畝．完成下表后再列方程解答；畝產(chǎn)量（千克/畝）種植面積（畝）油菜籽總產(chǎn)量（千克）含油率產(chǎn)油量（千克）去年15040%今年x（2）已知油菜種植成本為200元/畝，菜油收購價為6元/千克．試比較這個村去今兩年種植油菜的純收入．15．（2019秋?瑤海區(qū)期末）十一期間，各大商場掀起購物狂潮，現(xiàn)有甲、乙、丙三個商場開展的促銷活動如表所示：商場優(yōu)惠活動甲全場按標價的6折銷售乙實行“滿100元送100元的購物券”的優(yōu)惠，購物券可以在再購買時沖抵現(xiàn)金（如：顧客購衣服220元，贈券200元，再購買褲子時可沖抵現(xiàn)金，不再送券）丙實行“滿100元減50元的優(yōu)惠”（比如：某顧客購物220元，他只需付款120元）根據(jù)以上活動信息，解決以下問題：（1）三個商場同時出售一件標價290元的上衣和一條標價270元的褲子，王阿姨想買這一套衣服，她應(yīng)該選擇哪家商場？（2）黃先生發(fā)現(xiàn)在甲、乙商場同時出售一件標價380元的上衣和一條標價300多元的褲子，最后付款額也一樣，請問這條褲子的標價是多少元？（3）丙商場又推出“先打折”，“再滿100減50元”的活動．張先生買了一件標價為630元的上衣，張先生發(fā)現(xiàn)竟然比沒打折前多付了18.5元錢，問丙商場先打了多少折后再參加活動？16．（2022秋?天長市校級月考）某校有住宿生若干人，若每間宿舍住8人，則有5人無處??；若每間宿舍增加1人，則還空35張床位，求共有多少間宿舍？有多少住宿生？17．（2022秋?安慶期末）某校體育組長王老師，到家樂福超市為學校購買乒乓球拍、羽毛球拍共三次，有一次購買時，乒乓球拍、羽毛球拍同時打折，其余兩次均按標價購買，三次購買乒乓球拍、羽毛球拍數(shù)量及費用如表：乒乓球拍的數(shù)量（副）羽毛球拍的數(shù)量（副）總費用（元）第一次購買651140第二次購買371110第三次購買981062（1）按打折價購買乒乓球拍、羽毛球拍是第幾次購買？（2）求乒乓球拍、羽毛球拍的標價；（3）若乒乓球拍、羽毛球拍的折扣相同，問家樂福超市是打幾折出售的？18．（2021秋?花山區(qū)校級期中）如圖，點A，B，C是數(shù)軸上三點，點C表示的數(shù)為6，BC＝4，AB＝12．（1）寫出數(shù)軸上點A，B表示的數(shù)：，；（2）動點P，Q同時從A，C出發(fā)，點P以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)向左勻速運動，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒．①求數(shù)軸上點P，Q表示的數(shù)（用含t的式子表示）；②t為何值時，點P，Q相距6個單位長度．四．二元一次方程組的解（共1小題）19．（2022秋?安慶期末）已知關(guān)于x、y的方程組的解也是二元一次方程x﹣y＝3的解，請求出方程組的解及m的值．五．解二元一次方程組（共2小題）20．（2022秋?定遠縣期中）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法．解：將方程②變形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以，方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組．（2）已知x，y滿足方程組，求x2+4y2﹣xy的值．21．（2021秋?蚌山區(qū)月考）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組時，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③把方程①代入③得：2×3+y＝5，∴y＝﹣1把y＝﹣1代入①得x＝4，∴方程組的解為．請你解決以下問題：（1）模仿小軍的“整體代換”法解方程組（2）已知x，y滿足方程組．（i）求x2+4y2的值；（ii）求+的值．六．二元一次方程組的應(yīng)用（共8小題）22．（2021秋?宣州區(qū)校級期末）在正常情況下，一個人在運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)S（次/分）與這個人年齡n（歲）滿足關(guān)系式：S＝an+b，其中a、b均為常數(shù)．（1）根據(jù)圖中提供的信息，求a、b的值；（2）若一位63歲的人在跑步，醫(yī)生在途中給他測得10秒心跳為26次，問：他是否有危險？為什么？23．（2022秋?定遠縣校級月考）平價商場經(jīng)銷的甲，乙兩種商品，甲種商品每件售價98元，利潤率為40%；乙種商品每件進價80元，售價128元．（1）求甲種商品每件的進價；（利潤率＝×100%）（2）若該商場同時購進甲、乙兩種商品共50件，恰好總進價為3800元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？（3）在“元旦”期間，該商場只對乙種商品進行如表的優(yōu)惠促銷活動：打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施少于等于480元不優(yōu)惠超過480元，但不超過680元其中480元不打折，超過480元的部分給予6折優(yōu)惠超過680元按購物總額給予7.5折優(yōu)惠按表的優(yōu)惠條件，若小華一次性購買乙種商品實際付款576元，求小華在該商場購買乙種商品多少件？24．（2022秋?包河區(qū)月考）小林在某商店購買商品A，B共三次，只有其中一次購買時，商品A，B同時打折，其余兩次均按標價購買，三次購買商品A、B的數(shù)量和費用如表所示，購買商品A的數(shù)量/個購買商品B的數(shù)量/個購買總費用/元第一次購物651140第二次購物371110第三次購物981062（1）在這三次購物中，第次購物打了折扣；（2）求出商品A、B的標價；（3）若商品A、B的折扣相同，問商店是打幾折出售這兩種商品的？25．（2022秋?定遠縣期中）被歷代數(shù)學家尊為“算經(jīng)之首”的《九章算術(shù)》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術(shù)》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”請列方程組解答上面的問題．26．（2021秋?宣州區(qū)校級期末）某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機器共480臺．改進生產(chǎn)技術(shù)后，計劃第二季度生產(chǎn)這兩種機器共554臺，其中甲種機器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)10%，乙種機器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)20%．該廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機器各多少臺？27．（2020秋?定遠縣月考）某中學為豐富學生的校園生活，準備從某體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），已知購買3個足球和2個籃球共需310元；購買2個足球和5個籃球共需500元．求購買一個足球、一個籃球各需多少元？28．（2022秋?定遠縣校級月考）某數(shù)學興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間房．（1）求該店有客房多少間？房客多少人？（2）假設(shè)店主李三公將客房進行改造后，房間數(shù)大大增加．每間客房收費20錢，且每間客房最多入住4人，一次性訂客房18間以上（含18間），房費按8折優(yōu)惠．若詩中“眾客”再次一起入住，他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?9．（2022秋?包河區(qū)期末）我市某包裝