福建省福州瑯岐中學2025屆高一下數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題含解析

福建省福州瑯岐中學2025屆高一下數(shù)學期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，在上存在最小值的是()A． B． C． D．2．某工廠對一批新產(chǎn)品的長度(單位：)進行檢測，如下圖是檢測結果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.753．若正實數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C． D．4．對于復數(shù)，定義映射.若復數(shù)在映射作用下對應復數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限5．如圖，已知正三棱柱的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點的最短路線的長為（）cm．A．12 B．13 C．14 D．156．在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，是上一動點，則的最小值是（）A． B． C． D．7．若平面α∥平面β，直線平面α，直線n?平面β，則直線與直線n的位置關系是（）A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面8．下列函數(shù)所具有的性質(zhì)，一定成立的是（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)在上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知等比數(shù)列{an}中，a3?a13＝20，a6＝4，則a10的值是（）A．16 B．14 C．6 D．5二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，若，則______12．若，點的坐標為，則點的坐標為.13．已知橢圓的右焦點為，過點作圓的切線，若兩條切線互相垂直，則_____________．14．____________.15．已知{}是等差數(shù)列，是它的前項和，且，則____.16．設函數(shù)的最小值為，則的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖是一景區(qū)的截面圖，是可以行走的斜坡，已知百米，是沒有人行路（不能攀登）的斜坡，是斜坡上的一段陡峭的山崖.假設你（看做一點）在斜坡上，身上只攜帶著量角器（可以測量以你為頂點的角）.（1）請你設計一個通過測量角可以計算出斜坡的長的方案，用字母表示所測量的角，計算出的長，并化簡；（2）設百米，百米，，，求山崖的長.（精確到米）18．在平面直角坐標系xOy中，已知點，，，.（1）①證明：；②證明：存在點P使得.并求出P的坐標；（2）過C點的直線將四邊形ABCD分成周長相等的兩部分，產(chǎn)生的另一個交點為E，求點E的坐標.19．已知圓C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直線l的方程為y＝x＋m，求當m為何值時，(1)直線平分圓；(2)直線與圓相切．20．已知，，，．（1）求的最小值（2）證明：．21．已知函數(shù).（1）證明函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）求函數(shù)的值域；（3）令，討論函數(shù)零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

結合初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項判定，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，當時，取得最小值，滿足題意；函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間無最小值，所以B不正確；函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間無最小值，所以C不正確；函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間無最小值，所以D不正確.故選：A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的最值問題，其中解答中熟記基本初等函數(shù)的單調(diào)性，合理判定是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.2、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出．根據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊頻率相等，列出等式，求出中位數(shù)即可．【詳解】：根據(jù)頻率分布直方圖，得平均數(shù)為1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位數(shù)應在20～21內(nèi)，設中位數(shù)為x，則0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.1．故選C．【點睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)的應用問題，是基礎題目．3、D【解析】

將變成，可得，展開后利用基本不等式求解即可．【詳解】，，，，當且僅當，取等號，故選D．【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。蝗嗟仁?，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.4、A【解析】，對應點，在第四象限.5、B【解析】

將三棱柱的側(cè)面展開，得到棱柱的側(cè)面展開圖，利用矩形的對角線長，即可求解．【詳解】將正三棱柱沿側(cè)棱展開兩次，得到棱柱的側(cè)面展開圖，如圖所示，在展開圖中，最短距離是六個矩形對角線的連線的長度，即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值，由已知求得的長等于，寬等于，由勾股定理得，故選B．【點睛】本題主要考查了棱柱的結構特征，以及棱柱的側(cè)面展開圖的應用，著重考查了空間想象能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于基礎題．6、B【解析】

連，沿將展開與在同一個平面內(nèi)，不難看出的最小值是的連線,由余弦定理即可求解．【詳解】解：連，沿將展開與在同一個平面內(nèi)，如圖所示，

連，則的長度就是所求的最小值．

，可得

又,

,

在中，由余弦定理可求得,故選B．【點睛】本題考查棱柱的結構特征，余弦定理的應用，是中檔題．7、D【解析】

由面面平行的定義，可得兩直線無公共點，可得所求結論．【詳解】平面α∥平面β，可得兩平面α，β無公共點，即有直線與直線也無公共點，可得它們異面或平行，故選：D．【點睛】本題考查空間線線的位置關系，考查面面平行的定義，屬于基礎題．8、B【解析】

結合反三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，對于A中，令，則，所以不正確；對于C中，根據(jù)反正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以是錯誤的；對于D中，函數(shù)當時，則滿足，所以不正確，故選：B.【點睛】本題主要考查了反三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，其中解答中熟記反三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9、C【解析】

由復合函數(shù)單調(diào)性及函數(shù)的定義域得不等關系．【詳解】由題意，解得．故選：C．【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性，解題時要注意對數(shù)函數(shù)的定義域．10、D【解析】

用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】∵是等比數(shù)列，∴，∴．故選D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)可以很快速地求解等比數(shù)列的問題．在等比數(shù)列中，正整數(shù)滿足，則，特別地若，則．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關系即可求出．【詳解】由得，，解得，．【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示以及二倍角公式、平方關系的應用．12、【解析】試題分析：設，則有，所以，解得，所以.考點：平面向量的坐標運算.13、【解析】

首先分析直線與圓的位置關系，然后結合已知可判斷四邊形的形狀，得出的比值，最后得到答案.【詳解】設切點為，根據(jù)已知兩切線垂直，四邊形是正方形，，根據(jù)，可得.故填：.【點睛】本題考查了直線與圓的幾何性質(zhì)，以及橢圓的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的能力，屬于基礎題型.14、【解析】

在分式的分子和分母中同時除以，然后利用常見數(shù)列的極限可計算出所求極限值.【詳解】由題意得.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)列極限的計算，熟悉一些常見數(shù)列的極限是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得，由此得解.【詳解】解：由題意可知，；同理。故.故答案為：【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎題.16、.【解析】

確定函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定最小值．【詳解】由題意在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，∴，，故答案為．【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性．由單調(diào)性確定最小值，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）米，詳見解析（2）205米【解析】

（1）由題意測得，，在中利用正弦定理求得的值；（2）解法一，中由余弦定理求得，中求得和的值，在中利用余弦定理求得的值．解法二，中求得，中利用余弦定理求得，利用三角恒等變換求得，在中利用余弦定理求得的值．【詳解】解：（1）據(jù)題意，可測得，，在中，由正弦定理，有，即.解得（米）.（2）解一：在中，百米，百米，百米，由余弦定理，可得，解得，∴.又由已知，在中，，可解得，從而的.∵，在中，由余弦定理得米所以，的長度約為205米.解二：（2）在中，求得.在中，由余弦定理，得，進而得，再由可求得，.在中，由余弦定理，得.所以，的長度約為205米.【點睛】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應用問題，也考查了三角函數(shù)模型應用問題，是中檔題．18、（1）①見解析；②見解析，；（2）.【解析】

（1）①利用夾角公式可得；②由條件知點為四邊形外接圓的圓心，根據(jù)，可得，四邊形外接圓的圓心為的中點，然后求出點的坐標；（2）根據(jù)條件可得，然后設的坐標為，根據(jù)，可得的坐標．【詳解】（1）①，，，，，，，，，，；②由知，點為四邊形外接圓的圓心，，，，，四邊形外接圓的圓心為的中點，點的坐標為；（2）由兩點間的距離公式可得，，，，過點的直線將四邊形分成周長相等的兩部分，，設的坐標為，則，，，，點的坐標為．【點睛】本題考查向量的夾角公式、向量相等、向量的運算性質(zhì)、兩點間的距離公式等，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.19、（1）m＝0；（2）m＝±2．【解析】試題分析：（1）直線平分圓，即直線過圓心，將圓心坐標代入直線方程可得m值（2）根據(jù)圓心到直線距離等于半徑列方程，解得m值試題解析：解：(1)∵直線平分圓，所以圓心在直線y＝x＋m上，即有m＝0.(2)∵直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，∴d＝＝2，m＝±2.即m＝±2時，直線l與圓相切．點睛：判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系．(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．20、（1）1（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)基本不等式即可求出，（2）利用x2+y2+z2（x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2），再根據(jù)基本不等式即可證明【詳解】（1）因為，，所以,即，當且僅當時等號成立，此時取得最小值1．（2）．當且僅當時等號成立，【點睛】本題考查了基本不等式求最值和不等式的證明，屬于中檔題．21、（1）證明見解析；（2）；（3）當時，沒有零點；當時，有且僅有一個零點【解析】

（1）求出函數(shù)定義域后直接用定義法即可證明；（2）由題意得，對兩邊同時平方得，求出的取值范圍即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件得，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可得解.【詳解】（1）證明：令，解得，故函數(shù)的定義域為令，由，可得，所以，，故即，所以函數(shù)在定