2025屆高考數(shù)學一輪總復習考點突破第二章函數(shù)2.2函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時函數(shù)的奇偶性與周期性

第二章函數(shù)2.2函數(shù)的基本性質(zhì)第2課時函數(shù)的奇偶性與周期性考點一函數(shù)的奇偶性命題角度1函數(shù)奇偶性的判斷例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）fx解：由1-x1+x≥0fx的定義域為(-所以fx（2）fx[答案]由9-x2≥所以fx的定義域為{-3,又f3+f所以fx所以fx（3）fx[答案]（方法一）（定義法）當x>0時，fx=-x當x<0時，fxf-所以fx（方法二）（圖象法）作出函數(shù)fx的圖象，如圖所示.由圖象關于原點對稱的特征知函數(shù)fx（4）fx[答案]由1-x1+x>0，得-1<x<1，即fx=ln【點撥】判斷函數(shù)奇偶性的常用方法.①定義法：②圖象法：③還可用本節(jié)【常用結(jié)論】中的“運算”確定奇偶性（在共同定義域上）.④對于分段函數(shù)的奇偶性應分段驗證，但驗證過程往往比較繁瑣，且容易判斷錯誤，通常是用圖象法來判斷.⑤對于含有x的對數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)常用“f-x變式1（1）已知函數(shù)fx=1-2A.fx是偶函數(shù)，gx是偶函數(shù) B.fxC.fx是奇函數(shù)，gx是奇函數(shù) D.fx解：fx的定義域為R，且f-x=1-gx的定義域為{x|x≠0}，且g-x=ln（2）[2021年全國乙卷]設函數(shù)fx=1A.fx-1-1 B.fx解：由題意，得fx對于A，fx-對于B，fx-對于C，fx+1-1對于D，fx+1+1=2命題角度2函數(shù)奇偶性的簡單應用例2（1）[2023年全國乙卷]已知fx=xexA.-2 B.-1 C.1解：因為fx為偶函數(shù)，所以fx-f-x=xexeax-1--xe-xe-ax-1（2）設fx為奇函數(shù)，且當x≥0時，fx=exA.e-x-1 B.e-x解：當x<0時，-x>0，【點撥】①利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)值或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．②利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關問題．變式2（1）[2023年新課標Ⅱ卷]若fx=x+aA.-1 B.0 C.12解：因為fx為偶函數(shù)，所以f1=f-1，即1+aln13=-1+aln3，解得a=0.當a=0時，fx=xln2x-12x+（2）已知函數(shù)y=fx+x是偶函數(shù)，且解：設Fx=fx+x.因為Fx為偶函數(shù)，所以F故填5.命題角度3抽象函數(shù)的奇偶性例3已知定義域為R的函數(shù)fx對任意實數(shù)x，y都有fx+y+A.fx是奇函數(shù) B.fC.fx既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D.f解：由f0≠0，得fx不為奇函數(shù).令x=0，得fy+f-y=2f0fy.再令y=0，得2f0=2[f0]2.【點撥】求解抽象函數(shù)的奇偶性，一般需要對抽象函數(shù)作不同的特值代換，并進行邏輯推理，得到結(jié)果.變式3[2023年新課標Ⅰ卷節(jié)選]已知不恒為0的函數(shù)fx的定義域為R，fxy=A.fx是奇函數(shù) B.fC.fx既是奇函數(shù)也是偶函數(shù) D.f解：令x=y=1，得f1=f1+f1，所以f1=0.令x=y=-1，得f1=f-1+f-1=考點二函數(shù)的周期性例4設fx是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有fx+2=-（1）求證：fx解：證明：因為fx+2=-fx（2）當x∈[2，4][答案]當x∈[-2,0由已知得f-又fx是奇函數(shù)，所以f-x又當x∈[2,4]又fx所以fx所以當x∈[2,4（3）計算f0[答案]f0=0,f2=0,f所以f0【點撥】①判斷函數(shù)的周期性，關鍵在于利用周期性的定義，證明存在等式fx+T=fx.函數(shù)的周期性的常用結(jié)論除了前面提到的外，還要注意若變式4（1）已知函數(shù)fx對于任意實數(shù)x滿足條件fx+2=-1fA.-12 B.12 C.解：因為fx+2=-1fx，所以fx+4=f(x+2+2)=-（2）設fx是以2為周期的奇函數(shù)，當0≤x<1時，fA.1 B.0 C.-1 D.解：由題意，得f-因為當0≤x<1所以f12=4故選C.考點三函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合例5（1）已知定義在R上的奇函數(shù)fx為減函數(shù)，又有f1-a+A.-2,1C.0,1 解：由題意，知f1-a<-f1-a2=fa2-1.又fx（2）設函數(shù)fx=ln(1+x)-1A.(13,1) B.C.(-13,13) D.(-∞解：（方法一）由題意，知fx是偶函數(shù)，且在[0,+∞)上單調(diào)遞增，（方法二）把x=1代入fx>f2x-1,得f1>f1,這顯然不成立,所以x=1不滿足fx>f2x-1,排除D.【點撥】單調(diào)性和奇偶性是函數(shù)的兩條重要基本性質(zhì).單調(diào)性與奇偶性之間有著密切的聯(lián)系：①奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，且f-x=-fx變式5（1）設函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，f1=1，當x∈[0,+∞)A.{x|x<1C.{x|1解：當x≥0時，函數(shù)y=fx單調(diào)