2024年江蘇高考數(shù)學(xué)適應(yīng)試題含答案

1°

1.拋物線y=的焦點坐標(biāo)為（▲）.

A.[，o[B,C./JD.[O,￡|

2.在等比數(shù)列｛為｝中，%+4=82,a3ax-2=81,且前％項和邑=121,x=（▲）.

A.4B.5C.6D.7

3.已知機(jī)，〃表示兩條不同直線，。表示平面，則（▲）.

A.若mJIa,nila,則相〃〃B.若相_La,〃ua,則m_L〃

C.若切JLa,mA-n,則D.若加〃a,mJ_n,則〃J_a

4.有5輛車停放6個并排車位，貨車甲車體較寬，?？繒r需要占兩個車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７牛?/p>

則共有（▲）種停放方法.

A.72B.144C.108D.96

5.已知ZkA3c的邊BC的中點為。，點E在ZkABC所在平面內(nèi)，且CD=3CE—2c4，若

AC=xAB+yBE,則%+丁=（▲）.

A.5B.7C.9D.11

22

6.函數(shù)>=/（%）的圖象為橢圓U.+齊=l（a>6>0）無軸上方的部分，若〃sT）,/（s）,〃s+f）成

等比數(shù)列，則點（sj）的軌跡是（▲）.

A.線段（不包含端點）B.橢圓一部分

C.雙曲線一部分D.線段（不包含端點）和雙曲線一部分

7.已知xw0,^,sinx+cosx=^,貝!]tan[x-手]=（▲）.

L4j5I4J

A.3B.-3C.D.2

8.雙曲線C：與―衛(wèi)=1（?！?]〉0）的左、右焦點分別是F,,離心率為亞，點尸（西,乂）是C的

ab2

右支上異于頂點的一點，過鳥作/片尸鳥的平分線的垂線，垂足是M，|"。|=拒，若C上一點T滿

足G，BT=5,則T到C的兩條漸近線距離之和為（▲）.

A.272B.2上C.2小D.246

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)4/2是關(guān)于x的方程/+法+1=0（-2<0<2,beR）的兩根，則（▲）.

C.團(tuán)=閭=1D.若。=1,則z：=z；l

10,若函數(shù)/(x)=2sin2x?log2sinx+2cos2x,log2cosx,則(▲).

A.的最小正周期為兀B.的圖象關(guān)于直線工=:對稱

C.的最小值為一1D.的單調(diào)遞減區(qū)間為+kwZ

11.設(shè)。為常數(shù)，/(0)=g，+j)=/(x)/(a-j)+/(j)/(a-x),則(▲).

A./(?)=1B./a)=g恒成立

c.f(x+y)=2/(x)/(y)D,滿足條件的/(x)不止一個

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.集合A={xeR|m：2—3x+2=0,awR},若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是▲.

13.已知圓錐的母線長為2,則當(dāng)圓錐的母線與底面所成角的余弦值為▲時,圓錐的體積最大，最

大值為▲.

38

14.函數(shù)/(%)二——z——十——z——(九￡R)的最小值一▲.

2sin%+13cosx+2

四'解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

13

設(shè)/(x)=aInx+—巳x+1,曲線y=/(x)在點(1,7■⑴)處取得極值.

2x2

(1)求a；

(2)求函數(shù)/(尤)的單調(diào)區(qū)間和極值.

16.(本小題滿分15分)

袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗.

(1)若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值；

(2)若將題設(shè)中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值.

17.(本小題滿分15分)

JT

如圖，在三棱柱ABC—A與G中，AC=BBl=2BC=2,ACBB,=2ZCAB=-,且平面ABC，平面

B[C]CB.

(1)證明：平面ABC，平面AC4；

(2)設(shè)點尸為直線BC的中點，求直線AP與平面AS所成角的正弦值?

18.(本小題滿分17分)

已知拋物線后：寸=4x的焦點為F,若AABC的三個頂點都在拋物線E上,且滿足E4+FB+FC=O,

則稱該三角形為“核心三角形

(1)設(shè)“核心三角形A3C'的一邊A3所在直線的斜率為2,求直線的方程;

(2)已知△ABC是“核心三角形”，證明：△ABC三個頂點的橫坐標(biāo)都小于2.

19.(本小題滿分17分)

對于給定的正整數(shù)〃，記集合R"=｛夕|&=(%,％,工3,…,x.),Xje7?,j=1,2,3,???,?),其中元素。稱為一

個n維向量.特別地，0=(0,0,---,0)稱為零向量.

n

設(shè)-GR,d=(al,a2i---,an)&R,0=?b”…,b”R",定義加法和數(shù)乘：kd=(kal,ka2,---,kan),

a+￡=(q+々,。2+b2,---,an+bn).

對一組向量％,%(seN+，s..2),若存在一組不全為零的實數(shù)勺，ks,使得

勺％+&%+…+4%=0,則稱這組向量線性相關(guān).否則，稱為線性無關(guān).

(1)對〃=3,判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

①e=(l,l,l),￡=(2,2,2)；

②&=(1,1,1),P—(2,2,2),Y=(5,1,4)?

③々=(1,1,0),/?=(1,0,1),r=(0,1,1),^=(1,1,1).

(2)已知p,/線性無關(guān)，判斷a+￡,P+Y，a+7是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由.

（3）已知加（樞.2）個向量％,%，…，陶線性相關(guān)，但其中任意加T個都線性無關(guān)，證明：

①如果存在等式用%+左2%+…+左-。（勺￡氏，=1，2,3,…,加），則這些系數(shù)左1，k2,...,K或者

全為零，或者全不為零；

②如果兩個等式《囚+k2a2+---+kmam=0,lxax+l2a2+--+lmocm=?；疓/?,z=l,2,3,---,m）同

時成立，其中/產(chǎn)0,則）=+=??=3.

4%*

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

題號12345678

答案DBBADAAA

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯得。分.

題號91011

答案ACDBCDABC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

題號1213①13②14

答案…9\/616A/349

a=0或a.l------n

8"T2713

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

(1)/(x)=----------x+1,貝!!/'(%)=色----Z-——，

2x2x2x22

又,/X1)=O,故可得a—2=0,解得a=2；

(2)由⑴可知，/(x)=21nx+---x+1,r⑺=_GXT),T),

2x22x2

令尸(x)=。，解得%=g,x2=l,

又函數(shù)定義域為(。,一)，故可得了(x)在區(qū)間(0,g)和(1,+s)單調(diào)遞減，在區(qū)間(g,l)單調(diào)遞增.

故了。)的極大值為/(1)=0,/(%)的極小值為/(1)=2-21n3.

16.(15分)

32x332x1x31

(1)X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=—,P(X=2)=——=—,尸(X=3)=二-----=一,

55x4105x4x310

故抽取次數(shù)X的概率分布為：

X123

33

510

33

(2)每次檢驗取到新球的概率均為《，故X?5,所以￡(X)=5xy=3.

17.(15分)

(1)證明：因為AC=23C=2,所以3c=1,因

jryr

為2NCAB=—,所以NC45一.在

36

，。札M=焉'即/2

sin3，所

以sinB=l,BPAB±BC.又

因為平面ABC_L平面4GCB,平面ABCc平面與C]CB=BC,ABu平面ABC,

所以平面4GCB

又與Cu平面耳￡Cfi,所以

JT

在中，43=2,BC=1,ZCBB.=-,

3

2

所以4c2=BB2+BC-2B,BJBCCOS1=3,即與C=百，

所以BjCLBC.

而A8_L3]C,ABu平面ABC,_BCu平面ABC,ABr>BC=B,

所以4。，平面ABC.

又與Cu平面ACfi],所以平面ABC,平面ACfi「

(2)在平面ABC中過點C作AC的垂線CE,

以C為坐標(biāo)原點，分別以CA,CE,CB1所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),,A(2,o,o),4(0,0,百)，

所以尸(；,手,0),嗚當(dāng)垂),

所以“=弓凈一回

平面ACB,的一個法向量為n=(0,1,0),

設(shè)直線A.P與平面ACB,所成的角為戊,

則直線A}P與平面ACB,所成角的正弦值為：

3幣

\\P-n\_丁_3由

sin?=|cos<AP>〃*麗而二聲亍7F

V16+16+

18.(17分)

（1）解：設(shè)直線AB的方程為y—2x+t,與=4%聯(lián)立得y2—2y+2t—0,A=4—8/>0,得/<5,

設(shè)AQq,%),8(X2，%),C(x3,y3),則%+%=2,%%=2/,

所以人+無2=/(X+乃-2f)=1-f,

由題意知戶(1,。)，因為E4+FB+尸C=0，F(xiàn)A=(xl-l,yl),FB=(%2-l,y2),FC=(x3-l,y3),

所以Qi+9+忍-3,弘+%+%)=(°，°)，

所以｛%+%+鼻=3,%+%+%=0,,

所以卜=2+/,%=-2,,即點C的坐標(biāo)為(2+/,-2),代入拋物線E的方程得：4=4(2+力，解得/=—1,

滿足條件/<!，

2

所以直線AB的方程為2x-y-l=0.

(2)證明：設(shè)直線BC的方程為％=切+〃，與丁=4%聯(lián)立得V―4my—4〃=0,

2

A=16(m+n)>0,所以〃〉一根,2y2+y3=4mfy2y3=-An,

所以％2+退=機(jī)(%+%)+2〃=4m2+2n.

由⑴知｛%+%+W=3,弘+%+%=°，，所以｛%=3-4m2-2冏,％=-4m.,

即點A的坐標(biāo)為(3-4毋-2&T㈤.

3

又點A在拋物線,2=4%上，所以164=4(3-4/-2〃)，所以〃=/-4根？，

又〃>—加2,所以機(jī)2<彳，所以點A的橫坐標(biāo)3—4>—2〃=4m2v2,

2

同理可證，B,C兩點的橫坐標(biāo)也小于2.

所以_ABC三個頂點的橫坐標(biāo)均小于2.

19.(17分)

(1)解：對于①，設(shè)勺a+%2〃=0,則可得勺+2左2=0,所以%/線性相關(guān)；

對于②，設(shè)左0+左2,+%37=0，則可得｛《+2左2+5左3=0《+2左2+左3=0《+2左2+4左3=0,所以左1+2左2=0,

左3=0,所以。，2,7線性相關(guān)；

對于③，設(shè)+k2p+k3y+k^S=0,則可得｛左i+&+&=。用+k3+左4=。k2