甘肅省蘭州市2024年中考五模數(shù)學(xué)試題含解析

甘肅省蘭州市2024年中考五模數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.若一次函數(shù)y=ox+人的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則下列不等式一定成立的是（）

b

A.a+b<0B.a-b>0C.ab>0D.—<0

的結(jié)果是（

5G

D.2^3

亍

3.如圖，直線y=3x+6與x,y軸分別交于點(diǎn)A,B,以O(shè)B為底邊在y軸右側(cè)作等腰△OBC,將點(diǎn)C向左平移5個(gè)單

位，使其對應(yīng)點(diǎn)恰好落在直線AB上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（:）

A.(3,3)B.(4,3)C.(-1,3)D.(3,4)

4.要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（

A.x=-2B.x#C.x>-2D.xW-2

如圖，這是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)計(jì)算這個(gè)幾何體的側(cè)面積為（

B.lOnC.UnD.12n

6.如圖所示，在方格紙上建立的平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到AAB，。，則點(diǎn)A，

的坐標(biāo)為()

A.(3,1)B.(3,2)C.(2,3)D.(1,3)

7.如圖1、2、3分別表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路線圖，已知

甲的路線為：A—>C—>B；

乙的路線為：A—D—E—F—B,其中E為AB的中點(diǎn)；

丙的路線為：A—ITJ—KTB,其中J在AB上,且AJ＞JB.

若符號［一］表示［直線前進(jìn)］,則根據(jù)圖1、圖2、圖3的數(shù)據(jù)，判斷三人行進(jìn)路線長度的大小關(guān)系為()

I

\AA

ABAEBAJB

圖1圖2圖3

A.甲=乙=丙B.甲<乙<丙C.乙〈:丙〈:甲D.丙＜乙＜甲

8.下列計(jì)算正確的是

A.a2-a2=2a4B.(―a2)3=—a6C.3a2--6a2=3a2D.(a—2)2=a2—4

9.在△ABC中，點(diǎn)D、E分另lj在AB、AC上，如果AD=2,BD=3,那么由下列條件能夠判定DE〃BC的是()

DE2DE2AE2AE2

A.-----=-B.-----=-C.-----——D........——

BC3BC5AC3AC5

10.一元二次方程Y—2%=0的根是()

A.%—0,%2=-2B.xi=l,x2=2

C.X］=1,%2=-2D.xx=0,x2=2

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11.從-5,-1,0,2,Tt這七個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，恰好為負(fù)整數(shù)的概率為.

12.如圖，--——中，AC=3,BC=4,------_沙，P為AB上一點(diǎn)，且AP=2BP,若點(diǎn)A繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

60。，則點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)的路徑長是

13.若圓錐的母線長為4cm,其側(cè)面積12萬5？，則圓錐底面半徑為cm.

14.一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)球，其中3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外無其它差別，現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸出

一個(gè)球，則它是黑球的概率是.

15.如圖是一張長方形紙片ABCD,已知AB=8,AD=7,E為AB上一點(diǎn),AE=5,現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（4AEP）,

使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是.

16.如圖，矩形A0C8的兩邊OC、04分別位于x軸、y軸上，點(diǎn)3的坐標(biāo)為5（-可,5）,。是A5邊上的一點(diǎn).將

△40。沿直線0。翻折，使A點(diǎn)恰好落在對角線03上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在一反比例函數(shù)的圖像上，那么k的值是

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）已知△ABC中，AD是NBAC的平分線，且AD=AB,過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD的延長線于點(diǎn)H.

（1）如圖1,若NBAC=60。.

①直接寫出NB和/ACB的度數(shù);

②若AB=2,求AC和AH的長;

（2）如圖2,用等式表示線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1鼠

18.（8分）某門市銷售兩種商品，甲種商品每件售價(jià)為300元，乙種商品每件售價(jià)為80元.該門市為促銷制定了兩

種優(yōu)惠方案：

方案一：買一件甲種商品就贈(zèng)送一件乙種商品；

方案二：按購買金額打八折付款.

某公司為獎(jiǎng)勵(lì)員工，購買了甲種商品20件，乙種商品x（-、J件.

⑴分別直接寫出優(yōu)惠方案一購買費(fèi)用-（元）、優(yōu)惠方案二購買費(fèi)用（元）與所買乙種商品x（件）之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若該公司共需要甲種商品20件，乙種商品40件.設(shè)按照方案一的優(yōu)惠辦法購買了m件甲種商品，其余按方案二的

優(yōu)惠辦法購買.請你寫出總費(fèi)用w與m之間的關(guān)系式；利用w與m之間的關(guān)系式說明怎樣購買最實(shí)惠.

19.（8分）某手機(jī)店銷售10部4型和20部3型手機(jī)的利潤為4000元,銷售20部4型和10部B型手機(jī)的利潤為3500

元.

（1）求每部A型手機(jī)和B型手機(jī)的銷售利潤；

⑵該手機(jī)店計(jì)劃一次購進(jìn)A,3兩種型號的手機(jī)共100部，其中3型手機(jī)的進(jìn)貨量不超過4型手機(jī)的2倍，設(shè)購進(jìn)A

型手機(jī)x部，這100部手機(jī)的銷售總利潤為y元.

①求y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式；

②該手機(jī)店購進(jìn)4型、3型手機(jī)各多少部，才能使銷售總利潤最大？

⑶在⑵的條件下，該手機(jī)店實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對4型手機(jī)出廠價(jià)下調(diào)7〃（0<100）元，且限定手機(jī)店最多購進(jìn)A型

手機(jī)70部，若手機(jī)店保持同種手機(jī)的售價(jià)不變，設(shè)計(jì)出使這100部手機(jī)銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案.

20.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=奴2+法+0（。/0）的圖象經(jīng)過^（1,0）和以3,0）兩點(diǎn)，且與y軸

交于。（0,3）,直線/是拋物線的對稱軸，過點(diǎn)4-1,0）的直線A3與直線相交于點(diǎn)3,且點(diǎn)3在第一象限.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若直線和直線/、x軸圍成的三角形面積為6,求此直線的解析式；

(3)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，P與直線A3和x軸都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

21.(8分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=nx?—4nx+4n—l(nwO),與x軸交于點(diǎn)C,D(點(diǎn)C在點(diǎn)D的

左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)A.

(1)求拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3),AB//X軸，交拋物線于點(diǎn)B,求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，將拋物線在B,C兩點(diǎn)之間的部分沿y軸翻折，翻折后的圖象記為G,若直線y=；x+m與圖

象G有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍.

1,1

22.(10分)如圖，拋物線y=—]x2+bx+c與x軸交于A,B,與y軸交于點(diǎn)C(0,2),直線y=—^x+2經(jīng)過點(diǎn)

A,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)尸為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)；

PF

①連接尸。，交AC于點(diǎn)E,求一的最大值；

EO

②過點(diǎn)尸作尸尸，AC,垂足為點(diǎn)尸，連接尸C,是否存在點(diǎn)P,使△尸尸C中的一個(gè)角等于NC4B的2倍？若存在，請

直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

23.（12分）（1）計(jì)算：|-3|-加-2sin30°+（--）-2

2

2xx-2y

(2)化簡:~~22

%+yx+y九一丁

24.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+2=l.

(1)求證：無論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;

(2)若方程有一個(gè)根的平方等于4,求m的值.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、D

【解析】

?.?一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

/.a<0,b>0,

??.a+b不一定大于0,故A錯(cuò)誤，

a-b<0,故B錯(cuò)誤，

ab<0,故C錯(cuò)誤，

b…

—<0,故D正確.

a

故選D.

2、C

【解析】

化簡二次根式，并進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算，最后合并同類二次根式即可.

【詳解】

原式=3百-2正?邁=3有-3L逑.

333

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次根式的化簡以及二次根式的混合運(yùn)算.

3,B

【解析】

令x=0,y-6,'.B(0,6),

,/等腰△OBC,：.點(diǎn)C在線段OB的垂直平分線上，

...設(shè)C(a,3),則U(a一5,3),

/.3=3(a—5)+6,解得a=4,

：.C(4,3).

故選B.

點(diǎn)睛：掌握等腰三角形的性質(zhì)、函數(shù)圖像的平移.

4、D

【解析】

試題分析：?.?分式一一有意義，,x+l/h-1,即x的取值應(yīng)滿足：x#-l.故選D.

x+2

考點(diǎn)：分式有意義的條件.

5、B

【解析】

【分析】由三視圖可判斷出幾何體的形狀，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積公式求出答案.

【詳解】由題意可得此幾何體是圓錐，

底面圓的半徑為：2,母線長為：5,

故這個(gè)幾何體的側(cè)面積為：71x2x5=1071,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的形狀以及圓錐側(cè)面積求法，正確得出幾何體的形狀是解題關(guān)鍵.

6、D

【解析】

解決本題抓住旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心O,旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度90。，通過畫圖得A，.

【詳解】

由圖知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,1),根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心O,旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角度90。，畫圖，從而得A，點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).

故選D.

7、A

【解析】

分析：由角的度數(shù)可以知道2、3中的兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊都是平行的，所以圖2,圖3中的三角形都和圖1中的三角

形相似.而且圖2三角形全等，圖3三角形相似.

詳解：根據(jù)以上分析：所以圖2可得AD=EF9DE=BE.

111m,

VAE=BE=-AB,:.AD=EF=-AC,DE=BE=-BC9???甲二乙.

222

netu-_A_biiJKJBBKAIAJIJ

圖3與圖1中，二個(gè)二角形相似，所以.

AIAJIJACABBC

VAJ+BJ=AB,：.AI+JK=AC9H+BK=BC9

甲=丙.甲=乙=丙.

點(diǎn)睛：本題考查了的知識點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的平移，求得線段的關(guān)系.

8、B

【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)累乘法、累的乘方、合并同類項(xiàng)法則、完全平方公式逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得.

【詳解】A.a2-a2=a4,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.(―a2)3——a6,正確；

C.3a2—6a2=-3a2,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.(a-2)2=a2-4a+4,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法、哥的乘方、合并同類項(xiàng)、完全平方公式，熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

9、D

【解析】

AT)4/7AF)AJ7

根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理，當(dāng)——=——或——=——時(shí),DEBD，然后可對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

DBECABAC

【詳解】

ADAEADAE.——

解：當(dāng)——或——=—時(shí)，DEBD,

DBECABAC

rAE21AE2

即一=一或

EC3AC5

所以D選項(xiàng)是正確的.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.也考查了平行線分線段成比例定

理的逆定理.

10、D

【解析】

試題分析：此題考察一元二次方程的解法，觀察發(fā)現(xiàn)可以采用提公因式法來解答此題.原方程可化為：,

因此_。或-2=0,所以：=、故選D.

考點(diǎn)：一元二次方程的解法因式分解法——提公因式法.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11、-

7

【解析】

2

七個(gè)數(shù)中有兩個(gè)負(fù)整數(shù)，故隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，恰好為負(fù)整數(shù)的概率是：-

【詳解】

-5,-y,-V6,-l,0,2,7T這七個(gè)數(shù)中有兩個(gè)負(fù)整數(shù)：-5,-1

2

所以，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，恰好為負(fù)整數(shù)的概率是：一

7

2

故答案為了

【點(diǎn)睛】

本題考查隨機(jī)事件的概率的計(jì)算方法，能準(zhǔn)確找出負(fù)整數(shù)的個(gè)數(shù)，并熟悉等可能事件的概率計(jì)算公式是關(guān)鍵.

12、

【解析】

作P。，3G則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是以點(diǎn)。為圓心，以為半徑，圓心角為60。的一段圓弧，根據(jù)相似三角形的判

定與性質(zhì)求出PD的長，然后根據(jù)弧長公式求解即可.

【詳解】

作P￡)_L5C,則P￡)〃AC,

:.XPBD~&ABC,

___,

Z3-3C

VAC=3,BC=4,

：.AB=..,

/?+?=J

'：AP=2BP,

：.BP=

"□□-Ei-7

點(diǎn)產(chǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長，

Jit

故答案為：...

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，弧長的計(jì)算，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出如的長是解答本題的關(guān)鍵.

13、3

【解析】

二?圓錐的母線長是5cm,側(cè)面積是157rcm2,

2V

???圓錐的側(cè)面展開扇形的弧長為：1=—二.=6小

r5

?.?錐的側(cè)面展開扇形的弧長等于圓錐的底面周長，，r=="=3cm,

2〃In

2

14、-

5

【解析】

用黑球的個(gè)數(shù)除以總球的個(gè)數(shù)即可得出黑球的概率.

【詳解】

解：???袋子中共有5個(gè)球，有2個(gè)黑球，

2

,從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是黑球的概率為二；

2

故答案為二.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事

VY1

件A的概率P(A)=-.

n

15、50或4，？或1

【解析】

如圖所示：

①當(dāng)AP=AE=1時(shí)，VZBAD=90°,...△AEP是等腰直角三角形，二底邊PE=后AE=5后；

②當(dāng)PE=AE=1時(shí)，VBE=AB-AE=8-1=3,ZB=90°,/.PB=^PE2-BE2=4?,底邊

AP=1AB2+PB?=782+42=4A/5;

③當(dāng)PA=PE時(shí)，底邊AE=1；

綜上所述：等腰三角形AEP的對邊長為5a或4石或L

故答案為5近或46或L

16、-12

【解析】

過E點(diǎn)作EFLOC于F,如圖所示:

上.①一,h-----=tcm/BOC==y=—

由條件可知：OE=OA=5,OF。。204,

T

所以EF=3,OF=4,

則E點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,3)

設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=

X

貝!)有k=-4x3=-12.

故答案是：-12.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)①45。，②曲巨；(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系：2AH=AB+AC.證明見解析.

2

【解析】

(1)①先根據(jù)角平分線的定義可得NBAD=NCAD=30。，由等腰三角形的性質(zhì)得/B=75。，最后利用三角形內(nèi)角和可

得NACB=45。；②如圖1,作高線DE,在RtAADE中，由NDAC=30。，AB=AD=2可得DE=1,AE=。，在

RtACDE中，由NACD=45。，DE=1,可得EC=1,AC=百+1,同理可得AH的長；(2)如圖2,延長AB和CH

交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH,易證AACH之△AFH,貝！JAC=AF,HC=HF,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰

三角形的性質(zhì)可得AG=AH,再由線段的和可得結(jié)論.

【詳解】

(1)①：AD平分NBAC,NBAC=60。，

.\ZBAD=ZCAD=30°,

VAB=AD,

；.NBJ80。—30。

=75°,

2

ZACB=180°-60°-75°=45°；

②如圖1,過D作DELAC交AC于點(diǎn)E,

圖1

在RtAADE中，VZDAC=30°,AB=AD=2,

/.DE=1,AE=百，

在RtACDE中，VZACD=45°,DE=1,

/.EC=1,

-,.AC=V3+b

在RtAACH中，VZDAC=30°,

CH=-AC=^Iil

22

???AH=VAC2-CH2=J(百+1)2-

(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系：2AH=AB+AC.

證明：如圖2,延長AB和CH交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH.

易證△ACH絲△AFH,

.\AC=AF,HC=HF,

；.GH〃BC,

VAB=AD,

ZABD=ZADB,

:.ZAGH=ZAHG,

；.AG=AH,

，AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角形

的中位線定理等知識，熟練掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，第(2)問構(gòu)建等腰三角形是關(guān)鍵.

18、(1)yi=80x+4400；y2=64x+4800；(2)當(dāng)m=20時(shí)，w取得最小值，即按照方案一購買20件甲種商品、按照方案

二購買20件乙種商品時(shí)，總費(fèi)用最低.

【解析】

(1)根據(jù)方案即可列出函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)題意建立w與，”之間的關(guān)系式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可得出答案.

解：(1)二=＞,二2+6二二一二得：二,=二二-

二二:"一"-"二-J.5得：二二二二--2。0；

⑵-=4.汕“一二;?W-二二＜工

二=-J二+

因?yàn)閣是機(jī)的一次函數(shù)，A=-4＜0,

所以w隨的增加而減小，si當(dāng)/n=20時(shí)，w取得最小值.

即按照方案一購買20件甲種商品；按照方案二購買20件乙種商品.

19、(1)每部A型手機(jī)的銷售利潤為100元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為150元；(2)①y=-50x+15000；②手機(jī)店購

進(jìn)34部4型手機(jī)和66部B型手機(jī)的銷售利潤最大；(3)手機(jī)店購進(jìn)70部A型手機(jī)和30部B型手機(jī)的銷售利潤最大.

【解析】

(1)設(shè)每部A型手機(jī)的銷售利潤為。元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為沙元，根據(jù)題意列出方程組求解即可；

(2)①根據(jù)總利潤=銷售A型手機(jī)的利潤+銷售B型手機(jī)的利潤即可列出函數(shù)關(guān)系式；

②根據(jù)題意，得100—解得根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得當(dāng)當(dāng)％=34時(shí)，V取最大值；

(3)根據(jù)題意，y=(m-5O)x+15OOO,7VxV70,然后分①當(dāng)0＜加＜50時(shí)，②當(dāng)機(jī)=50時(shí)，③當(dāng)50＜機(jī)＜100

時(shí)，三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)每部A型手機(jī)的銷售利潤為。元，每部B型手機(jī)的銷售利潤為〃元.

10。+20匕=4000

根據(jù)題意，得

20a+10&=3500

a=100

解得

Z?=150

答：每部4型手機(jī)的銷售利潤為100元，每部3型手機(jī)的銷售利潤為150元.

⑵①根據(jù)題意，My=100x+150(100-x),BPy=-50x+15000.

②根據(jù)題意,得100—解得xN與.

y=—50%+15000,-50<0,

二y隨x的增大而減小.

X為正整數(shù)，

.??當(dāng)％=34時(shí)，V取最大值，100—x=66.

即手機(jī)店購進(jìn)34部A型手機(jī)和66部3型手機(jī)的銷售利潤最大.

⑶根據(jù)題意，<y=(100+m)x+150(100-x).

即y=(/〃-50b+15000,-3^<%<70.

①當(dāng)0<相<50時(shí)，V隨x的增大而減小，

,當(dāng)x=34時(shí)，V取最大值，即手機(jī)店購進(jìn)34部A型手機(jī)和66部3型手機(jī)的銷售利潤最大；

②當(dāng)帆=50時(shí)，m—50=0,y=15000,即手機(jī)店購進(jìn)A型手機(jī)的數(shù)量為滿足與70的整數(shù)時(shí)，獲得利潤相

同；

③當(dāng)50(機(jī)<100時(shí)，m-50>0,V隨％的增大而增大，

,當(dāng)x=70時(shí)，V取得最大值，即手機(jī)店購進(jìn)70部4型手機(jī)和30部3型手機(jī)的銷售利潤最大.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握一次函數(shù)的增減性.

,44/3、

20、(1)y=x--4x+3；(2)y=+j；(3)尸［2,萬］或P(2,—6).

【解析】

(1)根據(jù)圖象經(jīng)過M(1,0)和N(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于D(0,3),可利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6,得出AC,BC的長，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可利

用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；

(3)利用三角形相似求出△ABCs^PBF,即可求出圓的半徑，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

(1)拋物線y=a?+"+。的圖象經(jīng)過M(1,0),N(3,0),D(0,3),

.?.把M(l,0),N(3,0),。(0,3)代入得：

0=〃+b+c

<0=9〃+3b+c

3=c

a=1

解得：=

c=3

拋物線解析式為y=f一4%+3；

(2)拋物線y=9—4%+3改寫成頂點(diǎn)式為y=(%—2y—1,

拋物線對稱軸為直線/：x=2,

...對稱軸與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0)

A(-l,0),

.-.AC=2-(-l)=3,

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,y),(y>0),

則3C=y,

^AABC=5,ACBC,

：.y=4

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4),

設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b(k^Q),

0=—k+b

把A(-l,0,8(2,4)代入得：，,

4=2k+b

解得：:3，

b=—

3

44

二直線AB解析式為：y=-x+-.

33

⑶①；當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，OP與直線AB和x軸都相切,

設(shè)。P與AB相切于點(diǎn)F,與x軸相切于點(diǎn)C,如圖1；

/.PF±AB,AF=AC,PF=PC,

VAC=l+2=3,BC=4,

AB=JAC?+BC?=,\/32+42=5,AF=3,

/.BF=2,

VZFBP=ZCBA,

NBFP=NBCA=90。，

.,.△ABC^APBF,

.BFPFPC

*'AC-AC*

.2PC

??——,

43

3

解得：PC=~,

3

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-)；

2

②設(shè)。P與AB相切于點(diǎn)F,與x軸相切于點(diǎn)C,如圖2：

，PFJ_AB,PF=PC,

VAC=3,BC=4,AB=5,

VZFBP=ZCBA,

ZBFP=ZBCA=90°,

/.△ABC^APBF,

.ABAC

??—9

PBPF

.53

"PC+4~PC'

解得：PC=6,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-6),

綜上所述，/與直線AB和x都相切時(shí)，

P12,|.P(2,—6).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式及相似三角形的判定和性質(zhì)、

切線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

21、(1)M的坐標(biāo)為⑵B(4,3)；(3)m=L或工<m<5.

162

【解析】

(1)利用配方法將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程，可以直接得到答案一

（2）根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)解答；

（3）利用待定系數(shù)法求得拋物線的表達(dá)式為y=/一4%+3.根據(jù)題意作出圖象G,結(jié)合圖象求得m的取值范圍.

【詳解】

解：（1）y=nx2-4nx+4n-l=n^x2-4x^+4n-l=n（x-2）2-1,

???該拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,-1）；

（2）由⑴知，該拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,—1）；

???該拋物線的對稱軸直線是x=2,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,AB//X軸，交拋物線于點(diǎn)B,

點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=2對稱，

.?.B（4,3）；

（3）拋物線y=nx2-4nx+4n-1與y軸交于點(diǎn)A（0,3）,

4n—1=3.

/.n=1.

拋物線的表達(dá)式為y=x2-4x+3.

拋物線G的解析式為：y=X2+4X+3

由5X+m=x2+4x+3.

由尸0,得：m=---

16

拋物線丫=*2-4*+3與*軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,

???點(diǎn)C關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)G的坐標(biāo)為（—1,0）.

把(-1,0)代入y=；x+m,得：m=g.

把(-4,3)代入y=5X+m,得：m=5.

所求m的取值范圍是m=--L或一<m<5.

162

故答案為(1)M的坐標(biāo)為(2,—1)；(2)B(4,3)；(3)m=-----■或一<m?5.

162

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)G的圖象

是解題的關(guān)鍵.

13ppno300

22、(1)y=—x2H—%+2；(2)①有最大值1；②(2,3)或(—,---)

"22EO11121

【解析】

(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A,C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)代定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

PEPM

(2)①根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得6==而，根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較

小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

3

②根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是以NACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)D,求得D(不，0),得到

DA=DC=DB=g,過P作X軸的平行線交y軸于R,交AC于G,情況一：如圖，ZPCF=2ZBAC=ZDGC+ZCDG,

情況二，ZFPC=2ZBAC,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)當(dāng)x=0時(shí),y=2,即C(0,2),

當(dāng)y=0時(shí)，x=4,即A(4,0),

將A,C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

’12

——x4-+4Z?+c=0

<2,

c=2

,3

b-----

解得2,

c=2

1。3

拋物線的解析是為y=--%2+1%+2；

(2)過點(diǎn)P向x軸做垂線，交直線AC于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N

;直線PN〃y軸，

.?.△PEM-△OEC,

.PEPM

**OE-OC

把x=0代入y=-gx+2,得y=2,即OC=2,

131

設(shè)點(diǎn)P(x,--x2+—x+2),則點(diǎn)M(x,-—x+2),

222

/.PM=(-—x2+—x+2)-(-—x+2)=--X2+2X=-—(x-2)2+2,

22222

2

.PE=PM=--(x-2)+2

,*OE-bc----------------，

???0VxV4,.?.當(dāng)x=2時(shí)，些=型=—；(苫—2)?+2有最大值1.

OEOC-----------------

②(4,0),B(-1,0),C(0,2),

.*.AC=26,BC=6，AB=5,

.\AC2+BC2=AB2,

.1△ABC是以NACB為直角的直角三角形，取AB的中點(diǎn)D,

3

AD(-,0),

2

5

.\DA=DC=DB=-,

2

.\ZCDO=2ZBAC,

4

/.tanZCDO=tan(2ZBAC)=一,

3

過P作x軸的平行線交y軸于R,交AC的延長線于G,

情況一：如圖

:.ZPCF=2ZBAC