2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-冪函數(shù)與二次函數(shù)

專題09幕函數(shù)與二次函數(shù)

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

11

1.了解幕函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)了=矛，y=x,y=x,y=x2,的圖象，了解它們的變化

情況；

2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.

【考點(diǎn)預(yù)測】

1.幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)尸/叫做幕函數(shù),其中X是自變量，。是常數(shù).

(2)常見的五種募函數(shù)的圖象

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①幕函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)。＞0時(shí)，塞函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)?！?時(shí)，累函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.

2.二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

一般式：f(x)=af+6x+c(a10).

頂點(diǎn)式：f(x)=a(x—勿產(chǎn)+水口=。)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(勿，〃).

零點(diǎn)式：/'(x)=a(x—xj(x—弱)(aWO),Xi,吊為f(x)的零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=ax+bx~\-cy=ax+bx~\-c

函數(shù)

(a>0)(水0)

圖象j

(拋物線)11\

定義域R

4ac—匕)4ac—K

值域I4a，+弓——oo

'4a_

b

對稱軸x=一齊

頂點(diǎn)

I-2a^4a)

坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在(b在(61

——co.---上是減函數(shù)；一OO.——..上是增函數(shù)；

2紇

單調(diào)性

總+8)上是增函數(shù)總+8)上是減函數(shù)

在在

【常用結(jié)論】

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

c仿>0,[a<0,

2.若廣(x)=ax+6x+c(a#0),則當(dāng)，時(shí)，恒有廣(x)>0；當(dāng)彳時(shí)，恒有f(x)〈0.

[A<0〈0

3.(1)易函數(shù)尸/中，。的取值影響幕函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；

⑵幕函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限.

【方法技巧】

1.累函數(shù)的形式是尸x"(aGR),其中只有一個(gè)參數(shù)a,因此只需一個(gè)條件即可確定其解

析式.

2.在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)

間(1,+8)上，累函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.

3.在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合幕值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，

準(zhǔn)確掌握各個(gè)基函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩

個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線;

“一開口”是指拋物線的開口方向.

5.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條

件.

6.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)

和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.

7.不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接

借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個(gè)思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.

二、【題型歸類】

【題型一】幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

【典例1】若累函數(shù)尸X-,尸/與尸/在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則加與〃的取值

情況為()

A.—1〈水0《水1

B.—1<77<O<ZZ7<,1

1

C.—1</?<0<;2<—

D.—1〈水0〈加1

【解析】幕函數(shù)尸當(dāng)。>0時(shí)，尸/在(0,+8)上單調(diào)遞增，且時(shí)，圖象上

凸，

???0<欣1.

當(dāng)4<0時(shí)，p=x"在(0,+8)上單調(diào)遞減.

不妨令x=2,由圖象得2T〈2",則一1<水0.

綜上可知，一1<區(qū)0〈派1.

故選D.

【典例2】幕函數(shù)Ax)=(%2—3"+3)/的圖象關(guān)于y軸對稱，則實(shí)數(shù)%=.

【解析】由幕函數(shù)定義，知"2—3m+3=1,

解得勿=1或勿=2,

當(dāng)加=1時(shí)，/(￡)=￡的圖象不關(guān)于y軸對稱，舍去，

當(dāng)力=2時(shí)，f(A)=/的圖象關(guān)于y軸對稱，

因此勿=2.

1

【典例3】若幕函數(shù)，(X)=(M-5。-5k一產(chǎn)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則a等于()

A.1B.6C.2D.-1

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)穴分=].-5a-5)x-r是幕函數(shù)，

所以才一5a一5=1,解得a=—\或a=6.

當(dāng)a=11時(shí)，

I

fO)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a=6時(shí)，

廣(X)=/3在(0,+8)上單調(diào)遞減，

所以a=—l.

【題型二】求二次函數(shù)的解析式

【典例1】已知二次函數(shù)Ax)滿足/<2)=—1,且f(x)的最大值是8,試確

定此二次函數(shù)的解析式.

【解析】解法一：(利用一般式)

設(shè)f{x)=ax+6x+c(aW0),

“4a+26+c——1,

由題意得

4ac—l)

a——\,

解之得＜b=\,

.c=7.

.?.所求二次函數(shù)為y=-4f+4x+7.

解法二：(利用頂點(diǎn)式)

設(shè)/'(x)=a1x—而2+■n1a豐0,,:f②=f(—1),

??.拋物線對稱軸為d+「=；'

，馬，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值為8,

.*.77=8,

/.f{x)—(x-目+8.

,:f⑵=—1,即?2——+8=—1.解之得a=-4.

.??F(x)=-4卜+8=-4_/+4x+7.

解法三：(利用零點(diǎn)式)

由已知F(x)+1=0的兩根為歷=2,X2=-l,即g(x)=_f(x)+1的兩個(gè)零點(diǎn)為2,—1,

故可設(shè)f{x)+l=a(x—2)(x+1)(aWO),

即f{x)=ax—ax~2a~

白?公八口r4a(—2a_1)-a_

又函數(shù)有取大值％ax=8,即-----------------二8,

4a

解之得a=-4,

所求函數(shù)解析式為f{x}=-4x+4x~2X(—4)—1

=-4x+4x+7.

【典例2］已知尸f(x)是二次函數(shù)，且1+'=《一|一’對x￡R恒成立,

方程廣(x)=0的兩實(shí)根之差的絕對值等于7.求此二次函數(shù)的解析式.

【解析】由x￡R,《一|+’=(一1—3知，F(xiàn)(x)的對稱軸為x=—|.又(一習(xí)=49,貝!J二

次函數(shù)Hx)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一|，49

故設(shè)f{x)=(x+&+49(aW0).

解法一：設(shè)方程f(x)=a(x+§+49=0的兩根為xi,xz,

X1+X2=-3,X1X2=~+一,

4a

則I￡一在I=y/(二+/2)2—4XIX27，

解得a=-4,所以F(x)=—4(x+§+49,

即f(^x)=—4x~12x+40.

37

---

解法二：設(shè)Ax)=O的兩根為xi,照，且X1VX2,由兩實(shí)根之差的絕對值為7得為=22

37

=-5,x2=—-+-=2f將xi或生代入廣(x)=0得a=—4.從而得到F(x)=—4/—12^+40.

【典例3］若函數(shù)f(x)=(x+a)(6x+2a)(a,6￡R)滿足條件廣(一x)=_f(x),定義域?yàn)镽,

值域?yàn)?一8,4］,則函數(shù)解析式f(x)=.

【解析】廣(x)=(x+a)(8x+2a)

=bx(2H+H8)X+2才.

???/*(—x)=廣(入)，

.\2a-\~ab=G,

f(^x)—bx+2/

???f(x)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?一8,4］,

：.b<0,且2-=4,

b=~2,/.f(x)=~2x+4.

【題型三】二次函數(shù)的圖象問題

【典例1］在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)尸與尸ax+6(劭W0)的圖象可能是()

【解析】拋物線尸加+"過原點(diǎn)排除A,又直線y=ax+b與拋物線y=ax+bx都過點(diǎn)

1一3，0),排除B,C.故選D.

【典例2】設(shè)劭c>0,二次函數(shù)f(x)=a￡2+6x+c的圖象可能是()

【解析】因?yàn)閍bc>Q,

二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c,那么可知,

在A中，a<0,ZKO,c<0,不符合題意；

B中，a<0,b>0,c>0,不符合題意；

C中，a>0,c<0,b>0,不符合題意，故選D.

【典例3］一次函數(shù)尸ax+6(aW0)與二次函數(shù)尸a/+6x+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致

是()

【解析】若a〉0,則一次函數(shù)尸ax+6為增函數(shù)，二次函數(shù)y=aV+6x+c的圖象開口向上,

故可排除A；若a<0,一次函數(shù)尸ax+6為減函數(shù)，二次函數(shù)尸af+6x+c的圖象開口向

b

下，故可排除D；對于選項(xiàng)B,看直線可知a>0,b>0,從而一丁〈0,而二次函數(shù)的對稱軸在

2a

y軸的右側(cè)，故應(yīng)排除B,故選C.

【題型四】二次函數(shù)的單調(diào)性與最值問題

【典例1］已知f(x)=ax-2x+1.

(1)若F(x)在［0,1］上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵若X?［0,1］,求f(x)的最小值g(a).

【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=—2x+l單調(diào)遞減;

當(dāng)a〉0時(shí)，f(x)的對稱軸為x=±且，〉0,

aa

.?.%,即0g

當(dāng)水0時(shí)，廣(X)的對稱軸為x=,且!<0,

aa

水0符合題意.

綜上有，HWL

⑵①當(dāng)3=0時(shí)，廣(x)=-2x+l在［0,1］上單調(diào)遞減，

廣(X)min=『(l)=一1.

②當(dāng)蘇0時(shí)，_f(x)2x+l的圖象開口方向向上，且對稱軸為

a

(i)當(dāng)工<1,即a>l時(shí)，f{x)=ax—2x+l圖象的對稱軸在［0,1］內(nèi)，

a

???f(x)在0,-上單調(diào)遞減，在1上單調(diào)遞增.

_a」\_a_

f(x)min=f=--~+1=~~+1.

\a,Jaaa

(ii)當(dāng)12L即(KaW1時(shí)，f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減.

a

Al)—a—1.

③當(dāng)水0時(shí)，廣(x)=a*—2x+l的圖象的開口方向向下，且對稱軸x=,〈0,在p軸的左側(cè)，

a

.?,廣(x)=ax-2x+l在［0,1］上單調(diào)遞減.

：?廣(x)min=f(l)=a—1.

a—1,aWl,

綜上所述，gQ)=\1,

一一+La>l.

、a

【典例2】設(shè)函數(shù)F(x)=3—2x—l在區(qū)間［方，方+1］上有最小值g(。，求g&)的解析式.

【解析】f^x)=x—2x—\=(jr—I)2—2.

①當(dāng)ZW1W方+1,即0W方時(shí)，g(1)=-2.

②當(dāng)力1時(shí)，f(x)在區(qū)間［［，力+1］上是增函數(shù)，則最小值g(8=F(力=5一2方一1；

③當(dāng)t+l<l,即伙0時(shí)，廣(才)在區(qū)間［力，方+1］上是減函數(shù)，則最小值g(。=/'(方+1)=/

一2.

t2—2,2<0,

:'g(6=<—2,

一21—1,方>1.

【典例3】已知函數(shù)/'(x)=/+a￥+6(a6￡R),記欣a,8)是|F(x)|在區(qū)間［-1,1］上的

最大值.

(1)證明：當(dāng)|a|22時(shí)，6)22；

⑵當(dāng)必6滿足〃36)W2時(shí)，求|h+|引的最大值.

(o\22

【解析】(1)證明：由手(才)=卜+2|+b——,

得對稱軸為直線x=一與

由|a|三2,得一］三1,故F(x)在［-1,1］上單調(diào)，

所以欣a/?)=max{|Al)I,|A—1)I).

當(dāng)時(shí)，由f(l)—F(—l)=2a24,

得max{F(l),—f(—1)}22,即欣a,6)22.

當(dāng)aW—2時(shí)，由f(—D—_f(l)=-2a24,

得max{F(-1),—F(l)}22,即〃(a,6)22.

綜上，當(dāng)|d|22時(shí)，欣a,6)N2.

⑵由〃(a6)W2得|l+a+引=|F(1)|W2,

11—a~\-b\—|/,(—1)|W2,故|a+Z?|W3,|a—引W3,

［|a~\-b\,ab23

由|a|+|6|二得|a|+|引W3.

Uab|,QD<^0,

當(dāng)a=2,6=—1時(shí)，|+|6|=3,且|x?+2x-1|在［—1,1］上的最大值為2,即加2,—

1)=2.

所以㈤+I引的最大值為3.

【題型五】二次方程根的分布問題

【典例1］(多選)已知函數(shù)廣(x)=H—2x+a有兩個(gè)零點(diǎn)荀，如以下結(jié)論正確的是()

A.水1

112

B.若xi^WO,則一+—=一

x\X2a

C.#-1)=廣⑶

D.函數(shù)尸廣(|x|)有四個(gè)零點(diǎn)

【解析】二次函數(shù)對應(yīng)二次方程根的判別式4=(一2)2—4a=4—4-0,水1,故A正確；

由根與系數(shù)的關(guān)系得，為+苞=2,為苞=2

Xi+12

一，故B正確;

X\X2X1X2a

因?yàn)镕(x)的對稱軸為x=l,點(diǎn)(一1,A-D),(3,F(3))關(guān)于對稱軸對稱，故C正確；

當(dāng)水0時(shí)，p=f(|x|)只有兩個(gè)零點(diǎn)，故D不正確.

故選ABC.

【典例2】已知二次函數(shù)廣(x)=f+26x+c(6,c￡R)滿足f(l)=0,且關(guān)于x的方程f(x)

+x+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別在區(qū)間(—3,-2),(0,1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)6的取值范圍.

【解析】由題意知廣⑴=1+26+c=0,

c——1—2b,

記(x)=F(x)+x+b=x+(2b+l)x+b+c

=x+(26+l)x—6—1,

r,5

rg(—3)=5—7Z?>0,7'

1

g(-2)=1—56V0,6>

則〈、5-

g(0)=—l—b<0,

A>-

(1)=葉1>0,

—1,

因此6的取值范圍為G

【典例3］已知關(guān)于x的二次方程x?+2腔+2勿+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求0的取值范圍;

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求力的取值范圍.

【解析】(1)條件說明拋物線f(x)=V+2“+2〃+l與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,

2)內(nèi)，作出函數(shù)f(x)的大致圖象，得

C1

水一5,

(f(0)=2勿+1<0,

=>A1

r(1)=4%+2<o,水一5,

工⑵=6勿+5>0

5

故0的取值范圍為卜/—1<0<一替.

(2)由拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，作出函數(shù)Hx)的大致圖象，得

宓一5,

V(0)=2TZT+1>0,

/,(1)=4勿+2〉0,

I2=<

/=(2加)1—4(2m+1)20,

、。<一成L心1+蛆或辰1一隹

—KzzKO.

故"的取值范圍為1》/—1<1一4;

【題型六】二次函數(shù)中的恒成立問題

【典例1】已知二次函數(shù)F(x)滿足/'(x+1)—f(x)=2x,且f(0)=l,若不等式/1(x)>2x+〃

在區(qū)間

［—1,1］上恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

【解析】設(shè)f(x)=ax°+6x+c(aW0),由/'(0)=1,得c=l,又f(x+l)—f(x)=2x,得2ax

+a+6=2x,所以a=l,b=—\,所以f(x)=*2—x+1.f(x)〉2x+/?在區(qū)間［—1,1］上恒成

立，即『一3了+1—以>0在［-1,1］上恒成立，令g(x)—x—3x-\-1—m=l一

1,1］,g(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減，所以g(x)nrin=g(l)=1—3+1—卬>0,所以正一1.

【典例2】函數(shù)f(2=/+3a'—2(a>l),若在區(qū)間［―1,1］上f(x)W8恒成立，則a的最大

值為.

【解析】令a』=t,因?yàn)閍〉l,——1,1］,所以(wtWa,原函數(shù)化為g(t)="3T,

方￡La,顯然g(。在Lz上單調(diào)遞增，所以_f(x)W8恒成立，即g(0max=gQ)W8恒

_QJ|_己

成立，所以有a?+3a—2W8,解得一5WaW2,又a〉l,所以a的最大值為2.

【典例3】已知函數(shù)/>(X)=/—2ax+2a+4的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋?,+°°),則a的值為

【解析】由于函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+8),

所以f(x)1111n=1.又f(x)=(x—a)=a,+2a+4,

當(dāng)xGR時(shí)，/1(x)血n=f(a)=~a°+2a+4=l,

即J—2a—3=0,解得a=3或a=—1.

【題型七】二次函數(shù)的綜合問題

【典例1】設(shè)函數(shù)F(x)=/—2x+2,\_t,方+1］,%￡R,求函數(shù)_f(x)的最小值.

【解析】廣(x)=f—2x+2=(x—1尸+1,\_t,f+1］,力￡R,函數(shù)圖象的對稱軸為x=L

當(dāng)方+1W1,即方WO時(shí)，函數(shù)圖象如圖⑴所示，函數(shù)廣(x)在區(qū)間［方，［+1］上為減函數(shù)，

所以最小值為廣1+1)=d+1；

當(dāng)t<l<t+lf即O<K1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對稱軸x=l處取得最小值，最小值

為廣⑴—1;

當(dāng)方21時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)F(x)在區(qū)間［力，2+1］上為增函數(shù),

所以最小值為f*)=d—2H~2.

/+1,tWO,

綜上可知，F(xiàn)(X)min=<1，0<^<1,

—22+2,221.

【典例2］已知函數(shù)f(x)=tx,g(x)=(2—t)x—4x+l.若對于任一實(shí)數(shù)Ab,函數(shù)值F(xo)

與g(x0)中至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.(-oo,-2)U(0,2］

B.(-2,0)U(0,2］

C.(-2,2］

D.(0,+°°)

【解析】由題可知函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，g(x)的圖象過定點(diǎn)(0,1).

①當(dāng)1=0時(shí)，F(xiàn)(x)恒為0,g(x)=2/—4x+l,A=16—8>0,g(x)不恒為正，故不合題意;

②當(dāng)方=2時(shí)，f{x)=2x,g(x)=-4x+l,顯然符合題意；

2

③當(dāng)方>2時(shí)，g(x)=(2—。V—4x+l,d=42+8>0,對稱軸~~：<0,圖象開口向下,

作出g(x)與Ax)的函數(shù)圖象，由圖可知存在苞<0使得g(選)<0且人照)〈0,故不合題意;

2

④當(dāng)0VtV2時(shí)，g(x)的圖象開口向上，/>0,對稱軸x=丁=>0,作出g(x)與Ax)的

乙一t

函數(shù)圖象，由圖可知對任一有g(shù)(xo)>0或F(xo)>0,故符合題意；

2

⑤當(dāng)力V0時(shí)，g(x)的圖象開口向上，/=42+8,對稱軸―;>0,若21<0,即t<-

2—t

2,則g(x)恒為正，故符合題意；若/，0,即一2<t<0,則作出g(x)與f(x)的函數(shù)圖象,

由圖可知存在益>0,使得/'(司)<0且g(xo)W0,故不合題意.

另解：也可令力取特殊值，利用排除法解答.

綜上可得實(shí)數(shù)力的取值范圍為(-8,-2)U(0,2］,故選A.

【典例3］已知f{x)=〃(x—2))(x+;?+3),g(x)=2'—2.若同時(shí)滿足條件：

①VxGR,f(x)〈?；騡(x)〈O；

②三矛6(—8,—4),f{x)g{x)<0.

求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解析】當(dāng)時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,當(dāng)x=l時(shí)，g(x)=0,故0=0不符合要

求；

當(dāng)而。時(shí)，根據(jù)函數(shù)/'(X)和函數(shù)g(x)的單調(diào)性，一定存在區(qū)間［a,+8)使f(x)》0且

g(x)>0,故勿>0時(shí)不滿足條件①；

當(dāng)水。時(shí)，如圖所示，如果滿足條件①，則函數(shù)/"(X)的兩個(gè)零點(diǎn)都小于L如果滿足條件②,

則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)小于一4,問題等價(jià)于函數(shù)F(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，其中較大

的零點(diǎn)小于1,較小的零點(diǎn)小于一4.函數(shù)f{x)的兩個(gè)零點(diǎn)是2m,一(加+3),

“<0,"V0,

2%〈一(勿+3)，一(勿+3)V2nb

故勿滿足<或<

2zzz<—4,2zz?<l,

<一(勿+3)VI、一(%+3)<-4,

由第一個(gè)不等式組得一4〈冰一2,第二個(gè)不等式組無解，故所求"的取值范圍是(-4,-2).

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知函數(shù)f(x)=(/—2x—3)(Y+ax+"是偶函數(shù)，則F(x)的值域是—

【解析】因?yàn)閒(x)=(V—2x—3)(V+ax+6)

=(x—3)(x+1)(f+ax+6)是偶函數(shù)，

4—3)=式3)=0,

所以有?

Ai)=A-i)=o,

9—3a+6=0,

代入得

1+司+6=0,

a—2,

解得

b=—3.

所以f(x)=(f—2x—3)(x?+2x—3)

=(/—3)2—4/=x—10x+9

=(9一5)2—162—16.

【訓(xùn)練二】已知二次函數(shù)f(x)=/一21x+2t+l,x￡[—L2].若廣(才)2—1恒成立，求

力的取值范圍.

【解析】①若t<-l,要使f(x)》一1恒成立，只需/■(—1)2—1,即4%+22一1,則

3

一%,這與t<-l矛盾.

②若TWK2,要使/1(x)》T恒成立，只需/■(力N—1,即一d+2t+12—1,則1一小

W0+乖,：.l-y/3^t^2.

③若t>2,要使f(x)》一l恒成立，只需/■(2)》一1,即一2t+5>—1,.?.2<bW3.

綜上所述，t的取值范圍是［1—4,3］

【訓(xùn)練三】若函數(shù)。5)=戈+"x-1|在［0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是

【解析】當(dāng)0W/1時(shí)，0(x)=x?—以X+R,此時(shí)O(x)單調(diào)遞增，貝限w0,即辰0；

當(dāng)x》l時(shí)，。(x)=x2+以x—勿，此時(shí)O(x)單調(diào)遞增，則一即加》一2.

綜上，實(shí)數(shù)卬的取值范圍是［-2,0］.

【訓(xùn)練四工是否存在實(shí)數(shù)ad［—2,1］,使函數(shù)F(X)=X2—2ax+a的定義域?yàn)椋郇D1,1］時(shí),

值域?yàn)椋邸?,2］?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由.

【解析】f(x)=(x—a)'+a—a'

當(dāng)一2Wa〈一1時(shí)，f(x)在［-1,1］上為增函數(shù)，

4-1)=-2>

由,得a=-1(舍去)；

41)=2,

4a)=一2,

當(dāng)一IWaWO時(shí)，由得a=-1；

41)=2,

當(dāng)O〈aWl時(shí)，由《得a不存在；

【4一1)=2,

綜上可得，存在實(shí)數(shù)a滿足題目條件，a=-l.

【訓(xùn)練五】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+Z>x+l(a,6?R且aWO),xGR.

(1)若函數(shù)F(x)的最小值為f(—1)=0,求/"(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間；

(2)在(1)的條件下，/"(xDx+A在區(qū)間［—3,—1］上恒成立，試求發(fā)的取值范圍.

'a>0,

b\a=1,

【解析】⑴由題意知〈一五=—1，解得，c

乙a［b=2.

(—1)—a—6+1=0,

所以f^x)=x+2x+l,

由f(x)=(x+l)2知，函數(shù)/*(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［―1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,-

1］.

(2)由題意知，V+2x+l>x+A在區(qū)間［―3,—1］上恒成立，即A<V+x+l在區(qū)間［―3,—

1］上恒成立，

令g3=f+x+l,［—3,—1］,

2

由式入)=卜+3+［知gO)在區(qū)間［―3,—1］上是減函數(shù)，則g(x)min=g(—1)=1,所以k<l,

故A的取值范圍是(-8,1).

【訓(xùn)練六】已知a,6是常數(shù)且aWO,f(x)二@/+法且*2)=0,且使方程f{x)=*有等根.

⑴求Ax)的解析式；

⑵是否存在實(shí)數(shù)如欣成n),使得Ax)的定義域和值域分別為［如和

【解析】⑴由f(x)=加+8★，且F(2)=0,則4H+26=0,

又方程f(x)=x,即3/+(6—l)x=0有等根，得6=1,從而a=—所以_f(x)=—

X.

⑵假定存在符合條件的R,77,由⑴知f(x)=—%+￡=—1)2+拄1,

則有即〃又/1(x)圖象的對稱軸為直線x=L則f(x)在［勿，句上單調(diào)遞增，

］水汽,

41

于是得〈"、。即〈一+勿=2m,

f［ni)=2m,2

Hri)=2n,1

［-］〃2+〃=2n,

解方程組得加=-2,77=0,所以存在)=--2,/7=0,使函數(shù)f(x)在［—2,0］上的值域?yàn)椋邸?/p>

4,0］,

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

工

1.函數(shù)丁=爐的圖象是()

JZ「

i工

ABCD

【解析】由函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(1,1),可排除A,D；由特殊點(diǎn)(8,2),七，可排除C,故

選B.

2.若f(x)是幕函數(shù)，且滿足瑞=3,則fg)等于()

11

3-3C---

A.Ik3D.3

【解析】設(shè)/U)=x",則|4"r=2"=3,

故選C.

3.若幕函數(shù)/(無)=(汴—4加+4〉/“6〃，+8在(0,十8)上為增函數(shù)，則加的值為()

A.1或3B.1C.3D.2

【解析】由題意得力2-4/+4=1,加之一6加+8>0,

解得777=1.故選B.

4.函數(shù)f(^=^+(^-3)x+l在區(qū)間[―1,+8)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.[—3,0)B.(—8,—3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

【解析】當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=—34+1在[-1,+8)上單調(diào)遞減，滿足題意.

當(dāng)aWO時(shí)，f(x)的對稱軸為直線戶口

<3<0,

由f(x)在［-1,+8)上單調(diào)遞減，知1-a

解得一3Wa<0.

綜上，己的取值范圍為［—3,0］.故選D.

5.已知a,b,c￡R,函數(shù)廣(x)=81+6匠+o.若f(0)=f(4)>_f(l),則()

A.H〉0,4a+6=0B.a<0,4a+b—0

C.a>0,2a+b=0D.水0,2a+6=0

_A

【解析】由廣(0)=廣(4),得_f(x)naV+Sx+c圖象的對稱軸為直線x=一丁=2,.Ma+A

2a

=0,

又/WH1),Z(4)>A1),

，f(x)先減后增，于是石>0,故選A.

6.若函數(shù)f(x)=x?+ax+力的圖象與x軸的交點(diǎn)為(1,0)和(3,0),則函數(shù)廣(x)()

A.在(一8,2)上遞減，在［2,+8)上遞增

B.在(一8,3)上遞增

C.在［1,3］上遞增

D.單調(diào)性不能確定

【解析】由已知可得該函數(shù)圖象的對稱軸為x=2,又二次項(xiàng)系數(shù)為1>0,所以f(x)在(-8,

2)上是遞減的，在［2,+8)上是遞增的.故選A.

7.若函數(shù)/1(x)=f+a|x|+2,xGR在區(qū)間［3,+8)和［―2,—1］上均為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.-y,-3B.［-6,-4］

C.［—3,—2-^2］D.［—4,—3］

【解析】由于f(x)為R上的偶函數(shù)，因此只需考慮函數(shù)f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性即可.由

題意知函數(shù)/U)在［3,+8)上為增函數(shù)，在［1,2］上為減函數(shù)，故一歲⑵3］,即aG［一

6,-4］.

故選B.

8.已知函數(shù)_f(x)=2af—ax+1(水0),若水如矛1+至=0,則f(矛1)與/1(㈤的大小關(guān)系是

()

A.f(xi)=f(x2)B.

C.f(xi)〈f(x2)D.與x的值無關(guān)

【解析】由題知二次函數(shù)廣(才)的圖象開口向下，圖象的對稱軸為入=；,因?yàn)闉?e=0,所

以直線X=X1,X=X2關(guān)于直線x=0對稱，由結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知/'(X1)〈F(X2).

故選B.

【多選題】

9.已知函數(shù)廣(x)=3/一2(勿+3)^+勿+3的值域?yàn)椋?,+8),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為()

A.0B.［-3,0］

C.3D.-3

【解析】依題意，得/=4(必+3)2—4X3(勿+3)=0,

則必=0或勿=—3..??實(shí)數(shù)〃的取值范圍是｛0,—3).

故選AD.

10.若二次函數(shù)9=加一4x+2在區(qū)間［1,2］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值可以是

()

A.0B.1

C.2D.3

9

【解析】二次函數(shù)尸4產(chǎn)-4x+2圖象的對稱軸為直線x=z，當(dāng)次〉0時(shí)，要使函數(shù)y=kx

—4x+2在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，只需(W1,解得422；當(dāng)K0時(shí)，!<0,此時(shí)拋物線的對

稱軸在區(qū)間［1,2］的左側(cè)，則函數(shù)尸Ax'—4x+2在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，不符合要求.綜

上可得實(shí)數(shù)力的取值范圍是［2,+8).故選CD.

11.由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)y=ax2+6x+c的圖象

過點(diǎn)(1,0),…，求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱.根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的

二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是()

A.在x軸上截得的線段的長度是2

B.與y軸交于點(diǎn)(0,3)

C.頂點(diǎn)是(一2,—2)

D.過點(diǎn)(3,0)

~a+6+c=0

【解析】由已知得，b解得6=—4a,c=3a,所以二次函數(shù)為y=a(f—4x+3),

「獷2,

其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以頂點(diǎn)一定不是(一2,—2),故選ABD.

12.設(shè)函數(shù)f(x)=af+6x+c(aW0),對任意實(shí)數(shù)大都有f(4+。=f(—t)成立，則函數(shù)值

A-D,HD,7(2),/<5)中，最小的可能是()

A./1(—1)B.f⑴

C.f②D.f(5)

【解析】因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)方都有f(4+t)=f(—。成立，所以函數(shù)11(x)=ax2+6x+c(aW0)

的對稱軸是x=2,當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)值/(一1),f⑴,A2),的5)中,最小的是『(2)；當(dāng)a〈0

時(shí)，函數(shù)值/'(—1),Al),f(2),f(5)中，最小的是/'(—I)和/'(5).

故選ACD.

【填空題】

13.已知累函數(shù)y=*(〃，〃eR)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則加一〃=.

【解析】函數(shù)尸/X血〃eR)為幕函數(shù)，則〃=1；又函數(shù)尸/的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則

111

片

4"=2,解得2一-2--2-

1

答2-

14.二次函數(shù)尸ax"+6x+c(aW0)的圖象如圖所示，確定下列各式的正負(fù)：b0,

ac0,a-b+c0.(填“>”或“=”)

【解析】因?yàn)閍<0,——>0,c>0,所以b>0,ac<0.

La

設(shè)y=f{x)=ax+bx~\-c,

則a-6+c=f(—l)〈0.

答案：>〈〈

15.如果函數(shù)/U)=f—ax—a在區(qū)間［0,2］上的最大值為為1,那么實(shí)數(shù)&=.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)Ax)=V—ax—a的圖象為開口向上的拋物線，所以函數(shù)的最大值在區(qū)間

的端點(diǎn)取得.

————Qaf——o<CzL——Qo

1，或，；1，解得a=l.

—a=l〔4—3a=l,

答案：1

16.定義：如果在函數(shù)尸f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間［a,6］上存在荀(a〈照")，滿足/1(加

=f⑺1㈤,則稱函數(shù)了=『(王)是6］上的“平均值函數(shù)”，劉是它的一個(gè)均值點(diǎn),

Da

如尸f是［T,1］上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn).現(xiàn)有函數(shù)/U)=—￡+腔+1是［―

1,1］上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是.

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=—/+如+1是［-1,1］上的平均值函數(shù)，

設(shè)劉為均值點(diǎn)，

所以L—1)=/n=f(xo),

即關(guān)于Xo的方程一岔+必劉+1=/在(-1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，

解方程得x0=l或x0=/n—l.

所以必有一1〈必一1〈1,即以必2,

所以實(shí)數(shù)力的取值范圍是(0,2).

答案：(0,2)

【解答題】

17.已知函數(shù)_f(x)=/+2ax+2,［―5,5】.

(1)當(dāng)司=-1時(shí)，求函數(shù)廣(X)的最大值和最小值；

(2)求實(shí)數(shù)3的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間［—5,5］上是單調(diào)函數(shù).

【解析】(1)當(dāng)<3=-1時(shí)，f(x)=x—2x+2=(x—iy+1,［—5,5］,

所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得最小值1；

當(dāng)x=-5時(shí)，f(x)取得最大值37.

(2)函數(shù)F(x)=(x+a)2+2——的圖象的對稱軸為直線x=—a,

因?yàn)槭珹x)在區(qū)間[-5,5]上是單調(diào)函數(shù)，

所以一aW-5或一己25,即后一5或司25.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,-5]U[5,+^).

18.已知二次函數(shù)F(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為4且不等式f(x)>—2x的解集為(1,3).若方程

F(x)+6a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求函數(shù)f(x)的解析式.

【解析】依題意可設(shè)f(意+2X=H(X—1)(x—3),且aVO.

于是f(x)=a(x—1)(x—3)~2x=ax—(2+4a)x+3a

由f(x)+6a=0,得ax—(2+4a)x+9a=0.

/—(2+4a)2—36才=005/-4a—1=0.

解之得H=1(舍)或a=—

5

/、1263

f(x)=

555

19.已知二次函數(shù)廣(x)滿足_f(x)=f(—4—x),/(O)=3,若矛i,上2是/1(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且

I荀一至|—2.

⑴求F(x)的解析式；

V

(2)若x>0,求g(x)=萬丁丁的最大值.

【解析】(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足/(*)=/■(一4-x),

所以f(x)的圖象的對稱軸為直線x=-2.

因?yàn)閄i,X2是/1(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，且|xi—及1=2.

\x\——3,fxi=-1?

所以I或2

以=-1以=-3.

設(shè)f{x)=a(x+3)(x+1)(a#0).

由/(O)=3a=3得H=1,所以廣(x)=x+4x+3.

VV

⑵由⑴得g(x)=77^~=*+4x+3=—一(x〉0)，

x+-+4

X

因?yàn)閤〉0,所以一—W石，=1—平，當(dāng)且僅當(dāng)x=j即x=/時(shí)等號(hào)成立.

工+—+4N

x

所以g(x)的最大值是1一手.

20.已知函數(shù)函x)=，八十：,其中aGR.

x+1F

⑴當(dāng)函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于點(diǎn)尸