高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第6節(jié)　二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布（講義）

第6節(jié)二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.了解超幾何分布,理解超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系,并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.了解正態(tài)分布的意義,理解正態(tài)曲線的性質(zhì),會(huì)用正態(tài)分布解決實(shí)際問(wèn)題.1.兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn),用A表示“成功”,A表示“失敗”,定義X=1如果P(A)=p,則P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示.X01P1-pp我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.一般地,如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).2.二項(xiàng)分布(1)n重伯努利試驗(yàn)①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn).顯然,n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征:同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.(2)二項(xiàng)分布一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=Cnkpk(1-p)如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作X～B(n,p).(3)二項(xiàng)分布的均值與方差如果X～B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情況.(2)二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題(獨(dú)立重復(fù)).3.超幾何分布(1)超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CM其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.(2)超幾何分布的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中,不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=MN,則p是N件產(chǎn)品的次品率,而Xn是抽取的n件產(chǎn)品的次品率,則E(Xn)=p,即E(X)=nM(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題,隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征:①考察對(duì)象分兩類(lèi);②已知各類(lèi)對(duì)象的個(gè)數(shù);③從中抽取若干個(gè)個(gè)體,考查某類(lèi)個(gè)體數(shù)X的概率分布.(2)“二項(xiàng)分布”與“超幾何分布”的區(qū)別:有放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)二項(xiàng)分布,不放回抽取問(wèn)題對(duì)應(yīng)超幾何分布,當(dāng)總體容量很大時(shí),超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來(lái)處理.(3)在實(shí)際應(yīng)用中,往往出現(xiàn)數(shù)量“較大”“很大”“非常大”等字眼,這表明試驗(yàn)可視為n重伯努利試驗(yàn),進(jìn)而判定是否服從二項(xiàng)分布.4.正態(tài)分布(1)連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量不是離散型的,它們的取值往往充滿某個(gè)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)軸,但取一點(diǎn)的概率為0,我們稱這類(lèi)隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.(2)正態(tài)密度函數(shù)①f(x)=1σ對(duì)任意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.②若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X～N(μ,σ2).特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.③若X～N(μ,σ2),則如圖所示,X取值不超過(guò)x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積,而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.(3)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;②曲線在x=μ處達(dá)到峰值1σ③當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí),曲線無(wú)限接近x軸;④當(dāng)σ取固定值時(shí),正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖所示.當(dāng)μ取定值時(shí),因?yàn)檎龖B(tài)曲線的峰值1σ2π與σ成反比,而且對(duì)任意的σ>0,正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此,當(dāng)σ較小時(shí),峰值高,曲線“瘦高”,表示隨機(jī)變量X的分布比較集中;當(dāng)σ較大時(shí),峰值低,曲線“矮胖”,表示隨機(jī)變量X的分布比較(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2.(5)正態(tài)分布在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)的概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3σ原則.對(duì)于X～N(μ,σ2),由x=μ是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知(1)對(duì)任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)P(X<x0)=1-P(X≥x0).(3)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).1.已知隨機(jī)變量X～B(n,p),若E(X)=1,D(X)=45A.643125 C.125 D.解析:由E(X)=1,D(X)=45得np=1,np(1-p)=45解得n=5,p=15所以P(X=3)=C53(15)3(1-15)2.已知6件產(chǎn)品中有2件次品,4件正品,檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè),記取到的正品數(shù)為X,則E(X)等于(A)A.2 B.1 C.43 D.解析:X可能取1,2,3,其對(duì)應(yīng)的概率為P(X=1)=C22CP(X=2)=C21C42C6所以E(X)=1×15+2×35+3×3.(多選題)兩點(diǎn)分布也叫0—1分布,已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的兩點(diǎn)分布,則下列選項(xiàng)正確的是(ABD)A.P(X=0)=0.5 B.P(X=1)=0.5C.D(X)=0.5 D.E(X)=0.5解析:由參數(shù)為0.5的兩點(diǎn)分布知P(X=0)=P(X=1)=0.5,故A,B正確;D(X)=0.5×(1-0.5)=0.25,C錯(cuò)誤;E(X)=0.5×0+0.5×1=0.5,D正確.4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=.

解析:因?yàn)閄～N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布1.設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=59A.1127 B.3281 C.6581解析:由于ξ～B(2,p),則P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=59所以p=13所以η～B(4,13),因此P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1-(23)4-C41·13·(22.甲、乙兩位選手進(jìn)行乒乓球比賽,5局3勝制,每局甲贏的概率是23,乙贏的概率是1A.827 B.427 C.49解析:由題意知,甲以3∶1獲勝是指前3局比賽中甲2勝1負(fù),第4局比賽甲勝,則甲以3∶1獲勝的概率是P=C32×(23)2×13×3.從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中有放回地取球5次,每次取球1個(gè),記X為取得紅球的次數(shù),則D(X)等于(D)A.157 B.207 C.2521解析:由題意從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中取出1個(gè)球,是紅球的概率為33+4=37,因?yàn)槭怯蟹呕氐厝∏?所以X～B(5,37),所以D(X)=5×37×(1-4.(2022·海南海口模擬)某班50名學(xué)生通過(guò)直播軟件上網(wǎng)課,為了方便師生互動(dòng),直播屏幕分為1個(gè)大窗口和5個(gè)小窗口,大窗口始終顯示老師講課的畫(huà)面,5個(gè)小窗口顯示5名不同學(xué)生的畫(huà)面.小窗口每5min切換一次,即再次從全班隨機(jī)選擇5名學(xué)生的畫(huà)面顯示,且每次切換相互獨(dú)立.若一節(jié)課40min,則該班甲同學(xué)一節(jié)課在直播屏幕上出現(xiàn)的時(shí)間的期望是(C)A.10min B.5minC.4min D.2min解析:每5min算作一輪,每一輪甲同學(xué)出現(xiàn)在直播屏幕上的概率為550=110,設(shè)他在直播屏幕上出現(xiàn)的輪次為X,根據(jù)題意X～B(8,110),E(X)=8×110=0.8,設(shè)甲同學(xué)在直播屏幕上出現(xiàn)的時(shí)間為Ymin,則E(Y)=E(5X)=5×(1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí),可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布,如果ξ～B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.(2)判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)①在每一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.③在每一次試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè),即發(fā)生與不發(fā)生.超幾何分布[例1]在心理學(xué)研究中,常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響,具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列.解:(1)記“接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1”為事件M,則P(M)=C84C(2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=C65C105=1P(X=2)=C63C42C10P(X=4)=C61C因此,X的分布列為X01234P151051[典例遷移1](變結(jié)論)在本例第(2)問(wèn),若用X表示接受乙種心理暗示的男志愿者人數(shù),求X的分布列.解:由題意可知X的所有可能取值為1,2,3,4,5,則P(X=1)=C61C44C10P(X=3)=C63C42C10P(X=5)=C65C因此,X的分布列為X12345P151051[典例遷移2](變結(jié)論)在本例第(2)問(wèn),若用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)與男志愿者人數(shù)之差,求X的分布列.解:由題意知X的所有可能取值為3,1,-1,-3,-5,則P(X=3)=C44C61C10P(X=-1)=C42C63C10P(X=-5)=C65C因此X的分布列為X31-1-3-5P151051求超幾何分布的分布列的步驟第一步,驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步,根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率;第三步,用表格的形式列出分布列.正態(tài)分布正態(tài)分布的理解與有關(guān)概率計(jì)算[例2](1)在某校的一次化學(xué)考試中,全體考生的成績(jī)近似地服從正態(tài)分布N(80,100),已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有32名,則參加考試的學(xué)生總數(shù)約為()(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.202 B.205 C.206 D.208(2)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,則P(-2<ξ<1)等于()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6解析:(1)因?yàn)榛瘜W(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(80,100),顯然期望μ=80,標(biāo)準(zhǔn)差σ=100=10,于是得P(X>90)=12[1-P(70≤X≤90)]=12-12(2)由P(ξ<4)=0.9,得P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,則P(-2<ξ<1)=12P(-2<ξ<4)=12(1)根據(jù)正態(tài)曲線在已知區(qū)間上的概率求解問(wèn)題,可利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱的特征,結(jié)合正態(tài)曲線的圖象及正態(tài)曲線的性質(zhì)如P(X<a)=1-P(X≥a),P(X<μ-a)=P(X>μ+a)等求解.(2)利用正態(tài)分布結(jié)合樣本總體估計(jì)樣本落在某一區(qū)間的頻數(shù)時(shí),首先應(yīng)計(jì)算出樣本落在該區(qū)間的頻(概)率,再根據(jù)頻(概)率的意義求解,此類(lèi)問(wèn)題要注意“3σ”原則的應(yīng)用.正態(tài)分布的應(yīng)用[例3]為普及傳染病防治知識(shí),增強(qiáng)市民的疾病防范意識(shí),提高自身保護(hù)能力,某市舉辦傳染病防治知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽.現(xiàn)從該市所有參賽者中隨機(jī)抽取了100名參賽者的競(jìng)賽成績(jī),并以此為樣本繪制了如表所示的頻數(shù)分布表.競(jìng)賽成績(jī)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)人數(shù)6101833競(jìng)賽成績(jī)[70,80)[80,90)[90,100]—人數(shù)16116—(1)求這100名參賽者的競(jìng)賽成績(jī)的樣本均值x和樣本方差s2;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)(2)若該市所有參賽者的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N(μ,σ2),用樣本估計(jì)總體,μ近似為樣本均值,σ2近似為樣本方差,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問(wèn)題:(參考數(shù)據(jù):226≈15)①如果按照15.87%,34.13%,34.13%,15.87%的比例將參賽者的競(jìng)賽成績(jī)劃分為參與獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、特等獎(jiǎng)四個(gè)等級(jí),試確定各等級(jí)的分?jǐn)?shù)線;(精確到整數(shù))②若該市共有10000名市民參加了競(jìng)賽,試估計(jì)參賽者中獲得特等獎(jiǎng)的人數(shù).(結(jié)果四舍五入到整數(shù))附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)由頻數(shù)分布表可得x=1100×(35×6+45×10+55×18+65×33+75×16+85×11+95×s2=1100×(302×12+202×21+102×(2)該市所有參賽者的成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布N(65,226),①設(shè)競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到a及以上為特等獎(jiǎng);成績(jī)達(dá)到b但小于a為一等獎(jiǎng),成績(jī)達(dá)到c但小于b為二等獎(jiǎng),成績(jī)未達(dá)到c為參與獎(jiǎng),則P(X≥a)=15.87%,P(b≤X<a)=34.13%,P(c≤X<b)=34.13%,P(X<c)=15.87%,由于P(X≥b)=P(X≥a)+P(b≤X<a)=50%,因此b=65;由于P(c≤X<a)=P(c≤X<b)+P(b≤X<a)=68.26%,因此c≈μ-σ≈50,a≈μ+σ≈80,所以分?jǐn)?shù)低于50的為參與獎(jiǎng),分?jǐn)?shù)大于等于50小于65的為二等獎(jiǎng),分?jǐn)?shù)大于等于65小于80的為一等獎(jiǎng),分?jǐn)?shù)大于等于80的為特等獎(jiǎng).②因?yàn)棣?σ≈80,所以P(X≥80)≈1-所以估計(jì)參賽者中獲得特等獎(jiǎng)的人數(shù)為0.15865×10000≈1587.利用正態(tài)分布求解實(shí)際問(wèn)題,首先應(yīng)根據(jù)題目特征計(jì)算隨機(jī)變量的均值與方差,進(jìn)而計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布問(wèn)題,結(jié)合正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)求解.計(jì)算時(shí)要注意計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性(若已知題目中告訴相應(yīng)的數(shù)據(jù),則在計(jì)算中應(yīng)出現(xiàn)并利用相應(yīng)的數(shù)據(jù)).[針對(duì)訓(xùn)練]近幾年,中國(guó)進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長(zhǎng)期,某農(nóng)戶承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚,種植和銷(xiāo)售紅玫瑰和白玫瑰.該農(nóng)戶從去年的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了紅玫瑰10天的銷(xiāo)量數(shù)據(jù)如下(單位:枝):615,575,625,590,600,600,570,615,580,630.(1)求這10天紅玫瑰銷(xiāo)量的平均數(shù)x和方差s2;(2)若這個(gè)大棚紅玫瑰的日銷(xiāo)量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ2可分別用(1)中的x和s2代替,白玫瑰的日銷(xiāo)量Y服從正態(tài)分布N(280,402),又已知紅玫瑰的售價(jià)為2元/枝,白玫瑰的售價(jià)為4元/枝,預(yù)計(jì)今年哪種玫瑰的日銷(xiāo)售額超過(guò)1280元的天數(shù)更多.解:(1)x=110×s2=110×[152+(-25)2+252+(-10)2+(-30)2+152+(-20)2+302(2)由(1)可知X～N(600,202).若紅玫瑰的日銷(xiāo)售額超過(guò)1280元,則需X>640=600+2×20.若白玫瑰的日銷(xiāo)售額超過(guò)1280元,則需Y>320=280+1×40.根據(jù)正態(tài)分布的特征可知P(X>640)<P(Y>320),即白玫瑰的日銷(xiāo)售額超過(guò)1280元的概率更大,因此預(yù)計(jì)今年白玫瑰的日銷(xiāo)售額超過(guò)1280元的天數(shù)更多.[例1]設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球,已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為67,則口袋中白球的個(gè)數(shù)為解析:法一設(shè)口袋中有白球x個(gè),由已知可得取得白球個(gè)數(shù)ξ的可能取值為0,1,2,則ξ服從超幾何分布,P(ξ=k)=Cx所以P(ξ=0)=C7-xP(ξ=2)=Cx所以E(ξ)=Cx1C7-所以x(7-x)+x(x-1)=67×所以6x=18,所以x=3.法二依題意,取得白球個(gè)數(shù)ξ服從超幾何分布,因此E(ξ)=2x7=答案:3[例2](2022·山東棗莊一模)已知隨機(jī)變量X～B(6,0.8),若P(X=k)最大,則D(kX+1)=.

解析:由題意知P(X=k)=C6k·(0.2)6-k·(0.8)C化簡(jiǎn)得0.8×7-kk≥0.2故D(kX+1)=D(5X+1)=52D(X)=24.答案:24[例3]對(duì)一個(gè)物理量做n次測(cè)量,并以測(cè)量結(jié)果的平均數(shù)作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差εn～N(0,2n),為使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要測(cè)量次(若X～N(μ,σ2解析:根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性知,要使誤差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,則(μ-2σ,μ+2σ)?(-0.5,0.5)且μ=0,σ=2n,所以0.5≥22n答案:32[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布2,4,7,10,12超幾何分布6,8正態(tài)分布1,3,5,9,11概率分布模型的綜合應(yīng)用13,14,151.已知隨機(jī)變量ξ～N(2,σ2),若P(2<ξ<3)=0.3,則P(ξ≤1)等于(D)A.0.6 B.0.5 C.0.3 D.0.2解析:由隨機(jī)變量ξ～N(2,σ2)及正態(tài)分布的對(duì)稱性,P(1<ξ<2)=P(2<ξ<3)=0.3,所以P(ξ≤1)=0.5-P(1<ξ<2)=0.5-0.3=0.2.2.(2022·浙江稽陽(yáng)高三聯(lián)考)設(shè)X為隨機(jī)變量,X～B(6,p),若隨機(jī)變量X的期望為4,則P(X≥1)等于(D)A.1729 B.4243 C.716729解析:由X～B(6,p)及其期望為4可知6p=4,解得p=231-C60(1-23)63.某市有甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號(hào)的汽車(chē)零件,零件的尺寸分別記為X,Y,已知X,Y均服從正態(tài)分布,X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2,A.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值大于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性解析:由X～N(μ1,σ12),Y～N(μ2,結(jié)合圖象,可得μ1=μ2,σ1<σ2,即甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值,甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性.4.(2022·吉林長(zhǎng)春模擬)已知隨機(jī)變量X～B(4,13A.P(X=2)=481 C.D(3X+1)=8 D.D(X)=4解析:因?yàn)閄～B(4,13),所以E(X)=4×13=43,D(X)=4×13×(1-因此E(3X+1)=3E(X)+1=3×43+1=5,D(3X+1)=32D(X)=9×8因此選項(xiàng)B,D不正確,選項(xiàng)C正確,又因?yàn)镻(X=2)=C42(13)2(1-13)5.(2022·山東濟(jì)南高三檢測(cè))已知某校有1200名同學(xué)參加某次模擬考試,其中數(shù)學(xué)考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(100,225),從中任取3名同學(xué),至少有2人的數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)100分的概率為(A)A.12 B.23C.34解析:因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布N(100,225),所以P(X>100)=12,所以從中任取3名同學(xué),至少有2人的數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)100分的概率為P=C32(12)2×12+C336.(多選題)一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球,其中有6個(gè)黑球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取4個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出白球的個(gè)數(shù),隨機(jī)變量Y為取出黑球的個(gè)數(shù),若取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球得1分,隨機(jī)變量Z為取出4個(gè)球的總得分,則下列結(jié)論正確的是(BD)A.P(X=1)=12 C.E(X)>E(Y) D.E(Z)=28解析:由題意可知,X,Y均服從超幾何分布,且X+Y=4,Z=2X+Y,故B正確,P(X=k)=C4kC64-410=85,E(Y)=4-E(X)=1257.(多選題)袋子中有2個(gè)黑球,1個(gè)白球,現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,取到白球記0分,黑球記1分,記4次取球的總分?jǐn)?shù)為X,則下列結(jié)論正確的是(ACD)A.X～B(4,23B.P(X=2)=8C.X的數(shù)學(xué)期望E(X)=8D.X的方差D(X)=8解析:從袋子中有放回地隨機(jī)取球4次,則每次取球互不影響,并且每次取到的黑球概率相等,又取到黑球記1分,取4次球的總分?jǐn)?shù),即為取到黑球的個(gè)數(shù),所以隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～B(4,23X=2,記其概率為P(X=2)=C42×(23)2×(13)因?yàn)閄～B(4,23),所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=4×23=因?yàn)閄～B(4,23),所以X的方差為D(X)=4×23×138.(2022·天津高三階段練習(xí))袋中裝有4個(gè)紅球和4個(gè)黑球,從袋中任取4個(gè)球,取到1個(gè)紅球得3分,取到1個(gè)黑球得1分,設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ,則ξ≥8的概率為.

解析:ξ≥8的事件是ξ=8,ξ=10,ξ=12的三個(gè)互斥事件的和,ξ=8的事件是取出2個(gè)紅球、2個(gè)黑球的事件,P(ξ=8)=C42Cξ=10的事件是取出3個(gè)紅球、1個(gè)黑球的事件,P(ξ=10)=C43Cξ=12的事件是取出4個(gè)紅球的事件,P(ξ=12)=C44C因此,P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=10)+P(ξ=12)=1835+835+170答案:539.高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試,是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開(kāi)展體育活動(dòng),保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.某地區(qū)2022年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試,三項(xiàng)考試滿分為50分,其中立定跳遠(yuǎn)15分,擲實(shí)心球15分,1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,得到如圖頻率分布直方圖,且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[155,165)[165,175)得分1617每分鐘跳繩個(gè)數(shù)[175,185)[185,+∞)得分1920(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中,任意選取2人,求兩人得分之和不大于33分的概率;(2)若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差,已知樣本方差s2≈169(各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn),該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過(guò)一年的訓(xùn)練,正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步,假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開(kāi)始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè),現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型:(ⅰ)預(yù)估全年級(jí)恰好有2000名學(xué)生時(shí),正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù);(結(jié)果四舍五入到整數(shù))(ⅱ)若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人,記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195個(gè)以上的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望.附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解:(1)兩人得分之和不大于33分,即兩人得分均為16分,或兩人中1人16分、1人17分,由題意知樣本的100名學(xué)生中,得分在[155,165)的有100×0.006×10=6(人),在[165,175)的有100×0.012×10=12(人).則其概率為P=C62+(2)x=160×0.06+170×0.12+180×0.34+190×0.30+200×0.10+210×0.08=185,又σ2=s2≈169,σ=13,所以正式測(cè)試時(shí),μ=195,σ=13,所以μ-σ=182.(ⅰ)所以P(X>182)≈1-1-所以0.8414×2000≈1683(人).(ⅱ)由正態(tài)分布模型,在全年級(jí)所有學(xué)生中任取1人,每分鐘跳繩個(gè)數(shù)195以上的概率為0.5,即ξ～B(3,0.5),所以P(ξ=0)=C30(1-0.5)P(ξ=1)=C310.5×(1-0.5)P(ξ=2)=C320.52P(ξ=3)=C330.5所以ξ的分布列為ξ0123P0.1250.3750.3750.125E(ξ)=3×0.5=1.5.10.已知X～B(n,p),若4P(X=2)=3P(X=3),則p的最大值為(B)A.56 B.45 C.34解析:由題意可知n≥3,因?yàn)?P(X=2)=3P(X=3),所以4Cn2p2(1-p)n-2=3Cn3p整理得4(1-p)=(n-2)p,即p=4n+2,又n∈N*,且n≥3,所以p≤11.(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),下列結(jié)論中不正確的是(D)A.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5C.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小,該物理量在一次測(cè)量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等解析:對(duì)于A,σ2為數(shù)據(jù)的方差,所以σ越小,數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中,所以測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,故A正確;對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量在一次測(cè)量大于10的概率為0.5,故B正確;對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量在一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等,故C正確;對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹吭谝淮螠y(cè)量中結(jié)果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同,所以在一次測(cè)量中結(jié)果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同,故D錯(cuò)誤.12.(2022·山東濰坊模擬)Poisson分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)里常見(jiàn)的離散型概率分布,其概率分布列為P(X=k)=λkk!e-λA.1-e-3 B.e-3 C.1-3e-3 D.1-4e-3解析:n=10000≥20,p=0.0003≤0.05,此時(shí)Poisson分布滿足二項(xiàng)分布的近似的條件,此時(shí)λ=10000×0.0003=3,故不致死的概率為P(X=0)=300!e-3=e-313.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,采