簡單的線性規(guī)劃問題

簡單的線性規(guī)劃問題簡單的線性規(guī)劃問題1.一元二次不等式表示平面區(qū)域(左小右大）在直角坐標系中，Ax+By+C=0將平面分成三部分.直線上的點滿足Ax+By+C=0，當B=0時，直接從坐標系上看出范圍，當B≠0時，滿足B(Ax+By+C)＞0表示直線上方的區(qū)域，滿足B(Ax+By+C)＜0表示直線下方的區(qū)域.口訣是：同號在上，異號在下.或采用“以線定界，以點定域”的原則.

判別不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面區(qū)域時，只要在直線Ax+By+C=0的一側任取一點(x0，y0)，將它的坐標代入不等式，如果該點的坐標滿足不等式，不等式就表示該點所在一側的平面區(qū)域；如果不滿足不等式，就表示這個點所在區(qū)域的另一側平面區(qū)域.

由幾個不等式組成的不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

2.線性規(guī)劃線性目標函數(shù)在線性約束條件下，最值問題的討論.

基本概念由x、y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對x、y的約束條件線性約束條件意義名稱求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題線性規(guī)劃問題使目標函數(shù)達到最大值或最小值的可行解最優(yōu)解所有可行解組成的集合叫做可行域可行域滿足線性約束條件x、y的解(x，y)叫做可行解可行解關于x、y的一次解析式線性目標函數(shù)關于x、y的解析式，如：z=2x+y，z=x2+y2等目標函數(shù)

解線性規(guī)劃的問題，一般用圖解法，其步驟如下：

(1)設出變量x、y；

(2)找出約束條件，找出線性目標函數(shù)；(3)畫出可行域；(4)利用線性目標函數(shù)作平行直線系；(5)求出最值，還原成實際問題的解.

x-3y+6≥0

x-y+2<0表示的平面區(qū)域是()1.不等式組B基礎練習：(2009·上海卷)已知實數(shù)x、y滿足y≤2x

y≥-2x

x≤3，則目標函數(shù)z=x-2y的最小值是

.學例1-9作出(x,y)滿足的值域如圖，由目標函數(shù)的特點知，在點（3，6）處z取得最小值-9.可行域為圖中陰影部分,由圖可知s=x+y在點(4，5)處取得最大值，最大值為s=4+5=9.(2009·北京卷)若實數(shù)x,y滿足x+y-2≥0x≤4y≤5,則s=x+y的最大值為

.學例294.不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面區(qū)域的面積是

.8|x-1|+|y-1|≤2可化為

x-1≥0x-1≥0x-1≤0

y-1≥0y-1≤0y-1≥0

x+y-4≤0

x-y-2≤0x-y+2≥0或或

x-1≤0

y-1≤0

x+y≥0.其平面區(qū)域如圖：所以面積S=２××4×2=8.或方法點撥：數(shù)形結合，以線定界以點定域.自學范例1設R為平面上以A(4，1)、B(-1，-6)、C(-3，2)三點為頂點的三角形區(qū)域(包括邊界及內(nèi)部)，試求(x，y)在R內(nèi)運動時，x，y需滿足的條件，并畫出平面區(qū)域.考點基本知識基本概念;可行域及判定、目標函數(shù);不等式、不等式組表示的區(qū)域的求法1分析:先由三個頂點求出三條邊界線的方程.再確定區(qū)域的不等式組解析:在直角坐標系中，標出A、B、C三點，畫出AB、AC、BC三條直線并寫出各自對應的直線方程，代入原點(0，0)檢驗即可.因為AB:7x-5y-23=0，BC:4x+y+10=0，AC:x+7y-11=0，將(0，0)代入7x-5y-23得-23＜0，∴原點在7x-5y-23≤0所表示的區(qū)域內(nèi).

同理檢驗出原點在4x+y+10≥0，x+7y-11≤0所表示的區(qū)域內(nèi).x、y滿足的條件為它所表示的平面區(qū)域如下圖所示.【點評】正確表示出區(qū)域，求出不等式或二元一次直線方程，再結合原點存在與否定域，區(qū)域或邊界用陰影或虛實線表示.考點幾個常見的幾何問題的線性規(guī)劃2方法點撥:目標函數(shù)建立后,要聯(lián)系相關幾何意義.如斜率、截距、距離等.自學范例2設x、y滿足分析:先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，結合目標函數(shù)的幾何意義求解.解析:如圖直線x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交點A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)設z=x+2y-4，則作斜率為的平行直線l.當l過C(7，9)時，截距最大，這時z也最大.即z的最大值是7+2×9-4=21.(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示區(qū)域上的點(x，y)與(0，5)的距離的平方.∵(0，5)到直線x-y+2=0的距離是d=∴x2+y2-10y+25的最小值是

x-y-2≤0

x+2y-4≥02y-3≤0,則的最大值是.設實數(shù)x、y滿足不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分.設=t，則y=tx,求的最大值，即求y=tx的斜率的最大值.顯然y=tx過A點時，t最大.x+2y-4=02y-3=0代入y=tx,得t=.所以的最大值為.由，解得A(1,).

x≥1

x-y+1≤02x-y-2≤0，則x2+y2的最小值是

.2.已知實數(shù)x、y滿足5

x-y+1=0

x=1，得最優(yōu)解為A(1,2)，所以x2+y2的最小值為5.作出可行域，由本題是將非線性規(guī)劃問題，轉化為線性規(guī)劃問題求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合和化歸思想的運用.這種題型在今后高考中可能會成為主要命題方向，望引起同學們的關注.方法點撥：目標函數(shù)是連續(xù)函數(shù)或是整點最值問題.以實際意義來看，一類是資源分配能使完成任務量最大；另一類是統(tǒng)籌安排任務，使耗費的人力、物力資源最少.考點線性規(guī)劃解決應用問題3自學范例3某公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？分析:假設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，則可列出x，y所滿足的不等式組及目標函數(shù).解析:設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如上圖.???íì33￡+￡++=???íì33￡+￡+0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于二元一次不等式組等價目標函數(shù)為

作直線l:3000x+2000y=0.即3x+2y=0.平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數(shù)取得最大值.聯(lián)立解得x=100，y=200.∴點M的坐標為(100，200).∴zmax=3000x+2000y=700000(元).答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告.公司的收益最大，最大值為70萬元.【點評】畫出可行域后，再把目標函數(shù)平行移動，比較截距的大小，要注意目標函數(shù)的意義.注意單位的換算！練習制定投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的利潤，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預測，甲、乙項目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損分別為30%和10%，投資人計劃投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？設投資人分別用x萬元、y萬元投資甲、乙兩個項目，則目標函數(shù)z=x+0.5y.

x+y≤100.3x+0.1y≤1.8

x≥0,y≥0,作可行域,當直線l:x+0.5y=z過點M時,z取最大值.

x+y=10x=43x+y=18，y=6，所以點M(4,6).故當x=4，y=6時，zmax=7.答：投資甲項目4萬元，投資乙項目6萬元時，可能的盈利最大.由得這是在高考中第一次以解答題的形式考查簡單的線性規(guī)劃問題.本題是一道應用題，以投資決策為背景，以線性規(guī)劃為素材，考查學生對數(shù)學的應用意識和能力，不落俗套，令人耳目一新.作出可行域如圖所示：

經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，當時，花費最少，為（元）答：應當為該兒童預定4個單位的午餐和4個單位晚餐考點綜合新題4自學范例4(1)設二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取取值范圍是(

)

A.[1，3]

B.[2,

]

C.[2，9]

D.[，9]分析:結合圖形求解.解析:(1)過點(1,9)(3